님

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님

님 게임에 대해 행으로 설정된 일치입니다.플레이어는 돌아가면서 행을 선택하고 그 행에서 원하는 수의 경기를 제거합니다.
장르	수학, 전략
플레이어	2

Nim은 두 명의 플레이어가 번갈아 가며 다른 더미 또는 더미에서 물체를 제거하는(또는 "니밍") 전략의 수학적 게임입니다.각 턴마다 플레이어는 적어도 하나의 물체를 제거해야 하며, 그것들이 모두 같은 힙이나 더미에서 온다면 얼마든지 물체를 제거할 수 있다.플레이되는 버전에 따라 게임의 목표는 마지막 오브젝트를 가져가는 것을 피하거나 마지막 오브젝트를 가져가는 것입니다.

님 변종은 고대부터 ^[1]행해져 왔습니다.이 게임은 중국에서 유래된 것으로 알려져 있는데, 중국 게임인 "지엔시즈"^[2]와 매우 흡사하지만, 그 기원은 확실하지 않다. 님을 지칭하는 최초의 유럽인들은 16세기 초에 언급되었다.이 게임의 현재 ^[3]이름은 하버드 대학의 찰스 L. 부톤에 의해 만들어졌으며, 그는 1901년에 게임의 완전한 이론을 개발했지만, 이름의 기원은 완전히 설명되지 않았다.

님은 보통 마지막 오브젝트를 빼앗은 플레이어가 지는 미셀 게임으로 플레이됩니다.님도 일반 플레이 게임으로 플레이 할 수 있으며, 마지막 오브젝트를 가져간 플레이어가 승리합니다.이것은 Nim의 정상적인 플레이 방식이 아님에도 불구하고, 대부분의 게임에서 마지막 수가 승리하기 때문에 일반 플레이라고 불립니다.노멀 플레이 또는 미셀 게임 중 적어도 2개의 오브젝트가 있는 힙의 수가 정확히 1개일 경우, 다음에 가져가는 플레이어가 쉽게 이길 수 있다.이렇게 하면 두 개 이상의 개체를 가진 힙에서 하나 이상의 개체를 제외한 모든 개체를 제거할 수 있으며, 힙에는 여러 개체가 없으므로 게임이 끝날 때까지 한 개체를 번갈아 제거해야 합니다.플레이어가 0이 아닌 짝수 히프를 남길 경우(일반 플레이에서처럼), 플레이어가 홀수 히프를 남길 경우(미셀 플레이에서처럼), 다른 플레이어가 마지막으로 남는다.

Normal Play Nim(또는 보다 정확하게는 민첩한 시스템)은 Sprague-Grundy 정리의 기본입니다.이것은 기본적으로 모든 공평한 게임은 다른 일반 플레이의 공평한 게임과 병렬로 플레이했을 때 동일한 결과를 얻는 Nim 힙과 동등하다고 말합니다(추정합 참조).

모든 일반 플레이 공평 게임에는 Nim 값을 할당할 수 있지만, misser 규약에서는 그렇지 않습니다.오직 길들여진 게임만이 님과 같은 전략을 사용하여 플레이할 수 있습니다.

님은 포셋이 분리된 체인(더미)으로 구성된 포셋 게임의 특별한 경우입니다.

3개의 무더기를 가진 님 게임의 진화 그래프는 울람-워버튼 오토마톤 ^[4]진화 그래프의 3가지와 같다.

1940년 뉴욕 세계 박람회 웨스팅하우스에서 ^[5]님 역할을 하는 니마트론이라는 기계를 전시했다.1940년 5월 11일부터 1940년 10월 27일까지, 6주 동안 소수의 사람들만이 기계를 이길 수 있었습니다. 만약 그렇다면,^[6][7] 그들은 님 챔프라고 적힌 동전을 받았습니다.그것은 또한 사상 최초의 전자 컴퓨터 게임 중 하나였다.페란티는 1951년 영국 축제에 전시된 님 플레이 컴퓨터를 만들었다.1952년 W. L. Maxon Corporation의 엔지니어인 Herbert Koppel, Eugene Grant 및 Howard Bailer는 23kg (50파운드)의 기계를 개발했는데, 이 기계는 님을 상대와 대결시켜 정기적으로 ^[8]이겼다.Nim Playing ^[9]Machine은 TinkerToy로 만들어졌습니다.

님의 게임은 마틴 가드너의 1958년 2월 사이언티픽 아메리칸의 수학 게임 칼럼의 주제였다.Nim의 버전은 Marienbad의 프랑스 뉴웨이브 영화 Last Year(1961년)^[10]에서 연기되었고 상징적인 중요성을 가지고 있다.

게임 플레이 및 일러스트

일반적인 게임은 두 명의 플레이어 간에 이루어지며, 임의의 수의 물체 더미로 3개 더미를 가지고 진행됩니다.두 선수는 한 무더기 중에서 원하는 수의 물건을 번갈아 가져간다.목표는 마지막으로 물건을 가져가는 것이다.미스 플레이에서 목표는 상대방이 마지막 남은 물체를 차지하도록 하는 것입니다.

일반적인 게임의 다음 예는 가상의 플레이어 밥과 앨리스 사이에 진행되며, 그들은 3, 4, 5개의 오브젝트로 시작한다.

히프 A	히프 B	히프 C	이동
3	4	5	게임 시작
1	4	5	밥은 A에서 2를 가져간다.
1	4	2	앨리스는 C에서 3을 뺀다.
1	3	2	Bob은 B에서 1을 가져간다.
1	2	2	앨리스는 B에서 1을 가져간다.
0	2	2	밥이 A 힙 전체를 가져가고 2개의 2가 남습니다.
0	1	2	앨리스는 B에서 1을 가져간다.
0	1	1	밥은 2개의 1을 남기고 C에서 1을 뺀다. (미셀 플레이에서는 C에서 2를 뺀다.)
0	0	1	앨리스는 B에서 1을 가져간다.
0	0	0	Bob은 C 힙 전체를 가져다가 이긴다.

우승 포지션

님의 게임에서 승리하기 위한 실용적인 전략은 플레이어가 다음 포지션 중 하나에 상대방을 배치하는 것이며, 이후 매번 연속 턴할 때마다 더 작은 포지션 중 하나를 만들 수 있어야 합니다.마지막 동작만 미세레와 일반 플레이 사이에서 바뀝니다.

두 무더기	3 무더기	4 무더기
1 1 *	1 1 1 **	1 1 1 1 *
2 2	1 2 3	11 nn
3 3	1 4 5	1 2 4 7
4 4	1 6 7	1 2 5 6
5 5	1 8 9	1 3 4 6
6 6	2 4 6	1 3 5 7
7 7	2 5 7	2 3 4 5
8 8	3 4 7	2 3 6 7
9 9	3 5 6	2 3 8 9
nn	4 8 12	4 5 6 7
	4 9 13	4 5 8 9
	5 8 13	nn m
	5 9 12	nnnn

* 일반 플레이에만 유효합니다.

** 미세레에만 유효합니다.

일반화의 경우 n과 m은 0보다 큰 임의의 값이 될 수 있으며, 같은 값일 수 있습니다.

수학 이론

Nim은 임의의 수의 초기 힙과 오브젝트에 대해 수학적으로 해결되었으며, 어떤 플레이어가 승리할 것인지, 그리고 그 플레이어가 어떤 승리를 거둘 것인지 쉽게 판단할 수 있는 방법이 있습니다.

게임 이론의 핵심은 힙 크기의 이진 디지털 합(즉, 합)이며, 한 자릿수에서 다른 자릿수로의 모든 캐리어를 무시합니다.이 연산은 "bitwise xor" 또는 "vector addition over GF(2)"(bitwise addition modulo 2)라고도 합니다.조합 게임 이론에서는 보통 님섬이라고 부르는데, 여기서 부를 것입니다.x와 y의 nim-sum은 보통합 x + y와 구별하기 위해 x y y로 쓴다.크기가 3, 4, 5인 더미의 계산 예는 다음과 같습니다.

이진수 10진수2 011210 3 히프 A 10010 4 히프2 B 10110 5 히프 C --- 010210 2 히프 A, B 및 C의 nim-sum, 3 5 4 5 5 = 2

대부분의 경우 정신적으로 실행하기가 더 쉬운 동등한 절차는 힙 크기를 2의 개별 거듭제곱의 합계로 표현하고 동일한 거듭제곱의 쌍을 취소한 후 남은 값을 더하는 것입니다.

3 = 0 + 2 + 1 = 2 1 히프 A 4 = 4 + 0 + 0 = 4 히프 B 5 = 4 + 0 + 1 = 4 1 히프 C ----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

일반 플레이에서는 모든 동작을 0의 님섬으로 끝내는 것이 승리 전략입니다.이동 전에 nim-sum이 0이 아니면 항상 가능합니다.님섬이 제로일 경우 상대방이 실수를 하지 않으면 다음 선수가 진다.어떤 이동을 해야 하는지 알아보려면 X를 모든 힙 크기의 nim-sum으로 합니다.X와 힙 사이즈의 nim-sum이 힙 크기보다 작은 힙을 찾습니다.이러한 힙에서 플레이하여 해당 힙을 원래 크기의 nim-sum으로 줄이는 것이 성공 전략입니다.위의 예에서 크기의 nim-sum은 X = 3 4 4 5 5 = 2입니다.X=2의 힙 크기 A=3, B=4 및 C=5의 nim-size는 다음과 같습니다.

A x X = 3 2 2 = 1 [이후 (011) ( (010) = 001 ]

B x X = 4 2 2 = 6

C x X = 5 22 = 7

축소되는 힙은 힙A뿐이므로 (2개의 객체를 삭제함으로써) 힙A의 크기를 1로 줄이는 것이 가장 중요합니다.

특정한 단순한 경우로서, 힙이 2개밖에 남지 않은 경우, 더 큰 힙에 있는 개체 수를 줄여 힙을 동일하게 만드는 전략입니다.그 후 상대가 어떤 동작을 취하든 다른 힙에서도 같은 동작을 할 수 있어 마지막 오브젝트를 확실하게 취할 수 있습니다.

미셀 게임으로 플레이 할 때 Nim 전략은 일반적인 플레이 동작이 크기 1을 많이 남길 때만 다릅니다.이 경우 사이즈가 1인 홀수 더미를 남기는 것이 올바른 동작입니다(통상 플레이에서는 짝수 더미를 남기는 것이 올바른 동작입니다).

이러한 일반 플레이와 미셀 게임의 전략은 적어도 두 개의 오브젝트가 있는 힙의 수가 정확히 1과 동일할 때까지 동일합니다.그 시점에서 다음 플레이어는 두 개 이상의 오브젝트를 가진 힙에서 모든 오브젝트(또는 하나를 제외한 모든 오브젝트)를 제거하므로, 힙은 하나 이상의 오브젝트를 가지지 않습니다(즉, 나머지 모든 힙은 정확히 하나의 오브젝트를 각각 가지고 있습니다).따라서 플레이어는 게임이 끝날 때까지 번갈아 하나의 오브젝트를 삭제해야 합니다.일반 플레이에서는 플레이어가 0이 아닌 짝수의 히프를 남기 때문에 같은 플레이어가 마지막에, 미스 플레이에서는 홀수 수의 0이 아닌 히프를 남기 때문에 다른 플레이어가 마지막을 차지합니다.

크기가 3, 4, 5인 미셀 게임에서 전략은 다음과 같이 적용됩니다.

A B C nim-sum    3 4 5 0102=210   I take 2 from A, leaving a sum of 000, so I will win. 1 4 5 0002=010   You take 2 from C 1 4 3 1102=610   I take 2 from B 1 2 3 0002=010   You take 1 from C 1 2 2 0012=110   I take 1 from A 0 2 2 0002=010   You take 1 from C 0 2 1 0112=310   The normal play strategy would be to take 1 from B, leaving an even number(2)1사이즈 더미misserre play에서는 B 힙 전체를 가져가고, 사이즈가 1인 홀수 (1)을 남깁니다. 0 0 1 0012=1은10 C에서 1을 가져가고, 지는 것입니다. 

승리 공식의 증명

위에서 설명한 최적 전략의 건전성은 C에 의해 입증되었다.부톤.

정리.통상적인 Nim게임에서 첫발을 내딛는 플레이어는 더미 사이즈의 님합이 0이 아닐 경우에만 승리전략을 갖는다.그렇지 않으면 두 번째 선수가 승리 전략을 가지고 있습니다.

증명: 님섬(nim-sum)은 덧셈(+)의 일반적인 결합법칙과 가환법칙을 준수하며 추가 속성인 x x x = 0을 만족합니다.

x, ..., x를_n 이동 전 힙의 크기, y₁, ...를_n 이동 후 대응하는 크기라고 합니다₁.s = x₁ ......x_n x 、 t₁ = y ... ... ⊕ y_n 。이동이 힙 k에 있는 경우 모든 i kk에 대해 x = y가_i 됩니다.x_kk > y가 됩니다_i.상기의 mentioned의 특성에 의해, 다음과 같은 것이 있습니다.

t = 0 ⊕ t = s ⊕ s t s s t = s1 ⊕ ( x xn ... ⊕ x1 ) ... ( y ⊕ ... )⊕ yn ) = s1 ⊕ ( x y1 y ) ⊕ ... ( ( xn ⊕ yn ) = s ⊕ 0 ⊕ ...0 0 （ xk ） yk （ 0 ） ...0 0 = s ⊕ xk ⊕ yk (*) t = s ⊕ xk ⊕ yk.

그 정리는 이 두 가지 보조군으로부터 게임의 길이에 대한 귀납에 의해 뒤따른다.

Lemma 1.s = 0이면 어떤 이동이 이루어지든 t 0 0입니다.

증명: 가능한 이동이 없는 경우 보조항목이 완전히 참입니다(그리고 첫 번째 플레이어는 정의상 일반 플레이 게임을 잃습니다).그렇지 않으면 힙 k로 이동하면 (*)에서 t = x_k µ_k y가 생성됩니다.x , y이므로_k 이 숫자는_k 0이 아닙니다.

레마 2s 0 0이면 t = 0이 되도록 이동할 수 있습니다.

증명: d는 s의 바이너리 표현에서 가장 왼쪽(가장 유의한) 비제로 비트의 위치이며, x의_k d번째 비트도 0이 되지 않도록 k를 선택합니다(그렇지 않으면 s의 d번째 비트가 0이 되므로 이러한 k가 존재해야 합니다).그런 다음 y = s µ_k x라고 하면_k, d의_k 왼쪽에 있는 y < x: 모든 비트가 x와_k y에서_k 동일하고, 비트 d가 1에서 0으로 감소하며(값이 2만큼^d 감소), 나머지 비트의 모든 변화는 최대 2-1에^d 달한다고_k 주장합니다.따라서 첫 번째 플레이어는 힙 k에서 x - y_k 객체를 가져와_k 이동할 수 있습니다.

t = s ⊕ xk ⊕ yk (*) = s ⊕ xk ⊕ y (s ⊕ xk) = 0.

미셀 플레이에 대한 수정은 크기가 2 이상인 한 무더기만 있는 위치에서 먼저 발생한다는 점을 언급함으로써 입증된다.이러한 포지션에서 s , 0, 따라서 이 상황은 승리 전략에 따라 플레이어의 차례가 되었을 때 발생해야 한다.통상 플레이 전략은 플레이어가 사이즈를 0 또는 1로 줄이고 사이즈가 1인 짝수 힙을 남기는 것입니다.미셀 전략은 그 반대입니다.그 시점부터 모든 움직임은 강제된다.

바리에이션

뺄셈 게임

일반적으로 님으로 알려진 다른 게임(감산 게임이라고 더 잘 함)에서는 한 번에 제거할 수 있는 개체 수에 상한이 적용됩니다.플레이어는 임의로 많은 개체를 삭제하는 대신 1개 또는 2개 또는 ...만 제거할 수 있습니다.또는 한 번에 k개씩.이 게임은 일반적으로 하나의 힙(예: Survivor의 Tai 21 게임에서는 k = 3)으로 진행됩니다. 이면역 챌린지로 등장한 태국).

Bouton의 분석은 이 게임의 일반적인 멀티히프 버전으로 쉽게 넘어갑니다.유일한 차이점은 Nim-sum을 계산하기 전에 먼저 힙 모듈로 k + 1의 크기를 줄여야 한다는 것입니다. 이렇게 하면 크기가 0(실수 플레이)인 모든 더미가 될 경우, 가장 좋은 방법은 힙 중 하나에서 k개의 개체를 꺼내는 것입니다.특히 n개의 객체가 있는 단일 힙에서 이상적인 플레이에서는 두 번째 플레이어가 이길 수 있는 것은 다음과 같은 경우뿐입니다.

0 = n (mod k + 1) (통상 재생 시) 또는

1 = n (mod k + 1) (misserre play에서).

이는 S(1,2,…,k)의 nim-sequence를 계산한 결과이다.

$({displaystyle 0.123\ldots k0123\ldots k0123\dots k0123\dots {0}).123\ldots {k}}$

위의 전략은 스프래그-그룬디 정리로 이어진다.

21번째 게임

게임 "21"은 여러 명의 플레이어가 번갈아 숫자를 말하는 미셀 게임으로 진행됩니다.첫 번째 플레이어는 "1"을 말하고 각 플레이어는 1, 2, 3씩 숫자를 늘립니다. 단, 21을 초과할 수 없습니다. "21"을 말해야 하는 플레이어는 패합니다.이것은 21–n개의 객체가 쌓인 감산 게임으로 모델링할 수 있습니다.이 게임의 2인용 버전은 항상 4의 배수를 말하는 것이 승리 전략입니다. 그러면 결국 상대방이 21을 말해야 합니다. 따라서 첫 번째 플레이어가 "1"로 시작하는 표준 버전에서는 지는 동작으로 시작합니다.

21게임은 "최대 5를 더하고 34에서 패한다"와 같이 다른 숫자로 플레이할 수도 있습니다.

두 번째 플레이어가 승리 전략을 따르는 21개의 샘플 게임:

플레이어 번호 1 2 4 1 5, 6 또는 7 2 8 1 9, 10 또는 11 2 12 1 13, 14 또는 15 2 16 1 17, 18 또는 19 2 20 1 21

100게임

유사한 버전은 "100 게임"입니다.두 명의 선수가 0부터 시작해서 1부터 10까지의 숫자를 번갈아 합계에 더한다.100점 만점에 도달하는 선수가 승리합니다.승리 전략은 숫자가 이어지는 번호(예: 01, 12, 23, 34, ...)에 도달하고 이 시퀀스의 모든 번호를 건너뛰어 게임을 제어하는 것이다.플레이어가 89에 도달하면 상대는 90에서 99 사이의 숫자만 선택할 수 있으며, 어떤 경우에도 다음 정답은 100이 될 수 있습니다.

멀티히프 규칙

Nim의 또 다른 변형에서는 단일 힙에서 임의의 수의 개체를 제거하는 것 외에 각 힙에서 동일한 수의 개체를 제거하는 것이 허용됩니다.

회람 님

그러나 Nim의 또 다른 변형은 "Circular Nim"으로, 임의의 수의 물체를 원형으로 배치하고 두 명의 플레이어가 번갈아 1, 2, 3개의 인접한 물체를 제거합니다.예를 들어, 10개의 물체로 이루어진 원부터 시작해서

. . . . . . . . . .

한 번에 세 개의 물체가 찍힌다

_ . . . . . . . _ _

그리고 또 세 명

_ . _ _ _ . . . _ _

그럼 하나

_ . _ _ _ . . _ _ _

한 번에 3개의 물체를 꺼낼 수 없습니다.

그룬디의 게임

Nim의 또 다른 변형인 Grundy의 게임에서는 많은 오브젝트가 초기 힙에 배치되고 두 플레이어가 번갈아 힙을 다른 크기의 비어있지 않은 두 개의 힙으로 분할합니다.따라서 6개의 오브젝트를 5+1 또는 4+2의 파일 형태로 분할할 수 있지만 3+3은 분할할 수 없습니다.Grundy의 게임은 misser 또는 normal play로 할 수 있다.

욕심쟁이 님

욕심 많은 님은 플레이어가 가장 큰 ^[11]말뚝에서만 돌을 고르는 변형이다.그것은 유한하고 공정한 게임이다.욕심쟁이 님 미셀은 욕심쟁이 님과 같은 규칙을 가지고 있지만, 여기서는 마지막으로 움직일 수 있는 플레이어가 져 버립니다.

한 무더기의 가장 큰 돌을 m로 하고 두 번째로 큰 돌을 n으로 한다.p는 m개의 돌을 가진 말뚝의 수_n, p는 n개의 돌을 가진 말뚝의 수라고 하자_m.그리고 p를 가진_m 게임 위치가 짝수인 P 위치라는 정리가 있다.^[12] 이 정리는 p가 홀수인 위치를_m 고려함으로써 나타낼 수 있다.p가 1보다 크면_m p를 1만큼_m 줄이기 위해 이 더미에서 모든 돌을 제거할 수 있으며 새로운_m p는 짝수입니다.p_m = 1인 경우(즉, 가장 큰 힙이 고유함)에는 다음 두 가지 경우가 있습니다.

• p가 홀수일 경우_n 가장 큰 힙의 크기는 n으로 감소합니다(따라서 새로운_m p는 짝수입니다).
• p가 짝수인 경우_n 가장 큰 힙이 완전히 제거되고 짝수 가장 큰 힙이 남습니다.

따라서 p가 짝수인 상태로_m 이행합니다.반대로 p가 짝수일 경우_m, 어떤 이동이 가능한 경우(p_m 0 0), p가 홀수인 상태로_m 게임을 진행해야 합니다.게임의 최종 위치는 짝수입니다(p_m = 0).따라서 p가 짝수인 게임의_m 각 위치는 P 위치여야 한다.

인덱스-k 님

Multi-Heap Nim의 일반화는 1910년에 이를 분석한 E. H.^[13] Moore에 의해 "${\displaystyle {}_{}}$ k$\displaystyle {}_$k}" 또는 "index-k" Nim으로 불렸다.index-k Nim에서는 하나의 힙에서만 객체를 삭제하는 대신 플레이어는 적어도 하나에서 최대 k개의 다른 힙에서 객체를 삭제할 수 있습니다.각 힙에서 제거할 수 있는 요소의 수는 위의 "감산 게임"에서와 같이 임의적이거나 최대 r개의 요소로 제한될 수 있습니다.

성공 전략은 다음과 같습니다.일반적인 멀티히프 Nim과 마찬가지로 힙사이즈(또는 힙사이즈 모듈로 r + 1)의 바이너리 표현을 고려합니다.통상 Nim은 각 이진수의 XOR-sum(또는 sum modulo 2)을 형성하며, 당첨 전략은 각 XOR-sum을 0으로 하는 것이다.index-k Nim으로의 일반화에서는 1은 각 2진수 모듈로 k + 1의 합을 이룬다.

여기서도 승리 전략은 모든 자릿수에 대해 이 합계가 0이 되도록 이동하는 것입니다.실제로 이렇게 계산된 값은 최종 위치에 대해 0이며, 이 값이 0인 힙의 구성이 주어지면 최대 k 힙의 변경은 값을 0이 아닌 값으로 만듭니다.반대로 값이 0이 아닌 설정을 지정하면 값이 0이 되도록 신중하게 선택하여 항상 최대 k개의 힙에서 가져올 수 있습니다.

빌드 님

Building Nim은 Nim의 변형으로 두 플레이어가 Nim의 게임을 처음 구축합니다.n개의 돌과 빈 말뚝이 주어진 경우, 선수들은 번갈아 가면서 자신이 선택한 ^[14]말뚝에 정확히 1개의 돌을 넣는다.모든 스톤이 배치되면 다음 이동자부터 님의 게임이 시작됩니다.이 게임은 BN(n,s)으로 표시됩니다.

고차원 Nim

n-d Nim은 k ${\displaystyle {1\mathrm{}}_{}}$× ${\displaystyle \times }$ × ${\displaystyle {}_{}}$ \$times \dots \times k_{n}$ $보드$ 상에서 재생됩니다.이 보드에서는 임의의 수의 연속된 조각을 하이퍼 행에서 삭제할 수 있습니다.일반적으로 시작 위치는 전체 보드이지만 다른 옵션은 사용할 ^[15]수 있습니다.

그래프 Nim

시작 보드는 연결이 끊긴 그래프이며, 플레이어는 번갈아 인접한 정점을 제거합니다.

캔디 님

캔디님은 플레이어가 두 가지 목표를 동시에 달성하려고 하는 일반 플레이 님 버전이다. 마지막 오브젝트(이 경우 사탕)를 가져가는 것과 게임이 ^[16]끝날 때까지 최대 수의 캔디를 가져가는 것이다.

워드님

워드님(Wordnim)은 님의 언어 버전으로, 플레이어가 초기 세트나 일련의 글자에서 단어를 형성하여 남아 있지 않거나 합법적인 단어를 ^[17]형성할 수 없게 합니다.

「 」를 참조해 주세요.

• 님 박사
• 피보나치 님
• 퍼지 게임
• 님버
• 옥탈 게임
• 별(게임 이론)
• 정사각형을 빼다
• 제로 게임
• 안드로이드 님
• 레이먼드 레드헤퍼
• 노탁토
• 촘프
• 튜링 텀블

레퍼런스

추가 정보

• W. W. Rouse Ball: The Macmillan Company, 1947년 수학 레크리에이션과 에세이.
• 존 D. 비즐리:게임의 수학, 옥스포드 대학 출판사, 1989.
• 엘윈 R.Berlekamp, John H. Conway, Richard K.남자: 수학 연극의 우승 방법, 학술 출판사, 1982년.
• Manfred Eigen과 Ruthild Winkler: 게임의 법칙, Princeton University Press, 1981.
• 월터 R.Fuchs: 컴퓨터: 정보이론과 사이버네틱스, 루퍼트 하트 데이비스 교육 출판물, 1971.
• G. H. Hardy와 E. M. Wright: Oxford University Press, 1979년 숫자의 이론 소개
• 에드워드 카스너와 제임스 뉴먼:수학과 상상력, 사이먼과 슈스터, 1940년.
• M. 카이치크:Mathemical Recations, W. W. Norton, 1942년
• 도널드 D.스펜서: 헤이든 북 컴퍼니, 1968년.

외부 링크

• 50파운드짜리 컴퓨터가 님 역할을 한다-뉴요커 잡지 '토크 오브 더 타운' 1952년 8월(설명 필요)
• Nim – Nim 이론의 핫게임과 다른 게임과의 연결성
• Nim과 2차원 SuperNim at Cut the Knot
• 감산 게임: 앱스토어의 감산 게임 일러스트.
• Classic Nim - iOS용 Nim 구현.
• Matchstick Nim - Android 기기용 Nim 구현.
• NIM2 - Nim for Android 디바이스 구현.