동종 이전의 벡터 공간

수학에서, 동종 전 벡터 공간(PVS)은 G가 V에서 개방된 밀도 궤도를 가질 수 있도록 일반 선형 그룹 GL(V)의 부분군 G와 함께 유한 차원 벡터 공간 V이다.동종 이전의 벡터 공간은 1970년 미키오 사토에 의해 도입되었으며, 표현 이론뿐만 아니라 기하학, 수 이론, 분석에도 응용이 많다.불가해한 PVS는 1977년 사토와 기무라 다쓰오에 의해 "캐슬링"이라고 알려진 변형에 이르기까지 분류되었다.그들은 G의 반이행 부분이 동종전립적으로 작용하는지 여부에 따라 두 가지 유형으로 세분된다.만약 그렇지 않다면, V에는 G의 반 구현 부분 하에서는 불변인 동종 다항식이 있다.

설정

사토 설정에서 G는 대수군, V는 자리스키 위상에 (비어 있지 않은) 열린 궤도를 가진 G를 합리적으로 표현한 것이다.그러나 PVS는 Lie 이론의 관점에서도 연구될 수 있다. 예를 들어 Knapp(2002년)에서 G는 복잡한 Lie 그룹이고 V는 개방된 밀도 궤도를 가진 G의 홀로모픽 표현이다.두 접근법은 본질적으로 동일하며, 이론은 실수에 대해 타당성을 갖는다.우리는 표기법의 단순성을 위해 V에 대한 G의 작용이 충실한 표현이라고 가정한다.G를 커버 그룹으로 하는 것이 때로는 편리하지만, 실제로는 G를 GL(V)의 이미지로 식별할 수 있다.

비록 동종 이전의 벡터 공간이 반드시 불분명한 물질의 직접적인 합으로 분해되는 것은 아니지만, 불분명한 PVS(즉, V가 G의 불분명한 표현일 때)를 연구하는 것은 당연하다.이 경우, 일리 카탄의 정리는 다음과 같은 것을 보여준다.

G ≤ GL(V)

최대 1차원 중심에 있는 환원 그룹이다.이는 명백한 치수 제한과 함께

어둑어둑한 G ≥ 어둑한 V,

사토-기무라 분류의 핵심 성분이다.

캐슬링

PVS의 분류는 다음의 사실에 의해 복잡하다.m > n > 0과 V가 필드 F에 걸쳐 G를 m-차원적으로 나타낸다고 가정하자.다음:

(G\times SL(n),V\otimes \mathbb {F} ^{n})

is a PVS if and only if

{\displaystyle (G\times SL(m-n),

V^{*}\otimes \mathb {F}^{m-n}}}

은

(G\times SL(m-n), V^*\otimes \mathbb F^{m-n})

(는) PVS이다.

증명서는 두 조건 모두 V의 n-플레인의 Greasmanian에 G의 작용의 개방된 밀도 궤도가 존재하는 것과 동등하다는 것을 관찰하는 것이다. 왜냐하면 이것은 V의^* (m-n)플레인의 Greasmanian과 이형성이기 때문이다.

(G가 환원되는 경우, 쌍(G,V)은 G의 자동형성에 의해 쌍(G, V^*)과 동일하다.)

PVS의 이러한 변환을 캐슬링이라고 한다.PVS V가 주어진 경우, 새로운 PVS는 V를 F로 텐서링하고 캐슬링을 통해 얻을 수 있다.이 과정을 반복하고, 텐서 제품을 재조립함으로써, 많은 새로운 예를 얻을 수 있는데, 그것은 "캐슬링 등가"라고 한다.따라서 PVS는 캐슬링 동등성 등급으로 분류될 수 있다.사토와 기무라는 그러한 등급마다 본질적으로 최소 치수의 PVS가 하나 있다는 것을 보여주는데, 이를 "축소"라고 하며, 감소된 불가침 PVS를 분류한다.

분류

돌이킬 수 없는 감소된 PVS(G,V)의 분류는 G가 반 구현되는 경우와 1차원 중심에서 환원되는 경우의 두 가지 경우로 나뉜다.G가 반시 구현되면 SL(V)의 하위 그룹이 되며, 따라서 G×GL(1)은 1차원 중심에서 V에 사전동질적으로 작용한다.우리는 1차원 중심을 가진 PVS에서 이러한 사소한 Semisimple PVS 확장은 제외한다.즉, G가 1차원 중심을 갖는 경우, 반실행 부분은 전유래적으로 작용하지 않는다고 가정한다; 그것은 G의 반실행 부분 아래에 상대적 불변성, 즉 일정 d의 동질인 함수 불변성이 있다는 것을 따른다.

이를 통해 반이행 G ( SL(V)에 대한 주의를 제한하고 다음과 같이 분류를 할 수 있다.

(G,V)는 PVS이다.
(G,V)는 PVS가 아니라 (G×GL(1),V)이다.

다만 GL(1)이 있는 제품뿐 아니라 SL(n)과 GL(n)까지 허용하면 분류가 훨씬 짧은 것으로 나타났다.이것은 앞에서 논의한 주물변혁의 측면에서 상당히 자연스러운 것이다.따라서 우리는 다음 중 하나에 해당하는 Semisimple G ≤ SL(V) 및 n ≥ 1의 관점에서 수정할 수 없는 감소된 PVS를 분류하고자 한다.

$(G\times SL(n),V\otimes \mathbb {F} ^{n})$ $(G\times SL(n),V\otimes \mathbb {F} ^{n})$ $(G\times SL(n),V\otimes \mathbb {F} ^{n})$ $(G\times SL(n),V\otimes \mathbb {F} ^{n})$ L $(G\times SL(n),V\otimes \mathbb {F} ^{n})$ ( $(G\times SL(n),V\otimes \mathbb {F} ^{n})$ ) $(G\times SL(n),V\otimes \mathbb {F} ^{n})$ , $(G\times SL(n),V\otimes \mathbb {F} ^{n})$ $(G\times SL(n),V\otimes \mathbb {F} ^{n})$ $(G\times SL(n),V\otimes \mathbb {F} ^{n})$ n $(G\times SL(n),V\otimes \mathbb {F} ^{n})$ ) ${\displaystyle (G\times SL(n), V\otimes \mathb {F} ^n}})$ 은 $(G\times SL(n),V\otimes \mathbb F^n)$ PVS이다.
$(G\times SL(n),V\otimes \mathbb {F} ^{n})$ is not a PVS, but $(G\times GL(n),V\otimes \mathbb {F} ^{n})$ is.

후자의 경우 G×GL(n) 궤도를 G×SL(n) 궤도로 구분하는 동종 다항식이 있다.

이는 V(적어도 n 딤 V)에 있는_n n-플레인의 그래스만 Gr(V) 관점에서 해석된다.두 경우 모두 G는 밀도가 높은 개방형 궤도를 가진 Gr_n(V)에 작용한다. 첫 번째 경우, 보완_n Gr(V)-U는 코드인 has 2를 가지고 있다. 두 번째 경우 어느 정도 d의 부차이며, 상대 불변성은 동질의 다항식이다.

다음에 분류목록은 복잡한 숫자에 걸쳐 제시될 것이다.

일반적인 예

G	V	유형 1	유형 2	유형 2 동위원소 그룹	정도
$G\subseteq SL(m,\mathb {C})$	$\mathb{C} ^{m}$	n ≥ m+1	n = m	$(\displaystyle G}$	m
$SL(m,\mathb {C} )$	$\mathb{C} ^{m}$	m-1 ≥ n ≥ 1^*
$SL(m,\mathb {C} )$	$\Lambda ^{2}\mathb {C} ^{m}}$	m 홀수, n = 1,2	m 짝수, n = 1	$Sp(m,\mathb {C} )$	m/2
$SL(m,\mathb {C} )$	$S^{2}\mathb {C}^{m}$		n = 1	$SO(m,\mathb {C} )$	m
$SO(m,\mathb {C} )$	$\mathb{C} ^{m}$		m-1 ≥ n ≥ 1^*	$SO(n,\mathb {C} )\time SO(m-n,\mathb {C})$	2
$Sp(2m,\mathb {C} )$	$\mathb{C} ^{2m}$	2m-1 ≥ n ≥ 1^*, n 홀수	2m-1 ≥ n ≥ 1^*, 짝수	$Sp(n,\mathb {C} )\time Sp(2m-n,\mathb {C})$	1

^* 엄밀히 말하면, 우리는 축소된 예를 얻기 위해 n ≤ (dim V)/2로 제한해야 한다.

불규칙적인 예

유형 1

Spin(10,\mathb {C} )\quad \mathrm {on} \quad \mathb {C} ^{16}}

유형 2

Sp(2m,\mathb {C} )\time SO(3,\mathb {C}\quad \mathrm {on} \quad \mathb {C} ^{2m}\otimes \mathb {C} ^{3}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}\mathb {mathb {mathb {mathb ^3}}}}}}}}}

이 두 가지 예는 모두 n=1에 대해서만 PVS이다.

나머지 예시

나머지 예시는 모두 2타입이다.유한군 출현에 대한 논의를 피하기 위해 리스트는 동위원소군 자체보다는 동위원소군 Lie 대수학을 제시한다.

G	V	n	동위원소 대수	정도
$SL(2,\mathb {C} )$	$S^{3}\mathb {C}^{2}$	1	0	4
$SL(6,\mathb {C} )$	$\Lambda ^{3}\mathb {C} ^{6}$	1	${\mathfrak {sl}(3,\mathb {C})\time {\mathfrak {sl}(3,\mathb {C} )$	4
$SL(7,\mathb {C} )$	$\Lambda ^{3}\mathb {C} ^{7}$	1	${\mathfrak{g}_{2}^{\mathb {C}}}}}$	7
$SL(8,\mathb {C} )$	$\Lambda ^{3}\mathb {C} ^{8}$	1	${\mathfrak{sl}(3,\mathb {C} )$	16
$SL(3,\mathb {C} )$	$S^{2}\mathb {C}^{3}$	2	0	6
$SL(5,\mathb {C} )$	$\Lambda ^{2}\mathb {C} ^{3}}$	3,4	${\mathfrak {sl}(2,\mathb {C}),0$	5,10
$SL(6,\mathb {C} )$	$\Lambda ^{2}\mathb {C} ^{3}}$	2	${\mathfrak {sl}(2,\mathb {C})\time {\mathfrak {sl}(2,\mathb {C})\time {\mathfrak {sl}(2,\mathb {C} )$	6
$SL(3,\mathb {C} )\time SL(3,\mathb {C})$	$\mathb {C} ^{3}\otimes \mathb {C} ^{3}}}$	2	${\mathfak {gl}(1,\mathb {C})\time {\mathfak {gl}(1,\mathb {C} )$	6
$Sp(6,\mathb {C} )$	$\Lambda _{0}^{3}\mathb {C}^{6}}$	1	${\mathfrak{sl}(3,\mathb {C} )$	4
$Spin(7,\mathb {C} )$	$\mathb{C} ^{8}$	1,2,3	${\mathfrak {g}}_{2}^{\mathbb {C} },{\mathfrak {sl}}(3,\mathbb {C} )\times {\mathfrak {so}}(2,\mathbb {C} ),{\mathfrak {sl}}(2,\mathbb {C} )\times {\mathfrak {so}}(3,\mathbb {C} )$	2,2,2
$Spin(9,\mathb {C} )$	$\mathb{C} ^{16}$	1	${\mathfrak {spin}(7,\mathb {C} )$	2
$Spin(10,\mathb {C} )$	$\mathb{C} ^{16}$	2,3	${\mathfrak{g}_{2}^{\mathb {C}}}\time {\mathfrak {sl}(2,\mathb {C}), {\mathfrak {sl}(2,\mathb {C})\time {so}}$	2,4
$Spin(11,\mathb {C} )$	$\mathb{C} ^{32}$	1	${\mathfrak {sl}(5,\mathb {C} )$	4
$Spin(12,\mathb {C} )$	$\mathb{C} ^{32}$	1	${\mathfrak{sl}(6,\mathb {C} )$	4
$Spin(14,\mathb {C} )$	$\mathb{C} ^{64}$	1	${\mathfrak{g}_{2}^{\mathb {C}}\time {\mathfrak {g}_{2}^{\mathb{C}}}}}}}}}}$	8
$G_{2}^{\mathb {C}}}}}$	$\mathb{C} ^{7}$	1,2	${\mathfrak {sl}(3,\mathb {C}),{\mathfrak {gl}(2,\mathb {C} )$	2,2
$E_{6}^{\mathb {C}}}}}$	$\mathb{C} ^{27}$	1,2	${\mathfak{f}_{4}^{\mathb {C}},{\mathfak {so}}(8,\mathb {C} )$	3,6
$E_{7}^{\mathb{C}}}}}$	$\mathb{C} ^{56}$	1	${\mathfak{e}_{6}^{\mathb {C}}}}}$	4

여기서 $\Lambda _{0}^{3}\mathbb {C} ^{6}\cong \mathbb {C} ^{14}$ $\Lambda _{0}^{3}\mathbb {C} ^{6}\cong \mathbb {C} ^{14}$ $\Lambda _{0}^{3}\mathbb {C} ^{6}\cong \mathbb {C} ^{14}$ $\Lambda _{0}^{3}\mathbb {C} ^{6}\cong \mathbb {C} ^{14}$ $\Lambda _{0}^{3}\mathbb {C} ^{6}\cong \mathbb {C} ^{14}$ $\Lambda _{0}^{3}\mathbb {C} ^{6}\cong \mathbb {C} ^{14}$ C $\Lambda _{0}^{3}\mathbb {C} ^{6}\cong \mathbb {C} ^{14}$ ${\$ 은 주어진 동일선 형태로 수축하는 3-형식의 공간을 나타낸다 $\Lambda _{0}^{3}\mathbb {C} ^{6}\cong \mathbb {C} ^{14}$ .

교정쇄

사토와 기무라씨는 G가 환원성이라는 사실과 치수 제한을 이용하여 가능한 불가해성 전균(G,V)의 리스트를 제작하여 이러한 분류를 확립한다.그런 다음 이 목록의 각 구성원이 동종 전인지 여부를 확인한다.

그러나 일반화된 국기 품종의 동위원소 표현에 있어 분류에 있는 대부분의 쌍(G,V)이 동위원소 동위원소가 동종 전균성인 이유는 일반화된 국기 품종의 동위원소 표현이다.실제로 1974년 리처드슨은 H가 포물선 부분군 P를 가진 반실행형 Lie 그룹이라면, 그 Lie 대수학의 ${\mathfrak {p}}^{\perp }$ nilradical $⊥{\$ 에 대한 P의 작용은 밀도 높은 개방 궤도를 가지고 있다는 것을 관찰했다.This shows in particular (and was noted independently by Vinberg in 1975) that the Levi factor G of P acts prehomogeneously on $V:={\mathfrak {p}}^{\perp }/[{\mathfrak {p}}^{\perp },{\mathfrak {p}}^{\perp }]$ . Almost all of the examples in the classification can be obtained by 단순 Lie 그룹의 최대 포물선 부분군인 P와 함께 이 구조를 적용: 이것들은 하나의 구별된 노드와 연결된 Dynkin 다이어그램에 의해 분류된다.

적용들

PVS가 흥미로운 한 가지 이유는 G-invariant 상황에서 발생하는 일반 개체를 분류하기 때문이다.예를 들어 G=GL(7)이라면 위의 표는 G의 작용하에 일반적인 3형식이 있음을 보여주고, 그러한 3형식의 스태빌라이저는 예외적인 Lie 그룹 G에₂ 이형성이 있다.

또 다른 예는 입방체 상대 불변성을 가진 동종 이전의 벡터 공간과 관련된 것이다.사토-기무라 분류에 의하면, 그러한 예는 기본적으로 4가지로 되어 있으며, 모두 더 큰 그룹 H에 대한 은둔자 대칭 공간의 복잡한 동위원소 표현에서 비롯된다(즉, G는 점의 안정화 부분의 반이행 부분이고, V는 그에 상응하는 접선 표현이다).

각 경우에 V의 일반 지점은 요르단 대수 3 x 3의 복잡화(각각 분할 알헤브라스 R, C, H, O)로 식별하고 입방 상대 불변량은 적절한 결정 인자로 식별한다.그러한 일반점의 동위원소 대수, G의 리 대수, H의 리 대수 등은 프로이트헨탈 마법 사각형의 처음 세 행의 복잡성을 제시한다.

H	G	V	동위원소 대수	요르단 대수
$\mathrm {Sp}(6,\mathb {C} )$	$\mathrm {SL}(3,\mathb {C} )$	$S^{2}\mathb {C}^{3}$	${\mathfrak {so}(3,\mathb {C} )$	$J_{3}(\mathb {R} )$
$\mathrm {SL}(6,\mathb {C} )$	$\mathrm {SL}(3,\mathb {C})\time SL(3,\mathb {C})$	$\mathb {C} ^{3}\otimes \mathb {C} ^{3}}}$	${\mathfrak{sl}(3,\mathb {C} )$	$J_{3}(\mathb {C} )$
$\mathrm {SO}(12,\mathb {C})$	$\mathrm {SL}(6,\mathb {C} )$	$\Lambda ^{2}\mathb {C} ^{6}}$	${\mathfrak {sp}(6,\mathb {C} )$	$J_{3}(\mathb {H} )$
$E_{7}^{\mathb{C}}}}}$	$E_{6}^{\mathb {C}}}}}$	$\mathb{C} ^{27}$	${\mathfak{f}_{4}^{\mathb {C}}}}}$	$J_{3}(\mathb {O} )$

다른 에르미트 대칭 공간은 요르단 알헤브라를 유사한 방식으로 정의한, 동종 이전의 벡터 공간을 산출한다.

H	G	V	동위원소 대수	요르단 대수
$\mathrm {Sp}(2n,\mathb {C})$	$\mathrm {SL}(n,\mathb {C} )$	$S^{2}\mathb {C}^{n}$	${\mathfrak {so}(n,\mathb {C} )$	$J_{n}(\mathb {R} )$
$\mathrm {SL}(2n,\mathb {C})$	$\mathrm {SL}(n,\mathb {C})\times \mathrm {SL}(n,\mathb {C} )$	$\mathb {C} ^{n}\otimes \mathb {C} ^{n}}$	${\mathfrak{sl}(n,\mathb {C} )$	$J_{n}(\mathb {C} )$
$\mathrm {SO}(4n,\mathb {C})$	$\mathrm {SL}(2n,\mathb {C})$	$\Lambda ^{2}\mathb {C} ^{2n}$	${\mathfrak {sp}(2n,\mathb {C})$	$J_{n}(\mathbb {H} )$
$\mathrm {SO}(m+2,\mathb {C})$	$\mathrm {SO}(m,\mathb {C} )$	$\mathb{C} ^{m}$	${\mathfrak {so}(m-1,\mathb {C})$	$J(m-1)$

마지막 행의 요르단 대수 J(m-1)는 스핀 계수(벡터 공간 R^m−1 ⊕ R)이며^m−1, R의 내측 제품을 사용하여 정의된 요르단 대수 구조로 되어 있다.It reduces to $J_{2}(\mathbb {R} ),J_{2}(\mathbb {C} ),J_{2}(\mathbb {H} ),J_{2}(\mathbb {O} )$ for m= 3, 4, 6 and 10 respectively.

은둔자의 대칭 공간과 요르단 알헤브라의 관계는 요르단 트리플 시스템을 사용하여 설명할 수 있다.

참조

Kimura, Tatsuo (2003), Introduction to prehomogeneous vector spaces, Translations of Mathematical Monographs, vol. 215, Providence, R.I.: American Mathematical Society, ISBN 978-0-8218-2767-3, MR 1944442
Knapp, Anthony (2002), Lie Groups Beyond an Introduction, Progress in Mathematics, vol. 140 (2nd ed.), Boston, MA: Birkhäuser Boston, Inc., ISBN 0-8176-4259-5, MR 1920389 X장을 참조하십시오.
Sato, Mikio; Kimura, Tatsuo (1977), "A classification of irreducible prehomogeneous vector spaces and their relative invariants", Nagoya Mathematical Journal, 65: 1–155, doi:10.1017/s0027763000017633, MR 0430336
Richardson, Roger Wolcott, Jr. (1974), "Conjugacy Classes in Parabolic Subgroups of Semisimple Algebraic Groups", Bull. London Math. Soc., 6: 21–24, doi:10.1112/blms/6.1.21, MR 0330311
Sato, Mikio (1990), "Theory of prehomogeneous vector spaces (algebraic part) — the English translation of Sato's lecture from Shintani's note", Nagoya Mathematical Journal, 120: 1–34, doi:10.1017/S0027763000003214, ISSN 0027-7630, MR 1086566
Sato, Mikio; Shintani, Takuro (1972), "On zeta functions associated with prehomogeneous vector spaces", Proceedings of the National Academy of Sciences of the United States of America, 69 (5): 1081–1082, Bibcode:1972PNAS...69.1081S, doi:10.1073/pnas.69.5.1081, ISSN 0027-8424, JSTOR 61638, MR 0296079, PMC 426633, PMID 16591979
Sato, Mikio; Shintani, Takuro (1974), "On zeta functions associated with prehomogeneous vector spaces", Annals of Mathematics, Second Series, 100 (1): 131–170, doi:10.2307/1970844, ISSN 0003-486X, JSTOR 1970844, MR 0344230
Vinberg, Ernest (1975), "The classification of nilpotent elements of graded Lie algebras", Soviet Math. Dokl., 16 (6): 1517–1520, MR 0506488

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