제르니케 다항식

수학에서 제르니케 다항식(Zernike polynomials)은 단위 디스크에서 직교하는 다항식의 배열이다.1953년 노벨 물리학상 수상자이자 위상 대비 현미경학의 발명가인 광학 물리학자 프리츠 제르니케의 이름을 딴 이들은 빔 광학, 영상학 등 다양한 광학 분야에서 중요한 역할을 하고 있다.^[1][2]

정의들

짝수 제르니케 다항식이 있다.짝수 제르니케 다항식은 다음과 같이 정의된다.

${\displaystyle Z_{n}^{m}(\rho ,\varphi )=R_{n}^{n}^{m}(\rho )\,\cos(m\,\varphi )\!}$

(방사각 $\phi {\displaystyle }$ ${\displaystyle \varphi }$ ) 및 홀수 제르니케 다항식은 다음과 같이 정의된다.$$

${\displaystyle Z_{n}^{-m}(\rho ,\varphi )=R_{n}^{n}^(\rho )\,\sin(m\,\varphi )\!}$

(odd function over the azimuthal angle ${\displaystyle \varphi }$) where m and n are nonnegative integers with n ≥ m ≥ 0 (m = 0 for even Zernike polynomials), ${\displaystyle \varphi }$ is the azimuthal angle, ρ is the radial distance ${\displaystyle 0\leq \rho \leq 1}$, and ${\displaystyle R_{n}^{m}$$}$은(는) 아래에 정의된 방사형 다항식이다.Zernike polynomials have the property of being limited to a range of −1 to +1, i.e. ${\displaystyle Z_{n}^{m}(\rho ,\varphi ) \leq 1}$. The radial polynomials ${\displaystyle R_{n}^{m}}$ are defined as

${\displaystyle R_{n}^{m}(\rho )=\sum _{k=0}^{n-m}{2}}{\frac {(1)^{k}\,(n-k)!}}{k!\왼쪽 사진\tfrac {n+m}{2}}-k\오른쪽)!\left\tfrac {n-m}{2}}-k\cHB)!}\;\rho ^{n-2k}}$

짝수 n - m의 경우, 홀수 n - m의 경우 0이다.특별한 가치는

${\displaystyle R_{n}^{m}(1)=1.}$

표현

방사형 부분의 요인 비율을 이항 분포의 곱으로 다시 쓰면 계수가 정수 숫자임을 알 수 있다.

${\displaystyle R_{n}^{m}(\rho )=\sum _{k=0}^{\tfrac {n-m}{2}}(-1)^{k}{\binom {n-k}{k}}{\binom {n-2k}{{\tfrac {n-m}{2}}-k}}\rho ^{n-2k}}$.

가우스 초지하계 함수를 종료하는 표기법은 재발을 밝히고, 그것들이 자코비 다항식의 특별한 경우임을 입증하며, 미분 방정식을 적는 등의 방법으로 유용하다.

${\displaystyle {\reasoned}R_{n}^{m}(\rho )&={\binom {n}{\tfrac {n+m}{2}}}}\rho ^{n}\ {}_{2}F_{1}\left(-{\tfrac {n+m}{2}},-{\tfrac {n-m}{2}};-n;\rho ^{-2}\right)\\&=(-1)^{\tfrac {n-m}{2}}{\binom {\tfrac {n+m}{2}}{m}\rho ^{m}\{}_{2}F_{1}}\좌측(1+{\tfrac{n+m}{2}},-{\tfrac{n-m}{2}};1+m;\rho ^{2}\riged}}}}}}}}$

짝수 n - m에 대하여

The factor ${\displaystyle \rho ^{n-2k}}$ in the radial polynomial ${\displaystyle R_{n}^{m}(\rho )}$ may be expanded in a Bernstein basis of ${\displaystyle b_{s,n/2}(\rho ^{2})}$ for even ${\displaystyle n}$ or ${\displaystyle \rho }$ times a functionof ${\displaystyle b_{s,(n-1)/2}(\rho ^{2})}$ for odd ${\displaystyle n}$ in the range ${\displaystyle \lfloor n/2\rfloor -k\leq s\leq \lfloor n/2\rfloor }$. The radial polynomial may therefore be expressed by a finite number of Bernstein Polynomials with ra비틀림 계수:

${\displaystyle R_{n}^{m}(\rho )={\frac {1}{\binom {\lfloor n/2\rfloor }{\lfloor m/2\rfloor }}}\rho ^{n\mod 2}\sum _{s=\lfloor m/2\rfloor }^{\lfloor n/2\rfloor }(-1)^{\lfloor n/2\rfloor -s}{\binom {s}{\lfloor m/2\rfloor }}{\binom {(n+m)/2}{s+\lceil m/2\rceil }}b_{s,\lfloor n/2\rfloor }(\rho ^{2}).}$

Noll의 순차 지수

응용 프로그램에는 종종 선형 대수학(Zernike polyomials)을 포함하는데, 여기에는 제르니케 다항식 제품 및 일부 다른 요인이 매트릭스 요소를 형성한다.이러한 행렬의 행과 열을 단일 인덱스로 열거하기 위해 Noll은 두 인덱스의 n과 l를 단일 인덱스 j에 매핑하는 기존의 방식을 도입했다.^[3]이 제휴 Z와 나는 표 → Zj{\displaystyle Z_{n}^{나는}\rightarrow Z_{j}}가 시작하고, 나는+{0, 나는>0∧ n≡{0,1}(모드 4)(시퀀스 A176988은 OEIS에). j)n(n+1)2+;0, 나는<0∧ n≡{2,3}(모드 4), 1, 나는 ≥ 0∧ n≡{2,3}(모드 4)을 따른다. 1일$displaystyle$$}}+ l +\left\{{\begin{array}{ll}0,&l>0\land n\equiv \{0,1\}{\pmod {4}};\\0,&l<0\land n\equiv \{2,3\}{\pmod {4}};\\1,&l\geq 0\land n\equiv \{2,3\}{\pmod {4}};\\1,&l\leq 0\land n\equiv \{0,1\}{\pmod {4}}.$$\end{array}\오른쪽.$$}$

n,l	0,0	1,1	1,−1	2,0	2,−2	2,2	3,−1	3,1	3,−3	3,3
j	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
n,l	4,0	4,2	4,−2	4,4	4,−4	5,1	5,−1	5,3	5,−3	5,5
j	11	12	13	14	15	16	17	18	19	20

규칙은 다음과 같다.

• even Zernike 다항식 Z(방사선 부분 ${\displaystyle \cos }$ ${\displaystyle }$ ${\displaystyle (m}$ ${\displaystyle \phi }$) ${\displaystyle \cos(m\varphi$ $)\},$ $여기$서 m${\displaystyle }$= ${\displaystyle l}$ ${\displaystyle$ $m=$$l}$은 양수인 경우)는 짝수 지수 j를 얻는다.
• 홀수 Z는 홀수 방위각 부분 ${\displaystyle \sin }$sin${\displaystyle }$(${\displaystyle m}$ ${\displaystyle \phi }$) ${\displaystyle \sin(m\varphi )}$을 얻는다$.$ ${\displaystyle 여기}$서 $m{\displaystyle }$= l ${\$$displaystyle$ $m=\left l$$\$$right\vert }$은($으)$는 음수인 경우) 홀수 지수 j를 얻는다.
• 지정된 n 내에서 ${\displaystyle l}$ ${\$이(가) 낮으면 j가 낮아진다.

OSA/ANSI 표준 지수

다음을 사용하는 OSA 및 ANSI 단일 인덱스 Zernike 다항식:

${\displaystyle j={\frac {n(n+2)+l}{2}}}$

n,l	0,0	1,-1	1,1	2,-2	2,0	2,2	3,-3	3,-1	3,1	3,3
j	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9
n,l	4,-4	4,-2	4,0	4,2	4,4	5,-5	5,-3	5,-1	5,1	5,3
j	10	11	12	13	14	15	16	17	18	19

프린지/애리조나 대학교 지수

프린지 인덱싱 체계는 상업용 광학 설계 소프트웨어 및 광학 테스트(예: 광석학)에 사용된다.^[5][6]

${\displaystyle j=\왼쪽(1+{\frac {n+ l}{2}}\\오른쪽)^{2}-l +{\frac {1-\propername {sgn}l}{2}}}$

여기서 ${\displaystyle \mathrm{sgn}}$ ${\displaystyle }$ ${\displaystyle l}$ ${\displaystyle \operatorname {sgn}l}$은 기호 또는 기호 함수다.처음 20개의 프린지 번호는 아래에 열거되어 있다.

n,l	0,0	1,1	1,−1	2,0	2,2	2,-2	3,1	3,-1	4,0	3,3
j	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
n,l	3,-3	4,2	4,−2	5,1	5,−1	6,0	4,4	4,-4	5,3	5,-3
j	11	12	13	14	15	16	17	18	19	20

와이언트 지수

제임스 C. 와이언트는 1(추상 1)이 아닌 0에서 시작하는 것을 제외하고 "Fringe" 인덱싱 방식을 사용한다.^[7]이 방법은 Zygo interferometer의 interferogram 분석 소프트웨어와 오픈 소스 소프트웨어 DFTFringe를 포함하여 일반적으로 사용된다.

특성.

직교성

반지름 부분의 직교도는 판독값이다^[8].

${\displaystyle \int _{0}^{1}{\sqrt {2n+2}}R_{n}{m}(\rho )\,{\sqrt {2n'+2}}R_{n'}^{m}(\rho )\,\rho=\delta _{n,n'}}$

또는

${\displaystyle {0}{\overset {1}{1}{{1}{\mathop {\int }}\,R_{n}^{m}(\rho ){n}^{m}(\rho )\rho d\rho ={\frac {{\delta }{n},{n}}{n}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}{{n+}}}}}}}}.}$

각진 부분의 직교성은 기초로 표현된다.

${\displaystyle \int _{0}^{2\pi }\cos(m\varphi )\cos(m'\varphi )\,d\varphi =\epsilon _{m}\pi \m,m'}}}}$

${\displaystyle \int _{0}^{2\pi }\sin(m\varphi )\sin(m'\varphi )\,d\\varphi =\pi \m,m'};\m\neq 0,}$

${\displaystyle \int _{0}^{2\pi }\cos(m\varphi )\sin(m'\varphi )\,d\varphi =0,}$

여기서 $ϵ{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle m_{}}$ ${\$베셀 함수와 함께 자주 나타나므로 Neuman 인자라고도 함)는 $m{\displaystyle }$= 0 ${\displaystym=0}$이면 2로, $m{\displaystyle }$= ${\displaystyle 0}$ ${\displaystym m\neq 0}$이면 1로 정의된다$.$각도 및 방사형 부품의 생산물은 장치 디스크에 통합될 경우 두 지수에 대해 제르니케 함수의 직교도를 설정한다.

${\displaystyle \int Z_{n}^{l}(\rho ,\varphi )Z_{n'}^{l'}(\rho ,\varphi )\,d^{2}r={\frac {\epsilon _{l}\pi }{2n+2}}\delta _{n,n'}\delta _{l,l'},}$

여기서 $d{\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {2\mathrm{}}^{}}$ ${\displaystyle {}^{}}$= ${\displaystyle \rho }$ ${\displaystyle d}$ ${\displaystyle \phi }$ d ${\displaystyle \phi }$ d φ ${\displaystyle d^{2$}r$=\rho$\,$d\rho$\,$d\varphi$}}은 원형$$ 좌표계의 자코비안이며, $여기$서 n${\displaystyle }$- ${\displaystyle l}$ ${\displaysty n-l}$과 $n{\displaystyle {}^{}{\prime }^{}}$ ${\$}은 모두 짝수이다$$.

제르니케 변환

단위 디스크 $G{\displaystyle }$ (${\displaystyle \rho }$ ,${\displaystyle \phi }$) ${\displaystyle G(\rho ,\varphi )}$에 걸쳐 충분히 평탄한 실제 값 위상 필드는 주기적 함수가 푸리에 시리즈와 직교 표현을 찾듯이 Zernike 계수(이상 및 짝수) 단위로 나타낼 수 있다$$.우리는 가지고 있다.

${\displaystyle G(\rho ,\varphi )=\sum _{m,n}\left[a_n,n}Z_{n}^{m,n_{n}b_n}Z_{n}^{-m}(\rho ,\varphi )\rig}, \right},},},},},},},}$

이 경우 내부 제품을 사용하여 계수를 계산할 수 있다.단위 $디스크$의 ${\displaystyle {L\mathrm{}}^{}}$ 2$${\$displaystyle$ L$^{2$}}개$$ 기능 공간에는 다음과 같이 정의된 내부 제품이 있다.

$\displaystyle \langle F,G\rangle :=\int F(\rho ,\varphi )G(\rho ,\varphi )\rho d\rho d\rphi.}$

제르니케 계수는 다음과 같이 표현할 수 있다.

${\displaystyle {\begin{aligned}a_{m,n}&={\frac {2n+2}{\epsilon _{m}\pi }}\left\langle G(\rho ,\varphi ),Z_{n}^{m}(\rho ,\varphi )\right\rangle ,\\b_{m,n}&={\frac {2n+2}{\epsilon _{m}\pi }}\left\langle G(\rho ,\varphi ),Z_{n}^{-m}(\rho ,\varphi )\right\rangle .\end{aligned}}}$

또는 원형 격자에서 위상 함수 G의 알려진 값을 사용하여 방정식의 체계를 형성할 수 있다.위상 함수는 단위 그리드에 걸쳐 Zernike 다항식의 (알려진 값)이 있는 미지의 공효율 가중 제품에 의해 검색된다.따라서 계수는 예를 들어 행렬 역순으로 선형 시스템을 풀어서도 찾을 수 있다.정방향 및 역방향 Zernike 변환을 계산하는 빠른 알고리즘은 삼각함수의 대칭 특성, 제르니케 다항식의 방사형 및 방위각 부분의 분리성, 그리고 이들의 회전 대칭을 사용한다.

대칭

삼각함수의 반사는 x축을 따라 반사하는 것에 대한 패리티를 나타낸다.

${\displaystyle {}_{}^{}}$Z ${\displaystyle n_{}^{}}$ ${\displaystyle {}_{}^{}}$ (${\displaystyle {}_{}^{}\rho }$ ,${\displaystyle \phi }$)${\displaystyle }$= L 0에 ${\displaystyle {}_{}^{}}$ Z ${\displaystyle {}_{}^{}}$ ${\displaystyle l_{}^{}}$( ${\displaystyle \rho }$,${\displaystyle }$- ${\displaystyle \phi }$) ${\displaystyle Z_{n}^{l}(\rho ,\varphi )=Z_{n}^{l}(\rho ,-\varphi )},$

${\displaystyle {}_{}^{}}$Z ${\displaystyle n_{}^{}}$ ${\displaystyle {}_{}^{}}$ (${\displaystyle {}_{}^{}\rho }$ ,${\displaystyle \phi }$)${\displaystyle }$= -${\displaystyle }$Z ${\displaystyle {}_{}^{}}$ ${\displaystyle {}_{}^{}}$( ${\displaystyle \rho }$,${\displaystyle }$- ${\displaystyle \phi }$) ${\displaystyle Z_{n}^{l}(\rho ,\varphi )=-Z_{n}^{l}(\rho ,-\varphi )}$의 l < 0.

삼각함수의 π 이동은 좌표 중심에서의 점 반사에 대한 패리티가 되는 결과를 가져온다.

${\displaystyle Z_{n}^{l}(\rho ,\varphi )=(-1)^{l}Z_{n}^{l}(\rho ,\varphi +\pi ),}$

${\displaystyle {여기}^{}}$서${\displaystyle }$(${\displaystyle }$- 1${\displaystyle {}^{}}$) l ${\$은( - 1$$${\displaystyle {}^{}}$) ${\displaystyle n}$ ${\$은(는) 짝수인 $n{\displaystyle }$- l ${\displaystyle n-l}$은 비바니싱 제르니케 다항식을 얻을 수 있는$$ 경우일 뿐이기 때문이다${\displaystyle (}$n이 짝수).n이 홀수인 경우 l도 홀수인 것이다.)이 특성은 각도의존성 측면에서 제르니케 다항식을 짝수 다항식 및 홀수 다항식으로 분류하는 데 쓰이기도 한다.(각의존도가 없는 특수성을 가지고 있기 때문에 l = 0으로 다른 범주를 추가할 수도 있다.)

• Angularly even Zernike polynomials: Zernike polynomials with even l so that ${\displaystyle Z_{n}^{l}(\rho ,\varphi )=Z_{n}^{l}(\rho ,\varphi +\pi ).$$}$
• Angularly odd Zernike polynomials: Zernike polynomials with odd l so that ${\displaystyle Z_{n}^{l}(\rho ,\varphi )=-Z_{n}^{l}(\rho ,\varphi +\pi ).$$}$

방사형 다항식도 순서 n 또는 m에 따라 짝수 또는 홀수 중 하나이다.

${\displaystyle R_{n}^{m}(\rho )=(-1)^{n_{n}^{m}(-\rho )=(-1)^{m_{n}^{n}^{m}(-\rho).}$

홀수(${\displaystyle \mathrm{짝수}}$) m을 가진$$ R $n{\displaystyle {}_{}^{}}$ m${\displaystyle {}_{}^{}}$( ${\displaystyle {}_{}^{}}$) ${\displaystyle R_{n}^{m}(\rho )}$는 ρ에 대한 홀수(짝수)(짝수)의 힘만 포함하므로 이러한 동등성은 쉽게 알 수 있다($아래$ R n ${\displaystyle {}_{}^{}}$ ($$ $n}^{m(\rho )$의 예 참조).

삼각함수의 주기성은 중앙을 중심으로 $2{\displaystyle \mathrm{}㎛/l}$ ${\displaystyle 2\pi /l}$라디안의$$ 배수로 회전하면 불변성을 초래한다.

${\displaystyle Z_{n}^{l}\왼쪽(\rho ,\varphi +{2\pi k}{l}\right)=Z_{n}^{n}(\rho ,\varphi ),\qquad k=0,\pm 1,\pm 2,\cdots.}}}}$

재발관계

제르니케 다항식은 방사형 다항식의 방위각 순서와 정도에 따라 달라지지 않는 다음과 같은 반복 관계를 만족한다.^[9]

${\displaystyle {\reasoned}R_{n}^{m}^(\rho )+R_{n-2}^{m}(\rho )=\rho \left[R_{n-1}^{n-1}{{rho}}}{n-1}(\rho )^{m+1}(\rho ){\text{.}}}\end{정렬}}$

From the definition of ${\displaystyle R_{n}^{m}}$ it can be seen that ${\displaystyle R_{m}^{m}(\rho )=\rho ^{m}}$ and ${\displaystyle R_{m+2}^{m}(\rho )=((m+2)\rho ^{2}-(m+1))\rho ^{m}}$.그 다음 3개월의 재발관계는^[10] 다른 모든 ${\displaystyle {}_{}^{}}$ m (${\displaystyle {}_{}^{}\rho }$) ${\displaystyle R_{n}^{m}(\rho )}$을(를) 계산할 수 있다$.$

${\displaystyle R_{n}^{m}(\rho )={\frac {2(n-1)(2n(n-2)\rho^{2}-m^{2}-n(n-2)R_{n-2}^{m}(\rho )-n(n+m-2)(n-m-2)R_{n-4}^{m}(\rho )}{{n+m(n-m)(n-2)}}{\text{ .}}}$

${\displaystyle {Rn}_{}^{}}$ ${\displaystyle {}_{}^{}}$ ${\$의 파생상품은 인접도의 두 개의 방사형 Zernike 다항식으로부터 계산할$$ 수 있으므로 위의 관계가 특히 유용하다.^[10]

${\displaystyle {\frac {\d}{d}{\operatorname {d} \!\rho }^{n1}(\rho )={{nm(\rho ^{2}-1)+(m+n(2\rho ^{2}-1)}R_{n}^{m}^{m}(\rho )-(n+m)(n-m)R_{n-2}^{m}(\rho )}{2n\rho(\rho ^{2}-1)}{\text{.}}}$

예

방사 다항식

처음 몇 개의 방사형 다항식은 다음과 같다.

${\displaystyle R_{0}^{0}(\rho )=1\,}$

${\displaystyle R_{1}^{1}^{1}(\rho )=\rho \,}$

${\displaystyle R_{2}^{0}(\rho )=2\rho ^{2}-1\,}$

${\displaystyle R_{2}^{2}^{2}(\rho )=\rho ^{2}\,}$

${\displaystyle R_{3}^{1}^{1}(\rho )=3\rho ^{3}-2\rho \,}$

${\displaystyle R_{3}^{3}^{3}(\rho )=\rho ^{3}\,}$

${\displaystyle R_{4}^{0}(\rho )=6\rho ^{4}-6\rho ^{2}+1\,}$

${\displaystyle R_{4}^{2}(\rho )=4\rho ^{4}-3\rho ^{2}\,}$

${\displaystyle R_{4}^{4}^{4}(\rho )=\rho ^{4}\,}$

${\displaystyle R_{5}^{1}^{1}(\rho )=10\rho ^{5}-12\rho ^{3}+3\rho \,}$

${\displaystyle R_{5}^{3}(\rho )=5\rho ^{5}-4\rho ^{3}\,}$

${\displaystyle R_{5}^{5}^{5}(\rho )=\rho ^{5}\,}$

${\displaystyle R_{6}^{0}(\rho )=20\rho ^{6}-30\rho ^{4}+12\rho ^{2}-1\,}$

${\displaystyle R_{6}^{2}(\rho )=15\rho ^{6}-20\rho ^{4}+6\rho ^{2}\,}$

${\displaystyle R_{6}^{4}(\rho )=6\rho ^{6}-5\rho ^{4}\,}$

${\displaystyle R_{6}^{6}^{6}(\rho )=\rho ^{6}\,}$

제르니케 다항식

다양한 지수에서 처음 몇 개의 제르니케 모드는 다음과 같다.normalized 0${\displaystyle {}_{\mathrm{}}^{}}$ ${\displaystyle {\pi }_{}^{}}$ 0${\displaystyle {}_{}^{}{}_{1\mathrm{}}^{}}$ ${\displaystyle {\mathrm{}}_{}^{}}$ ${\displaystyle {2\mathrm{}}^{}}$ ${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle d}$ ${\displaystyle \rho }$ ${\displaystyle d}$ = = ${\displaystyle \pi }$= { { _ _ _ $\int$ _${0}^{2\pi }\int$ _${0$}^{$0}Z$^{0$}}Z$^$\rho \,d\pi$ =$\}\}.$

${\displaystyle Z_{n}^{l}}}}$	OSA/ANSI 색인을 달다 (${\displaystyle }$ ${\displaystyle j}$)	노울 색인을 달다 (${\displaystyle }$ ${\displaystyle j}$)	와이언트 색인을 달다 (${\displaystyle }$ ${\displaystyle j}$)	프린지/UA 색인을 달다 (${\displaystyle }$ ${\displaystyle j}$)	방사상 정도 (${\displaystyle }$ $[\displaystyle n}$)	방위각 정도 ( l ${\displaystyle l}$)	${\displaystyle Z_{j}}$	고전명
${\displaystyle Z_{0}^{0}}}}$	00	01	00	01	0	00	${\displaystyle 1}$	피스톤(Wigner 세미커클 분포 참조)
${\displaystyle Z_{1}^{-1}$	01	03	02	03	1	−1	$\displaystyle 2\rho \sin \phi }$	틸트(Y-틸트, 수직 틸트)
${\displaystyle Z_{1}^{1}:{1}$	02	02	01	02	1	+1	$\displaystyle 2\rho \cos \phi }$	틸트(X-틸트, 수평 틸트)
${\displaystyle Z_{2}^{-2}}$	03	05	05	06	2	−2	${\displaystyle {\sqrt {6}\rho ^{2}\sin 2\phi }$	사선 난시
${\displaystyle Z_{2}^{0}}}$	04	04	03	04	2	00	${\displaystyle {\sqrt{3}(2\rho ^{2}-1)}$	데포커스(종방향 위치)
${\displaystyle Z_{2}^{2}}$	05	06	04	05	2	+2	${\displaystyle {\sqrt {6}\rho ^{2}\cos 2\phi }$	수직 난시
${\displaystyle Z_{3}^{-3}}}$	06	09	10	11	3	−3	${\displaystyle {\sqrt {8}\rho ^{3}\sin 3\phi }$	수직 트레포일
${\displaystyle Z_{3}^{-1}$	07	07	07	08	3	−1	${\displaystyle {\sqrt{8}(3\rho ^{3}-2\rho )\sin \phi }$	수직 혼수상태
${\displaystyle Z_{3}^{1}:{1}$	08	08	06	07	3	+1	${\displaystyle {\sqrt{8}(3\rho ^{3}-2\rho )\cos \phi }$	수평 혼수상태
${\displaystyle Z_{3}^{3}}}:{3}}$	09	10	09	10	3	+3	${\displaystyle {\sqrt {8}\rho ^{3}\coses 3\phi }$	사선 트레포일
${\displaystyle Z_{4}^{-4}}}}$	10	15	17	18	4	−4	${\displaystyle {\sqrt {10}\rho ^{4}\sin 4\phi }$	사선 사분면
${\displaystyle Z_{4}^{-2}}$	11	13	12	13	4	−2	${\displaystyle {\sqrt{10}(4\rho ^{4}-3\rho ^{2}\sin 2\phi }$	사선 2차 난시
${\displaystyle Z_{4}^{0}}$	12	11	08	09	4	00	${\displaystyle {\sqrt{5}(6\rho ^{4}-6\rho ^{2}+1)}$	1차 구면
${\displaystyle Z_{4}^{2}}$	13	12	11	12	4	+2	${\displaystyle {\sqrt{10}(4\rho ^{4}-3\rho ^{2}\cos 2\phi }$	수직 2차 난시
${\displaystyle Z_{4}^{4}}:{4}}$	14	14	16	17	4	+4	${\displaystyle {\sqrt {10}\rho ^{4}\cos 4\phi }$	수직 사분면

적용들

기능은 원형 지지 영역에 걸쳐 정의되는 기본이며, 일반적으로 유한 직경의 렌즈와 거울 시스템을 통해 보이는 적외선 파장과 적외선 파장에서 고전적 광학 이미징의 동공 평면이다.이들의 장점은 방사형 함수의 단순성과 방사형 및 방위형 함수의 인자화에서 물려받은 단순한 해석적 특성이다. 예를 들어, 이는 베셀 함수의 관점에서 2차원 푸리에 변환의 폐쇄형 표현으로 이어진다.^[11][12]특히 하이 n이 관련된 경우 이들의 단점은 유닛 디스크 위에 노달선이 불균등하게 분포되어 있다는 것인데$,$ 이는 둘레 ${\displaystyle \mathrm{near}}$1 ${\displaystyle \rho$ \\rho \ \ \ \ \$$\} $부근$에 링잉 효과를 도입하여 원형 디스크에서 다른 직교 기능을 정의하려고 시도하게 되는 경우가 많다.^[13][14][15]

정밀 광학 제조에서 Zernike 다항식(다항식)은 간섭 분석에서 관측된 고차 오류의 특성을 나타내기 위해 제르니케 다항식을 사용한다.Chak-Hartmann과 같은 파동전면 경사 센서에서, 파동전선의 Zernike 계수는 측정된 경사를 샘플링 하위 도구에 걸쳐 평균화된 Zernike 다항식 유도체와 결합하여 얻을 수 있다.^[16]검안학이나 안과에서는 제르니케 다항식(Zernike polyomial)을 사용하여 각막이나 렌즈의 이상적인 구형 형태에서 파동전면 이상을 묘사하고 있는데, 이 경우 굴절 오류가 발생한다.그것들은 또한 일반적으로 적응형 광학에서 사용되는데, 이 광학에서는 대기 왜곡을 특징짓는 데 사용될 수 있다.이것을 위한 분명한 적용은 IR이나 시각 천문학 그리고 위성 사진이다.

Zernike 다항식의 또 다른 적용은 확장 Nijboer-Zernike 회절 및 이상 이론에서 찾을 수 있다.

제르니케 다항식은 이미지 모멘트의 기본 함수로 널리 사용된다.Zernike 다항식이 서로 직교하기 때문에 Zernike 모멘트는 모멘트 사이에 정보의 중복이나 중첩이 없는 이미지의 속성을 나타낼 수 있다.제르니케 모멘트는 관심 영역(ROI)에서 개체의 스케일 및 번역에 크게 의존하지만, 그 크기는 개체의 회전 각도와는 무관하다.^[17]따라서 물체의 형상 특성을 설명하는 이미지에서 형상을 추출하는 데 활용할 수 있다.예를 들어 제르니케 모멘트는 양성 및 악성 유방 덩어리 또는^[18] 진동 디스크 표면을 분류하는 형상 설명자로 활용된다.^[19]Zernike Moments는 또한 골육종 암세포의 모양을 단세포 수준에서 정량화하는 데 사용되었다.^[20]더욱이 제르니키 모멘트는 알츠하이머병, 경도인지장애, 건강군 등의 MR 영상에서 차별적 정보를 추출해 알츠하이머병의 조기 발견에 활용돼 왔다.^[21]

상위 치수

The concept translates to higher dimensions D if multinomials ${\displaystyle x_{1}^{i}x_{2}^{j}\cdots x_{D}^{k}}$ in Cartesian coordinates are converted to hyperspherical coordinates, ${\displaystyle \rho ^{s},s\leq D}$, multiplied by a product of Jacobi polynomials of the angular v아리아블$D$${\displaystyle }$= ${\displaystyle 3}$ ${\displaystyle D=3}$ 치수에서 각도 변수는 예를 들어 구형 고조파입니다.${\displaystyle {\rho }^{}}$ s ${\$의 선형 조합으로 만족하는$$ 직교 기준 R $n$( l${\displaystyle {}_{}^{}}$) $({n}^{n}^{(l)}(\rho )}$을(를) 정의한다.

${\displaystyle \int _{0}^{1}\rho ^{D-1}R_{n}^{(l)}(\rho )R_{n'}^{(l)}(\rho )d\rho =\delta _{n,n'}}$.

(요인 ${\displaystyle \sqrt{\mathrm{2n}}}$+ ${\displaystyle \sqrt{D}}$ ${\$이(가) 여기서 R의 정의에 흡수되는$$ 반면, $D{\displaystyle }$= ${\displaystyle 2}$ ${\displaystyle D=2}$에서는 정규화가$$ 약간 다르게 선택된다는 점에 유의하십시오.이는 계수의 정수 집합을 유지하기를 원하는지 또는 직교화가 관련된 경우 더 엄격한 공식을 선호하는지에 따라 크게 미각의 문제가 된다.)명시적인 표현은

${\displaystyle {\reasoned}R_{n}^{(l)}(\rho )&={\sqrt {2n+D}}\sum _{s=0}^{\tfrac {n-l}{2}}(-1)^{s}{{\tfrac {n-l}{2}} \choose s}{n-s-1+{\tfrac {D}{2}} \choose {\tfrac {n-l}{2}}}\rho ^{n-2s}\\&=(-1)^{\tfrac {n-l}{2}}{\sqrt {2n+D}}\sum _{s=0}^{\tfrac {n-l}{2}}(-1)^{s}{{\tfrac {n-l}{2}} \choose s}{s-1+{\tfrac {n+l+D}{2}} \choose {\tfrac {n-l}{2}}}\rho ^{2s+l}\\&=(-1)^{\tfrac {n-l}{2}}{\sqrt {2n+D}}{{\tfrac {n+l+D}{2}}-1 \choose {\tfrac {n-l}{2}}}\rho ^{l}\ {}_{2}F_{1}\left(-{\tfrac {n-l}{2}},{\tfrac {n+l+D}{2}};l+{\tfrac {D}{2}};\rho ^{2}\right)\end{aligned}}}$

${\displaystyle \mathrm{짝수}}$n - ${\displaystyle l}$ ${\displaystyle \ge }$0 {\$displaystyle n-l\geq$ 0$}$의 경우$,$ 그렇지 않으면 0과 동일함.

참고 항목

위키미디어 커먼즈에는 제르니케 다항식 관련 미디어가 있다.

• 자코비 다항식
• 니보어-제르니케 이론
• 의사-제르니케 다항식

참조

• Weisstein, Eric W. "Zernike Polynomial". MathWorld.
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외부 링크

• 확장 니보어-제르니케 웹사이트
• Zernike 모멘트의 빠른 계산을 위한 MATLAB 코드
• Zernike 다항식 계산을 위한 Python/NumPy 라이브러리
• 망원경 광학에서 제르니케 이상 현상
• 예제: WolframAlpha를 사용하여 Zernike 다항식 플롯
• 직교, Python 패키지 컴퓨팅 직교 다항식(Zernike 다항식 포함)