판디각형 마법 광장

대각선 마법의 사각형 또는 범마법의 사각형(diabolic square, diabolical square 또는 diabolical magic square)은 부러진 대각선, 즉 사각형의 가장자리에서 둥글게 감싸는 대각선도 마법의 상수를 더하는 추가적인 성질을 가진 마법의 사각형이다.

대각선 마법 사각형은 회전이나 반사뿐만 아니라 행이나 기둥이 사각형의 한 쪽에서 반대쪽으로 이동해도 범법적으로 마법을 유지한다. 이와 같이, $n{\displaystyle }$ ${\displaystyle \times }$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle n\times n}$ 범대각선$$ 마술 사각형은 ${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {2\mathrm{}}^{}}$ ${\$개의$$ 방향을 갖는 것으로 간주할 수 있다.

3×3 판디각형 마법 광장

순서 3의 비종교 판디각형 마법 사각형이 존재하지 않음을 알 수 있다. 정사각형을 가정해 보자.

${\displaystyle {\put{array}{c c c}\hline \!\!a_{11}\!\!\!&\!a_{12}\!\!\!&\!a_{13}\!\!\\\hline \\\!a_{21}\!\!\!&\!a_{22}\!\!\!&\!a_{23}\!\!\\\hline \\\!a_{31}\!\!\!&\!a_{32}\!\!\!&\!a_{33}\!\!\\\hline \end{array}}$

is pandiagonally magic with magic sum ${\displaystyle s}$. Adding sums ${\displaystyle a_{11}+a_{22}+a_{33},}$ ${\displaystyle a_{12}+a_{22}+a_{32},}$ and ${\displaystyle a_{13}+a_{22}+a_{31}}$ results in ${\displaysty$$le 3s}$. Subtracting ${\displaystyle a_{11}+a_{12}+a_{13}}$ and ${\displaystyle a_{31}+a_{32}+a_{33},}$ we get ${\displaystyle 3a_{22}=s}$. However, if we move the third column in front and perform the same proof, we obtain ${\dis$$Playstyle 3a_{21}=$s$\}.$ 실제로 3×3 마법의 사각형의 대칭을 사용하여 모든 셀은 $1{\displaystyle \frac{\mathrm{}}{}}$ ${\displaystyle 3초}$ ${\displaystyle {\tfrac{1}{3}s}$가 되어야 한다$.$ 그러므로 모든 3×3 판디각형 마법 광장은 사소해야 한다.

그러나, 마법의 사각형 개념이 숫자 대신 기하학적 형상, 즉 리 살로스가 발견한 기하학적 마법의 사각형을 포함하도록 일반화된다면, 3×3 판디각형 마법 사각형이 존재한다.

4×4 판디각형 마법 광장

가장 작은 비대각선 매직 스퀘어는 4×4 정사각형이다. 모든 4×4 판디각형 마법 사각형은 형태와 번역적으로 대칭이어야 한다.

a	a + b + c + e	a + c + d	a + b + d + e
a + b + c + d	a + d + e	a + b	a + c + e
a + b + e	a + c	a + b + c + d + e	a + d
a + c + d + e	a + b + d	a + e	a + b + c

각각의 2×2 하위 제곱은 마법 상수를 합하기 때문에, 4×4 판디각형 마법 사각형은 가장 완벽한 마술 사각형이다. 게다가, 3×3 정사각형의 반대쪽 모서리에 있는 두 개의 숫자는 마법의 총액의 절반까지 더해진다. 따라서 연관성이 있는 모든 4×4 판디각형 마법 사각형에는 중복된 세포가 있어야 한다.

중복이 없는 숫자 1-16을 사용하는 모든 4×4 판디각형 마법 사각형은 1을 동일하게 하고, b, c, d, e를 어떤 순서로 1, 2, 4, 8을 같게 하고, 어느 정도 번역을 적용하여 얻는다. 예를 들어 b = 1, c = 2, d = 4, e = 8을 사용하여 마법의 사각형을 만들 수 있다.

1	12	7	14
8	13	2	11
10	3	16	5
15	6	9	4

중복이 없는 숫자 1-16을 사용하는 4×4 판디각형 마법사각형은 384개(16×24, 여기서 16개는 번역, 24개는 b!, c, d, e!에 1, 2, 4, 8을 할당하는 방법)이다.

5×5 판디각형 마법 광장

5×5 판디각형 마법의 사각형들이 많이 있다. 4×4 판디각형 마법의 사각형과는 달리, 이것들은 연상될 수 있다. 다음은 5×5 연상 판디각형 마법 광장이다.

20	8	21	14	2
11	4	17	10	23
7	25	13	1	19
3	16	9	22	15
24	12	5	18	6

행, 기둥, 대각선 외에 5×5 판디각형 마술 사각형도 4개의 "quincunx" 패턴으로 마술 합을 나타내는데, 위의 예에서 다음과 같다.

17+25+13+1+9 = 65(중앙 + 인접 행 및 열 제곱)

21+7+13+19+5 = 65(중앙 + 나머지 행 및 열 제곱)

4+10+13+16+22 = 65(중앙 + 대각선 인접 사각형)

20+2+13+24+6 = 65(중앙 + 대각선의 나머지 제곱)

이러한 각 Quincunx는 행과 기둥의 주기적인 순열(주위를 감싸는 것)에 의해 광장의 다른 위치로 번역될 수 있는데, 이는 판대각선 마법의 사각형에서는 마법의 총량 평등에 영향을 미치지 않는다. 이것은 부서진 대각선과 유사한 부서진 Quincunxes를 포함하여 100 Quincunx 합계로 이어진다.

Quincunx 합계는 행, 열 및 대각선 합계의 선형 결합을 통해 증명할 수 있다. 대각선 마법의 사각형을 고려하십시오.

${\displaystyle {\property{array}{c c c c}\hline \!\!a_{11}\!\!\!&\!a_{12}\!\!\!&\!a_{13}\!\!\!&\!a_{14}\!\!\!&\!a_{15}\!\!\\\hline \\\!a_{21}\!\!\!&\!a_{22}\!\!\!&\!a_{23}\!\!\!&\!a_{24}\!\!\!&\!a_{25}\!\!\\\hline \\\!a_{31}\!\!\!&\!a_{32}\!\!\!&\!a_{33}\!\!\!&\!a_{34}\!\!\!&\!a_{35}\!\!\\hline \!\!a_{41}\!\!\!&\!a_{42}\!\!\!&\!a_{43}\!\!\!&\!a_{44}\!\!\!&\!a_{45}\!\!\\\hline \\\!a_{51}\!\!\!&\!a_{52}\!\!\!&\!a_{53}\!\!\!&\!a_{54}\!\!\!&\!a_{55}\!\!\\\hline \end{array}}$

마법의 총액 S로 Quincunx 합계가 ${\displaystyle {11}_{}}$+ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {15}_{}}$+ a ${\displaystyle {33}_{}}$+ a ${\displaystyle {51}_{}}$+ ${\displaystyle \mathrm{55}{}_{}}$= s ${\displaystyle a_{11}+a_{15}+a_{33}+a_{51}+$a_{55}+$a_{55}=s}($위의 20+2+13+24+6 = 65 예에 해당)임을 입증하려면 다음을 함께 추가하십시오.

3 times each of the diagonal sums ${\displaystyle a_{11}+a_{22}+a_{33}+a_{44}+a_{55}}$ and ${\displaystyle a_{15}+a_{24}+a_{33}+a_{42}+a_{51}}$,

The diagonal sums ${\displaystyle a_{11}+a_{25}+a_{34}+a_{43}+a_{52}}$, ${\displaystyle a_{12}+a_{23}+a_{34}+a_{45}+a_{51}}$, ${\displaystyle a_{14}+a_{23}+a_{32}+a_{41}+a_{5$$5}$, 그리고 ${\displaystyle {15}_{}}$+ a ${\displaystyle {21}_{}}$+ a ${\displaystyle {32}_{}}$+ ${\displaystyle {43}_{}}$+ ${\displaystyle {54}_{}}$ + 54 ${\$

행의 합은 ${\displaystyle {11}_{}}$+ ${\displaystyle {\mathrm{a}}_{}}$ ${\displaystyle {}_{}{}_{}}$+ a ${\displaystyle {13}_{}}$+ a ${\displaystyle {14}_{}}$+ ${\displaystyle {15}_{}}$ + 15 ${\$ ${\displaystyle {\mathrm{51<img\; alt="\{\backslash displaystyle\; a\_\{11\}+a\_\{12\}+a\_\{13\}+a\_\{14\}+a\_\{15\}\}"\; aria-hidden="true"\; class="mwe-math-fallback-image-inline"\; src="https://wikimedia.org/api/rest\_v1/media/math/render/svg/420db36f309dffb730b44e145105a1f52d42b53f"\; style="vertical-align:\; -0.671ex;\; width:26.892ex;\; height:2.343ex;"\; papago-attr-id="85">}}_{}}$+ a ${\displaystyle {52}_{}}$+ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {53}_{}{}_{}}$+ ${\displaystyle {55}_{}}$ + $a_{51}+a_{52}+a_{532}+$a_{$54}+$a_}}}}a_$\{$$55$}}}}}}}}}a_{55}}}}}a_{55}}}}}}}}}}}$a_{$55}}}}}}}}}

이 합에서 다음을 뺀다.

행의$$ ${\displaystyle {\mathrm{합}}_{}}$은${\displaystyle {}_{}{21}_{}}$ +${\displaystyle {}_{}}$a ${\displaystyle {}_{}}$ +${\displaystyle {}_{}}$a ${\displaystyle {23}_{}}$ +${\displaystyle {}_{}}$a 24 + ${\displaystyle {25}_{}}$ + 25 ${\$a_${24}+$${\displaystyle {\mathrm{a\_}}_{}}${25}},${\displaystyle {}_{}{41}_{}}$ + ${\displaystyle {}_{}{}_{}{42}_{}}$ + ${\displaystyle {}_{}{}_{}{43}_{}}$ + ${\displaystyle {45}_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$ $a_{41}+a_{42}+a_{$43$}+a_$44$}+$a_{$45$},},}}}}}},}a_${45}+a_${45}}}},},},},},},},},},},}

열 합계는 $a{\displaystyle {}_{}{13}_{}}$ + ${\displaystyle {}_{}{23}_{}}$ + ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {33}_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {43}_{}}$+ ${\displaystyle {53}_{}}$ + a 53 ${\$

Twice each of the column sums ${\displaystyle a_{12}+a_{22}+a_{32}+a_{42}+a_{52}}$ and ${\displaystyle a_{14}+a_{24}+a_{34}+a_{44}+a_{54}}$.

순결과는 ${\displaystyle {}_{}}$ a${\displaystyle {}_{}{11}_{}}$ + ${\displaystyle {}_{}}$ a${\displaystyle {}_{}{15}_{}}$ + ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle \mathrm{a}{}_{}{33}_{}}$ + ${\displaystyle 5}$ a${\displaystyle {}_{}}$ + ${\displaystyle 5}$ ${\displaystyle {\mathrm{a}}_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$ + 5 =${\displaystyle {}_{}}$5 ${\displaystyle s}$ ${\displaystyle 5a_{11}+5a_{15}+5a_{33}+5a_{51}+5a_{55}=5s}$이며$,$ 5로 나누면 퀸쿤스 합계가 된다. Similar linear combinations can be constructed for the other quincunx patterns ${\displaystyle a_{23}+a_{32}+a_{33}+a_{34}+a_{43}}$, ${\displaystyle a_{13}+a_{31}+a_{33}+a_{35}+a_{53}}$, and ${\displaystyle a_{22}+a_{24}+a_{33}+a_{}}$${\displaystyle {42}_{}}$+ ${\displaystyle {44}_{}}$ ${\$

(4n+2)×(4n+2) 비연속적 요소가 있는 판디각형 마법 사각형

연속 정수를 사용할 경우$$ 순서가 ${\displaystyle \mathrm{4n}}$+ 2$${\$displaystyle 4n+2}$인 대각선 마법 사각형은 존재하지 않는다. 그러나 어떤 비상호 정수의 순서는 순서가 ${\displaystyle \mathrm{}}$(${\displaystyle \mathrm{4n}}$+ 2$${\$displaystyle 4n+2$ 판디각형 마법 사각형.

1+2+3+5+6+7 = 24의 합을 고려하십시오. 이 합계는 세 개의 추가 항목으로 구성된 적절한 그룹을 취함으로써 절반으로 나눌 수 있으며, 두 개의 추가 항목 그룹을 사용하여 세 개로 나눌 수 있다.

1+5+6 = 2+3+7 = 12

1+7 = 2+6 = 3+5 = 8

제곱합을 추가로 균등하게 분할하면 아래에 명시된 반모사적 특성이 보장된다.

1²+5²+6² = 2²+3²+7² = 62

연속 정수 합 1+2+3+4+5+6 = 21, 홀수 합은 반분할이 없다는 점에 유의한다.

두 개의 동일한 파티션을 사용할 수 있는 경우, 숫자 1, 2, 3, 5, 6, 7은 각각 다음과 같이 주어지는 6x6 범법 패턴 A와 B로 배열할 수 있다.

1	5	6	7	3	2
5	6	1	3	2	7
6	1	5	2	7	3
1	5	6	7	3	2
5	6	1	3	2	7
6	1	5	2	7	3

6	5	1	6	5	1
1	6	5	1	6	5
5	1	6	5	1	6
2	3	7	2	3	7
7	2	3	7	2	3
3	7	2	3	7	2

그런 다음 $7{\displaystyle \mathrm{}}$ ${\displaystyle A}$+ ${\displaystyle B}$- ${\displaystyle 7}$ ${\displaystyle \mathrm{C}}$ ${\displaystyle 7A+B-7C}($여기서 C는 모든 셀에 대해 1이 있는 마법의 사각형)에 비결합 판디각 6x6 사각형을 제공한다.

6	33	36	48	19	8
29	41	5	15	13	47
40	1	34	12	43	20
2	31	42	44	17	14
35	37	3	21	9	45
38	7	30	10	49	16

최대 원소 49와 대각선 마법의 합 150을 가지고 있다. 이 정사각형은 대각선이고 반비례적이며, 즉 행, 기둥, 주 대각선, 깨진 대각선의 합이 150이고, 정사각형의 모든 숫자를 제곱하면 행과 기둥만이 마법이며 5150의 합을 갖는다.

10번째 주문의 경우 1+2+3+4+5+5+9+10+11+12+13 = 70:0:

1+3+9+10+12 = 2+4+5+11+13 = 35

1+13 = 2+12 = 3+11 = 4+10 = 5+9 = 14

1²+3²+9²+10²+12² = 2²+4²+5²+11²+13² = 335(정사각형 분할, 반비례 속성)

이것은 최대 원소가 169이고 판디각형 마법 합이 850인 정사각형으로 이어지며, 각 행 또는 열 제곱 합이 102,850과 동일한 반시모빌리티도 된다.

(6n±1)×(6n±1) 판디각형 마법 사각형

A${\displaystyle }$( ${\displaystyle 6}$ ${\displaystyle n}$± ${\displaystyle 1}$) ${\displaystyle \times }$( 6 n${\displaystyle }$± ${\displaystyle 1}$) × ( ${\displaystyle 6}$ ${\displaystyle n}$ ± 1 )$${\$displaystyle (6n\pm$1)\$time (6n\pm$ 1$)}$ 판디각형$$ 마법 사각형은 다음 알고리즘에 의해 구축될 수 있다.

4n×4n 판디각형 마법 광장

${\displaystyle \mathrm{4n}}$ ${\displaystyle \times }$ ${\displaystyle \mathrm{4n}}$ ${\displaystyle 4n\time 4n}$ 판디각형$$ 마법 광장은 다음 알고리즘에 의해 구축될 수 있다.

만약 우리가 이 ${\displaystyle \mathrm{알고리즘}}$으로${\displaystyle }$4n × $[\displaystyle$4n\$times 4n}$의 대각선 마술 사각형을 $만든다면{\displaystyle \mathrm{}}$, ${\displaystyle \mathrm{4n}}$× $4n[\displaystyle$$4n$\$times 4n}$ 제곱의$$ 매 $2{\displaystyle \mathrm{}}$× ${\displaystyle 2}$/\$time 2}$ 제곱은$$ 같은 합을 갖게 될 것이다. 따라서 ${\displaystyle \mathrm{4n}}$ ${\displaystyle 4n}$ 셀의$$ 대칭 패턴은 ${\displaystyle \mathrm{4n}}$ ${\displaystyle \times }$ ${\displaystyle \mathrm{4n}}$ ${\displaystyle 4n\time 4n}$ 제곱의$$ 행 및 열과 동일한 합을 갖는다. 특히 각 ${\displaystyle \mathrm{2n}}$ ${\displaystyle \times }$ 2 ${\displaystyle 2n\time$ 2$}$ 및$$ 각 $2{\displaystyle \mathrm{}}$ ${\displaystyle \times }$ $[\displaystyle$ 2$\time 2n}$ 직사각형은$$ ${\displaystyle \mathrm{4n}}$ ${\displaystyle \times }$ $[\displaystyle 4n\time 4n}$ 제곱의$$ 행과 같은 합을 갖는다. ${\displaystyle \mathrm{4n}}$ ${\displaystyle \times }$ ${\displaystyle \mathrm{4n}}$ ${\displaystyle 4n\time 4n}$스퀘어도$$ 가장 완벽한 마법의 광장이다.

(6n+3)×(6n+3) 판디각형 마법 광장

A${\displaystyle }$( ${\displaystyle \mathrm{6n}}$+ ${\displaystyle 3}$) ${\displaystyle \times }$( ${\displaystyle \mathrm{6n}}$+ ${\displaystyle 3}$) ${\displaystyle (6n+3)\time (6n+3)}$ 판디각형$$ 마법 광장은 다음 알고리즘에 의해 구축될 수 있다.

참조

• W. S. Andrews, Magic Square and Cube. 뉴욕: 도버, 1960년. 원래 1917년에 인쇄되었다. 특히 X장을 참조하십시오.

외부 링크

• 매트릭월드의 팬매직 광장
• http://www.azspcs.net/Contest/PandiagonalMagicSquares