화이트헤드의 포인트 프리 기하학

수학에서 점 없는 기하학은 원시적인 존재론적 개념이 점보다는 영역인 기하학이다. 아래에 제시된 두 개의 자명체계는 한 가지는 단순한 이론에 근거하고 다른 하나는 단순한 이론에 근거하고 있으며 다른 하나는 연결 이론으로 알려져 있다. 점은 공간이나 물체를 표시할 수 있다.

동기

점 없는 기하학은 기하학이나 스페이스타임의 이론이 아니라 "이벤트"와 사건들 사이의 "확장 관계"의 이론으로 화이트헤드(1919, 1920년)에서 처음 공식화되었다. 화이트헤드의 목적은 과학적이고 수학적인 것만큼이나 철학적이었다.^[1]

화이트헤드는 오늘날의 격식을 만족시킬 수 있는 방식으로 자신의 이론을 제시하지 않았다. 이 항목에서 설명한 두 가지 공식적인 1차 이론은 화이트헤드의 이론을 구체화하고 다듬기 위해 다른 사람들이 고안한 것이다. 두 이론의 담론의 영역은 "지역"으로 구성되어 있다. 이 항목에서 정량화되지 않은 모든 변수는 암묵적으로 보편적으로 정량화되어야 하며, 따라서 모든 공리는 보편적 폐쇄로 간주되어야 한다. 세 개 이상의 정량화된 변수를 필요로 하는 공리는 없다. 따라서 1차 이론을 관계 대수학으로 변환할 수 있다. 각 공리에는 4개의 실존적 정량자가 있을 뿐이다.

포함 기반 점 없는 지오메트리(미어학

G1에서 G7까지의 공리는 있지만 번호를 매기기 위해서는 Gerla와 Miranda(2008)의 Def. 2.1의 공리는 Gerla(1995)를 참조한다. 각 공리의 구두 설명에 포함된 WPn 형식의 식별자는 시몬스의 해당 공리를 참조한다(1987: 83).

근본적인 원시적 이항관계는 infix "≤"로 나타내는 포함인데, 이는 단순한 이론의 표준적 특징인 이항성직 관계에 해당한다. x ≤ y의 직관적 의미는 "x는 y의 일부"이다. infix "="로 표시된 평등이 배경 논리의 일부라고 가정할 때 infix "<"로 표시된 2진 관계 적절한 부분은 다음과 같이 정의된다.

$(x\displaystyle x(x\leq y\land x\not=y)}$

공리는 다음과 같다.

• 포함은 부분적으로 도메인을 주문한다.

G1. $x{\displaystyle }$ ${\displaystyle \le }$ ${\displaystyle x}$. ${\displaystyle$ x$\leq$ x$.}($반복)

G2.${\displaystyle }$( ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle \le }$ z ${\displaystyle \wedge }$ ${\displaystyle z}$ ${\displaystyle \le }$ y${\displaystyle }$)${\displaystyle }$→ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle \le }$ y${\displaystyle }$. ${\displaystyle (x\leq z\land z\leq y)\rightarrow x\leq y.}$ $$(transitive) WP4.

G3.${\displaystyle }$( ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle \le }$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle \le }$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle \le }$ x${\displaystyle }$)${\displaystyle }$→ ${\displaystyle x}$= ${\displaystyle y}$. ${\displaystyle (x\leq y\land y\leq x)\오른쪽$ 화살표 $x=y.}($대칭)

• 어느 두 지역이라도 주어지면 두 지역을 모두 포함하는 지역이 존재한다. WP6.

G4. $\displaystyle \cHB z[x\leq z\land y\leq z]}$

• 적절한 부분은 도메인을 빽빽하게 주문한다. WP5.

G5 $\displaystyle x \y\rightarrow z[x].}$

• 원자지역과 보편지역 모두 존재하지 않는다. 따라서 도메인은 상한도 하한도 없다. WP2.

G6 $\displaystyle \whoes y\board z[y][y]x\land x.}$

• 적절한 부품 원리. x의 모든 적절한 부분이 y의 적절한 부분이라면 x는 y. WP3에 포함된다.

G7 $\displaystyle \forall z[z<x\오른쪽 화살표 z]\오른쪽 화살표 x\leq y.}$

G1–G7 모델은 포함 공간이다.

정의(Gerla and Miranda 2008: Def. 4.1). 일부 포함 공간 S를 고려할 때 추상적 클래스는 S\G가 포함에 의해 완전히 정렬되는 지역의 G등급이다. 더욱이 G에 포함된 모든 지역에 포함된 지역은 존재하지 않는다.

직관적으로 추상적 클래스는 차원성이 포함 공간보다 작은 기하학적 실체를 정의한다. 예를 들어, 포함 공간이 유클리드 평면인 경우 해당 추상적 클래스는 점과 선이다.

포함 기반 점 없는 기하학(Henceforth "점 없는 기하학")은 본질적으로 시몬스의 (1987:83) 시스템 W의 공리화다. 결국 W는 공리가 명시되지 않은 화이트헤드(1919년)에 이론을 공식화한다. 점 없는 형상은 W이며 이 결함을 수리하였다. 시몬스(1987)는 이 결함을 수리하지 않고 대신 각주로 독자가 연습 삼아 그렇게 할 것을 제안했다. W의 원시적 관계는 엄격한 부분 순서인 적절한 부분이다. Whitehead 이론^[2](1919)은 xKy £ y < x로 정의된 단일 원시적 이항 관계 K를 가지고 있다. 따라서 K는 적절한 부분의 역이다. Simons의 WP1은 적절한 부품이 불변성이므로 G1에 해당한다고 주장한다. G3는 적절한 부분과 달리 포함이 대칭성이라는 것을 확립한다.

Point-free geometry is closely related to a dense linear order D, whose axioms are G1-3, G5, and the totality axiom ${\displaystyle x\leq y\lor y\leq x.}$^[3] Hence inclusion-based point-free geometry would be a proper extension of D (namely D ∪ {G4, G6, G7}), were it not that the D relation "≤" is a total order.

연결 이론(미어학)

화이트헤드(1929년)에서는 De Laguna(1922년)에서 영감을 얻은 다른 접근법이 제안되었다. 화이트헤드는 두 지역 사이의 "접촉"이라는 위상학적 개념을 원시적인 것으로 받아들였고, 그 결과 사건들 사이의 원시적인 "연결 관계"가 생겨났다. 연결 이론 C는 프로세스와 현실의 제4부 2장에 있는 31개 가정 중 처음 12개를 6개의 공리인 C1-C6으로 확대한 1차 이론이다. C는 클라크(1981년)에서 제안된 이론의 적절한 조각으로, 그 이론들의 단순한 성격에 주목하였다. C와 마찬가지로 포함성과 위상학적 원시성 모두를 특징으로 하는 이론들을 단순한 원론이라고 부른다.

C는 접두사 술어 문자 C로 표시된 하나의 원시적 관계인 이진 "연결"을 가지고 있다. 그 x가 y에 포함된 것은 이제 x x y £[Czx→Czy]로 정의할 수 있다. 포함 공간이 있는 경우와 달리, 연결 이론은 추상적 계층을 구성할 수 있는 총 순서인 ^[4]"비 접전적" 포함을 정의할 수 있다. Gerla와 Miranda(2008)는 따라서만 단순한 이론이 모호하지 않게 한 점을 정의할 수 있다고 주장한다.

아래의 공리 C1-C6은 Gerla와 Miranda(2008)의 공리 3.1이다.

• C는 반사적이다. C.1.

C1. $\displaystyle \ Cxx.}$

• C는 대칭이다. C.2.

C2. $Cxy\오른쪽 화살표 Cyx.}$

• C는 확장적이다. C.11.

C3. $\displaystyle \forall z[Czx\왼쪽 화살표 Czy]\오른쪽 화살표 x=y.}$

• 모든 지역이 적절한 부분을 가지고 있기 때문에 C는 무원자 이론이다. 페이지 9.

C4 $\displaystyle \does y[y].}$

• 어느 두 지역이라도 주어진다면 두 지역 모두 연결된 지역이 있다.

C5 $\displaystyle \exists z[Czx\land Czy].}$

• 모든 지역에는 적어도 두 개의 연결되지 않은 부품이 있다. C.14.

C6 $\displaystyle \exists y\exists z[(y\leq x)\land (z\leq x)\land \neg Cyz].}$

C의 모델은 연결 공간이다.

각 공리의 언어적 설명에 따라 카사티와 바르지(1999년)에서 해당 공리의 식별자가 나타난다. 그들의 시스템 SMT(강력한 단순복사학)는 C1-C3로 구성되며, 본질적으로 Clarke(1981년)에 기인한다.^[5] 어떤 단순한 생물학이라도 역설이나 사소한 위험을 무릅쓰지 않고 C4를 호출하여 무원자 상태로 만들 수 있다. 따라서 C는 프로세스와 현실의 제4장 제2장에서 제시한 공리 C5와 C6을 이용하여 SMT의 무원자 변형을 확장한다. C와 관련된 시스템에 대한 고급적이고 자세한 설명은 Rooper(1997년)를 참조하십시오.

비아치노와 게를라(1991)는 클라크 이론의 모든 모델이 부울 대수라는 것을 보여주었고, 그러한 알헤브라의 모델들은 연결과 중복을 구별할 수 없다. 어느 한 사실이든 화이트헤드의 의도에 충실한 것은 아닌지 의심스럽다.

참고 항목

• 병리학
• 미생물학
• 무의미한 위상

메모들

참조

• Biacino L, 그리고 Gerla G, 1991년, "Connection Structures," 노틀담 저널 오브 포멀 로직 32: 242-47.
• Casati, R, Varzi, A. C., 1999. 부분과 장소: 공간적 표현의 구조. MIT 프레스
• 1981년, Clarke, Bowman, "연결'에 근거한 개인의 미적분", 노틀담 저널의 형식논리 22: 204-18.
• -----, 1985년, "개별과 점", 노틀담 공식논리 26장 61-75절.
• De Laguna, T, 1922년 "고형물 집합으로서의 점, 선, 표면," The Journal of Physical 19: 449-61.
• Gerla, G, 1995년, Buekenhout, F, Kantor, W. Eds, Handbook of incidential 기하학: 건물과 기초. 노스홀랜드: 1015-31.
• -------- 그리고 2008년 미란다 A, 2008년, 미셸 베버와 윌 데스몬드(eds), 화이트헤드 프로세스 사고 핸드북, 프랑크푸르트 / 랭카스터, 온토스 베라크, 프로세스 사고 X1 & X2의 "백두 점 없는 기하학에서의 결합 및 연결".
• Gruszczzynski R, 2008년 Pietruszczak A, "Tarski의 고체 기하학의 완전한 개발," Symbolic Logic Bulletin 14:481-540. 이 논문은 화이트헤드의 사상과 레스니에프스키의 단순한 이론에 근거한 지오메트리의 포인트가 없는 시스템을 제시한다. 또한 지오메트리의 점 없는 시스템과 점 기반의 시스템 사이의 관계에 대해서도 간략하게 논한다. 단순한 구조물의 기본 특성도 제공된다.
• 그르제고르츠지크, 1960년 "점점 없는 기하학의 축약성," 신디멘스 12:228-235.
• 무릎뼈, G, 1963년 수학논리와 수학의 기초. 도버 재인쇄, 2001.
• 루카스, J. R. 2000년 수학의 개념적 뿌리. 루틀리지. "프로토폴로지"에 관한 10장에서는 화이트헤드의 제도에 대해 논하고 있으며 데이비드 보스토크의 미발표 글에 의해 강한 영향을 받는다.
• 로퍼, P, 1997, "지역 기반 토폴로지", 철학 논리학 저널 26: 251-309.
• 시몬스, P, 1987 Parts: Ontology에 관한 연구 옥스퍼드 유니브 누르다
• A.N. 1916년 화이트헤드, "La Theory Relationiste de l'Espace," Revue de Metashycique et de Pragious 23: 423-454. 1979년 P.J. Hurley로 번역된 "우주 관계 이론" 철학 연구 자료 5: 712-741
• --------, 1919. 자연지식의 원리에 관한 조사. 케임브리지 유니브 1925년 2부 인쇄.
• --------, 1920. 자연의 개념. 케임브리지 유니브 프레스. 2004년 페이퍼백 프로메테우스 북스. 트리니티 대학에서 열린 1919년 타너 강의가 그것이다.
• --------, 1979 (1929). 프로세스와 현실. 출판의 자유