레머의 추측

레머의 말러 측정 문제라고도 알려진 레머의 추측은 데릭 헨리 레머가 제기한 수 이론의 문제다.^[1]추측에 따르면 정수 계수 $P(x)\in \mathbb {Z} [x]$ ( x $P(x)\in \mathbb {Z} [x]$ )를 $P(x)\in \mathbb {Z} [x]$ 가진 $P(x)\in \mathbb {Z} [x]$ 다항식이 $P(x)\in \mathbb {Z} [x]$ 속성 중 $하나$ 를 만족하도록 $\mu >1$ $P(x)\in \mathbb {Z} [x]$ 절대 상수 $\mu >1$ > 1 ${\displaystyle \mu$ $>$ 1}이 $($ $)$ 있다고 한다 $.$

$말러$ 측정치^[2] ${\mathcal {M}}(P(x))$ ( ${\mathcal {M}}(P(x))$ ) ${\displaystyle {\mathcal$ {\ $matcal}(P(x)})$ 의 ${\mathcal {M}}(P(x))$ P $P(x)$ ( $)}$ 은(는) $P(x)$ $\mu$ $\mu$ 보다 크거나 $P(x)$ 같다 $\mu$
$P(x)$ is an integral multiple of a product of cyclotomic polynomials or the monomial $x$ , in which case ${\mathcal {M}}(P(x))=1$ . (Equivalently, every complex root of $P(x)$ is a root of unity or zero.)

말러 측정에는 여러 가지 정의가 있는데, 그 중 하나는 $\mathbb {C}$ ${\$ \mathb ${C}$ 에 $P(x)$ $P(x)$ $\mathbb {C}$ P( $P(x)$ {\ $displaystyle$ P(x)}을 $($ 를 $)$ 인자로 하는 것이다.

P(x)=a_{0}(x-\alpha _{1})(x-\alpha _{2})\cdots(x-\alpha _{D}),

그 다음에 설정하다

{\mathcal{M}(P(x))= a_{0} \prod _{i=1}^{D}\max(1, \alpha _{i}).

알려진 말러의 가장 작은 측정치(1보다 큼)는 "레머의 다항식"에 대한 것이다.

P(x)=x^{10}+x^{9}-x^{7}-x^{6}-x^{5}-x^{4}-x^{3}+x+1\

말러 측정이 세일럼 번호인^[3] 경우

{\mathcal{M}(P(x))=1.176280818\dots \ .

이 예는 진정한 최소값을 나타낸다고 널리 알려져 있다: 레머의 추측에서 $\mu =1.176280818\dots$ $\mu =1.176280818\dots$ = $\mu =1.176280818\dots$ … ${\displaystyle \mu = 1.176280818\dots$ ^[4]^[5] $}.$

동기

Consider Mahler measure for one variable and Jensen's formula shows that if $P(x)=a_{0}(x-\alpha _{1})(x-\alpha _{2})\cdots (x-\alpha _{D})$ then

{\mathcal{M}(P(x))= a_{0} \prod _{i=1}^{D}\max(1, \alpha _{i}).

이 단락에서 $m(P)=\log({\mathcal {M}}(P(x))$ ( $m(P)=\log({\mathcal {M}}(P(x))$ ) $m(P)=\log({\mathcal {M}}(P(x))$ = $m(P)=\log({\mathcal {M}}(P(x))$ $m(P)=\log({\mathcal {M}}(P(x))$ ( $m(P)=\log({\mathcal {M}}(P(x))$ ( p $m(P)=\log({\mathcal {M}}(P(x))$ ( $m(P)=\log({\mathcal {M}}(P(x))$ ) $m(P)=\log({\mathcal {M}}(P(x))$ ) $m(P)=\log({\mathcal{M})(P(x)})}$ 을 가리키는데, $m(P)=\log({\mathcal {M}}(P(x))$ 이것을 말러 측정이라고도 한다.

$P$ $P$ 에 정수 계수가 있는 $P$ 경우, ${\mathcal {M}}(P)$ 는 M ${\mathcal {M}}(P)$ ( ${\mathcal {M}}(P)$ ) ${\mathcal {M}}(P)$ {\ $displaystyle$ {\ $mathcal{M}(P)}$ 이 $\mathcal{M}(P)$ (가) 대수 수이므로 $m(P)$ ( $m(P)$ ) ${\displaystym m(P)}$ 이 $m(P)$ (가) 대수 정수의 로그임을 나타낸다.It also shows that $m(P)\geq 0$ and that if $m(P)=0$ then $P$ is a product of cyclotomic polynomials i.e. monic polynomials whose all roots are roots of unity, or a monomial polynomial of $x$ i.e. a power ${\displaystyle$ $x^{n}$ $n$ $x^{n}$ n ${\$ displaystyle $n}$ 의 경우 x^{ $n}.$ $n$

Δ nxRes(P())정수 시퀀스의 연구에서 주계수가 1인 P{P\displaystyle}에 레메르 noticed[1][6]그 m(P)=0{\displaystyle m(P)=0}은 중요한-1n− 1))∏ 나는 갈1D(α 나는 − 1의 스녀){\displaystyle \Delta_{n}={\text{Res}}(P()),x^{n}-1)=\prod _ᆴ^ᆵ(\alpha_{나는}^{n}))}. 만약.p $P$ does not vanish on the circle then $\lim \Delta _{n} ^{1/n}={\mathcal {M}}(P)$ . If $P$ does vanish on the circle but not at any root of unity, then the same convergence holds by Baker's theorem (in fact an earlier result of Gelfond i린드가 준위축성 토랄 자동화에^[7] 대한 연구와 관련하여 지적한 바와 같이, 이것으로 충분하다.^[8]그 결과 르메르는 질문을 하게 되었다.

c>0

된

m(P)>c

P

P

이(가) 사이클로토모틱이 아닌

P

m(P)>c

m(P)>c

>

m(P)>c

{\displaystyle m(P)}과(

와

c>0

) 같은 상수 c >

{\displaysty

c>

0}

이(가) 있는지 여부,

또는

c

c>0

>

c>0

{\displaystyle c>

0

c>0

정수 계수가

0<m(P)<c

<

0<m(P)<c

( P

0<m(P)<c

>인 P

{\displaystyle

P

}

이

P

(가

)

있는가

0<m(P)<c

일부 긍정적인 답변은 다음과 같이 제공되었지만, 르메르의 추측이 아직 완전히 입증되지 않았고 여전히 많은 관심을 가지고 있는 의문이다.

부분 결과

$P(x)\in \mathbb {Z} [x]$ ( $P(x)\in \mathbb {Z} [x]$ ) $P(x)\in \mathbb {Z} [x]$ $P(x)\in \mathbb {Z} [x]$ [ x $P(x)\in \mathbb {Z} [x]$ ] {\ $displaystyle P(x)\in \mathb {Z}[x]}$ 을(를) $도$ D {\ $displaystyle$ D $}$ 의 불가역적 단일 다항식이 되도록 $P(x)\in \mathbb {Z} [x]$ 한다 $D$

Smyth는 역수가 아닌 모든 다항식, 즉 $x^{D}P(x^{-1})\neq P(x)$ D $x^{D}P(x^{-1})\neq P(x)$ ( $x^{D}P(x^{-1})\neq P(x)$ - $x^{D}P(x^{-1})\neq P(x)$ ) $x^{D}P(x^{-1})\neq P(x)$ $x^{D}P(x^{-1})\neq P(x)$ ( x $){\displaystyle x^{D}P(x^{-1})\neq P(x$ 에 대해 Lehmer의 추측이 사실임을 증명했다.

Blanksby와 Montgomery와^[10] Stewart는^[11] ${\mathcal {M}}(P(x))=1$ 으로 ${\mathcal {M}}(P(x))=1$ ( ${\mathcal {M}}(P(x))=1$ ) ${\mathcal {M}}(P(x))=1$ = 1 ${\displaystyle {\mathcal {\$ mathcal {\ $M}(P(x)=1}$ 또는 $C>1$ ${\mathcal {M}}(P(x))=1$ ^[12] 같은 절대 $C>1$ C $C>1$ > $C>1$ ${\displaystystyle C>1}$ 이 있다는 것을 증명했다.

\log {\mathcal {M}(P(x))\geq {\frac {C}{D\log D}.

도브루올스키가 이 점을 개선했다.

\log{\mathcal {M}(P(x))\geq C\left({\frac {\log D}{\log D}\오른쪽)^{3}

도브루올스키는 충분히 큰 모든 D에 대해 C 1 1/1200과 점증상 C > 1-170을 얻었다.보티어는 1996년 D ≥ 2에 대해 C ≥ 1/4을 획득했다.^[14]

타원 유사점

$E/K$ / $E/K$ $E/K$ 을(를) 숫자 $필드$ K ${\$ ${\hat {h}}_{E}:E({\bar {K}})\to \mathbb {R}$ K $}$ 에 $대해$ 정의된 타원형 곡선으로 하고 $E/K$ , ${\hat {h}}_{E}:E({\bar {K}})\to \mathbb {R}$ ^ ${\hat {h}}_{E}:E({\bar {K}})\to \mathbb {R}$ : ${\hat {h}}_{E}:E({\bar {K}})\to \mathbb {R}$ ( ${\hat {h}}_{E}:E({\bar {K}})\to \mathbb {R}$ K ${\hat {h}}_{E}:E({\bar {K}})\to \mathbb {R}$ ) ${\hat {h}}_{E}:E({\bar {K}})\to \mathbb {R}$ → R ${\$ $E({\bar {K})\to \mathb {R}}$ 은(는) 표준 높이 함수가 된다 ${\hat {h}}_{E}:E({\bar {K}})\to \mathbb {R}$ .표준 높이는 함수 $(\deg P)^{-1}\log {\mathcal {M}}(P(x))$ $(\deg P)^{-1}\log {\mathcal {M}}(P(x))$ $(\deg P)^{-1}\log {\mathcal {M}}(P(x))$ ) $(\deg P)^{-1}\log {\mathcal {M}}(P(x))$ - 1 $(\deg P)^{-1}\log {\mathcal {M}}(P(x))$ $(\deg P)^{-1}\log {\mathcal {M}}(P(x))$ $(\deg P)^{-1}\log {\mathcal {M}}(P(x))$ ( x ){\ $displaystyle (\deg$ P $)^{-1}\log {\mathcal {M}(P(x)})}$ 의 타원 곡선에 대한 아날로그 입니다 $(\deg P)^{-1}\log {\mathcal {M}}(P(x))$ $Q$ ${\displaystyle$ Q $}$ 이(가) $){\displaystyle E({\bar {K})$ 의 비틀림 지점인 $Q$ 경우에만 ${\hat {h}}_{E}(Q)=0$ ${\hat {h}}_{E}(Q)=0$ ${\hat {h}}_{E}(Q)=0$ ${\hat {h}}_{E}(Q)=0$ ) ${\hat {h}}_{E}(Q)=0$ = ${\hat {h}}_{E}(Q)=0$ ${\displaystyle$ {h $}_{E}(Q)=0}$ 인 속성을 갖는다.타원형 레머 추측에 따르면 다음과 같은 $C(E/K)>0$ $C(E/K)>0$ / K $C(E/K)>0$ ) $C(E/K)>0$ > $C(E/K)>0$ $C(E/K)>0$ 이(가) 있다고 한다.

{\hat {h}}_{E}(Q)\geq {\frac {C(E/K)}{D}}

for all non-torsion points

Q\in E({\bar {K}})

,

여기서 $D=[K(Q):K]$ = $D=[K(Q):K]$ [ $D=[K(Q):K]$ ( Q $D=[K(Q):K]$ ) $D=[K(Q):K]$ : $D=[K(Q):K]$ $D=[K(Q):K]$ ${\displaystyle$ D $=[K(Q):K$ 타원 곡선 E가 복잡한 곱셈을 갖는 경우, 도브로볼스키 결과의 아날로그는 다음을 유지한다.

{\h}_{E}(Q)\geq {\frac {C(E/K)}{D}\왼쪽({\frac {\log D}{\log D}\오른쪽)^{3}}

로랑 ^[15]때문에임의 타원형 곡선의 경우 가장 잘 알려진 결과는

{\h}_{E}(Q)\geq {\frac {C(E/K)}{D^{3}(\log D)^{2}}},

메사르 ^[16]때문에비적분 j-invariant가 있는 타원곡선의 경우, 이 값은 다음과 같이 개선되었다.

{\h}_{E}(Q)\geq {\frac {C(E/K)}{D^{2}(\log D)^{2}}},

힌두교와 실버맨에 의해.^[17]

제한된 결과

다항식 또는 대수 숫자의 제한된 클래스에 대해 더 강한 결과가 알려져 있다.

P(x)가 역수가 아닌 경우

M(P)\geq M(x^{3}-x-1)\약 1.3247

이게 최선인 것 ^[18]같아P의 모든 계수가 홀수일 경우^[19]

(\displaystyle M(P)\geq M(x^{2}-x-1)\ 약 1.618.}

대수적 숫자 α에 $M(\alpha )$ 는 M $M(\alpha )$ ) $M(\alpha )$ {\ $displaystyle M(\alpha$ )}을(를) α의 $P_{\alpha }$ 최소 $P_{\alpha }$ P ${\$ 의 말러 측도가 되게 $M(\alpha )$ 한다.필드 Q(α)가 Q의 갈루아 확장인 경우, Lehmer의 $P_{\alpha }$ 으로는 $P_{\alpha }$ α {\ $displaystyle$ P_ ${\alpha$ }}을(를) 지탱한다 $P_{\alpha }$ ^[19]

콤팩트 그룹 자동화의 구조와의 관계

콤팩트 메트리저블 아벨리안 집단의 에르고딕 오토모형의 측정-이론 엔트로피는 유한한 경우 정수 계수를 갖는 다항식의 로그 말러 측정에 의해 주어지는 것으로 알려져 있다.^[20]린드가 지적한 바와 같이, 이는 그러한 행동의 엔트로피의 가능한 값 집합이 $(0,\infty ]$ 레머의 문제에 대한 해결책에 따라 ( $(0,\infty ]$ $(0,\infty ]$ $(0,\infty ]$ ${\displaystyle (0,\infit ])$ 의 전부 또는 $(0,\infty ]$ 카운트 가능한 집합이라는 것을 의미한다.^[21]린드는 또한 무한 차원 토러스에는 유한양성 엔트로피의 에고딕적 자동화가 있거나 레머의 문제에 대한 해결책에 따라 무한 엔트로피의 자동화가 있을 뿐이라는 것을 보여주었다.에고다이컬 콤팩트 그룹 오토모르피즘은 베르누이 교대조에 대해 측정 가능한 이소모르퍼시즘으로, 그리고 베르누이 교대조는 오르스타인의 정리에 의해 엔트로피에 의해 측정 가능한 이소모르퍼시즘으로 분류되기 때문에, 이는 측정 가능한 이소모르퍼시즘까지의 모든 에고다이 콤팩트 그룹 오토모피즘의 모듈리 공간은 셀 수 있거나 셀 수 없는 것이다.레머의 문제에 대한 해결책으로 말이야

참조

^ ^a ^b Lehmer, D.H. (1933). "Factorization of certain cyclotomic functions". Ann. Math. 2. 34 (3): 461–479. doi:10.2307/1968172. hdl:10338.dmlcz/128119. ISSN 0003-486X. JSTOR 1968172. Zbl 0007.19904.
^ Smyth, Chris (2008). "The Mahler measure of algebraic numbers: a survey". In McKee, James; Smyth, Chris (eds.). Number Theory and Polynomials. Cambridge University Press. pp. 322–349. ISBN 978-0-521-71467-9.
^ Borwein, Peter (2002). Computational Excursions in Analysis and Number Theory. CMS Books in Mathematics. Springer-Verlag. p. 16. ISBN 0-387-95444-9. Zbl 1020.12001.
^ Smyth(2008) 페이지 324
^ Everest, Graham; van der Poorten, Alf; Shparlinski, Igor; Ward, Thomas (2003). Recurrence sequences. Mathematical Surveys and Monographs. Vol. 104. Providence, RI: American Mathematical Society. p. 30. ISBN 0-8218-3387-1. Zbl 1033.11006.
^ Boyd, David (1981). "Speculations concerning the range of Mahler's measure". Canad. Math. Bull. 24 (4): 453–469. doi:10.4153/CMB-1981-069-5.
^ Lind, D. A. (1982). "Dynamical properties of quasihyperbolic toral automorphisms". Ergodic Theory and Dynamical Systems. 2: 49–68.
^ Everest, Graham; Ward, Thomas (1999). Heights of polynomials and entropy in algebraic dynamics. London: Springer. ISBN 1-85233-125-9.
^ Smyth, C. J. (1971). "On the product of the conjugates outside the unit circle of an algebraic integer". Bulletin of the London Mathematical Society. 3 (2): 169–175. doi:10.1112/blms/3.2.169. Zbl 1139.11002.
^ Blanksby, P. E.; Montgomery, H. L. (1971). "Algebraic integers near the unit circle". Acta Arith. 18: 355–369. doi:10.4064/aa-18-1-355-369. Zbl 0221.12003.
^ Stewart, C. L. (1978). "Algebraic integers whose conjugates lie near the unit circle". Bull. Soc. Math. France. 106: 169–176. doi:10.24033/bsmf.1868.
^ Smyth(2008) 페이지 325
^ Dobrowolski, E. (1979). "On a question of Lehmer and the number of irreducible factors of a polynomial". Acta Arith. 34 (4): 391–401. doi:10.4064/aa-34-4-391-401.
^ P. 부티어, 대수적 숫자의 높이에 대한 유효 하한, Acta Arith. 74 (1996), 81–95.
^ Smyth(2008) 페이지 327
^ Masser, D.W. (1989). "Counting points of small height on elliptic curves". Bull. Soc. Math. Fr. 117 (2): 247–265. doi:10.24033/bsmf.2120. Zbl 0723.14026.
^ Hindry, Marc; Silverman, Joseph H. (1990). "On Lehmer's conjecture for elliptic curves". In Goldstein, Catherine (ed.). Sémin. Théor. Nombres, Paris/Fr. 1988-89. Prog. Math. Vol. 91. pp. 103–116. ISBN 0-8176-3493-2. Zbl 0741.14013.
^ Smyth(2008) 페이지 328
^ ^a ^b Smyth(2008) 페이지 329
^ Lind, Douglas; Schmidt, Klaus; Ward, Tom (1990). "Mahler measure and entropy for commuting automorphisms of compact groups". Inventiones Mathematicae. 101: 593–629. doi:10.1007/BF01231517.
^ Lind, Douglas (1977). "The structure of skew products with ergodic group automorphisms". Israel Journal of Mathematics. 28, No. 3: 205–248. doi:10.1007/BF02759810.

외부 링크

http://wayback.cecm.sfu.ca/~mjm/Lehmer/는 이 문제에 대한 좋은 언급이다.
Weisstein, Eric W. "Lehmer's Mahler Measure Problem". MathWorld.

[lmr-1] Lehmer, D.H. (1933). "Factorization of certain cyclotomic functions". Ann. Math. 2. 34 (3): 461–479. doi:10.2307/1968172. hdl:10338.dmlcz/128119. ISSN 0003-486X. JSTOR 1968172. Zbl 0007.19904.

[2] Smyth, Chris (2008). "The Mahler measure of algebraic numbers: a survey". In McKee, James; Smyth, Chris (eds.). Number Theory and Polynomials. Cambridge University Press. pp. 322–349. ISBN 978-0-521-71467-9.

[3] Borwein, Peter (2002). Computational Excursions in Analysis and Number Theory. CMS Books in Mathematics. Springer-Verlag. p. 16. ISBN 0-387-95444-9. Zbl 1020.12001.

[S234-4] Smyth(2008) 페이지 324

[EPSW30-5] Everest, Graham; van der Poorten, Alf; Shparlinski, Igor; Ward, Thomas (2003). Recurrence sequences. Mathematical Surveys and Monographs. Vol. 104. Providence, RI: American Mathematical Society. p. 30. ISBN 0-8218-3387-1. Zbl 1033.11006.

[6] Boyd, David (1981). "Speculations concerning the range of Mahler's measure". Canad. Math. Bull. 24 (4): 453–469. doi:10.4153/CMB-1981-069-5.

[7] Lind, D. A. (1982). "Dynamical properties of quasihyperbolic toral automorphisms". Ergodic Theory and Dynamical Systems. 2: 49–68.

[8] Everest, Graham; Ward, Thomas (1999). Heights of polynomials and entropy in algebraic dynamics. London: Springer. ISBN 1-85233-125-9.

[9] Smyth, C. J. (1971). "On the product of the conjugates outside the unit circle of an algebraic integer". Bulletin of the London Mathematical Society. 3 (2): 169–175. doi:10.1112/blms/3.2.169. Zbl 1139.11002.

[10] Blanksby, P. E.; Montgomery, H. L. (1971). "Algebraic integers near the unit circle". Acta Arith. 18: 355–369. doi:10.4064/aa-18-1-355-369. Zbl 0221.12003.

[11] Stewart, C. L. (1978). "Algebraic integers whose conjugates lie near the unit circle". Bull. Soc. Math. France. 106: 169–176. doi:10.24033/bsmf.1868.

[S235-12] Smyth(2008) 페이지 325

[13] Dobrowolski, E. (1979). "On a question of Lehmer and the number of irreducible factors of a polynomial". Acta Arith. 34 (4): 391–401. doi:10.4064/aa-34-4-391-401.

[14] P. 부티어, 대수적 숫자의 높이에 대한 유효 하한, Acta Arith. 74 (1996), 81–95.

[S327-15] Smyth(2008) 페이지 327

[16] Masser, D.W. (1989). "Counting points of small height on elliptic curves". Bull. Soc. Math. Fr. 117 (2): 247–265. doi:10.24033/bsmf.2120. Zbl 0723.14026.

[17] Hindry, Marc; Silverman, Joseph H. (1990). "On Lehmer's conjecture for elliptic curves". In Goldstein, Catherine (ed.). Sémin. Théor. Nombres, Paris/Fr. 1988-89. Prog. Math. Vol. 91. pp. 103–116. ISBN 0-8176-3493-2. Zbl 0741.14013.

[S328-18] Smyth(2008) 페이지 328

[S329-19] Smyth(2008) 페이지 329

[20] Lind, Douglas; Schmidt, Klaus; Ward, Tom (1990). "Mahler measure and entropy for commuting automorphisms of compact groups". Inventiones Mathematicae. 101: 593–629. doi:10.1007/BF01231517.

[21] Lind, Douglas (1977). "The structure of skew products with ergodic group automorphisms". Israel Journal of Mathematics. 28, No. 3: 205–248. doi:10.1007/BF02759810.

[1]

[2]

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[8]

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