아이덴티티 컴포넌트

Identity component

수학, 특히 집단 이론에서, 그룹 G의 정체성 요소는 정체성 요소를 포함하는 G의 가장 큰 연결 서브그룹의 몇몇 밀접하게 관련된 개념을 말한다.null

점 집합 위상에서 위상 그룹 G의 ID 구성요소는 그룹의 ID 요소를 포함하는 G의 연결된 구성요소 G이다0.위상학적 그룹 G의 ID 경로 구성요소는 그룹의 ID 요소를 포함하는 G의 경로 구성요소다.null

대수 기하학에서, 필드 k에 대한 대수 그룹 G의 정체성 요소는 기초 위상학 공간의 정체성 요소다.기본 구성표 S에 대한 그룹 구성표 G의 ID 구성 요소는 대략적으로 말하면, S 지점의 섬유소가 대수 그룹인 섬유 G의s 연결된 구성 요소(Gs)0인 그룹 구성표0 G이다.[1]null

특성.

위상학 또는 대수학 그룹 G의 ID 성분 G는0 G의 닫힌 정상 부분군이다.부품이 항상 닫혀 있기 때문에 닫힌다.위상학 또는 대수학 그룹의 곱셈과 역행은 정의에 의한 연속 지도이기 때문에 부분군이다.게다가, 어떤 연속적인 자동화에도 우리는 G를 가지고 있는 것이다.

a0(G0) = G

따라서 G는0 G의 특징적인 부분군이기 때문에 정상이다.null

위상학 그룹 G의 ID 성분 G는0 G에서 개방될 필요가 없다.사실 우리는0 G = {e}이(가) 있을 수 있는데, 이 경우 G는 완전히 연결이 끊어진다.그러나 로컬 경로로 연결된 공간(예: Lie 그룹)의 ID 구성 요소는 경로로 연결된 {e}의 인접성을 포함하므로 항상 열려 있으므로, 따라서 Clopen 집합이 된다.null

위상학 그룹의 ID 경로 구성요소는 일반적으로 ID 구성요소보다 작을 수 있지만(경로 연결성이 연결성보다 강한 조건이기 때문에), G가 국소 경로로 연결된 경우 이러한 구성요소는 일치한다.null

컴포넌트 그룹

지수군 G/G는0 G의 성분군 또는 성분군이라고 한다.그것의 요소들은 단지 G의 연결된 요소들이다.구성요소 그룹 G/G는0 G가0 열려 있는 경우에만 이산 그룹이다.만약 G가 아핀 대수군처럼 유한형의 대수군이라면 G/G는0 사실상 유한군이다.null

하나는 유사하게 경로 구성요소 그룹을 경로 구성요소 그룹(ID 경로 구성요소에 의한 G의 양수)으로 정의할 수 있으며, 일반적으로 구성요소 그룹은 경로 구성요소 그룹의 몫이지만, G가 로컬로 연결된 경우 이 그룹들은 동의한다.경로 구성요소 그룹은 또한 zeroth homotophy 그룹, 0( ,e ). )로 특징지어질 수 있다

예

  • 곱하기(R*,•)가 있는 0이 아닌 실수의 그룹은 두 개의 구성요소를 가지며 구성요소 그룹은 ({1,-1,•)이다.
  • 분할 복합 번호의 링에 있는 단위 U 그룹을 고려하십시오.평면의 일반 위상 {z = x + j y : x, y ordinary R}에서 U는 y = x, y = - x 선으로 4개의 성분으로 나뉘는데 여기서 z는 역이 없다.그러면 U0 = { z : y < x } . 이 경우 U의 성분 그룹은 클라인 4그룹에 대해 이형성이 있다.
  • p-adic 정수의 첨가제 그룹(Zp,+)의 아이덴티티 컴포넌트는 Z가p 완전히 분리되어 있으므로 싱글톤 세트 {0}이다.
  • 환원 대수 그룹 G의 Weyl 그룹은 G의 최대 토러스 중 노멀라이저 그룹의 성분 그룹이다.
  • 그룹 구성표2 μ = 기본 구성표 Spec(Z) 위에 정의된 통합의 두 번째 루트의 Spec(Z[x]/(x2 - 1)을 고려하십시오.위상학적으로 μ는n 점(즉, 최상 이상) 2에 부착된 두 개의 곡선 스펙(Z) 복사본으로 구성된다.따라서 μ는n 위상학적 공간으로서 연결되며, 따라서 계략으로 연결된다.단, 2개를 제외한 스펙(Z)의 모든 점에 걸친 섬유는 2개의 이산형 점으로 구성되기 때문에 μ는2 그 아이덴티티 성분과 같지 않다.

위상학 분야 K에 대한 대수학 그룹 G는 자리스키 위상과 K로부터 물려받은 위상이라는 두 개의 자연 위상을 인정한다.G의 아이덴티티 구성요소는 위상에 따라 자주 변한다.예를 들어, 일반 선형 그룹n GL(R)은 대수 그룹으로 연결되지만 Lie 그룹으로 두 개의 경로 구성요소를 가지고 있는데, 이는 양의 결정요소의 행렬과 음의 결정요인의 행렬이다.아르키메데스가 아닌 지역 필드 K에 대해 연결된 대수 그룹은 K-토폴로지에서는 완전히 분리되므로 그 위상에서는 사소한 식별 구성요소를 갖는다.null

주석을 달다

  1. ^ SGA 3, v. 1, Exposé VI, Définition 3.1

참조

  • 레프 세메모비치 폰트랴긴, 토폴로지 그룹, 1966.
  • Demazure, Michel; Gabriel, Pierre (1970), Groupes algébriques. Tome I: Géométrie algébrique, généralités, groupes commutatifs, Paris: Masson, ISBN 978-2225616662, MR 0302656
  • Demazure, Michel; Alexandre Grothendieck, eds. (1970). Séminaire de Géométrie Algébrique du Bois Marie - 1962-64 - Schémas en groupes - (SGA 3) - vol. 1 (Lecture notes in mathematics 151). Lecture Notes in Mathematics (in French). Vol. 151. Berlin; New York: Springer-Verlag. pp. xv+564. doi:10.1007/BFb0058993. ISBN 978-3-540-05179-4. MR 0274458.