평균화 방법

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수학에서, 보다 구체적으로 말하면, 동적 시스템에서 평균화 방법(평균화 이론이라고도 함)은 시간-척도 분리를 포함하는 시스템, 즉 빠른 진동 대 느린 표류를 이용한다.그것은 우리가 빠른 진동을 제거하고 결과적인 역학으로부터 질적인 행동을 관찰하기 위해 주어진 시간 동안 평균을 수행한다는 것을 암시한다.근사 용액은 저속 시간 척도를 나타내는 매개변수에 반비례하는 유한 시간 하에서 유지된다.그것은 대략적인 해결책이 얼마나 좋은지 간에 교환이 존재하는 관습적인 문제로 판명되었다. 원래 해결책에 근접하기 위해 얼마나 많은 시간을 유지하느냐에 따라 균형을 맞춘다.

더 정확히 말하면, 시스템은 다음과 같은 형태를 가지고 있다.

위상 공간 $변수{\displaystyle }$ x${\displaystyle }$. ${\displaystyle$ x$.}$의$$빠른 진동은 $f{\displaystyle }$ ${\displaystyle f}$에 의해 주어지며, x$$drift {\$dot{x}}$의 느린 드리프트에 대비한다$.$평균화 방법은 자율적인 동적 시스템을 산출한다.위상 공간의 연결되고 컴팩트한 영역 내에$$ 있는 $x{\displaystyle \stackrel{}{}}$ ${\displaystyle \stackrel{}{\dot{}}}$ ${\dot{x}}$의 솔루션 곡선과 1/$\$ {\$displaystyle$1/\$varepsilon$ $\}$의 시간 경과에 가깝다.

이 평균화 기법의 유효성에 따라, 원체계의 $점증거동작용$이$$y {\$displaystyle$y}에 대한 동적 방정식에 의해 포착된다$.$ 이러한 방식으로 자율적 동적 시스템의 정성적 방법을 채택하여 평형 및 저속 다지관 및 불변 다지관과 같은 보다 복잡한 구조를 분석할 수 있다.평균 시스템의 위상 공간에서의 안정성과 더불어

또한 물리적 애플리케이션에서 평균 시스템을 $사용$하여 예측을 하기 위해 $x{\displaystyle \stackrel{}{}}$${\displaystyle \stackrel{}{}}$natural${\$$displaystyle$${\dot{x}}$에 대한 미분 방정식의 형태로 주어진 수학 모델을 대체하는 것이 합리적 또는 자연스러울 수 있다$.$이온을 사용한 다음 물리적 실험의 결과에 대해 예측을 테스트한다.^[1]

평균화 방법은 긴 역사를 가지고 있는데, 이는 천체역학에서 발생한 섭동 문제에 깊이 뿌리박고 있다(예: 에서 참조).

첫 번째 예

혼란스러운 물류 성장 고려

평균 방정식 평균화 방법의 목적은 일정 기간에 걸쳐 평균화했을 때 벡터장의 정성적 동작을 알려 주는 것이다.솔루션 $y{\displaystyle }$( ${\displaystyle t}$) ${\displaystyle y($${\displaystyle t}$$)}$의 $시간{\displaystyle }$t = ${\displaystyle \mathrm{O}}$( ${\displaystyle 1}$ /${\displaystyle )}$)$$.$${\$displaystyle x(t)}$에 대해$$ x ( $t{\displaystyle }$) ${\displaystyle \{\backslash }$$displaystyle t={\mathcal{O}}}}}}}$ 예외적으로$$ 이 예에서는 근사치가 더욱 우수하다.우리는 그것을 아래 섹션에 제시한다.

정의들

We assume the vector field ${\displaystyle f:\mathbb {R} ^{n}\times \mathbb {R} \times \mathbb {R} \to \mathbb {R} ^{n}}$ to be of differentiability class ${\displaystyle C^{r}}$ with ${\displaystyle r\geq 2}$ (or even we will only say smooth), which we will denote ${\displaystyle f\in C^r}$${\displaystyle f\in C^{r}(\mathbb {R} ^{n}\times \mathbb {R} \times \mathbb {R} ^{+};\mathbb {R} ^{n})}$. We expand this time-dependent vector field in a Taylor series (in powers of ${\displaystyle \varepsilon }$) with remainder ${\displaystyle f^{[k+1]}(x,$$t,\barepsilon$ $)\}.$ 우리는 다음과 같은 표기법을 도입한다.^[2]

여기서 $f{\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle j^{}}$= ${\displaystyle \frac{f^{}}{}}$(${\displaystyle \frac{{}^{}}{}}$j )${\displaystyle \frac{{}^{}}{}}$( ${\displaystyle \frac{x}{}}$, t${\displaystyle \frac{}{}}$, ${\displaystyle \frac{0}{}}$) ${\displaystyle \frac{}{}}$! ${\$^{($j)}(x,t,0)}{j!$$}}}}$은(는) 0 ${\displaystyle \le }$ ${\displaystyle j}$ $≤$ ${\displaystyle k}$ {\$displaystyle$ 0\\$leq$ j$\\leq$ k$}$을(를) $가진{\displaystyle }$ j$${\$displaystyle$ $0$$\\$${\displaystyle \mathrm{leq}}$$$k}을$$(를) 가진 파생상품으로$,$ 평균적인 문제에 관한 한 일반 ${\displaystyle {f\mathrm{}}^{}}$ $0{\displaystyle {}^{}}$( ${\displaystyle x}$, t${\displaystyle }$) ${\displaystyle$ f$^{0$}{$x,$ t$)$이 주어지는 벡터 필드에 관심을 가질 것으로 판명되었다.또한 다음과 같은 초기값 문제를 표준 형태로 정의한다.^[2]

정리: 주기적인 경우의 평균

모든 D에 대한 ⊂ Rn{\displaystyle D\subset \mathbb{R}^{n}}연결하고 경계와 모든 ε 0>0{\displaystyle \varepsilon_{0}>. 0}일 경우 거기에 나는 을이 존재하는;0{\displaystyle L>0}과ε ≤ ε 0{\displaystyle \varepsilon \leq \varepsilon_{0}}는 원래 시스템(non-autonomous을 고려해 보세요.s동적에 의해 주어지는 ysystem)

has solution ${\displaystyle x(t,\varepsilon )}$, where ${\displaystyle f^{1}\in C^{r}(D\times \mathbb {R} ;\mathbb {R} ^{n})}$ is periodic with period ${\displaystyle T}$ and ${\displaystyle f^{[2]}\in C^{r}(D\t$$imes \mathb {R} \timees \mathb {R} ^{+};\mathb {R} ^{n}$ 둘$$ 다 $r{\displaystyle 2}$ 2$${\$displaystyle r\geq 2}$이(가) 경계 집합에 경계를$$ 두고 있다.그 다음 평균 시스템(자율 동적 시스템)의$$ $솔루션{\displaystyle }$ y${\displaystyle (t}$ ,${\displaystyle )}$ ) ${\displaystyle$y($t,\varepsilon )}$이(가) 있는 상수 > 0 ${\displaystyle c>0}$이(가) 존재한다.이다$0{\displaystyle \mathrm{}}$ ${\displaystyle \le }$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle \le }$ ${\displaystyle {0\mathrm{}}_{}}$ {\$displaystyle 0\\leq \varepsilon$\leq $\varepsilon _{0}$ $및$ 0${\displaystyle t}$ t${\displaystyle t}$L / $ε$ { { { { { { ${$ { { { { { $0$\\$leq$ t$\leq$ t$/\leq$ L/\$bpsilon$ $\}.$

언급

• 여기에는 첫 번째 근사 추정치라고 하는 두 가지 근사치가 있다: 벡터장 평균에 대한 감소와 $O{\displaystyle \mathcal{}}$ (${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {2\mathrm{}}^{}}$) ${\displaystyle {\mathcal {O}(\varecpsilon$^{$2})$ 용어의$$ 과실이다.
• 초기 조건 $x{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {0\mathrm{}}_{}}$ ${\$에 대한 균일성 $:$ ${\displaystyle {x\mathrm{}}_{}}$ 0 ${\$을 변경하면 $L{\displaystyle }$ ${\displaystyle L}$ $및$ c ${\displaystyle c}$의 추정치에 영향을$$ 미친다$.$이것에 대한 증거와 논의는 J. 머독의 책에서 찾을 수 있다.^[3]
• 규칙성의 감소: 이 정리의 보다 일반적인 형태가 있는데, 이 정리는 $오직{\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {f\mathrm{}}^{}}$ 1 ${\$ f$^{1}$만이 립스키츠가 되고 $f{\displaystyle {}^{}}$[${\displaystyle 2^{}}$ ${\displaystyle {]}^{}}$ ${\$ f$^{[2]}}}}}$ 연속이 필요하다$$.그것은 더 최근의 증거로서 샌더스 외에서 볼 수 있다.^[2]여기에 제시된 정리문은 근정성 변환의 도입에 기초하여 크릴로프-보골리우보프가 제안한 증명 틀 때문이다.이 방법의 장점은 무한 차원 시스템 - 부분 미분 방정식 또는 지연 미분 방정식과 같은 보다 일반적인 설정으로 확장하는 것이다.
• J. Hale은 거의 주기적인 벡터 영역에 일반화를 제시한다.^[4]

증거의 전략

크릴로프-보골류보프는 시스템의 느린 역학이 점증적 해결의 선도 질서를 결정한다는 것을 깨달았다.

그것을 증명하기 위해 그들은 거의 동일성 변환을 제안했는데, 그것은 원래의 시스템을 평균으로 변환하는 자체적인 시간 척도로 좌표의 변경으로 판명되었다.

증거의 스케치

1. Determination of a near-identity transformation: the smooth mapping ${\displaystyle y\mapsto U(y,t,\varepsilon )=y+\varepsilon u^{[1]}(y,t,\varepsilon )}$where ${\displaystyle u^{[1]}}$ is assumed to be regular enough and ${\displaystyle T}$ periodic.제안된 좌표 $변경$은${\displaystyle }$x = ${\displaystyle U}$( ${\displaystyle y,t}$ , ${\displaystyle )}$ )$${\$displaystyle x=U(y,t,\varepsilon )}$에 의해 주어진다$.$
2. Choose an appropriate ${\displaystyle u^{[1]}}$solving the homological equation of the averaging theory: ${\displaystyle {\frac {\partial u^{[1]}}{\partial t}}=f^{1}(y,t)-{\bar {f}}^{1}(y)}$.
3. Change of coordinates carries the original system to ${\displaystyle {\dot {y}}=\varepsilon {\bar {f}}^{1}(y)+\varepsilon ^{2}f_{*}^{[2]}(y,t,\varepsilon ).$$}$
4. 잘라내기로 인한 오류 추정 및 원래 변수와 비교.

비자율적 시스템 클래스: 추가 예제

평균화 기법의 역사를 따라, 우리가 아래에서 논의할 의미 있는 예들을 우리에게 제공하는 광범위하게 연구된 시스템의 종류가 있다.시스템 등급은 다음과 같다.

$여기$서 g ${\displaystyle g}$은(는) 매끄럽다.이 시스템은 [ ${\displaystyle \begin{array}{c}0\mathrm{}\end{array}}$ ${\displaystyle \begin{array}{}\epsilon \\ \end{array}}$ ${\displaystyle \begin{array}{c}\text{g}(z\stackrel{}{},\end{array}}$ z ${\displaystyle \begin{array}{c}\dot{},\end{array}}$ ${\displaystyle \begin{array}{c}t)]\end{array}}$ ${\$에 의해 제공된 작은 비선형 섭동을 갖는 선형 시스템과 유사하다$.$표준 형식과 다른따라서 표준 형식으로 명시적으로 변환을 수행할 필요가 있다.^[2]상수법의 변동을 이용하여 좌표를 변경할 수 있다.$우리$는 by${\displaystyle }$= ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle \varepsilon =0}$과(와) 같은 방해받지 않는 시스템을 본다$.$

$\phi {\displaystyle \mathrm{}}$( ${\displaystyle t}$)${\displaystyle }$= ${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle A^{}}$ t ${\$ 회전에 해당하는$$ 기본 용액을 가지고 있다.$그러면{\displaystyle }$ 시간 ${\displaystyle \mathrm{의존적}}$인 좌표 변화는 z${\displaystyle }$( t${\displaystyle }$)${\displaystyle }$= ${\displaystyle \phi }$( t${\displaystyle }$) ${\displaystyle x}$ ${\$$displaystyle$ $z(t)=\Phi (t)x}$이며 여기서$$ $x$는 표준$$ 형식에 해당하는 좌표다$.$

만약 우리가 양쪽의 시간적 파생을 가지고 우리가 얻은 기본 매트릭스를 뒤집는다면

언급

• 시간에 의존하는 선형 부분에서도 같은 작업을 할 수 있다.비록 근본적인 해결책은 명시적으로 적는 것이 비경쟁적일 수 있지만, 절차는 비슷하다.자세한 내용은 Sanders 등을 참조하십시오.
• $A{\displaystyle }$ ${\displaystyle A}$의 고유값이 모두$$ 순수하게 상상이 아닌 경우 이를 쌍곡성 조건이라고 한다.이 경우 섭동 방정식은 $솔루션$이 기하급수적으로 빠르게 성장하기 때문에 g ${\displaystyle g}$이(가) 경계가$$ 되더라도 몇 가지 심각한 문제를 일으킬 수 있다.^[2]그러나, 질적으로, 우리는 하트만-그로브만 결과와 같은 점증적 해결책들을 알 수 있을지도 모른다.^[1]
• Occasionally in order to obtain standard forms which are easier to work on, we may choose a rotating reference frame set of coordinates - polar coordinates - given by ${\displaystyle z_{1}=r\sin(t-\phi )~{\text{and}}~z_{2}=r\cos(t-\phi )}$ which determines the initial condition${\displaystyle (}$ ${\displaystyle r}$( ${\displaystyle 0}$)${\displaystyle }$, ${\displaystyle \mathrm{\varphi }}$( 0${\displaystyle }$)${\displaystyle (r(0)),\phi (0)}$도 함께 정의하며, 다음과 같이 시스템을 정의한다.
  $${\displaystyle {\begin{bmatrix}{\dot {r}}\\{\dot {\phi }}\end{bmatrix}}=\varepsilon {\begin{bmatrix}\cos(t-\phi )g(r\sin(t-\phi ),r\cos(t-\phi ),t)\\{\frac {1}{r}}\sin(t-\phi )g(r\sin(t-\phi ),r\cos(t-\phi ),t)\end{bmatrix}}.}$$

  

$g{\displaystyle }$ ${\displaystyle \in }$ ${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {1\mathrm{}}^{}}$ ${\$ 원점 부근이 제외된 경우(극좌표 실패 이후) 평균$$:

평균 시스템이 있는 곳

예제: 잘못된 평균 결과

그 방법에는 몇 가지 가정과 제약이 포함되어 있다.이러한 제한은 우리가 표준형식에 포함되지 않은 원래의 방정식을 평균할 때 중요한 역할을 하며, 우리는 그것에 대한 예를 토론할 수 있다.이렇게 서두르는 평균을 억제하기 위해 다음과 같은 예를 들 수 있다.^[2]

여기서 $g{\displaystyle (z,}$ ${\displaystyle z\stackrel{}{}}$ ${\displaystyle \dot{},}$ ${\displaystyle t}$)${\displaystyle }$=${\displaystyle }$- 4 ${\displaystyle {\cos }^{}}$ ${\displaystyle {2\mathrm{}}^{}}$ ${\displaystyle {}^{}}$( t${\displaystyle }$) ${\displaystyle z\stackrel{}{}}$ ${\displaystyle \stackrel{}{\dot{}}}$ ${\dot{z},t)=-4\cos$^{$2}(t){\dot{z}}}}$을(를) 이전 표기 뒤에$$ 붙인다.

이 시스템은 감쇠 용어가 $0{\displaystyle \mathrm{}}$ ${\displaystyle 0}$에서 $4{\displaystyle \mathrm{}}$ ${\displaystyle \epsilon }$ ${\displaystyle 4\varepsilon }$ 사이에서 진동하는 감쇠 고조파 오실레이터에 해당한다$.$ 2 ${\displaystyle \pi }$ ${\displaystyle 2\pi }$의 한 사이클에 걸쳐 마찰 용어의 평균을 계산하면 다음과 같은 방정식이 산출된다$$.

해결책은원점에 대한 수렴 속도는 $\epsilon {\displaystyle }$ ${\displaystyle \varepsilon }$이다$.$ 표준 폼 산출량에서 얻은 평균 시스템:직사각형 좌표에서 확실히 원점에 대한 수렴 속도는 이전의 원유 평균 시스템과 다른$$ 3 $\frac{2}{}$ $³$ ${\textstyle {\frac {3}{2}}\varepsilon$}임을 분명하게 보여준다.

예제: Van der Pol 방정식

Van der Pol은 유형의 방정식에 대한 대략적인 해결책을 얻는 것에 관심이 있었다.

여기서 $g{\displaystyle (z}$, ${\displaystyle \mathrm{z}}$ ${\displaystyle \stackrel{}{\dot{}}}$, t${\displaystyle }$)${\displaystyle }$=${\displaystyle }$( 1${\displaystyle }$- ${\displaystyle {z\mathrm{}}^{}}$ 2${\displaystyle {}^{}}$) ${\displaystyle z\stackrel{}{}}$ ${\displaystyle \stackrel{}{\dot{}}}$ ${\dot{z},t)=(1-z^{2}){\dot{z}}}}$이(가) 이전 표기법 뒤에$$ 있다.이 시스템의 이름은 Van der Pol 오실레이터 입니다.만약 우리가 이 비선형 오실레이터에 주기적인 평균을 적용한다면, 이것은 시스템을 명시적으로 풀지 않고 위상 공간에 대한 질적인 지식을 우리에게 제공한다.

평균 시스템은

그리고 우리는 고정된 점들과 그들의 안정성을 분석할 수 있다.출발지에는 불안정한 고정점이 있으며, $r{\displaystyle \stackrel{}{}}$= ${\displaystyle 2}$ ${\displaystyle {\r}=2}$로 대표되는 안정적 한계 주기가 있다$.$

그러한 안정적 한계 사이클의 존재는 정리로서 진술할 수 있다.

정리(주기적 궤도의 존재):^[5]$p{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {0\mathrm{}}_{}}$ ${\$이(가) 쌍곡 고정점인 경우

다음 >0 {\$displaystyle \varepsilon _{0}}$이(가) 존재하여 0< <ε $>{\$0$<\varepsilon _{0})$이(가) 있다${\displaystyle {고유}_{}}$한 쌍곡 주기 궤도 ${\displaystyle {orbit}_{}}$ (${\displaystyle {}_{}t}$)${\displaystyle }$= ${\displaystyle {p\mathrm{}}_{}}$ 0${\displaystyle {}_{}}$+ O (${\displaystyle \epsilon }$ $){\displaystyle \gamma _{\varepsilon }(t)=p_{0}+{\mathcal{O}}(\varepsilon )}$이 p 0 ${\$과 동일한 안정성 유형을 가지고 있다$.$

증거는 구켄하이머와 홈즈,^[5] 샌더스 외 연구진, 그리고 치코네의 앵글 케이스에서 찾을 수 있다.^[1]

예:시간 간격 제한

평균 정리는 결과 유효성의 $시간$ 간격 L ${\$$displaystyle D\subset \mathb {R}^{n}$에 영향을 미치는 연결$$ 및 경계 영역 D $existence{\displaystyle {}^{}}$ ${\$$displaystyle L}$의 존재를 가정한다.다음과 같은 예가 그것을 지적한다.고려하다

여기서 $g{\displaystyle (z,}$ ${\displaystyle z\stackrel{}{}}$ ${\displaystyle \dot{},}$ ${\displaystyle t}$)${\displaystyle }$= ${\displaystyle {\stackrel{}{}}^{}}$ z ${\displaystyle {\stackrel{}{\dot{}}}^{}}$ 2 ${\displaystyle \cos }$ ${\displaystyle }$( t${\displaystyle }$) ${\displaystyle$ g$(z,{\dot{z},t)=8{\dot{z}^{2}\cos(t$평균 시스템은 다음과 같이 구성된다.이 초기 조건에서 원래 솔루션이 다음과 같이 동작한다는 것을 나타냄서 0≤ t < 3(\$displaystyle$ 0\$leq \varepsilon t\leq$L<{\$frac {$1}{3$}}}}}}$을(를) 초과하는 경계 부위에 고정한다

감쇠 진자

서스펜션 지점이 작은 진폭 고주파 신호에 의해 수직으로 진동하는 감쇠 진자를 고려하십시오(이는 일반적으로 디더링이라고 함).그러한 진자의 운동 방정식은 다음과 같다.

여기서 ${\displaystyle \sin }$ ${\displaystyle }$ ${\displaystyle \Omega }$t {\$displaystyle a\sin \omega$ t$}$은 서스펜션 포인트의 움직임을 $설명$하고, k$${\$displaystyle$k}은 진자의 감쇠에 대해$$ $설명$하고, {$${\$displaystyle \teta}$은 진자가 수직으로 하는 각도다.

이 방정식의 위상 공간 형식은 다음과 같다.

여기서 변수 $p{\displaystyle }$ ${\displaystyle p}$을(를) 소개하고 시스템을${\displaystyle }$(${\displaystyle t}$, ${\displaystyle \theta }$, ${\displaystyle p}$) ${\displaystyle (t,\teta ,p)$ -space에$$ 자율적인 1차 시스템으로 작성했다.

수직 진동의 각도 주파수($\Omega {\displaystyle }$ ${\displaystyle \omega$가 진자의 자연 주파수 $g\sqrt{/l}$ ${\${\$sqrt{g/l}}$보다 훨씬 크다고 가정합시다$.$ 또한 수직 진동의 진폭인$${\$displaystyle$ $a$이 $}$보다 훨씬 작다고 가정합시다.$$ 진자의위상 공간에서 진자의 궤적은 $C{\displaystyle }$ ${\displaystyle$ $C$$}$ 곡선을 따라 나선형을 추적하여$$느린 $속도{\displaystyle \sqrt{}}$ g${\displaystyle \sqrt{}}$/ ${\displaystyle \sqrt{l}}$ ${\$에서 $C{\displaystyle }$ ${\$$displaystyle$ C$}$을 따라 이동하지만$$ 빠른 속도 $\Omega {\displaystyle }$ ${\displaystyle \omega$ $C를$중심으로 나선 반지름작으며 ${\displaystyle a}$에 비례할 것이다$.$${\displaystyle \mathrm{궤적}}$의 평균${\displaystyle 동작}$은 2$㎛/Ω$ {\$displaystyle 2\pi$ /\omega $}$보다 훨씬 큰 시간 척도에 걸쳐$$C ${\displaystyle C$ 곡선을 $따른다{\displaystyle }$.

확장 오류 추정치

최초 가치 문제에 대한 평균 기법은 지금까지 $순서{\displaystyle \mathrm{}}$1 / $[\디스플레이 스타일$ 1$/\varepsilon }$의 유효성 오차 추정치로 처리되었다$.$ 다만, 항상 그렇더라도 추정을 더 오래 연장할 수 있는 상황이 있다.^[2]아래에서 우리는 점증적으로 안정된 고정점을 포함하는 시스템을 다룬다.그러한 상황은 그림 1에 예시된 것을 다시 요약한다.

정리(Eckhaus / Sanchez-Palencia ) 초기 가치 문제를 고려한다.

가정하다존재하며, 선형 근사치에$$ 점증적으로 안정된 고정점 $y{\displaystyle }$= ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle$ y$=0}$을(를) 포함한다.Moreover, ${\displaystyle {\bar {f}}^{1}}$is continuously differentiable with respect to ${\displaystyle y}$ in ${\displaystyle D}$ and has a domain of attraction ${\displaystyle D^{0}\subset D}$. For any compact ${\displaystyle K\subset D^{0}}$ and for all ${\displaystyle x_0\in K}$${\displaystyle x_{0}\in K}$ ${\displaystyle \Delta }$( in ) =${\displaystyle o}$ (${\displaystyle 1}$) = o $(\displaystyle \delta (\varepsilon )=o(1)}$ 일반 사례에서는$$ $O{\displaystyle \mathcal{}}$ ($){\displaystyle{\mathcal{O}(\varepsilon )}$을(으)로$$ 표시.

참조