랜덤 퍼지 변수

측정에서 얻은 측정은 두 가지 유형의 불확실성으로 인해 어려움을 겪을 수 있다.^[1]첫 번째는 공정과 측정의 소음으로 인한 무작위 불확실성이다.두 번째 기여는 측정기기에 있을 수 있는 체계적 불확실성 때문이다.계통오차는 측정기기와 측정과정을 변경하지 않는 한 측정과정 전반에 걸쳐 일정하기 때문에 검출될 경우 쉽게 보정할 수 있다.그러나 계통 오류가 있고 계통 오류가 있으면 계기를 사용하는 동안 정확히 알 수 없다.따라서, 체계적 불확실성은 퍼지 성질의 기여로 간주될 수 있다.

이러한 시스템 오류는 측정기와 프로세스에 대한 과거 데이터를 기반으로 대략적으로 모델링할 수 있다.

통계적 방법을 사용하여 측정에서 체계적 기여와 무작위 기여의 총 불확실성을 계산할 수 있다.^[2][3][4]그러나 계산 복잡성은 매우 높기 때문에 바람직하지 않다.

L.A.자데는 퍼지 변수와 퍼지 집합의 개념을 도입했다.^[5][6]퍼지 변수는 가능성 이론에 기초하므로 가능성 분포다.따라서 그들은 모든 유형의 불확실성, 즉 전체 불확실성에 대한 체계적 및 무작위적 기여를 처리하기에 적합하다.^[7][8][9]

RFV(Random-fuzzy variable, RFV)는 수학적 가능성 이론을 사용하여 정의된 유형 2 퍼지 변수로서,^[10][5][6] 측정 결과와 관련된 전체 정보를 나타내기 위해 사용된다.내부 가능성 분포와 멤버십 함수라고 하는 외부 가능성 분포를 가지고 있다.내부 분포는 체계적 불확실성으로 인한 불확실성 기여를 말하며, RFV의 범위는 무작위 기여에 기인 것이다.외부 분포는 모든 기여금과의 불확실성 한계를 제공한다.

정의

RFV(Random-fuzzy Variable)는 다음 조건을 만족하는 타입 2 퍼지 변수로 정의된다.^[11]

• RFV의 내부 및 외부 기능을 모두 식별할 수 있다.
• 내부 및 외부 기능은 모두 가능한 분포(pd)로 모델링된다.
• 내부 및 외부 기능 모두 동일한 값의 간격까지 가능성의 단일 값을 가진다.

RFV는 그림에서 볼 수 있다.외부 멤버십 함수는 파란색, 내부 멤버십 함수는 빨간색 분포다.두 멤버십 함수는 모두 가능성 분포다.내부 및 외부 멤버십 함수는 모두 RFV의 직사각형 부분에서만 가능한 단일 값을 가진다.그래서 세 가지 조건이 모두 충족되었다.

측정에 체계적인 오류만 있는 경우, RFV는 내부 멤버십 함수로만 구성된 퍼지 변수가 된다.마찬가지로, 체계적 오류가 없는 경우, RFV는 무작위 기여만 있는 퍼지 변수가 되고, 따라서 무작위 기여의 가능성 분포일 뿐이다.

건설

랜덤-퍼지 변수는 내부 가능성 분포(r_internal)와 랜덤 가능성 분포(r_random)를 사용하여 구성할 수 있다.

랜덤 분포(r_random)

r은_random 불확실성에 대한 랜덤 기여의 가능성 분포다.모든 계측기 또는 공정은 내재된 소음 또는 기타 효과로 인한 무작위 오류 기여로 인해 어려움을 겪는다.

이것은 본질적으로 완전히 무작위적이며, 중앙 한계 정리에 따라 여러 랜덤 기여가 결합되었을 때의 정상적인 확률 분포다.^[12]

그러나 균등 분포, 감마 분포 등과 같은 다른 확률 분포의 랜덤 기여도 있을 수 있다.

확률 분포는 측정 데이터에서 모델링할 수 있다.그런 다음 확률 분포를 사용하여 최대 특정 확률-가능성 변환을 사용하여 등가 가능성 분포를 모형화할 수 있다.^[13]

몇 가지 일반적인 확률 분포와 그에 상응하는 가능성 분포는 그림에서 볼 수 있다.

내부 분포(r_internal)

r은_internal 전체 불확실성에 대한 체계적 기여의 가능한 분포인 RFV의 내부 분포다.이 분포는 측정기와 공정에 대해 이용할 수 있는 정보를 기반으로 구축될 수 있다.

가능한 가장 큰 분포는 균일 또는 직사각형 가능성 분포다.이것은 지정된 간격의 모든 값이 동등하게 가능하다는 것을 의미한다.이는 사실 증거^[14] 이론에 따라 완전한 무지의 상태를 나타내며, 이는 정보의 최대 부족을 나타내는 시나리오를 나타낸다.

이 분포는 계통 오차에 대해 우리가 전혀 알지 못할 때 계통 오차에 사용된다. 단, 계통 오차는 특정 값의 구간에 속한다.이것은 측정에 꽤 흔하다.

그러나 어떤 경우에는 특정 값이 다른 특정 값보다 더 높거나 낮은 수준의 믿음을 갖는다고 알려져 있을 수 있다.이 경우 값에 대한 믿음 정도에 따라 적절한 가능성 분포를 구성할 수 있다.

외부 배전(r_external)과 RFV의 구성

무작위 및 내부 가능성 분포를 모델링한 후, RFV의 외부 멤버십 함수_external r는 다음 방정식을 사용하여 구성할 수 있다.^[15]

${\displaystyle r_{\textit{x}}=\super_{x^{\premy }[r_{\textom}}(x-x^{}+x^{*}), r_{\textit {nal}(x^{\premyme}})]}}$

여기서 $∗{\$는 r ${\displaystyle {\mathit{\text{랜덤}}}_{}}$ ${\$의 모드인데$,$ $r{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle a_{}}$ n ${\displaystyle d_{}}$ ${\displaystyle o_{}}$ ${\displaystyle m_{}}$ ${\$의 멤버십 함수의 피크가 되고$$, T는_min 최소 삼각 규격이 된다.^[16]

RFV는 또한 두 가지 가능성 분포(PD)의 α-컷을 고려하여 내부 및 랜덤 분포로부터 구축될 수 있다.

퍼지 변수 F의 α-컷은 다음과 같이 정의할 수 있다.

${\displaystyle F_{\alpha }=\{a\,\vert \,\mu_{{F}(a)\geq \alpha \}\qquad {\where}\qquad 0\leq \leq \lapa \leq1}$

따라서 본질적으로 α-컷은 퍼지 변수의$$ 멤버십 함수 ${\displaystyle {\mu F}_{}}$(${\displaystyle }$) ${\displaystyle \mu _{\rm {F}(a)}$이(가) α보다 큰 값의 집합이다.따라서 이 값은 각 α-컷에 대한 퍼지 변수 F의 상한과 하한을 제공한다.

한 RFV의 α-cut, 하지만, RFVα x[X는 α, Xbα, Xcα, Xdα]{\displaystyle RFV^{\alpha}[X_{}^{\alpha},X_{b}^{\alpha},X_{c}^{\alpha},X_{d}^{\alpha}]}.[11]X는α{\displaystyle X_{}^{\alpha} 주어진다}및 Xdα{\displaystyle X_{d}^{\alph을 4개의 구체적인 경계가.는}}$$ 자체 퍼지 변수인 외부 멤버십 함수(r_external)의 하한 및 상한이다.${\displaystyle X_{}^{}}$ ${\displaystyle b_{}^{}}$ ${\displaystyle {}_{}^{}}$ ${\$과(와) $X{\displaystyle {}_{}^{}}$ ${\displaystyle c_{}^{}}$ ${\displaystyle {}_{}^{}}$ ${\displaystyle X_{c$}^{\$alpha$}}}}은 자체$$ 퍼지 변수인 내부 멤버쉽 함수(r_internal)의 하한 및 상한이다.

RFV를 구축하기 위해 두 PD의 α-컷, 즉 α의 동일한 값에 대한 r과_random r을_internal 고려해보자.이로써 두 α-컷에 대한 하한과 상한이 주어진다.$[{\displaystyle {}_{}^{}}$ ${\displaystyle L_{}^{}}$ ${\displaystyle R_{}^{}}$ ${\displaystyle {}_{}^{}}$, ${\displaystyle {}_{}^{}}$ ${\displaystyle U_{}^{}}$ ${\displaystyle R_{}^{}}$ ${\displaystyle {}_{}^{}}$ ${\displaystyle {}_{}^{}}$ ${\displaystyle [X_{]$가 되도록 한다.$LR}^{\alpha },X_{$$UR}^{\alpha }}$ 및${\displaystyle }$[X$$ ${\displaystyle L_{}^{}}$ ${\displaystyle I_{}^{}}$ ${\displaystyle {}_{}^{}}$,${\displaystyle {}_{}^{}{}_{}^{}}$ ${\displaystyle U_{}^{}}$ ${\displaystyle I_{}^{}}$ ${\displaystyle {}_{}^{}}$ ${\displaystyle {}_{}^{}}$ ${\displaystyle [X_{]$$LI}^{\alpha },X_{$$UI}^{\alpha }}$ 랜덤 분포와 내부 분포 각각$$.${\displaystyle [X_{$$LR}^{\alpha },X_{$$UR}^{\alpha }}}$은(는) 다시 두 개의 하위 절편${\displaystyle }$[${\displaystyle {}_{}^{}}$ L ${\displaystyle R_{}^{}}$ ${\displaystyle {}_{}^{}}$, ${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {\ast }^{}}$ ${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle [X_{]$로 나눌 수 있다$$.$LR}^{\alpha },x^{*}}$ 및 [${\displaystyle {}^{}}$ ∗${\displaystyle {}^{}}$, ${\displaystyle {}_{}^{}}$ ${\displaystyle U_{}^{}}$ ${\displaystyle R_{}^{}}$ ${\displaystyle {}_{}^{}}$ ${\displaystyle {}_{}^{}}$ ${\displaystyle [x^{*},X_{{}]$$UR}^{\alpha }}.$ 여기서$$ $x{\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {\ast }^{}}$ ${\$은(는) 퍼지 변수의 모드다.Then, the α-cut for the RFV for the same value of α, ${\displaystyle RFV^{\alpha }=[X_{a}^{\alpha },X_{b}^{\alpha },X_{c}^{\alpha },X_{d}^{\alpha }]}$ can be defined by ^[11]

${\displaystyle X_{a}^{\\알파 }=X_{LI}^{\alpha }-(x^{*}-X_{)LR}^{\alpha }}}$ ${\displaystyle X_{b}^{\\alpha }=X_{{LI}^{\알파}}}$ ${\displaystyle X_{c}^{\\알파 }=X_{UI}^{\알파}}}$ ${\displaystyle X_{d}^{\\alpha }=X_{{UI}^{\alpha }-(X_{)UR}^{\alpha }-x^{*}}}$

위의 방정식을 사용하여 α-컷은 RFV의 최종 그림을 제공하는 α의 모든 값에 대해 계산된다.

Random-Fuz지 변수는 신뢰 수준이 1-α에 불과하기 때문에 모든 신뢰 수준에 대해 α-컷의 총 불확실성에 대한 무작위적이고 체계적인 기여도를 완전히 파악할 수 있다.^[17][18]

무작위 PD와 내부 PD의 해당 외부 멤버십 함수(r_external)와 RFV를 구성하는 예는 다음 그림에서 확인할 수 있다.

참고 항목

• 퍼지 집합
• T-노멀
• 유형 2 퍼지 세트 및 시스템
• 관측오류
• 뎀스터-샤퍼 이론
• 가능성 이론
• 확률론
• 확률분포

참조