괴델의 존재론적 증명

Gödel's ontological proof

괴델의 존재론적 증명은 수학자 쿠르트 괴델(Kurt Gödel, 1906~1978)이 신의 존재를 공식적으로 주장한 것입니다. 그 논쟁은 캔터베리의 안셀름 (1033–1109)까지 거슬러 올라가는 발전 노선에 있습니다. 성 안셀름의 존재론적 주장은 가장 간결한 형태로 다음과 같습니다: "신은, 정의에 따라, 그 이상을 상정할 수 없는 것입니다. 신은 이해에 존재합니다. 하나님이 이해 안에 존재한다면, 우리는 현실에 존재함으로써 그가 더 위대해질 것이라고 상상할 수 있습니다. 그러므로 신은 존재해야 합니다." 고트프리트 라이프니츠 (Gottfried Leibniz, 1646–1716)에 의해 더 정교한 버전이 제시되었는데, 이것은 괴델이 연구하고 그의 존재론적 주장을 해명하려고 시도한 버전입니다.

괴델은 그의 논문에 그의 철학적 신념의 14개의 개요를 남겼습니다.[1] 존재론적 증명과 관련된 사항은 다음과 같습니다.

4. 다른 세계와 더 높은 종류의 이성적인 존재들이 있습니다.
5. 우리가 살고 있는 세상은 우리가 살거나 살아야만 하는 유일한 세상이 아닙니다.
13. 가장 높은 추상성의 개념을 다루는 과학적인 (정확한) 철학과 신학이 있습니다. 그리고 이것은 과학에 있어서도 가장 생산성이 높습니다.
14. 종교는 대부분 나쁘지만 종교는 그렇지 않습니다.

역사

괴델의 논문에서 존재론적 증명의 첫 번째 버전은 "1941년경"으로 거슬러 올라갑니다. 괴델은 자신이 죽어가고 있다고 생각했던 1970년 이전까지 아무에게도 그 증거에 대한 자신의 연구에 대해 말하지 않은 것으로 알려져 있습니다. 지난 2월, 그는 데이나 스콧에게 개인적으로 유포된 증거의 버전을 복사하도록 허락했습니다. 1970년 8월 괴델은 오스카 모르겐스턴에게 증명에 "만족한다"고 말했지만, 모르겐스턴은 1970년 8월 29일 일기 항목에서 괴델이 출판하지 않을 것이라고 기록했습니다. 그는 다른 사람들이 "자신이 실제로 신을 믿는다고 생각하는 반면, 그는 오직 논리적인 조사에만 몰두하고 있기 때문입니다. 고전적 가정(comple성 등)이 상응하는 공리화된 그러한 증명이 가능하다는 것을 보여주는 데 있어." 괴델은 1978년 1월 14일에 사망했습니다. 스콧과 약간 다른 버전이 그의 논문에서 발견되었습니다. 그것은 마침내 1987년에 Scott의 버전과 함께 출판되었습니다.[3]

교회에 다니는 사람이 아니었고 커트와 그의 형제를 자유사상가로 키워온 그의 어머니에게 보낸 편지에서 [4]괴델은 사후세계에 대한 믿음을 주장했습니다.[5] 그는 회의적인 하오 왕과의 인터뷰에서도 똑같이 했습니다. 괴델은 제 질문에 미소를 지으며 대답했습니다. 괴델은 자신의 대답이 설득력이 없다는 것을 분명히 알고 있었습니다.[6] 왕은 괴델이 죽은 지 이틀 후에 괴델의 아내 아델이 왕에게 "괴델은 교회에 가지 않았지만, 일요일 아침마다 침대에서 성경을 읽고 신앙심이 깊었다"고 말했다고 보도했습니다.[7] 괴델은 메일로 보낸 질문에 대한 답변에서 자신의 종교를 "침례받은 루터교"라고 표현했습니다. 스피노자보다는 라이프니츠를 따르는 것이 아니라 신론적인 것이 제 신념입니다."[note 1]

아웃라인

이[8][10] 증명은 필요한 진리와 조건부 진리를 구분하는 모달 논리를 사용합니다. 모드 논리에 대한 가장 일반적인 의미론에서는 많은 "가능한 세계"가 고려됩니다. 모든 가능한 세계에서 진실이라면 진실은 필요합니다. 대조적으로, 만약 어떤 진술이 우리의 세계에서는 참이지만 다른 세계에서는 거짓이라면, 그것은 우연적인 진리입니다. 어떤 세계에서 (꼭 우리 자신의 것은 아니지만) 참인 진술을 가능한 진리라고 합니다.

또한 신의 정의는 속성에 대한 명시적인 정량화를 사용하기 때문에 증명은 고차적(모달적) 논리를 사용합니다.[11]

먼저, 괴델은 "긍정적인 속성"의 개념을 공리화합니다: 각 속성 φ에 대해 ¬φ 또는 그 부정적인 φ 중 하나가 양수여야 하지만 두 가지 모두는 아닙니다(axiom 2). 양의 속성 φ이 각 가능한 세계에서 속성 ψ을 의미하면 ψ도 양의 값입니다(axiom 1). 괴델은 각각의 긍정적인 속성이 "예시될 가능성이 있다"고 주장합니다. 즉, 적어도 어떤 세계의 어떤 대상(이론 1)에 적용됩니다. 모든 긍정적인 속성을 가진 대상을 정의하고([note 4]정의 1), 그 속성 자체가 긍정적이어야 한다고 요구하면서([note 5]축 3), 괴델은 어떤 가능한 세계에서 "신"이라고 불리는 신과 같은 대상이 존재한다는 것을 보여줍니다([note 6]정리 2). 괴델은 가능한 모든 세계에 신과 같은 물체가 존재한다는 것을 증명하기 위해 나아갑니다.

이를 위해 그는 본질을 정의합니다. 만약 어떤 세계에서 x가 물체라면, 만약 φ(x)가 그 세계에서 참이라면, 그리고 φ가 그 세계에서 x가 가지는 다른 모든 속성을 반드시 수반한다면(정의 2), 속성 φ는 x의 본질이라고 말합니다. 모든 가능한 세계에서 긍정적인 속성을 요구하는 괴델은 신과 같은 대상의 본질이라는 것을 보여줄 수 있습니다(이론 3). 이제 x의 모든 본질적인 φ에 대하여 가능한 모든 세계에서 성질 φ을 갖는 원소 y가 존재한다면 x는 반드시 존재한다고 합니다(정의 3). 공리 5는 긍정적인 속성이 되기 위해 필요한 존재를 요구합니다.

그러므로, 그것은 하나님을 따라야만 합니다. 게다가 하나님을 좋아하신다는 것은 모든 긍정적인 속성을 수반하고, 어떤 비긍정적인 속성도 어떤 긍정적인 속성의 부정이므로 하나님은 비긍정적인 속성을 가질 수 없습니다. 필요한 존재도 긍정적인 속성이기 때문에(축 5), 모든 신과 같은 대상은 모든 긍정적인 속성을 가지고 있기 때문에(정의 1), 모든 신과 같은 대상의 속성이어야 합니다. 어떤 신과 같은 대상도 반드시 존재하기 때문에, 필요한 존재의 정의에 따라 한 세계에 있는 어떤 신과 같은 대상도 모든 세계에 신과 같은 대상이라는 것이 뒤따릅니다. 위에서 증명한 신과 같은 대상이 한 세계에 존재하는 것을 보면, 우리는 모든 가능한 세계에 신과 같은 대상이 있다고 결론지을 수 있습니다(이론 4). 공리 1-5와 정의 1-3 외에도 양태 논리의[clarification needed] 몇 가지 다른 공리가 증명에 암묵적으로 사용되었습니다.

이 가설들로부터 구별할 수 없는 것들의 정체인 라이프니츠의 법칙에 의해 각 세계에 오직 하나의 하나님이 있다는 것을 증명할 수도 있습니다: 두 개 이상의 사물들은 모든 속성들을 공통적으로 가지고 있다면 동일(동일)하므로, 재산을 소유하는 대상은 각 세계에 단 한 개뿐일 것입니다. 괴델은 그렇게 시도하지 않았는데, 그는 일부러 자신의 증명을 유일성이 아닌 존재의 문제로 제한했기 때문입니다.

기호 표기법

비평

괴델의 증명에 대한 대부분의 비판은 그것의 공리를 목표로 합니다: 어떤 논리 체계에서도 증명과 마찬가지로 증명이 의존하는 공리가 의심된다면, 결론은 의심받을 수 있습니다. 이것은 괴델의 증명에 특히 적용할 수 있습니다 – 왜냐하면 이것은 다섯 개의 공리에 근거하고 있기 때문인데, 그 중 일부는 의심스러운 것으로 간주됩니다. 증명을 위해서는 결론이 정확해야 하는 것이 아니라, 공리를 받아들임으로써 결론이 논리적으로 따라간다는 것입니다.

많은 철학자들은 공리에 의문을 제기해 왔습니다. 비판의 첫 번째 단계는 단순히 공리가 참인 이유를 제시하는 주장이 없다는 것입니다. 두 번째 계층은 이러한 특정 공리가 달갑지 않은 결론으로 이어진다는 것입니다. 이 생각의 노선은 조던 하워드 소벨에 의해 주장되었는데,[12] 만약 공리가 받아들여지면, 그것들은 참인 모든 진술이 반드시 참, 즉 필요한, 우연한, 가능한 진리의 집합이 모두 일치하는 "모달 붕괴"로 이어진다는 것을 보여주었습니다. (접근 가능한 세계가 전혀 있다면).[note 7] 로버트 쿤스(Robert Koons)에 따르면 소벨(Sobel)[9]: 9 은 2005년 컨퍼런스 논문에서[citation needed] 괴델(Gödel)이 모달 붕괴를 환영했을 수 있다고 제안했습니다.[13]

C가 제시한 증명에 대한 수정 사항이 제안되어 있습니다. 앤서니 앤더슨,[14] 그러나 앤더슨과 마이클 게팅스는 반박했습니다.[15] 쿤스는 소벨의 모달 붕괴 증거에 의문을 제기했지만,[9][note 8] 소벨은 반격을 가했습니다.[citation needed]

Ghraham Oppy는 괴델의 증명에 의문을 제기하기도 했는데,[16] 다른 많은 신들도 괴델의 공리를 통해 "증명"될 것인지에 대해 질문했습니다. 이 반론은 [17]Gettings에 의해 의문이 제기되었는데, Gettings는 공리에 의문이 제기될 수 있다는 것에는 동의하지만 Oppy의 특정 반례가 괴델의 공리에서 보여질 수 있다는 것에는 동의하지 않습니다.

종교학자 Fr. 로버트 스피처(Robert J. Spitzer)는 괴델의 증명을 받아들였으며, 이를 "(효과가 없는) 안셀미아의 존재론적 논증보다 개선된 것"이라고 말했습니다.[18]

그러나 이상한 결론을 피하기 위해서는 이러한 공리가 반드시 거부되어야 하는지에 대한 문제에 초점을 맞춘 비판이 더 많습니다. 더 넓은 비판은 공리가 거짓임을 보여줄 수 없다고 하더라도 그것이 진실이라는 것을 의미하지는 않는다는 것입니다. 원시인들의 상호 교환 가능성에 대한 힐베르트의 유명한 언급은 괴델의 존재론적 공리들("긍정적", "신과 같은", "본질")과 힐베르트의 기하학 공리들("점", "선", "평면")에 적용됩니다. André Fuhrmann (2005)에 따르면 전통에 의해 규정되고 종종 본질적으로 신비하다고 믿어지는 눈부신 개념이 괴델의 공리를 만족시킨다는 것을 보여주는 것이 남아 있습니다. 이것은 수학적인 과제가 아니라 신학적인 과제입니다.[19]: 364–366 어떤 종교의 신이 존재하는지를 결정하는 것은 이 일입니다.

컴퓨터로 검증된 버전

Christoph Benzmüler와 Bruno Woltzenlogel-Paleo는 괴델의 증명을 자동화된 정리 증명이나 최소한 증명 보조자를 통한 컴퓨터 검증에 적합한 수준으로 공식화했습니다.[20] 그 노력은 독일 신문에 대서특필되었습니다. 이 노력의 저자들에 따르면, 그들은 멜빈 피팅의 책에서 영감을 받았다고 합니다.[21]

2014년, 그들은 괴델의 증명을 컴퓨터로 검증했습니다 (위 버전에서).[22]: 97 [note 9] 그들은 또한 이 버전의 공리가 일치하지만 [note 10]모달 붕괴를 암시한다는 것을 증명했고,[note 11] 따라서 소벨의 1987년 주장을 확인했습니다. 같은 논문에서 그들은 일관성을 증명하지 못했기 때문에 괴델의 원래 버전의[note 12] 공리가 일관성이 없다고 의심했습니다.[note 13]

2016년, 그들은 원래 이 ◊ ◻ ⊥ {\\Box \bot}을(를) 암시한다는 컴퓨터 증거를 제시했습니다 즉, 반사적 또는 대칭적 접근성 관계를 가진 모든 모드 논리에서 일관성이 없습니다. 게다가 그들은 이 버전이 모든 논리에서 일관성이 없다고 주장했지만 자동화된 프로버에 의해 복제되지 못했습니다.[note 14][note 15] 그러나 그들은 멜빈 피팅(Melvin Fitting)의 논증 재구성을 검증하고 일관성을 보장할 수 있었습니다.[25]

문학에서

괴델의 존재론적 증명의 유머러스한 변형은 쿠엔틴 칸테렐의 소설 "즐거운 검시관"에서 언급됩니다.[26][page needed] 그 증명은 TV 시리즈 신의 손에도 언급되어 있습니다.[specify]

제프리 케글러(Jeffrey Kegler)의 2007년 소설 신의 증명은 존재론적 증명에 관한 괴델의 잃어버린 노트의 재발견을 묘사하고 있습니다.[27]

참고 항목

메모들

  1. ^ 괴델은 사회학자 버크 그랑장이 보낸 특별한 설문지에 대한 답. 이 답변은 Wang 1987, 18쪽에 직접 인용되어 있고, Wang 1996, 112쪽에 간접적으로 인용되어 있습니다. 이 기사는 또한 Wang 1987을 인용한 Dawson 1997, 페이지 6에서도 직접 인용하고 있습니다. 그랑장 질문지는 아마도 괴델의 논문에서 가장 확장된 자전적 항목일 것입니다. 괴델은 그것을 연필로 작성하고 자기소개서를 썼지만, 그는 그것을 돌려주지 않았습니다. Theistic은 Wang 1987과 Wang 1996에서 모두 이탤릭체로 표기됩니다. 이 이탤릭체는 괴델의 것이 아니라 왕의 것일 가능성이 있습니다. 인용문은 Wang 1987을 따르며, Wang 1996에서 두 가지 수정 사항을 가져왔습니다. Wang 1987은 Wang 1996이 루터교를 "침례"한 "침례교 루터교"를 읽습니다. "침례교 루터교"는 특히 맥락상 말이 안되며, 아마도 오타나 오역이었을 것입니다. Wang 1987에는 "rel. cong"가 있으며, Wang 1996에서는 "종교적 회중"으로 확장됩니다.
  2. ^ 모든 속성 중에서 긍정적인 속성을 선택할 수 있다고 가정합니다. 괴델은 "긍정은 (세계의 우연한 구조와는 무관하게) 도덕적 미적 의미에서 긍정을 의미한다"고 언급합니다. 그것은 또한 사유화(또는 사유화를 포함하는 것)가 아닌 순수한 귀속을 의미할 수도 있습니다."(Gödel 1995), (Gawlick 2012)의 원고도 참조하십시오.
  3. ^ 불경스러운 예를 들어, 녹색인 성질이 양수이면 빨간색이 아닌 성질도 양수이므로(공리 1에 의해) 빨간색인 성질은 음수입니다(공리 2에 의해). 더 일반적으로, 기껏해야 하나의 색상은 긍정적인 것으로 간주될 수 있습니다.
  4. ^ 색의 예를 계속하면, 신과 같은 물체는 긍정적이거나 전혀 색이 없는 것으로 간주되는 고유한 색을 가져야 합니다. 두 가지 대안 모두 직관에 어긋나는 것처럼 보일 수 있습니다.
  5. ^ φ ⪯ ψ {\displaystyle \varphi \preceq \psi 에 의해 된 부분 순서 ⪯ {\\preceq \∀}를 고려하면 ◻ φ y (y) → {\displaystyle \square \forally(\varphi (y)\to \psi (y)}인 경우 Axioms 1-3은 이 순서에서 양의 속성이 한외 필터를 형성한다고 요약할 수 있습니다. 정의 1과 Axiom 4는 Godlike 속성을 한외 필터의 주요 요소로 설정하기 위해 필요합니다.
  6. ^ 모든 모달 연산자를 공리, 정의, 증명 및 정리에서 제거함으로써 "모든 양의 속성을 갖지만 음의 속성은 없는 객체가 존재한다"는 수정된 정리 2 버전을 얻을 수 있습니다. 이 결과는 공리 1-3, 정의 1, 정리 1-2에 불과합니다.
  7. ^ 형식적으로 p에 대한 ⇒ ◻ \Box p}는 간접 증명을 통해 모든 p에 대한 ◊ p ⇒ p {\displaystyle \Diamond p\Rightarrow p}를 의미하며, ◻ p ⇒ ◊ p {\displaystyle \Box p\Rightarrow \Diamond p}는 접근 가능한 월드가 있을 때마다 모든 p에 대해 유지됩니다.
  8. ^ 소벨의 모달 붕괴 증명은 람다 추상화를 사용하지만 괴델의 증명은 그렇지 않기 때문에 쿤스는 "가장 보수적인" 조치로 재산 건설 작업을 금지할 것을 제안합니다. 그 전에 (앤더슨이 하는 것처럼) 공리를 거부하거나 수정합니다.
  9. ^ 그림 2의 "T3" 행과 4절의 항목 3("주요 결과"). 그들의 정리 "T3"은 위에 표시된 "Th.4"에 해당합니다.
  10. ^ 그림 2의 "CO" 행과 섹션 4의 항목 1(p. 97).
  11. ^ 그림 2의 "MC" 행과 섹션 4의 항목 6(p. 97).
  12. ^ 여기에 나온 버전은 데이나 스콧의 버전입니다.[23] Df.2의 첫 번째 접속사인φ(x) x)}를 생략함으로써 괴델의 원본과 다릅니다.
  13. ^ 그림 2의 "CO" 행과 섹션 4의 항목 5(p. 97).
  14. ^ 섹션 4.1 "비공식 논쟁"(p. 940)의 항목 8.
  15. ^ 4절 "직관 불일치 논쟁"(p. 939–941)의 자세한 논의를 참조하십시오.

참고문헌

  1. ^ 인: 왕, 하오. 논리적 여정: 괴델에서 철학까지. 브래드포드 북, 1997. 인쇄. 316쪽.
  2. ^ 괴델 1995년 인용, 388쪽. 독일어 원본은 Dawson 1997, 307쪽에 인용되어 있습니다. 중첩된 괄호는 Dawson이 인용한 Morgenstern의 원래 일기 항목에 있습니다.
  3. ^ 이 단락에서 증명의 출판 역사는 Gödel 1995, p. 388에 있습니다.
  4. ^ 도슨 1997, 6쪽.
  5. ^ 도슨 1997, 210-212쪽.
  6. ^ Wang 1996, 317쪽. 타원은 위키피디아의 것입니다.
  7. ^ Wang 1996, 51쪽.
  8. ^ 괴델의 증명은 다음 페이지 403-404,429-437에 재인쇄되어 있습니다. Kurt Gödel (Mar 1995). Solomon Feferman and John W. Dawson jr. and Warren Goldfarb and Charles Parsons and Robert M. Solovay (ed.). Unpublished Essays and Lectures (PDF). Collected Works. Vol. III (1st ed.). Oxford: Oxford University Press. ISBN 0-19-507255-3.
  9. ^ a b c Robert C. Koons (Jul 2005). Sobel on Gödel's Ontological Proof (PDF) (Unpublished Paper). University of Texas at Austin. Archived from the original (PDF) on 2020-08-02.
  10. ^ 아래의 프레젠테이션은 쿤스(2005)[9]의 3-7쪽에 이어집니다.
  11. ^ 피팅, 2002, 페이지 139
  12. ^ Jordan Howard Sobel (Nov 1987). "Gödel's ontological proof". In Judith Jarvis Thomson (ed.). On Being and Saying: Essays for Richard Cartwright. Cambridge/MA & London, England: MIT Press. pp. 241–261. ISBN 978-0262200639.
  13. ^ Kurt Gödel (Mar 1995). "Texts Relating to the Ontological Proof (App. B)". In Solomon Feferman; John W. Dawson jr.; Warren Goldfarb; Charles Parsons; Robert M. Solovay (eds.). Unpublished Essays and Lectures (PDF). Collected Works. Vol. III (1st ed.). Oxford: Oxford University Press. pp. 429–437. ISBN 0-19-507255-3. 여기: 435쪽; 아마도 소벨은 괴델의 노트 4를 언급했을 것입니다. "... (x) ⇒ φ (x) {\displaystyle \varphi (x)\오른쪽 화살표 \Box \varphi (x)}를 [x {\displaystyle x}의 본질에서 다음과 같이 가정하면...] 열위 방법입니다. 오히려 (x) ⇒ ◻ φ(x \Box \varphi(x)}가 하나님의 존재에서 먼저 뒤따라야 합니다." 이 노트는 괴델이 모달 붕괴를 암시하는 그의 공리를 알고 있었다는 것을 나타낼 수 있습니다.
  14. ^ Curtis Anthony Anderson (Jul 1990). "Some Emendations of Gödel's Ontological Proof" (PDF). Faith and Philosophy. 7 (3): 291–303. doi:10.5840/faithphil19907325. Archived (PDF) from the original on 2015-06-04.
  15. ^ Curtis Anthony Anderson and Michael Gettings (Aug 1996). "Gödel's ontological proof revisited". In Petr Hájek (ed.). Proc. Gödel '96: Logical Foundations of Mathematics, Computer Science and Physics — Kurt Gödel's Legacy. Lecture Notes in Logic. Vol. 6. Springer. pp. 167–172.
  16. ^ — Graham Oppy (Oct 1996). "Godelian ontological arguments". Analysis. 54 (4): 226–230. doi:10.1093/analys/56.4.226. 더 긴 버전 (2005)
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더보기

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  • Frode Alfson Bjørdal, "모든 속성은 신성하다, 혹은 신은 존재한다," 논리와 논리 철학, Vol. 27 No. 3, 2018, 페이지 329–350.
  • 브로맨드, 요아힘. "Gödels ontologischer Beweis und Andere modallogische Gottesbeweise", J. Bromand und G. Kreis(Hg.), Gottesbeise von Anselm bis Gödel, Berlin, 2011, 381-491.
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  • Goldman, Randolph R. "Gödel's Ontological Argument", PhD Diss., Berkeley 2000.
  • Hazen, A. P. "괴델의 존재론적 증명에 대하여", Australasian Journal of Philosophy, Vol. 76, No. 3, pp. 361–377, 1998년 9월
  • Small, Christopher. "Reflections on Gödel's Ontological Argument" (PDF). University of Waterloo. Archived from the original (PDF) on 2009-12-22. Retrieved 2010-08-31.
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외부 링크