노이만 다항식

수학에서 칼 노이만이 특수한 경우 ${\displaystyle \mathrm{\alpha }}$= 0 ${\displaystyle \alpha =0}$을(를) 위해 도입한 Neumann 다항식은 베셀 함수의 관점에서 함수를 확장하는 데 사용되는${\displaystyle }1{\displaystyle \mathrm{}}$/${\displaystyle t}$ ${\displaystyle 1/t}$의 다항식 배열이다$.$^[1]

처음 몇 개의 다항식들은

${\displaystyle O_{0}^{(\alpha )}(t)={\frac {1}{t},}$

${\displaystyle O_{1}^{{1}^{(\alpha )}(t)=2{\frac {\alpha +1}{t^{2}}}$

${\displaystyle O_{2}^{{2}^{\alpha )}(t)={\frac {2+\alpha }{t}}}}{\frac {2+\alpha )(1+\alpha )}{t^{3}}}}},}$

${\displaystyle O_{3}^{\alpha )}{t}=2{\frac {(1+\alpha )}{t^{2}}:}{{t^8}{{1+\alpha )(2+\alpha )(3+\alpha )}{t^{4}}}}}}}}},},}$

${\displaystyle O_{4}^{(\alpha )}(t)={\frac {(1+\alpha )(4+\alpha )}{2t}}+4{\frac {(1+\alpha )(2+\alpha )(4+\alpha )}{t^{3}}}+16{\frac {(1+\alpha )(2+\alpha )(3+\alpha )(4+\alpha )}{t^{5}}}.}$

다항식의 일반적인 형태는

${\displaystyle O_{n}^{n}^{\alpha )}(t)={\frac {\fraca +n}{2\alpha }}}}\sum _{k=0}}{n-k}{\floor }{n-k!}{k!}{-\cHB \n-k}\frac {2}{t}\오른쪽)^{n+1-2k},}$

그리고 그들은 "생성 기능"을 가지고 있다.

${\displaystyle {\frac {z}{2}}\오른쪽)^{\alpha }}{{\Alpha +1}{1}{t-z}}}}}}{n=O_{n}^(t)J_{\alpha +n(z),}}}}{\alpha+n(z),},}}}}}}}}}}}}}}}}}}$

여기서 J는 베셀 함수다.

폼에서 함수 f를 확장하려면

${\displaystyle f(z)=\sum _{n=0}a_{n}J_{\#Alpha +n}(z)\,}$

< c ${\displaystyle$ z $<c$ 계산

${\displaystyle a_{n}={\frac {1}{2\pi i}\point _{z =c'}{\frac {\Gamma(\alpha +1)}{\좌측({\frac {z}{2}}\오른쪽)^{\alpha }f(z)}f(z)O_{n}^{(\alpha )}\(z)\,dz,}$

여기서 < ${\displaystyle$ c$'<c}$ 및 c는 $z{\displaystyle }$= ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle z^{-\$$f(z)}$에서 $z{\displaystyle {}^{}}$ -${\displaystyle {}^{}(z}$)의 가장 가까운 특이점 거리다$.$

예

그 예가 확장이다.

${\displaystyle \left({\tfrac {1}{2}}z\오른쪽)^{s}=\Gamma(s)\sum _{k=0}(1)^{k_{s+2k}(z){s+2k){s \s \s 선택 k}}}$

또는 소닌 공식보다^[2] 더 일반적인

${\displaystyle e^{i\gamma z}=\감마(s)\cdot \sum _{k=0}i^{k}^{{k}}}{\frac {J_{s+k}(z)}{\frc({z}}{2}}\rig)^{s}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}.}$

여기서 $C{\displaystyle {}_{}^{}}$ ${\displaystyle k_{}^{}}$( $){\$는 게겐바우어의 다항식이다. 그러면.^{[citation needed][original research?]}

${\displaystyle {\frac {\left\frac {z}{2}}\오른쪽)^{2k}{{2k-1)!}}}J_{s}(z)=\sum _{i=k}-1^{i-k}{i+k-1 \선택 2k-1}{i+k+s-1 \선택 2k-1(s+2i)J_{s+2i}(z),}$

${\displaystyle \sum \sum_{n}t^{n}J_{s+n}(z)={\frac {e^{\frac {tz}{2}}:{t^}}\sum _{j=0}{\frac(-\frac {z}{2t}}}}\rig}\rig\rig\rig}오른쪽)^{j}}{j!}}{\frac {\gamma \left(j+s,{\frac {tz}{2}}\right)}{\,\Gamma (j+s)}}=\int _{0}^{\infty }e^{-{\frac {zx^{2}}{2t}}}{\frac {zx}{t}}{\frac {J_{s}(z{\sqrt {1-x^{2}}})}{{\sqrt {1-x^{2}}}^{s}}}\,dx,}$

결합초기하 함수

${\displaystyle M(a,s,z)=\Gamma (s)\sum _{k=0}^{\infty }\left(-{\frac {1}{t}}\right)^{k}L_{k}^{(-a-k)}(t){\frac {J_{s+k-1}\left(2{\sqrt {tz}}\right)}{({\sqrt {tz}})^{s-k-1}}},}$

그리고 특히

${\displaystyle {\frac {J_{s}(2z)}{z^{s}}}={\frac {4^{s}\Gamma \left(s+{\frac {1}{2}}\right)}{\sqrt {\pi }}}e^{2iz}\sum _{k=0}L_{k}^{(-s-1/2-k)}\left({\frac {it}{4}}\right)(4iz)^{k}{\frac {J_{2s+k}\left(2{\sqrt {tz}}\right)}}{{\sqrt{tz}^{2s+k}}}$

지수 시프트 공식

${\displaystyle \Gamma (\nu -\mu )J_{\nu }(z)=\Gamma (\mu +1)\sum _{n=0}{\frac {\nu -\mu +n)}{n!\감마(\nu +n+1)}}}\좌({\frac {z}{2}}\우)^{\nu -\mu +n}J_{\mu +n}(z),}$

테일러 팽창(추가 공식)

${\displaystyle {\frac {J_{s}\왼쪽({\sqrt {z^{2}-2uz}\오른쪽)}{\\sqrt {z^{2}-2uz}\오른쪽)}{\pm s}^{k=0}{\frac {(\pm u){k!}}{\frac {J_{s\pm k}(z)}{z^{\pm s}}}}}$

(cf.)^{[3][failed verification]} 및 베셀 함수의 통합 확장,

${\displaystyle \int J_{s}(z)dz=2\sum _{k=0}J_{s+2k+1}(z),}$

같은 타입이다.

참고 항목

• 베셀 함수
• 베셀 다항식
• Lommel 다항식
• 한클 변환
• 푸리에-베셀 시리즈
• 슐라플리폴리노말

메모들