슬로우 다지관

수학에서, 동력계 평형점의 느린 다지관은 중심 다지관의 가장 일반적인 예로서 발생한다.동적 시스템을 단순화하는 주요 방법 중 하나는 시스템의 치수를 느린 다지관의 치수(중앙 다지관 이론)로 줄이는 것이다.^[1][2]예를 들어, 대기 또는 해양의 일부 글로벌 및 지역 모델은 대기/해양 역학의 느린 다지관에서 소위 준기후성 흐름 역학을 해결하며,^[3] 따라서 기후 모델을 사용하여 예측하는 데 매우 중요하다.

정의

동적 시스템을 고려하십시오.

${\dfrac {d{\vec {x}}{dt}={\vec {f}({\vec {x}})}$

진화하는 상태 벡터 $x{\displaystyle \stackrel{}{}}$→${\displaystyle }$( ${\displaystyle t}$) ${\displaystyle {\vec{x}(t)}$ 및$$ 평형점 $x{\displaystyle {\stackrel{}{}}^{}}$→ ${\displaystyle {\ast }^{}}$ ${\$ 그러면 평형점에서 시스템의 선형화는

${\displaystyle {\frac {d{\vec{x}}{dt}}=A{\vec{x}}\quad{\text{where}A={\frac{d{\vec{f}}{d{\vec{x}}}}}{\vec{x}^{*}).}$

매트릭스 $A{\displaystyle }$ ${\displaystyle A}$은 매트릭스의$$ 고유값 $\lambda {\displaystyle }$ ${\displaystyle \lambda }$으로 특징지어지는 네 개의 불변성 서브스페이스를 정의하는데$$, 서브스페이스의 중심 다지관 항목에서 설명한 바와 같이 $고유값{\displaystyle }$ {$${\$dis$}을 갖는 고유 벡터의 범위에 해당하는 안정적이고 불안정하며 중심적인 서브스페이스를 의미한다.각각 실제 부분 음극, 양극, 0을 갖는$$ $플레이스타일 \dada$}; 네 번째 하위공간은 $고유값{\displaystyle }$ ${\displaystyle 0}$= 0 ${\displaystyle \lambda$=0$}$에 정확하게 해당하는 고유벡터 및 일반화된 고유벡터들이다.느린 하위 공간은 중심 하위 공간의 하위 공간 또는 그 하위 공간과 동일하거나 비어 있을 수 있다.

이에 상응하여, 비선형 시스템은 이러한 불변 서브스페이스 각각에 해당하는 비선형 시스템의 궤도로 만들어진 불변 다지관을 가지고 있다.저속 서브 스페이스에 접하고 동일한 치수의 불변 다지관이 있다. 이 다지관은 저속 다지관이다.

또한 확률론적 슬로우 다지관은 확률론적 중심, 안정적이고 불안정한 다지관처럼 소음이 많은 동적 시스템( 확률론적 미분 방정식)에도 존재한다.^[4]그러한 확률적 느린 다지관은 긴급한 확률적 역학을 모델링하는 데 유사하게 유용하지만, 역사 및 소음의 미래 의존적 통합과 같은 해결해야 할 매력적인 문제들이 많이 있다.^[5][6]

예

두 개의 변수가 있는 단순 사례

두 변수 $x{\displaystyle (}$ ${\displaystyle t}$) ${\displaystyle x(t)}$ 및$$ $y{\displaystyle (t)}$ ${\displaystyle y(t)}$의 결합된 시스템

${\dplaystyle {\frac {dx}{dt}=-xy\propert{\text{\data.}}}\propert {dy}}{dt}=-y+x^{2}:{2}}:$

$진화$가 $d{\displaystyle }$ ${\displaystyle x}$/ ${\displaystyle d}$ ${\displaystyle t}$= -${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {3\mathrm{}}^{}}$ ${\$ $y=x^{3}$인 정확한 느린 다지관 y${\displaystyle }$= x ${\displaystyle {2\mathrm{}}^{}}$ ${\$dapplaystyle $dx/dt=-x^{3}$를 가지고 있다$.$ 기하급수적으로 부패하는 과도현상과 별도로 이 느린 다지관과 그 진화는 원점 근처에 있는 모든 해결책을 포착한다.^[7]어트랙션의 주변은 적어도 반공 >- / ${\displaystyle$ y$>-1/2}$이다

빠른 파동 사이의 느린 역학

에드워드 노턴 로렌츠(Edward Norton Lorrenz)는 준기후성 흐름의^[8] 느린 다지관의 개념을 탐구하기 위해 5개의 변수에 5개의 방정식의 다음과 같은 동적 체계를 도입했다.

${\displaystyle {\begin{igned}{\frac {dU}{dt}&=-VW+bVZ,\[6pt]{\frac {dV}{dt}&==UW-bUZ,\\[6pt]{\frac {dW}{dt}&=-UV,\\[6pt]{dX}{dt}=-Z,\\\\\frac {dZ}{dt}=X+BUV.\end{정렬}}}$

원점에 대해 선형화된 고유값 0은 다중성 3을 가지며$,{\displaystyle }$ ± i ${\displaystyle \pm$ i$}$의 복잡한 결합 쌍이 있다$.$ 따라서 3차원 느린 다지관($X{\displaystyle }$ ${\displaystyle X}$ $및$ Z ${\displaysty Z}$ 변수에서$$ '빠른' 파형에 의해 확산됨)이 존재한다.로렌츠는 나중에 느린 다지관은 존재하지 않는다고 주장했다.^[9]그러나 정상적인 형태의^[10] 주장은 로렌츠 시스템에 기하급수적으로 가까운 역동적인 시스템이 있다는 것을 암시하고 있는데, 그 시스템에는 좋은 느린 다지관이 있다.

무한대의 변수 제거

모델링에서 우리는 엄청나게 단순화하는 것을 목표로 한다.이 예는 느린 다지관을 사용하여 부분 미분 방정식의 '무한 치수' 역학을 하나의 일반적인 미분 방정식의 모델로 단순화한다.비선형 확산이 진행$$ 중인 필드 $u{\displaystyle (x}$, ${\displaystyle t}$) ${\displaystyle u(x,t)}$을(를) 고려하십시오.

${\displaystyle {\frac {\frac {\reason t}=u{\frac {\reason ^{2}u}{\properties x^{2}}}\text{{\text{{n1} 도메인에서}$

로빈 경계 조건과 함께

${\displaystyle 2bu\pm (1-b){\frac {\pam u}{\\pam x}}=0\pm={\text{non}}}$

$경계{\displaystyle }$ 조건을 b ${\displaystyle b}$에 따라 파라미터를 상승시키면 절연 Neuman 경계 조건 사례 ${\displaystyle \mathrm{b}}$= 0 ${\displaystyle$ b$=0$ Dirichlet 경계 조건 $사례{\displaystyle }$ b${\displaystyle }$= ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle$ b$=1$ 그리고 그 사이의 모든 사례를 커버할 수 있다$$.

이제 분기 이론으로 역학을 탐구하는 데 많이 쓰이는 놀라운 속임수를 위해.매개 변수 $b{\displaystyle }$ ${\displaystyle b}$이(가) 일정하므로 사소한 참 미분 방정식을 연결하십시오.

${\displaystyle {\frac {\property b}{\put t}=0}$

그러면 진화하는 분야와 매개변수의 확장된 상태 공간$({\displaystyle b}$ ,${\displaystyle u}$ (${\displaystyle }$x${\displaystyle }$)${\displaystyle (b,u(x$에는 $b{\displaystyle }$= ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle b=0}($인슐레이터)과 $u{\displaystyle }$${\displaystyle }$=${\displaystystyle u$이$($가)가 상수인 평형만 하나의 ${\displaystyle \mathrm{평형}}$이 아닌 무한성이 존재한다.각 및 모든 평형 확산에 대하여 선형화된 확산은 2개의 0 고유값을 가지며 보다 낮은 0$[\displaystyle a>0}$의 경우 나머지는 모두 음수( -${\displaystyle {}^{}}$ 2 a${\displaystyle }$/ ${\displaystyle 4\mathrm{}}$ ${\displaystyle -\pi ^{2}a/4})$이다.$$따라서 초기 조건이 아무리 복잡하더라도 비선형 확산으로부터 느린 다지관의 2차원 역학(출발 참조)이 나타난다.

여기에서 완속 다지관이 정확히 필드 $u{\displaystyle (x}$, ${\displaystyle t}$)인지 확인할 수 있으며$,$ a$displaystyle$ $u$${\displaystyle (}$x$$$,t)=a(t$)($1-bx^{2})$가 $진폭$ a ${\displaysty$ a$}$에 따라 진화한다.

${\displaystyle {\frac {da}{dt}=-2a^{2}b\reason{\text{and}}{\frac {db}}=0.}$

즉, 부드러운 내부 구조를 확산시켜 초기 과도현상을 일으킨 후, 비상 동작은 경계 조건의 유형($정수{\displaystyle }$ b ${\displaystyle a})$에 의해 제어되는 속도로 진폭의 비교적 느린 붕괴$({\displaystyle a}$ ) 중 하나이다.$$

이 느린 다지관 모델은 각 평형들이 서로 평형들의 느린 하위 공간에 있어야 하지만 $매개변수{\displaystyle }$ b ${\$$displaystyle b$$}$에서만 국소적이기 때문에$$ ${\$$displaystyle a$$}$에서 글로벌하다는 점에 주목하십시오$.$ 우리는 $아직{\displaystyle }$b {\$displaystyle b}$을(를) 얼마나 크게 취할 수 있는지$$ 확신할 수 없지만, 그 결과는 일부 f에 부합한다고 이론은 확신하고 있다.inite 매개 $변수{\displaystyle }$ b ${\displaystyle$ b$\}.$

아마도 가장 단순한 비탄성 슬로우 다지관일 것이다.

확률적 모델링은 훨씬 더 복잡하다. 이 예는 그러한 복잡성을 단 한 가지 보여준다.작은 $매개{\displaystyle }$ 변수 ▼ ${\displaystyle \epsilon }$ 랜덤 워크 $W{\displaystyle }$( ${\displaystyle t}$) ${\displaystyle W(t)}$의 노이즈로 강제 이 선형 시스템의 두 변수$$ 역학$:$

${\displaystyle dx=\varepsilon y\,dt\quad {\text{and}}\qad dy=-y\,dt+dW\,}$

올슈타인-오른슈타인-이것을 단순히 알아차릴 수 있었다.Uhlenbeck $process{\displaystyle }$y {\$displaystyle y}$은(는) 공식적으로 역사적으로 통합되어 있음$$

${\displaystyle y=\int _{-\infit }^{t}\exp(s-t)\,dW}$

그리고 $나서{\displaystyle }$x (${\displaystyle t}$ ) ${\displaystyle x(t)}$이(가) 단순히 이 역사의 정수라고 주장한다$$.그러나 이 솔루션은 통합의$$ ${\displaystyle \exp }$exp${\displaystyle (s}$- ${\displaystyle t}$) ${\displaystyle \exp(s-t)}$ 때문에 부적절하게 빠른 시간 통합을 포함한다.

또는, 확률적 좌표 변환은 장기 역학의 건전한 모델을 추출한다.변수를${\displaystyle }$( ${\displaystyle X}$(${\displaystyle t}$ )${\displaystyle }$, ${\displaystyle Y}$( ${\displaystyle t}$)${\displaystyle (X(t),$ Y$(t)}($으)로 변경하십시오.

${\displaystyle y=Y+\int _{-\nft}^{t}\exp(s-t)\,dW(s)\quad {\text{and}\}\capsilon Y-\varepsilon \int _{-\inft}\exput(s)\dW(s)$

그리고 새로운 변수들은 단순함에 따라 진화한다.

${\dw스타일 dX=\varepsilon \,dW\quad {\text{and}}\quad dY=-Y\,dt.}$

In these new coordinates we readily deduce ${\displaystyle Y(t)\to 0}$ exponentially quickly, leaving ${\displaystyle X(t)=\epsilon W(t)}$ undergoing a random walk to be the long term model of the stochastic dynamics on the stochastic slow manifold obtained by setting ${\displaystyle Y=0}$.

웹 서비스는 그러한 느린 다지관을 결정론적 및 확률적 둘 다의 유한한 차원으로 구성한다.^[11]

참고 항목

• 준기하 방정식

참조