랜덤 변수의 함수 모멘트에 대한 테일러 확장

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확률론에서 f가 충분히 다르고 X의 모멘트가 유한하다면, 테일러 확장을 이용하여 임의 변수 X의 함수 f의 모멘트를 대략적으로 추정할 수 있다.

첫 순간

${\displaystyle {\begin{aigned}\operatorname {E} \left[f(X)\right]>{}=\operatorname {E} \left[f\left(\mu _{X}+\left(X-\mu _{X}\오른쪽)\right]\\\\&{}\대략 \operatorname {E} \left[f(\mu _{X}+f'(\mu _{X}\right)\ref(X-\mu _{X}\f)\{1}{1}{1}:{1}{1}{1}}f"\f(X}\rig)^{2}\rigright}\right}\rig)\right}\rig)\end{정렬}}}$

$E{\displaystyle }$[ ${\displaystyle X}$ -${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle X_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$= ${\displaystyle 0,}$ ${\displaystyle E[X-\mu _{X}]=0,}$ 이후$$ 두 번째 용어는 사라진다. 또한 $E{\displaystyle }$[${\displaystyle }$( X -${\displaystyle {\mu }_{}}$ X${\displaystyle {}_{}{}^{}}$) ${\displaystyle {2\mathrm{}}^{}}$ ${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle E[(X-\mu _{X}^{2}]}}$은(는) ${\displaystyle X_{}^{}}$ ${\displaystyle {\mathrm{}}_{}^{}}$ ${\$2$\}\}.$ 그러므로

${\displaystyle \operatorname {E} \left[f(X)\right]\cHBFF}{\frac {f"+{\mu_{X}}}{2}}\sigma _{X}^{X}}}}}}}$

여기서 $\mu {\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle X_{}}$ ${\$와 ${\displaystyle {\mathrm{}}_{}^{}}$ ${\displaystyle X_{}^{}}$ 2 ${\$은 각각 X의 평균과 분산이다$$.^[1]

다변량 테일러 확장을 사용하여 둘 이상의 변수의 함수에 이를 일반화할 수 있다. 예를 들어,

${\displaystyle \operatorname {E} \left[{\frac {X}{Y}\right]\swarm {\frac {\operatorname {E} \left[X\right]}{\operatorname {E} \left[]Y\right]}-{\frac {\operatorname {cov} \left[X,Y\right]}{\operatorname {E} \left[]Y\\right]^{2}}+{\frac {\operatorname {E} \left[X\right]}{\operatorname {E} \left[왼쪽]Y\\right]^{3}}\operatorname {var} \left[왼쪽]Y\right]}$

두 번째 순간

마찬가지로^[1]

${\displaystyle \operatorname {var} \left[f(X)\right]\관련 \left(\operatorname {E} \left[X\right])\right)^{2}\operatorname {var} \left[X\right]=\left(f'\mu_{X}\rigma _{X}\rigma _{X}-{1}-{1}-{1}-{1}-{4}-{X}}}}}}}}}^^{2}\sigma _{X}}}^.$

위의 내용은 첫 번째 모멘트를 추정할 때 사용한 방법에 따라 두 번째 순서 근사치를 사용하여 얻는다. $f{\displaystyle }$( ${\displaystyle X}$) ${\displaystyle f(X)}$이(가) 고도로 비선형인 경우에는 빈약한 근사치가 될 것이다. 이것은 델타법의 특수한 경우다.

Indeed, we take ${\displaystyle \operatorname {E} \left[f(X)\right]\approx f(\mu _{X})+{\frac {f''(\mu _{X})}{2}}\sigma _{X}^{2}}$.

$f{\displaystyle }$( ${\displaystyle X}$)${\displaystyle }$= ${\displaystyle g}$( X${\displaystyle {}^{}}$) ${\displaystyle {2\mathrm{}}^{}}$ ${\$ $E{\displaystyle \mathrm{}}$ ${\displaystyle }$[ ${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {2\mathrm{}}^{}}$ ${\displaystyle {}^{}}$ ${\$$Y^{2}\오른쪽$ . 그런 다음, 분산을 ${\displaystyle \mathrm{공식}}$ ${\displaystyle }$[ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle ]}$= ${\displaystyle \mathrm{E}}$ ${\displaystyle }$[ ${\displaystyle {Y\mathrm{}}^{}}$ ${\displaystyle {}^{}}$ -${\displaystyle {}_{}^{}}$ ${\displaystyle {\mathrm{}}_{}^{}}$ 2 ${\$를 사용하여 계산한다.$Y\right]=\operatorname {E} \왼쪽[]$$Y^{2}\오른쪽]-\mu _{Y}^{2$

예를 들면,

${\displaystyle \operatorname {var} \left[{\frac {X}{Y}\right]\cHB {\frac {\operatorname {var} \left[X\right]}{\operatorname {E} \left[왼쪽]Y\right]^{2}}-{{\frac {2\operatorname {E} \left[X\right]}{\operatorname {E} \left[왼쪽]Y\\right]^{3}}}\operatorname {cov} \left[X,Y\right]+{\fract[\operatorname {E} \left[X\right]^{2}}{\operatorname {E} \left[]Y\\right]^{4}}\operatorname {var} \left[왼쪽]오른쪽이요.}$

X가 정규 분포를 따를 때 두 번째 순서 근사치는 다음과 같다.^[2]

${\displaystyle \operatorname {var} \left[f(X)\right]\관련 \left(\operatorname {E} \left[X\right])\right)^{2}^\operatorname {var} \left[X\right]+{\frac {\f"(\operatorname {E} \left[X\right])\right)^{2}}{2}}\left(\operatorname {var} \left[X\right]\right)^{2}=\left(f'(\mu _{X})\right)^{2}\sigma _{X}^{2}+{\frac {1}{2}}\left(f''(\mu _{X})\right)^{2}\sigma _{X}^{4}+\left(f'(\mu _{X})\right)\left(f'''(\mu _{X})\right)\sigma _{X}^{4}}$

첫 번째 제품 모멘트

두 랜덤 변수(두 변수에 모두 동일한 함수를 적용)의 공분산에 대한 2차 근사치를 찾으려면 다음과 같이 진행하면 된다. First, note that ${\displaystyle \operatorname {cov} \left[f(X),f(Y)\right]=\operatorname {E} \left[f(X)f(Y)\right]-\operatorname {E} \left[f(X)\right]\operatorname {E} \left[f(Y)\right]}$. Since a second-order expansion for ${\displaystyle \mathrm{E}[f}$${\displaystyle \operatorname {E} \left[f(X)\right]}$ has already been derived above, it only remains to find ${\displaystyle \operatorname {E} \left[f(X)f(Y)\right]}$. Treating ${\displaystyle f(X)f(Y)}$ as a two-variable function, the second-order Taylor expansion is as follows:

${\displaystyle {\begin{aligned}f(X)f(Y)&{}\approx f(\mu _{X})f(\mu _{Y})+(X-\mu _{X})f'(\mu _{X})f(\mu _{Y})+(Y-\mu _{Y})f(\mu _{X})f'(\mu _{Y})+{\frac {1}{2}}\left[(X-\mu _{X})^{2}f''(\mu _{X})f(\mu _{Y})+2(X-\mu _{X})(Y-\mu _{Y})f'(\mu _{X})f'(\mu _{Y})+(Y-\mu _{Y})^{2}f(\mu _{X})f''(\mu _{Y})\right]\end{aligned}}}$

Taking expectation of the above and simplifying—making use of the identities ${\displaystyle \operatorname {E} (X^{2})=\operatorname {var} (X)+\left[\operatorname {E} (X)\right]^{2}}$ and ${\displaystyle \operatorna$$me {E} (XY)=\operatorname {cov} (X,Y)+\left[\operatorname {E} (X)\right]\left[\operatorname {E} (Y)\right]}$—leads to ${\dis$$playstyle \operatorname {E} \left[f(X)f(Y)\right]\approx f(\mu _{X})f(\mu _{Y})+f'(\mu _{X})f'(\mu _{Y})\operatorname {cov} (X,Y)+{\frac {1}{2}}f''(\mu _{X})f(\mu _{Y})\operatorname {var} (X)+{\frac {1}{2}}f(\mu _{X})f''(\mu _{Y})\operatorname {var} (Y)}$. Hence,

${\displaystyle{\begin{정렬}\operatorname{cov}\left[f(X),f(Y)\right]&,{}\approx f(\mu_{X})f(\mu_{Y})+f'(\mu_{X})f'(\mu_{Y})\operatorname{cov}(X,Y)+{\frac{1}{2}}f"(\mu_{X})f(\mu_{Y})\operatorname{초본}(X)+{\frac{1}{2}}f(\mu_{X})f"(\mu_{Y})\operatorname{초본}(Y)-\left는 경우에는 f(\mu_{X})+{\frac{1}{2}}f"(\mu_{X})\operatorname{초본}. (X)\오른쪽]\\왼쪽[f(\mu _{Y}}+{\frac {1}{1}:{2}}f"(\mu _{Y}\operatorname {var}(Y)\right]\\\\&{}=f'(\mu_{X}f)(\mu_{Y})\operatorname {cov}(X,Y)-{{1}{4}f"(\mu _{X}f)(\mu _{X}f)\var}(X)\operatorname {var}(Y)\{var}}\{{{pend}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}$

참고 항목

• 불확도 전파
• WKB 근사치
• 델타법

메모들

추가 읽기

• Wolter, Kirk M. (1985). "Taylor Series Methods". Introduction to Variance Estimation. New York: Springer. pp. 221–247. ISBN 0-387-96119-4.