푸의 부등식

미분 기하학에서 파오밍푸에 의해 증명된 푸의 불평등은 임의의 리만 표면 동형체의 면적을 그 안에 포함된 닫힌 곡선의 길이로 실제 투영면과 연관시킨다.

성명서

찰스 뢰너(Charles Loewener)의 제자인 푸(Pu)는 1950년 논문(Pu 1952년)에서 실제 투영 평면에 대한 모든 리만 표면 $M{\displaystyle }$ ${\displaystyle M}$ 동형체가$$ 불평등을 만족시킨다는 것을 증명했다.

${\displaystyle \operatorname {Area}(M)\geq {\frac {2}{\pi }\operatorname {Sysstole}(M)^{2},$

여기서 ${\displaystyle \mathrm{Sysstole}}$ ${\displaystyle (}$ (${\displaystyle M}$ )$${\$displaystyle \operatorname {Sysstole}$ ($M)}$은$$M {\$displaystyle$ M$}$의 sysstole이다$.$ 측정기준이 일정한 가우스 곡률을 가질 때 정확하게 동일성이 확보된다.

In other words, if all noncontractible loops in ${\displaystyle M}$ have length at least ${\displaystyle L}$, then ${\displaystyle \operatorname {Area} (M)\geq {\frac {2}{\pi }}L^{2},}$ and the equality holds if and only if ${\displaystyle M}$ is obtained from a Euclidean sphere of radius $r{\displaystyle }$= ${\displaystyle L}$ /${\displaystyle \pi }$ ${\displaystyle r=L/\pi }$을(를) 대척점으로 각 점을 식별하여$$.

푸의 논문은 또한 처음으로 뢰네르의 불평등을 언급했는데, 이는 토러스에서 리만인의 지표와 비슷한 결과였다.

증명

푸의 원래 증거는 획일화 정리에 의존하며 다음과 같은 평균화 주장을 채택한다.

획일화에 의해 리만 표면$({\displaystyle M}$, g${\displaystyle }$) ${\디스플레이$ 스타일$(M,g)}$은 둥근 투사 평면에 준하는 차이점이다.즉, $표면{\displaystyle }$ M ${\displaystyle M}$은(는) 대척점을 식별하여$$ 유클리드$$단위 구 S 2 {\$displaystyle$ S$^{2}}$로부터 얻어진 것으로$$ 가정할 수 있으며, 각 $지점{\displaystyle }$ x ${\displaysty x}$의 리만 길이 요소는 다음과$$ 같다.

${\dplaystyle \mathrm {dLength} =f(x)\mathrm {dLength} _{\text{Eucleidan},}$

여기서 d ${\displaystyle {\mathrm{L}}_{}}$ ${\displaystyle {\mathrm{ee}}_{}}$ n t \$\표시$ 스타일 $\mathrm {dLength} _${\text${유클리드}}}$은(는) 유클리드 길이 요소이며 함수 $f{\displaystyle }$: S ${\displaystyle {2\mathrm{}}^{}}$→${\displaystyle }$( ${\displaystyle 0}$, + ${\displaystyle \mathrm{\infty }}$) ${\표시$ 스타일 $f:$등정계수라$불리는$ S$^\{$$2}\$to (0,+\fty $)}$는 $f{\displaystyle }$(${\displaystyle }$- ${\displaystyle x}$)${\displaystyle }$= ${\displaystyle f}$ ( ${\displaystyle x}$ ) ${\displaystyle$ f$(-x)=f(x)}$를 만족한다$.$

More precisely, the universal cover of ${\displaystyle M}$ is ${\displaystyle S^{2}}$, a loop ${\displaystyle \gamma \subseteq M}$ is noncontractible if and only if its lift ${\displaystyle {\widetilde {\gamma }}\subseteq S^{2}}$ goes from one point to its opposite, and the length of each$\gamma {\displaystyle }$ ${\displaystyle \gamma$}은$($는)

${\displaystyle \operatorname {Length}(\gamma )=\int _{\widetilde {\gamma }f\,\mathrm {dLength} _{\text{Eucleidan}.}$

이 길이 각각 $최소{\displaystyle }$ L ${\displaystyle L}$이라는 제한에 따라$,$ 우리는 이 길이를 최소화하는$$ $f{\displaystyle }$ ${\displaystyle f}$을(를) 찾기를 원한다.

${\displaystyle \operatorname {Area}(M,g)=\int _{S_{+}^{2}}f(x)^{2}\,\mathrm {dArea} _{\text{유클리드},},}$

여기서 $S{\displaystyle {}_{}^{}}$+ ${\displaystyle {\mathrm{}}_{}^{}}$ ${\$은 구의 위쪽 절반이다$$.

중요한 관찰 우리가 나는{\displaystyle f_{나는}몇가지 다른 f평균은}은, A{A\displaystyle}은 같은 지역만 있어도 우린 f 새로운=나는 < 1n∑ 0≤, nfi{\displaystyle f_{\text{새}}={\frac{1}{n}}\sum _{0\leq i<, n}f_{나는}더 나은 정각 인자를 얻}은 길이 제한을 만족한다. ,또한 길이 제한을 충족하고 다음과 같이 한다.

${\displaystyle \operatorname {Area}(M,g_{\text{new})=\int_{S_{+}^{2}}\좌측({\frac {1}{n}\sum_{i}f_{i}(x)\right)^{2}\matrmatm {dArea}{{dom{derva}}}}{{{{{dcla}}}}}}}}}}}}}}}}}$

${\displaystyle \qquad \leq {1}{n}\sum _{i}\{i}\좌(\int_{S_{+}^{2}}f_{i}(x)^{dArea}\mathrm {dArea} _{\text{유클리드}}}(x)\오른쪽)=A,}$

${\displaystyle {그리고}_{}}$ 기능 ${\$가 같지 않으면$$ 불평등은 엄격하다.

A way to improve any non-constant ${\displaystyle f}$ is to obtain the different functions ${\displaystyle f_{i}}$ from ${\displaystyle f}$ using rotations of the sphere ${\displaystyle R_{i}\in SO^{3}}$, defining ${\displaystyle f_{i}(x)=f(R_{i}(x))}$. 가능한 모든 회전에 대해 평균을 낸다면, 모든 구체에 걸쳐 일정한 새로운$$ ${\$를 얻게 된다.길이 제한이 허용하는$$ 최소값 $r{\displaystyle }$= L ${\displaystyle \frac{\pi }{}}$ ${\$까지 이 상수를 더 줄일 수 있다.그런 다음 최소 면적 $2{\displaystyle \mathrm{}}$ ${\displaystyle \pi }$ r ${\displaystyle {2\mathrm{}}^{}}$= ${\displaystyle 2\frac{\mathrm{}}{}}$ ${\displaystyle \frac{\pi }{}}$ ${\displaystyle {L\mathrm{}}^{}}$ 2 ${\$}}$$.

리폼레이션

Alternatively, every metric on the sphere ${\displaystyle S^{2}}$ invariant under the antipodal map admits a pair of opposite points ${\displaystyle p,q\in S^{2}}$ at Riemannian distance ${\displaystyle d=d(p,q)}$ satisfying ${\displaystyle d^{2}\l$$eq {\frac {\pi }{4}}\operatorname {area}(S^{2}).$$}$

이 관점에 대한 보다 자세한 설명은 수축기하학 소개 페이지에서 찾을 수 있다.

충전 영역 추측

푸의 불평등의 대안적 공식은 다음과 같다.강한 등축 속성을 $가진{\displaystyle \mathrm{}}$ $2{\displaystyle \mathrm{}}$ ${\displaystyle 2}$차원$$ 디스크에 의한$$ 길이 2 ${\displaystyle ³}$ ${\displaystyle$ 2$\pi }$의 리만 원의 가능한 모든 채움 중에서, 원형 반구는 가장 작은 면적을 가진다.

To explain this formulation, we start with the observation that the equatorial circle of the unit ${\displaystyle 2}$-sphere ${\displaystyle S^{2}\subset \mathbb {R} ^{3}}$ is a Riemannian circle ${\displaystyle S^{1}}$ of length ${\displaystyle 2\pi }$. More precisely, the Riemannian distaS ${\$의 nce 기능은 구상의 주변 리만 거리에서 유도된다$$.이 속성은 유클리드 평면에서 단위 원의 표준 임베딩에 의해 충족되지 않는다는 점에 유의하십시오.실제로 원의 반대 지점들 사이의 유클리드 거리는 $2{\displaystyle \mathrm{}}$ ${\displaystyle 2}$에 불과한 반면$,$ 리만 원에서는 $it{\displaystyle }$ ${\displaystyle \pi}$이다$.$

원을 디스크의 경계로 포함시킴으로써 유도된 지표가 길이 2 ${\displaystyle \pi }$ {\displaystyle $2\pi }$의 원의 리만 메트릭이 되도록 ${\displaystyle {S\mathrm{}}^{}}$ 1 ${\$$displaystyle$ $S^{1$}의$$$$ 모든 채우기를 우리는$$2 ${\displaystyle$ 2\pi }. 원을 경계로 포함하는 것을 s라고 한다.동그라미 모양의 거대한 등축 임베딩

그로모프는 채우기 표면이 양속(Gromov 1983년)을 가질 수 있도록 허용되어도 둥근 반구가 원을 채우는 "최상의" 방법을 준다고 추측했다.

등측 부등식

Pu의 불평등은 고전적인 등측 불평등과 이상하게도 유사하다.

${\displaystyle L^{2}\geq 4\pi A}$

평면에서 조던 곡선의 경우, $여기$서 L ${\displaystyle L}$은 곡선의 길이인$$ 반면 $A{\displaystyle }$ ${\displaystyle A}$은 곡선의 경계 영역이다.즉, 두 경우 모두 2차원 수량(면적)은 1차원 수량(길이)에 의해 경계된다.그러나 불평등은 반대 방향으로 간다.따라서, 푸의 불평등은 "반대자"가 등거리 불평등이라고 생각할 수 있다.

참고 항목

• 충전 영역 추측
• 필수 다지관에 대한 그로모프의 수축기 불평등
• 그로모프의 복잡한 투영공간에 대한 불평등
• 루우너의 토러스 부등식
• 수축기하학
• 표면의 점

참조

• Gromov, Mikhael (1983). "Filling Riemannian manifolds". J. Differential Geom. 18 (1): 1–147. doi:10.4310/jdg/1214509283. MR 0697984.
• Gromov, Mikhael (1996). "Systoles and intersystolic inequalities". In Besse, Arthur L. (ed.). Actes de la Table Ronde de Géométrie Différentielle (Luminy, 1992) [Proceedings of the Roundtable on Differential Geometry]. Séminaires et Congrès. Vol. 1. Paris: Soc. Math. France. pp. 291–362. ISBN 2-85629-047-7. MR 1427752.
• Gromov, Misha (1999) [1981]. Metric structures for Riemannian and non-Riemannian spaces. Progress in Mathematics. Vol. 152. With appendices by M. Katz, P. Pansu and S. Semmes. Translated from the French by Sean Michael Bates. Boston, MA: Birkhäuser Boston, Inc. ISBN 0-8176-3898-9. MR 1699320.
• Katz, Mikhail G. (2007). Systolic geometry and topology. Mathematical Surveys and Monographs. Vol. 137. With an appendix by J. Solomon. Providence, RI: American Mathematical Society. doi:10.1090/surv/137. ISBN 978-0-8218-4177-8. MR 2292367.
• Pu, Pao Ming (1952). "Some inequalities in certain nonorientable Riemannian manifolds". Pacific J. Math. 2 (1): 55–71. doi:10.2140/pjm.1952.2.55. MR 0048886.