돌베올 코호몰로지

수학에서 특히 대수기하학과 미분기하학에서 돌베올 코호몰로지(Pierre Dolbeault의 이름을 따서 명명)는 복잡한 다지관을 위한 데 람 코호몰로지(De Rham cohomology)의 아날로그다.M을 복잡한 다지관이 되게 하라.그러면 돌베오 코호몰로지 그룹 ${\displaystyle H^{}}$ p ,${\displaystyle {}^{}q}$ ${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle M\mathbb{}}$, C${\displaystyle }$) ${\displaystyle H^{p,q}(M,\mathbb {C}$ )는 한 쌍의 정수 p와 q에 의존하며 복잡한 차등 형태의 공간(p,q)의 하위 쿼터로서 실현된다.

코호몰로지 그룹의 구성

Ω을^p,q 도(p,q)의 복잡한 차등 형태의 벡터 번들로 한다.복잡한 형태에 관한 글에서 돌보트 연산자는 매끄러운 부분의 미분 연산자로 정의된다.

${\displaystyle {\bar {\partial }:\Gamma(\Oomega ^{p,q})\to \Gamma(\Oomega ^{p,q+1})}$

이후

${\displaystyle {\bar {\pair }^{2}=0}$

이 연산자는 연관된 코호몰리지를 가지고 있다.구체적으로는, 코호몰리를 인용공간으로 정의한다.

${\displaystyle H^{p,q}(M,\mathb {C})={\frac {\bar {\partial }}}:\Gamma(\Oomega ^{p,q}M)\to \Ama(\Oomega ^{p,q+1},m)\오른쪽)}{{\bar {\partial }}\감마(\Oomega ^{p,q-1}}).}$

벡터 번들의 돌베오 코호몰로지

E가 복잡한 다지관 X의 홀로모르픽 벡터 번들인 경우 E의 돌보 연산자를 사용하여 E의 홀로모르픽 섹션의$$ sheaf $O{\displaystyle \mathcal{}}$( $){\displaystyle {\mathcal{O}(E)}$의 미세 분해능처럼 정의할 수 있다.따라서 $이것$은 O${\displaystyle }$( $){\displaystyle {\mathcal {O}(E)}$의 피복공호학의 분해능이다$.$

돌보-그로텐디크 보조정리

돌베오 이소모르피즘을 확립하기 위해서는 돌베오-그로텐디크 보조정리(또는$$∂) ({\displaystyle${\bar{\partial }}}$ - 푸앵카레$$ 보조정리)를 증명해야 한다.먼저 $∂{\$ - Poincaré$$ lema의 1차원 버전을 입증한다. 부드러운 기능을 위해 다음과 같은 일반화된 형태의 Cauchy 적분 표현을 사용해야 한다.

제안: B ( 0) { < } }} ${\displaystyle$ B_${\varepsilon }(0):$=\lbrace z\in, \varepsilon \rbrace}개방된 공 반경 ε의 R을 ∈ 0{0\displaystyle}에 집중되어;0,{\displaystyle \varepsilon \in \mathbb{R}_{>0},}Bε(0)¯⊆ U{\displaystyle{\overline{B_{\varepsilon}(0)}}\subseteq U}와 f오픈 ∈ C∞(U){\display\mid z<>{C}\mathbb.스타일 f\i$n {\mathcal{C}^{\npty }(U)},$그 다음

${\displaystyle \forall z\in B_{\varepsilon }(0):\quad f(z)={\frac {1}{2\pi i}}\int _{\partial B_{\varepsilon }(0)}{\frac {f(\xi )}{\xi -z}}d\xi +{\frac {1}{2\pi i}}\iint _{B_{\varepsilon }(0)}{\frac {\partial f}{\partial {\bar {\xi }}}}{\frac {d\xi \wedge d{\bar {\xi }}}{\xi -z}}.}$

Lema $({\$ - Poincaré$$ lema on the complex plane):Let ${\displaystyle B_{\varepsilon }(0),U}$ be as before and ${\displaystyle \alpha =fd{\bar {z}}\in {\mathcal {A}}_{\mathbb {C} }^{0,1}(U)}$ a smooth form, then

${\displaystyle {\mathcal{C}^{\nupty }(U)\ni g(z):={\frac {1}{2\pi i}\int _{B_{\barepsilon }(0){\frac {f(\xi )}{\xi -z}d\xi \wedge d{\bar {\xi }}}}$

$\alpha {\displaystyle }$=${\displaystyle \stackrel{}{}\partial \stackrel{}{\mathrm{}}}$의 g ${\displaystyle \alpha ={\bar{\partial }g}$을(를) B${\displaystyle {}_{}{\epsilon }_{}}$ ( ${\displaystyle 0}$)에서$$ 충족한다$.$ ${\displaystyle B_{\varepsilon }(0$).$}$

증거. 위에서 정의한$$ $g{\displaystyle }$ ${\displaystyle g}$은(는) 잘 정의된 매끄러운 함수여서 $f{\displaystyle }$ ${\$$displaystyle$ $f}$이(가) 로컬 $∂{\bar {\partial }$ -exact라는$$ 것이 우리의 주장이다.To show this we choose a point ${\displaystyle w\in B_{\varepsilon }(0)}$ and an open neighbourhood ${\displaystyle w\in V\subseteq B_{\varepsilon }(0)}$, then we can find a smooth function ${\displaystyle \rho :B_{\varepsilon }(0)\to \mathbb {R} }$ whose support is콤팩트하고 $B{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {\epsilon }_{}}$( ${\displaystyle 0}$) ${\displaystyle B_{\varepsilon }(0)$ 및$$ $\rho {\displaystyle }$ ${\displaystyle {}_{}\mathrm{}{}_{}}$ 1. ${\displaystyle \rho _{V}\equiv 1.}$ 그러면$$ 우리는 쓸 수 있다.

${\displaystyle f=f_{1}+f_{2}:=\rho f+(1-\rho )f}$

그리고 정의하다

${\displaystyle g_{i}:={\frac {1}{2\pi i}\int _{B_{\varepsilon }(0)}{\frac {f_{i}(\xi ){\xi -z}}{\wedge d{\bar {\xi }}.}$

$V{\displaystyle }$ ${\displaystyle V}$에서 $f{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle 2{}_{}}$≡ 0 ${\displaystyle f_{2}\equiv 0}$을(를) 사용하기 때문에 ${\displaystyle {g\mathrm{}}_{}}$ 2 ${\$}은$($는) 명확하게 정의되고 부드럽다는 점에 유의하십시오.

${\displaystyle{\begin{정렬}g_{1}&, ={\frac{1}{2\pi 나는}}\int _ᆰ(0)}{\frac{f_{1}(\xi)}{\xi -z}}d\xi\wedge d{\bar{\xi}}\\&, ={\frac{1}{2\pi 나는}}\int _{\mathbb{C}}{\frac{f_{1}(\xi)}{\xi -z}}d\xi\wedge d{\bar{\xi}}\\&, =\pi ^{)}\int _{0}^{\infty}\int _ᆽ^ᆾf_ᆿ(z+re^{i\theta})e^{-i\theta}d\theta dr,\end{a}}ligned}$

그것은 정말로 잘 정의되고 부드러우며, $따라서{\displaystyle }$ g ${\displaystyle g}$도 마찬가지다$.$ 이제 우리는 B ${\displaystyle {\epsilon }_{}}$( $){\displaystyle B_{\barpsilon$에 있는${\displaystyle \stackrel{}{}}\partial {\displaystyle \stackrel{}{\mathrm{}}}$의 g${\displaystyle }$= ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystystyle {\partial }g=\$$alpha$ $}}$을 보여준다.

${\displaystyle {\frac {\partial g_{2}}{\partial {\bar {z}}}}={\frac {1}{2\pi i}}\int _{B_{\varepsilon }(0)}f_{2}(\xi ){\frac {\partial }{\partial {\bar {z}}}}{\Big (}{\frac {1}{\xi -z}}{\Big )}d\xi \wedge d{\bar {\xi }}=0}$

(${\displaystyle \xi }$- z${\displaystyle {}^{}}$)${\displaystyle {}^{}}$- ${\displaystyle 1^{}}$ ${\$은(는) ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle )}$ (${\displaystyle {}_{}}$0 ) V${\displaystyle B_{\varepsilon$ }($0)\setminus V}$의 홀로모르픽이다$$.$$

${\displaystyle{\begin{정렬}{\frac{\partial g_{2}}{\partial{\bar{z}}}}=&, \pi ^{)}\int _{\mathbb{C}}{\frac{\partial f_{1}(z+re^{i\theta})}{\partial{\bar{z}}}}e^{-i\theta}d\theta\wedge dr\\=&, \pi ^{)}\int _{\mathbb{C}}{\Big(}{{\partial f_{1}}{\partial{\bar{z}}}}{\Big\frac)}(z+re^{i\theta})e^{-i\theta}d\theta\wedge dr\\.=&,{\frac{1}{2\pi i}\iint _{B_{\varepsilon }(0)}{\frac {\partial f_{1}{\bar{\xi }}{\frac {d\d\xi \wedge d{\xi }{\xi -z}}}}}}}}}}}}}}}}}}}{{{brineed}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}"$

일반화된 Cauchy 공식을 $f{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {1\mathrm{}}_{}}$ ${\$}에 적용하면$$ 찾을 수 있다.

${\displaystyle f_{1}(z)={\frac {1}{2\pi i}}\int _{\partial B_{\varepsilon }(0)}{\frac {f_{1}(\xi )}{\xi -z}}d\xi +{\frac {1}{2\pi i}}\iint _{B_{\varepsilon }(0)}{\frac {\partial f}{\partial {\bar {\xi }}}}{\frac {d\xi \wedge d{\bar {\xi }}}{\xi -z}}={\frac {1}{2\pi i}}\iint _{B_{\varepsilon }(0)}{\frac {\partial f}{\partial {\bar {\xi }}}}{\frac {d\xi \chbar {\xi }{\xi -z}}}$

since ${\displaystyle f_{1} _{\partial B_{\varepsilon }(0)}=0}$, but then ${\displaystyle f=f_{1}={\frac {\partial g_{1}}{\partial {\bar {z}}}}={\frac {\partial g}{\partial {\bar {z}}}}}$ on ${\displaystyle B_{\va$$repsilon }(0)$. QED

돌벌-그로텐디크 보조정리 증빙서

이제 Dolbeault-Grothendiek 보조정리기를 증명할 준비가 되었다. 여기에 제시된 증거는 Grothendiek 때문이다.^[1]We denote with ${\displaystyle \Delta _{\varepsilon }^{n}(0)}$ the open polydisc centered in ${\displaystyle 0\in \mathbb {C} ^{n}}$ with radius ${\displaystyle \varepsilon \in \mathbb {R} _{>0}}$.

리마(돌보-그로텐디크):α Cnp, q(U){\displaystyle \alpha \in{{A\mathcal}}∈ _{\mathbb{C}^{n}}^ᆯ(U)}이Δε n(0)¯⊆ U{\displaystyle{\overline{\Delta_{\varepsilon}(0)}}\subseteq U}와 q개방>0{\displaystyle q>0}이∂ ¯ α)0{\displaystyle{\bar{\partial}}\와 같이 그러하자.알파$=0}$, then there exists ${\displaystyle \beta \in {\mathcal {A}}_{\mathbb {C} ^{n}}^{p,q-1}(U)}$ which satisfies: ${\displaystyle \alpha ={\bar {\partial }}\beta }$ on ${\displaystyle \Delta _{\varepsilon }^{n}(0).$$}$

증거를 시작하기 전에, 우리는 어떤${\displaystyle }$(${\displaystyle p}$, ${\displaystyle q}$) ${\displaystyle (p,q)}$ - 양식이$$ 다음과 같이 기록될 수 있다는 것을 주목한다.

$\displaystyle \cHB =\sum _{IJ}\alpha _{IJ}dz_{I}\wedge d{\bar{z}_{J}=\sum _{J}\left(\sum _{I}\alpha _{IJ}dz_{{IJ}dz_{{}}}}}}}}}}}}I}\오른쪽)_{J}\웨지 d{\bar{z}_{J}}$

for multi-indices ${\displaystyle I,J, I =p, J =q}$, therefore we can reduce the proof to the case ${\displaystyle \alpha \in {\mathcal {A}}_{\mathbb {C} ^{n}}^{0,q}(U)}$.

증명하기 위해서요;0{\displaystyle k>0}가장 작은 색인에는 C({\displaystyle{{C\mathcal}}^{\infty}의 뭉치}-modules에∈(dz¯ 1,…, dz¯ k){\displaystyle \alpha \in(d{\bar{z}}_{1},\dots ,d{\bar{z}}_{k})}α, 우리가 유도에 의해 k{k\displaystyle}에 진행한 k의 사용하자.들어K=0{\displaystyle k=0}우리가 가지α ≡ 0{\displaystyle \alpha \equiv 0}부터 q>0{\displaystyle q>0}, 다음에 우리가 생각한다면 α ∈(dz¯ 1,…, dz¯ k){\displaystyle \alpha \in(d{\bar{z}}_{1},\dots ,d{\bar{z}}_{k})}이 존재하 β ∈ Cn0,q − 1(U){\d.isp$laystyle \beta \in {\mathcal {A}}_{\mathbb {C} ^{n}}^{0,q-1}(U)}$ such that ${\displaystyle \alpha ={\bar {\partial }}\beta }$ on ${\displaystyle \Delta _{\varepsilon }^{n}(0)}$.그렇다면${\displaystyle }\Omega {\displaystyle (d}$ ${\displaystyle {\stackrel{}{}}_{}}$'${\displaystyle s_{\mathrm{}}}$1,${\displaystyle {}_{}\dots ,}$ ${\displaystyle d}$ ${\displaystyle {\stackrel{\text{'}\text{'}}{}}_{\mathrm{k}}}$+ 1 )${\displaystyle \omega \in(d{\bar{z}_{1},\dots,d{z}_{k+1}}}}}$을(를) 가정하고 우리가$$ 쓸 수 있음을 관찰하십시오.

${\displaystyle \bar =d{\z}_{k+1}\duff +\mu,\qquad \mu,\mu \in(d{\bar {{z}_{1}, d\z}_{k})\mu \in.}$

Since ${\displaystyle \omega }$ is ${\displaystyle {\bar {\partial }}}$-closed it follows that ${\displaystyle \psi ,\mu }$ are holomorphic in variables ${\displaystyle z_{k+2},\dots ,z_{n}}$ and smooth in the remaining ones on the polydisc ${\displaystyle \D$$elta _{\varepsilon }^{n}(0)}$. Moreover we can apply the ${\displaystyle {\bar {\partial }}}$-Poincaré lemma to the smooth functions ${\displaystyle z_{k+1}\mapsto \psi _{J}(z_{1},\dots ,z_{k+1},\dots ,z_{n})}$ on the open ball ${\d$$isplaystyle B_{\varepsilon _{k+1}:{$k+1}($0$ 따라서 충족되는 부드러운$$ $함수{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle G_{}}$ ${\$가 존재한다.

${\displaystyle \psi _{J}={\frac {\partial g_{J}{{\partial{\bar{z}_{k+1}}\quad {\text{on}}\quad B_{\varepsilon _{k+1}}(0).}$

${\displaystyle G_{}}$ ${\$ ${\displaystyle {\mathrm{또한}}_{}}$ $z{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle k_{}}$+ 2${\displaystyle {}_{}}$,${\displaystyle \dots ,}$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle n_{}}$ ${\$에서 홀오모르픽이다$$$.$ 정의

${\displaystyle {\tilde {\psi }:=\sum _{J}g_{{}}}J}d{\bar{z}_{J}}$

그때

${\displaystyle{\begin{ligned}\omega -{\\bar{\psi }}}{\psi{z}_{k+1}\wedge \psi +\mu -\sum _{J}{\frac {\partial g_{{}}}{\partial }}}}}}}}J}{{}}{\bar{z}_{k+1}d{\bar{z}_{k+1}}\wedge d{\bar{z}_{J}+\sum _{j=1}^{j=1}^{J}\{J}}}\frac {\partial g_{{{}}}}}}}{{partial g}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}{{{{{{{partial g_{{{J}}{\partial {\bar {z}}_{j}}}d{\bar {z}}_{j}\wedge d{\bar {z}}_{J\setminus \lbrace j\rbrace }\\&=d{\bar {z}}_{k+1}\wedge \psi +\mu -d{\bar {z}}_{k+1}\wedge \psi +\sum _{j=1}^{k}\sum _{J}{\frac {\partial g_{J}{{}}{{j}}d{\bar{z}_{j}}d{\bar}_{j}}\wedge d{{z}_{J\setminus \lbrace j\rbrace }\\\\\\rbrace }\\c&=}\sum _{j=1}{frac {partial g_{j}{j}{j}{j}}}}}J}{{}}{\partial{\z}_{j}d{\bar}}{{z}}}\bar {z}_{j}\wedge d{\j\setminus \lbrace j\rbrace j\rbrace }\in(d\bar {{z}_{1}}}}}, dots}),\end{j}}}}}}}}}}}$

따라서 유도 가설을 적용할 수 있으며, ${\displaystyle {\mathrm{다음}}_{}^{}}$과 같은$$ $\eta {\displaystyle }$A ${\displaystyle {\mathcal{}}_{}^{}}$ ${\displaystyle {{}^{}}_{}^{}}$ ${\displaystyle {{}^{}}_{\mathrm{},}^{}}$ ${\displaystyle {\mathrm{Q}}_{}^{}}$- 1${\displaystyle {}_{}^{}}$( ${\displaystyle U}$) ${\displaystyle \eta \in {\mathcal{A}_{\mathb{C}^{n}^{0,q-1}(U)$가 있다.

${\displaystyle \omega -{\bar {\psi }}}{\tilde {\partial }}}={\bar {\partial }}}\eta \quad{\text{on}\delta _{\varepsilon}}(0)}$

그리고 $\zeta {\displaystyle }$ ${\displaystyle :=}$ ${\displaystyle \eta }$ +${\displaystyle \psi \stackrel{}{}}$~ ${\$는 유도 단계를 종료한다$$.QED

이전의 보조정리기는 폴리라디우스의 일부 성분에 대해$$ ${\displaystyle {\epsilon }_{}}$ k${\displaystyle {}_{}}$= +${\displaystyle \mathrm{\infty }}$ ${\displaystyle \varepsilon _{k}=+\flat }$을(를) 가진 폴리디스크를 허용함으로써 일반화할 수 있다.

레마(확장된 돌벌-그로텐디크).ε k만약 Δ n(0){\displaystyle \Delta_{\varepsilon}(0)ε}은 개방되어 polydisc ∈ R\mathbb{R}\cup \lbrace+\infty \rbrace}과q 을{+∞}{\displaystyle \varepsilon_{k}\in ∪;0{\displaystyle q>0}, H∂ ¯ p,q(Δε n(0))=0.{\displaystyle H_{\bar{\partial}}.^{p,q$}}(\Delta _{\varepsilon }^{n}(0)=0.$$}$

Proof. We consider two cases: ${\displaystyle \alpha \in {\mathcal {A}}_{\mathbb {C} ^{n}}^{p,q+1}(U),q>0}$ and ${\displaystyle \alpha \in {\mathcal {A}}_{\mathbb {C} ^{n}}^{p,1}(U)}$.

사례 1. α Cnp∈, q+1(U),q>0{\displaystyle \alpha \in{{A\mathcal}}_{\mathbb{C}^{n}}^ᆯ(U),q>. 0}일 경우, 우리는Δε n(0){\displaystyle \Delta_{\varepsilon}(0)을 가리}과 polydiscs Δ 나는 나는 1{\displaystyle{\overline{\Delta_{나는}+⊂ Δ ¯}}\subset \Delta _{i+1}}자. 그n by the Dolbeault–Grothendieck lemma we can find forms ${\displaystyle \beta _{i}}$ of bidegree ${\displaystyle (p,q-1)}$ on ${\displaystyle {\overline {\Delta _{i}}}\subseteq U_{i}}$ open such that ${\displaystyle \alpha _{\Delta _{i}}={\ba$$r {\reason }\reason _{i$ 우리는 그것을 보여주고 싶다.

${\displaystyle \beta _{i+1} _{\Delta _{i}=\beta _{i}.}$

$i{\displaystyle }$${\displaystyle }$${\displaystyle$ i$}$을(를) 유도하여 진행한다$.$ ${\displaystyle \mathrm{i}}$ = 1 ${\displaystyle i=$1}이$($가) 이전 보조정리기로 고정된$$ 경우.> ${\displaystyle k>1}$에 대한 클레임을 그대로 두고 ${\displaystyle {\Delta }_{}}$ k${\displaystyle {}_{}}$+ ${\displaystyle 1_{}}$ ${\$}을$($를) 사용하여$$ 다음과 같이 Δ k > 1 {\displaystyle \Delta_{k+1}

${\displaystyle \Delta \delta _{\varepsilon }^{n}=\bigcup _{i=1}^{k+1}\Delta_{\text{and}}\delta _\coverline {\delta _}\sub \Delta _{k+1}.$

Then we find a ${\displaystyle (p,q-1)}$-form ${\displaystyle \beta '_{k+1}}$ defined in an open neighbourhood of ${\displaystyle {\overline {\Delta _{k+1}}}}$ such that ${\displaystyle \alpha _{\Delta _{k+1}}={\bar {\partial }}\beta$$_{k+1$Let ${\displaystyle U_{k}}$ be an open neighbourhood of ${\displaystyle {\overline {\Delta _{k}}}}$ then ${\displaystyle {\bar {\partial }}(\beta _{k}-\beta '_{k+1})=0}$ on ${\displaystyle U_{k}}$ and we can apply again the Dolbeault-Grothendieck lemmato find a ${\displaystyle (p,q-2)}$-form ${\displaystyle \gamma _{k}}$ such that ${\displaystyle \beta _{k}-\beta '_{k+1}={\bar {\partial }}\gamma _{k}}$ on ${\displaystyle \Delta _{k}}$. Now, let ${\displaystyle V_{k}}$ be an open set wi$\Delta {\displaystyle \stackrel{}{{\mathrm{}}_{}}}$ ${\displaystyle \stackrel{}{k_{}}}$δ $u$ U k ${\$ V_{$k}\subsetneq U_{k}}},$ $\rho$ k : ${\displaystyle {\mathrm{}}_{}^{}}$ ${\displaystyle {}_{}^{}}$(${\displaystyle 0}$) → ${\displaystyle R\mathbb{}}${\$displaysty \rho_{k:$$\Delta _{\barepsilon }^{n}(0)\to \mathb {R}}$에 다음과 같은 부드러운 함수:

${\displaystyle \operatorname {supply}(\rho _{k})\subset U_{k},\qquad \rho_{V_{k}=1,\qquad \rho_{k}{\delta _{n}}(0)\setminus U_{k=0.$

그러면 ${\displaystyle {}_{}{}_{}}$ ${\displaystyle k_{}}$ \ ${\displaystyle k_{}}$ ${\$${\displaystyle \mathrm{k}}$$}}}$ $\Delta {\displaystyle {\mathrm{}}_{}^{}}$ ${\displaystyle {}_{}^{}}$( 0${\displaystyle }$) ${\displaystyle \Delta_{\varipsilon }^{n}(0)}$에 잘 정의된 평활형이다$$$$.

${\displaystyle \beta \{k}=\beta '_{k+1}+{\bar {\partial }}}(\gamma _{k}\rho _{k})\quad {\text{on}\delta _{k}}}}$

이 형태는 다음과 같다.

${\displaystyle \property_{k+1}=\filename '_{k+1}+{\bar {\bar}}}(\filename _{k}\rho_{k}}}}}$

만족시키다

${\displaystyle {\begin{aligned}\beta _{k+1} _{\Delta _{k}}&=\beta '_{k+1}+{\bar {\partial }}\gamma _{k}=\beta _{k}\\{\bar {\partial }}\beta _{k+1}&={\bar {\partial }}\beta '_{k+1}=\alpha _{\Delta _{k+1}}\end{aligned}}}$

Case 2. If instead ${\displaystyle \alpha \in {\mathcal {A}}_{\mathbb {C} ^{n}}^{p,1}(U),}$ we cannot apply the Dolbeault-Grothendieck lemma twice; we take ${\displaystyle \beta _{i}}$ and ${\displaystyle \Delta _{i}}$ as before, we want to show that

$왼쪽. 왼쪽. 왼쪽. 왼쪽.\left\put _{i}_{{}}{I}-{\beta _{i+1}}{{n1}I}\right)\right _{\Delta _{k-1}\right\ _{\infit }<2^{-i}.}$

$다시{\displaystyle }$, $i{\displaystyle }$ =$$1 {\$displaystyle$$$i$=1}$에 대해서는 Dolbeault-Grotenideck 보조정리기가 답을$$ 제시한다$.$다음 장소는 청구 k을에게 사실이다;1{\displaystyle k> 1}. 우리는 Δ k+1⊃ Δ k¯{\displaystyle \Delta_{k+1}\supset{\overline{\Delta_{k}}}}은 Δ k+나는 갈1k{\displaystyle \Delta_{k+1}\cup \lbrace\Delta _{나는}\rbrace _{i=1}^{k}1∪{Δ 나는}}을 덮은Δε n(0)을 생각한다. {\d$isplaystyle \Delta _{\varepsilon }^{n}(0$ 그러면 다음과 같은$$${\displaystyle }$(${\displaystyle \mathrm{p}}$ ${\displaystyle ,}$ 0${\displaystyle }$) ${\displaystyle (p,0)$ -form$$ $\beta {\displaystyle {}_{}^{}}$ ${\displaystyle k_{}^{}}$+ ${\displaystyle 1_{}^{}}$ ${\displaystyle {}_{}^{}}$ ${\$ style $\beta '_{k+1$}을 찾을 수 있다$.$

${\displaystyle \alpha _{\Delta _{k+1}={\bar {\partial }\beta '_{k+1},}$

which also satisfies ${\displaystyle {\bar {\partial }}(\beta _{k}-\beta '_{k+1})=0}$ on ${\displaystyle \Delta _{k}}$, i.e. ${\displaystyle \beta _{k}-\beta '_{k+1}}$ is a holomorphic ${\displaystyle (p,0)}$-form wherever defined, hence by tHe Stone-Waierstrass 정리 우리는 그것을 다음과 같이 쓸 수 있다.

${\displaystyle \beta \{k}-\beta '_{k+1}=\sum _{I =P}(P_{})I}+r_{I}dz_{I}}$

${\displaystyle {여기}_{}}$서 P $I{\displaystyle {}_{}}$ ${\$$I}}$은 다항식이고

$\displaystyle \left\ r_{I} _{\Delta _{k-1}\right\ _{\inflit }<2^{-k}}}$

하지만 그 다음 형태는

${\displaystyle \beta \{k+1}:=\beta '_{k+1}+\sum _{I =p}P_{{}}}I}dz_{I}}$

만족시키다

${\displaystyle {\begin{ligned}{\bar {\partial }\bar _{k+1}&={\bar {\partial }\bar '_{k+1}=\alpha _{\delta_{k+1}\put\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\I}-{\beta _{k+1}}{{}I} _{\Delta _{k-1}\right\ _{\inflt }&=\ r_{{}I}\ _{\infully }<2^{-k}\ended}}}}$

which completes the induction step; therefore we have built a sequence ${\displaystyle \lbrace \beta _{i}\rbrace _{i\in \mathbb {N} }}$ which uniformly converges to some ${\displaystyle (p,0)}$-form ${\displaystyle \beta }$ such that ${\displaystyle$$\alpha$ _${\Delta _{\barepsilon }^{n$(0$)={\bar${\$partial$}}\$beta$ $\}\}$QED.

돌벌의 정리

돌보트의 정리는 드 람의 정리와 복잡한 유사점이다^[2].그것은 돌베오 코호몰로지(Dolbeault cohomology)가 홀로모픽 미분형 피복층의 피복 코호몰로지(cheaf cohomology)에 이형성이 있다고 주장한다.구체적으로 말하자면

${\displaystyle H^{p,q}(M)\cong H^{q}(M,\Oomega ^{p})}$

여기서 $\Omega {\displaystyle {\mathrm{}}^{}}$ ${\displaystyle p^{}}$ ${\$는 M에 있는 홀로모르픽 p 형태의 피이다.

로그 형식에 대한 버전도 확립되었다.^[3]

증명

Let ${\displaystyle {\mathcal {F}}^{p,q}}$ be the fine sheaf of ${\displaystyle C^{\infty }}$ forms of type ${\displaystyle (p,q)}$. Then the ${\displaystyle {\overline {\partial }}}$-Poincaré lemma says that the sequence

${\displaystyle \Omega ^{p,q}{\xrightarrow {\overline {\partial }}}{\mathcal {F}}^{p,q+1}{\xrightarrow {\overline {\partial }}}{\mathcal {F}}^{p,q+2}{\xrightarrow {\overline {\partial }}}\cdots }$

정확해다른 긴 정확한 순서와 마찬가지로, 이 순서는 짧은 정확한 순서로 나뉜다.이것들에 해당하는 길고 정확한 코호몰로지 순서는 결과를 낳는데, 일단 미세한 피복의 높은 코호몰리를 사용하면 사라진다.

명시적 계산 예제

$n{\displaystyle }$ ${\displaystyle n}$차원$$ 복합 투영 공간의 돌보 코호몰로지

${\displaystyle H_{\bar {\partial }^,q}(P_{\mathb {C}{}^{n}}={\begin}}}\mathb {C} &p=q\0&{\text}\otherwise}\case}}}}}}}}$

우리는 호지 이론으로부터 다음과 같이 잘 알려진 사실을 적용한다.

${\displaystyle H_{\rm {dR}^{k}\왼쪽(P_{\mathb {C}}^{n}}}}}}\mathb {C} \right)=\bigoplus _{p+q=k}H_{\bar {\partial }^{p,q}(P_{\mathb {C} }^{n})}$

$왜냐하면{\displaystyle {}_{}^{}}$ P ${\displaystyle {C\mathbb{}}_{}^{}}$ ${\displaystyle n_{}^{}}$ ${\$은(는) 콤팩트한 케흘러 복합 매니폴드이기 때문이다.${\displaystyle \mathrm{그런}}$ 다음 $b{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {\mathrm{2k}}_{}}$+ ${\displaystyle 1_{}}$= 0 ${\displaystyle b_{2k+1}=0$$}$ 및

${\displaystyle b_{2k}=h^{k,k}+\sum _{p+q=2k,p\neq}h^{p,q}=1.}$

Furthermore we know that ${\displaystyle P_{\mathbb {C} }^{n}}$ is Kähler, and ${\displaystyle 0\neq [\omega ^{k}]\in H_{\bar {\partial }}^{k,k}(P_{\mathbb {C} }^{n}),}$ where ${\displaystyle \omega }$ is the fundamental form associated to the Fubini–Study 따라서 측정지표${\displaystyle {}^{}}$실제 Kahler)는 결과를 산출하는$$ $p{\displaystyle q}$, ${\displaystyle$ h$^{k,k}=1}$ $및$ ${\displaystyle h^{}}$ p${\displaystyle {,}^{}{q}^{}}$ = ${\displaystyle 0}${\$displaystyle h^{$$p,q$}=$0}$이다$.$

참고 항목

• 세레 이중성

각주

참조

• Dolbeault, Pierre (1953). "Sur la cohomologie des variétés analytiques complexes". Comptes rendus de l'Académie des Sciences. 236: 175–277.
• Wells, Raymond O. (1980). Differential Analysis on Complex Manifolds. Springer-Verlag. ISBN 978-0-387-90419-1.
• Gunning, Robert C. (1990). Introduction to Holomorphic Functions of Several Variables, Volume 1. Chapman and Hall/CRC. p. 198. ISBN 9780534133085.
• Griffiths, Phillip; Harris, Joseph (2014). Principles of Algebraic Geometry. John Wiley & Sons. p. 832. ISBN 9781118626320.