파노 품종

대수기하학에서, 지노 파노에 의해 도입된 파노 품종은 항암다발_X^* K가 충분한 완전한 품종 X이다.이 정의에서는 X가 한 분야에 걸쳐 매끄럽다고 가정할 수 있지만, 최소 모델 프로그램에 의해 단자 또는 klt 특이점 등 다양한 유형의 특이점을 가진 Fano 품종을 연구하게 되었다.최근 미분 기하학 기법이 복소수에서 파노 품종의 연구에 적용되었고, 파노 품종의 K-안정성 연구를 통해 파노 품종의 모듈리 공간을 구성하고 파노 품종의 K-아인슈타인 메트릭스의 존재를 증명하는 데 성공하였다.

예

Fano 변종의 기본적인 예는 투영 공간이다: 필드 k 위의 P의ⁿ 항암성 선다발은 O(n+1)이며, 이는 매우 풍부하다(복소수보다 곡률은 Fubini-Study 심플렉틱 형식의 n+1배이다).
D를ⁿ P의 매끄러운 코드미션-1 서브변수로 한다.결합식은 K = (K_X + D) = (-(n+1)H + deg(D)H)를 의미하며_D, 여기서 H는 하이퍼플레인 클래스입니다.따라서 하이퍼서페이스 D는 deg(D) < n+1인 경우에만 Fano가 됩니다.
보다 일반적으로, n차원 투영 공간에서 하이퍼서페이스의 매끄러운 완전한 교점은 그 정도 합계가 최대 n인 경우에만 Fano이다.
가중 투영 공간 P(a₀,…a_n)는 단수(klt)의 Fano 품종이다.이것은 발생기가 a, …,a를₀_n 갖는 등급화된 다항식 고리와 관련된 투영 체계이다. 만약 이것이 잘 형성된다면, n개의 숫자 a가 1보다 큰 공통 인자를 가지지 않는다는 의미에서, 그들의 도수의 합이 a+보다₀ 작도록 하이퍼서페이스의 완전한 교집합이다.+a는_n Fano 품종입니다.
선형 대수군 아래에서 균질한 특성 0의 모든 투영 변종은 Fano이다.

일부 속성

X에 몇 가지 충분한 라인 번들이 존재하는 것은 X가 투영적 다양성이기 때문에 Fano 품종은 항상 투영적입니다.복잡한 숫자에 대한 파노 다양체 X의 경우, 고다이라 소멸 theorem은sheaf cohomology 그룹 Hj는 구조 한({\displaystyle H^{j}(X,{\mathcal{O}}_{X})}j을에 사라지다.;특히 0{\displaystyle j>0}., 토드 genus χ(X, O))∑(− 1)jhj(것을 의미한다.x, $\chi (X,{\mathcal {O}})=\sum (-1)^{j}h^{j}(X,{\mathcal {O}}_{X})$ X $)({displaystyle \chi (X,$ {\ $mathcal {O}})=\sum$ (- $1)^{j}h^{j}(X,$ {\ $mathcal {O}}_{X})})$ 은 $\chi (X,{\mathcal {O}})=\sum (-1)^{j}h^{j}(X,{\mathcal {O}}_{X})$ 자동으로 1이 됩니다.이 소실 스테이트먼트의 $=$ 1, $2$ (\ $style j=$ 1,2) $j=1,2$ 에서도 $j=1,2$ 첫 번째 체른 클래스가 동형 $c_{1}:Pic(X)\to H^{2}(X,\mathbb {Z} )$ $c_{1}:Pic(X)\to H^{2}(X,\mathbb {Z} )$ $c_{1}:Pic(X)\to H^{2}(X,\mathbb {Z} )$ ( $c_{1}:Pic(X)\to H^{2}(X,\mathbb {Z} )$ X ) $c_{1}:Pic(X)\to H^{2}(X,\mathbb {Z} )$ $c_{1}:Pic(X)\to H^{2}(X,\mathbb {Z} )$ 2 ( $c_{1}:Pic(X)\to H^{2}(X,\mathbb {Z} )$ , $c_{1}:Pic(X)\to H^{2}(X,\mathbb {Z} )$ $){style c_{1}$ 을 유도함을 알 수 있습니다. $Pic(X)\to$ H $^{2}(X,\mathbb {Z$

Yau의 칼라비 추측 해법에 따르면 매끄러운 복소수 품종은 Fano일 경우에만 양의 Ricci 곡률의 Kéhler 메트릭을 허용합니다.마이어스의 정리는 따라서 파노 다양체의 보편적 덮개는 콤팩트하고, 따라서 유한 덮개일 수 밖에 없다는 것을 우리에게 말해준다.그러나 방금 Fano 매니폴드의 Todd 속은 1이어야 합니다.이는 다지관의 범용 커버에도 적용되며, Todd 속은 유한한 커버 하에서 곱셈이기 때문에 모든 Fano 다지관은 단순하게 연결됩니다.

보다 쉬운 것은, 모든 파노 품종이 코다이라 차원 -∞를 가지고 있다는 것입니다.

캄파나와 콜라르-미야오카-모리(Kollarr-Miyaoka-Mori)는 대수적으로 닫힌 장에 걸쳐 매끄러운 파노 품종이 합리적으로 연결된다는 것을 보여주었다. 즉, 어떤 두 닫힌 점이라도 유리 ^[1]곡선의 연쇄에 의해 연결될 수 있다.콜라르-미야오카-모리 또한 특성 0의 대수적으로 닫힌 장에 걸쳐 주어진 차원의 매끄러운 파노 품종이 경계 군을 형성한다는 것을 보여주었고, 이는 그것들이 완전히 많은 대수 ^[2]품종의 점으로 분류된다는 것을 의미한다.특히, 각 차원별로 Fano 품종의 변형 클래스가 매우 많습니다.그런 의미에서 파노 품종은 일반 품종 등 다른 품종보다 훨씬 특별하다.

작은 치수의 분류

다음 설명에서는 복잡한 숫자에 대해 Fano 품종을 부드럽게 하는 것에 대해 설명합니다.

Fano 곡선은 투영 선과 동형입니다.

Fano 표면은 del Pezo 표면이라고도 불립니다.모든 델 페조 표면은 P × P¹ 또는 최대 8개 지점에서 폭파된 투영 평면과 동일하며, 이는¹ 일반적인 위치에 있어야 한다.결과적으로, 그들은 모두 합리적이다.

차원 3에서는 P(Clemens - Griffiths)에서는⁴ 입방체 3배, P(Iskovskikh - Manin)에서는⁴ 4차 3배 등 합리적이지 않은 평활 복합 Fano 품종이 존재한다.이스코프스키(1977년, 1978년, 1979년)는 두 번째 베티가 1번인 매끄러운 파노를 17개 등급으로, 모리&무카이(1981년)는 두 번째 베티가 2번 이상인 매끄러운 파노를 2개 등급으로 분류해 88개의 변형 등급을 얻었다.부드러운 Fano 3배 분류에 대한 자세한 요약은 Iskovskikh & Prokhorov(1999년)에 나와 있다.

「」를 참조해 주세요.

모든 Fano 품종을 3차원, 4차원 및 5차원으로 분류하는 프로젝트입니다.

메모들

^ J. 콜라대수적 다양성에 대한 합리적 곡선.정리 V.2.13
^ J. 콜라대수적 다양성에 대한 합리적 곡선.결과 V.2.15

외부 링크

Fanography - 3차원 Fano 품종의 분류를 시각적으로 연구하는 도구입니다.

레퍼런스

Fano, Gino (1934), "Sulle varietà algebriche a tre dimensioni aventi tutti i generi nulli", Proc. Internat. Congress Mathematicians (Bologna), 4, Zanichelli, pp. 115–119
Fano, Gino (1942), "Su alcune varietà algebriche a tre dimensioni razionali, e aventi curve-sezioni canoniche", Commentarii Mathematici Helvetici, 14: 202–211, doi:10.1007/BF02565618, ISSN 0010-2571, MR 0006445^{[영구 데드링크]}
Iskovskih, V. A. (1977), "Fano threefolds. I", Math. USSR Izv., 11 (3): 485–527, doi:10.1070/IM1977v011n03ABEH001733, ISSN 0373-2436, MR 0463151
Iskovskih, V. A. (1978), "Fano 3-folds II", Math USSR Izv., 12 (3): 469–506, doi:10.1070/im1978v012n03abeh001994, MR 0463151
Iskovskih, V. A. (1979), "Anticanonical models of three-dimensional algebraic varieties", Current problems in mathematics, Vol. 12 (Russian), VINITI, Moscow, pp. 59–157, MR 0537685
Iskovskikh, V. A.; Prokhorov, Yu. G. (1999), "Fano varieties", in A. N. Parshin; I. R. Shafarevich (eds.), Algebraic Geometry, V. Encyclopedia Math. Sci., 47, Springer-Verlag, pp. 1–247, ISBN 3-540-61468-0, MR 1668579
Kollár, János (1996), Rational Curves on Algebraic Varieties, Berlin, Heidelberg: Springer-Verlag, doi:10.1007/978-3-662-03276-3, ISBN 978-3-642-08219-1, MR 1440180
Kulikov, Vik.S. (2001) [1994], "Fano_variety", Encyclopedia of Mathematics, EMS Press
Mori, Shigefumi; Mukai, Shigeru (1981), "Classification of Fano 3-folds with B₂≥2", Manuscripta Mathematica, 36 (2): 147–162, doi:10.1007/BF01170131, ISSN 0025-2611, MR 0641971
Mori, Shigefumi; Mukai, Shigeru (2003), "Erratum: "Classification of Fano 3-folds with B₂≥2"", Manuscripta Mathematica, 110 (3): 407, doi:10.1007/s00229-002-0336-2, ISSN 0025-2611, MR 1969009

[1] J. 콜라대수적 다양성에 대한 합리적 곡선.정리 V.2.13

[2] J. 콜라대수적 다양성에 대한 합리적 곡선.결과 V.2.15

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