파브리-페로트 간섭계

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광학에서 FPI(Fabry-Pérot Interferometer) 또는 에탈론(etalon)은 두 개의 평행한 반사면(즉, 얇은 거울)으로 만들어진 광학 공동입니다. 광파는 광 공동과 공진할 때만 광 공동을 통과할 수 있습니다. 그것은 1899년에 그 악기를 개발한 찰스 패브리와 알프레드 페로의 이름을 따서 지어졌습니다.^[1][2][3] 에탈론은 "측정 게이지" 또는 "표준"을 의미하는 프랑스어 에탈론에서 유래했습니다.^[4]

에탈론은 빛의 파장을 제어하고 측정하기 위해 통신, 레이저 및 분광학에 널리 사용됩니다. 최근 제작 기술의 발전으로 매우 정확한 조정 가능한 Fabry-Pérot 간섭계를 만들 수 있습니다. 이 장치는 엄밀히 말하면 두 표면 사이의 거리(공진 길이)가 변경될 수 있는 경우 간섭계이고, 거리가 고정된 경우에는 에탈론입니다(그러나 두 용어는 종종 서로 교환되어 사용됩니다).

기본설명

Fabry-Pérot 간섭계의 중심은 반사면이 서로 마주보는, 마이크로미터에서 센티미터 간격의 부분 반사 유리 광학 평면 쌍입니다. (또는 Fabry-Pérotetalon은 평행한 두 개의 반사면을 가진 단일 판을 사용합니다.) 간섭계의 평면은 종종 뒷면이 간섭 무늬를 만들지 못하도록 쐐기 모양으로 만들어지며, 뒷면에는 반사 방지 코팅이 되어 있습니다.

일반적인 시스템에서 조명은 콜리메이팅 렌즈의 초점면에 설정된 확산 소스에 의해 제공됩니다. 플랫이 없는 경우, 한 쌍의 플랫 뒤에 포커싱 렌즈가 소스의 반전 이미지를 생성합니다. 소스의 한 지점에서 방출되는 모든 빛은 시스템의 이미지 평면에서 한 지점으로 포커싱됩니다. 첨부된 그림에서 소스의 A 지점에서 방출되는 광선은 단 하나만 추적됩니다. 광선이 쌍을 이루는 평면을 통과할 때 다중 반사되어 여러 개의 투과 광선이 생성되고 집속 렌즈에 의해 수집되어 화면의 A' 지점으로 이동합니다. 완전한 간섭 패턴은 동심원 고리의 집합을 나타냅니다. 링의 선명도는 아파트의 반사율에 따라 다릅니다. 반사율이 높아 Q 팩터가 높으면 단색광은 어두운 배경에 대해 좁은 밝은 고리 세트를 생성합니다. Q가 높은 Fabry-Pérot 간섭계는 높은 기술을 가지고 있다고 합니다.

적용들

텔레커뮤니케이션즈

파장 분할 다중화를 사용하는 전기 통신 네트워크에는 미니어처 튜닝된 융합 실리카 또는 다이아몬드 등의 뱅크가 있는 애드 드롭 멀티플렉서가 있습니다. 작은 고정밀 랙에 장착된 측면에 약 2mm의 작은 적외선 큐브입니다. 재료는 미러 간 거리를 안정적으로 유지하고 온도가 변하더라도 주파수를 안정적으로 유지하기 위해 선택됩니다. 다이아몬드는 열전도율이 더 크고 여전히 팽창계수가 낮기 때문에 선호됩니다. 2005년, 일부 통신 장비 회사들은 광섬유 자체인 고체 에텔론을 사용하기 시작했습니다. 따라서 대부분의 장착, 정렬 및 냉각 어려움을 제거합니다.

광학 기기

다이크로익 필터는 증착법으로 광학 표면에 일련의 에탈론 층을 증착하여 만들어집니다. 이 광학 필터는 일반적으로 흡수 필터보다 더 정확한 반사 및 통과 대역을 가지고 있습니다. 적절하게 설계되면 흡수성 필터보다 더 차갑게 작동하는데, 이는 원하지 않는 파장을 흡수하기보다 반사하기 때문입니다. 이색성 필터는 광원, 카메라, 천문 장비, 레이저 시스템 등의 광학 장비에 널리 사용됩니다.

광파계와 일부 광 스펙트럼 분석기는 서로 다른 자유 스펙트럼 범위를 가진 Fabry-Pérot 간섭계를 사용하여 매우 정밀하게 빛의 파장을 결정합니다.

레이저 공진기는 종종 Fabry-Pérot 공진기로 설명되지만, 많은 종류의 레이저에서 하나의 미러의 반사율은 100%에 가깝습니다. 이는 Gires-Tournois 간섭계와 더 유사합니다. 반도체 다이오드 레이저는 칩의 단면 코팅이 어렵기 때문에 때때로 진정한 Fabry-Pérot 기하학을 사용합니다. 양자 캐스케이드 레이저는 활성 영역의 높은 이득 때문에 페이스 코팅 없이 레이징을 유지하기 위해 종종 Fabry-Pérot 캐비티를 사용합니다.^[5]

싱글 모드 레이저를 구성할 때 종종 레이저 공진기 내부에 에탈론이 배치됩니다. 에탈론이 없으면 일반적으로 레이저는 Fabry-Pérot 모드와 유사한 여러 캐비티 모드에 해당하는 파장 범위에서 빛을 생성합니다. 레이저 공동에 에탈론을 삽입하면 하나를 제외한 모든 공동 모드를 억제할 수 있으며, 따라서 레이저의 작동을 다중 모드에서 단일 모드로 변경할 수 있습니다.

안정적인 파브리-페로 간섭계는 레이저가 방출하는 빛의 주파수를 안정화하기 위해 종종 사용됩니다(기계적 진동이나 온도 변화로 인해 변동하는 경우가 많습니다). 오류 신호를 생성하기 위해 널리 사용되는 Pound–Drever–Hall 기법과 같은 많은 기법이 존재합니다.

분광학

Fabry-Pérotetalons는 레이저 흡수 분광법, 특히 캐비티 링다운(cavity ring-down) 기법에서 상호작용 길이를 연장하는 데 사용될 수 있습니다.

Fabry-Pérotetalon을 사용하여 일반 분광계로 구분하기에는 분광선이 너무 가깝기 때문에 제만 효과를 관찰할 수 있는 분광계를 만들 수 있습니다.

천문학

천문학에서 에탈론은 이미징을 위해 단일 원자 전이를 선택하는 데 사용됩니다. 가장 흔한 것은 태양의 H-알파 선입니다. 태양에서 나오는 Ca-K 선 또한 일반적으로 에탈론을 사용하여 이미지화됩니다.

인도의 망갈리안 위성에 탑재된 화성용 메탄 센서(MSM)는 파브리-페로트(Fabry-Pérot) 기기의 한 예입니다. 망갈리안이 발사했을 때 우주 최초의 파브리-페로트(Fabry-Pérot) 악기였습니다.^[6] 메탄에 흡수된 방사선과 이산화탄소 등 가스에 흡수된 방사선을 구분하지 않아 후에 알베도 매퍼로 불리게 되었습니다.^[7]

중력파 감지에서 Fabry-Pérot 공동은 광자가 거울 사이에서 위아래로 튕기는 동안 거의 1밀리초 동안 저장하는 데 사용됩니다. 이는 중력파가 빛과 상호작용할 수 있는 시간을 증가시켜 저주파에서 더 나은 감도를 제공합니다. 이 원리는 LIGO와 처녀자리와 같은 검출기에서 사용되는데, 두 팔에 수 킬로미터 길이의 파브리-페로트 공동이 있는 마이컬슨 간섭계로 구성되어 있습니다. 일반적으로 모드 클리너라고 불리는 더 작은 캐비티는 메인 레이저의 공간 필터링 및 주파수 안정화에 사용됩니다.^[8]

이론.

공진기 손실 및 출력등

Fabry-Pérot 공진기의 스펙트럼 반응은 그 안으로 발사된 빛과 공진기에서 순환하는 빛 사이의 간섭에 기초합니다. 두 빔이 위상에 있으면 보강 간섭이 발생하여 공진기 내부에서 빛의 공진 향상을 유도합니다. 두 빔이 위상을 벗어나면 발사된 빛 중 작은 부분만 공진기 내부에 저장됩니다. 저장, 투과, 반사되는 빛은 입사하는 빛에 비해 스펙트럼적으로 변형됩니다.

$n {\displaystyle$ n$\}$의 매질로 균일하게 채워진 기하학적 길이$$ℓ${\displaystyle \$ell}의 2-미러 Fabry-Pérot 공진기를 가정해 보자. 정상적인 입사 하에서 빛은 공진기로 시작됩니다. 속도 $c$ = ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle 0_{}}$/ ${\$$displaystyle$ c = c_${0$}/n}로 공진기에서 진행하는 빛의 왕복 시간 ${\displaystyle {\mathrm{tRT}}_{}}$ ${\displaystyle t_{rm {RT}},$ 여기서 c 0 {\displaystyle c_{0}/n}은 진공에서의 빛의 속도, 그리고 자유 스펙트럼 범위 δ$$ν FRS ${\displaystyle$ \Delta \n$u_{\rm {FSR}}$은(는) 다음과 같습니다.

${\displaystyle t_{\rm {RT}}={\frac {1}{\Delta \nu _{\rm {FSR}}}}={\frac {2\ell }{c}}.}$

미러 $i{\displaystyle }$ ${\displaystyle i}$에서의 전기장 및 세기 ${\displaystyle {반사율}_{}}$은 각각$$${\$ 및 ${\$입니다.

${\displaystyle r_{i} ^{2} = R_{i}입니다.$

다른 공진기 손실이 없는 경우, 왕복당 광도의 감쇠는 아웃커플링 감쇠율 ${\displaystyle {\mathrm{상수}}_{}}$ $1{\displaystyle }$/$$τout, ${\displaystyle 1/\tau _{\$rm {out}}에 의해 정량화됩니다.

${\displaystyle R_{1}R_{2}=e^{-t_{\rm {RT}}/\tau _{\rm {out}}},}$

그리고 공진기의 광자-decay $시간{\displaystyle {}_{}}$τ c ${\displaystyle$\tau _{c}}는 다음과 같이 주어집니다.

${\displaystyle {\frac {1}{\tau _{c}}={\frac {1}{\tau _{\rm {out}}}={\frac {-\ln {(R_{1}R_{2}}}{t_{\rm {RT}}}}$

공진 주파수 및 스펙트럼 라인 형상

ϕ${\displaystyle \mathrm{포함}}$(ν$)$ ${\displaystyle$ \phi(\n)$u )}$ 한 미러에서 다른 미러로 전파할 때 빛이 나타내는 단일 통과 위상 이동을 정량화하고 주파수$$$ν$에서 왕복 위상 이동 {\displaystyle \n$u}$이(가) 누적됩니다^[9].

${\displaystyle 2\phi(\n)u )=2\pi \nu_{\rm {RT}}.$

한 번 왕복한 후 빛이 보강 간섭을 보이는 주파수에서 공진이 발생합니다. 모드 $인덱스$가 q$${\$displaystyle$ q$}$인 각 공진기 모드는$$$q$ {\$displaystyle$q}(여기서 q $displaystyle q$$}$는$$[ - ∞$,$ ν] {\infty,\infty]} 간격의 정수입니다. ${\displaystyle {공진}_{}}$ $주파수$ ∞ q {\displaystyle \n과 연결되어 있습니다.$u_{q}}$ 및$$ 파수 ${\displaystyle {kq}_{}}$ ${\$

${\displaystyle \nu _{q}=q\Delta \nu _{\rm {FSR}}\Rightarrow k_{q}={\frac {2\pi q\Delta \nu_{\rm {FSR}}}{c}}.$

물리적으로 서로 반대 전파 방향을 나타내는 모달 인덱스 및 파수의 반대 값$$± ${\displaystyle q}${\$displaystyle$\$pm$$$q}$$및 ± ${\displaystyle k}${\$displaystyle \pm$ k$}$를 갖는 두 모드는 동일한 절대 ${\displaystyle {값}_{}}$ν q ${\displaystyle$ \left \n에서 발생합니다.$주파수$의 $u_{q}\right}$입니다.^[10]

주파수$$ν q ${\displaystyle$ \n에서 감쇠 전기장$u_{q}}$는 초기 진폭이 ${\displaystyle {\mathrm{Eq},}_{}}$ s ${\displaystyle E_{q,s}$이고 감쇠 시간 $상수$가 2$$$τ$ c {\$displaystyle$2$\backslash$tau_{c}인 감쇠 고조파 진동으로 표시됩니다. 위상 표기법에서는 다음과 같이 나타낼 수 있습니다.

${\displaystyle E_{q}(t)=E_{q,s}e^{i2\pi \nu _{q}t}e^{-{\frac {t}{2\tau _{c}}}}.}$

시간에 따른 전기장의 푸리에 변환은 단위 주파수 간격당 전기장을 제공합니다.

${\displaystyle {\tilde {E}}_{q}(\nu )=\int _{-\infty }^{+\infty }E_{q}(t)e^{-i2\pi \nu t}\,dt=E_{q,s}{\frac {1}{(2\tau _{c})^{-1}+i2\pi (\nu -\nu_{q}}}.$

각 모드는 다음과 같이 주어진 단위 주파수 간격당 정규화된 스펙트럼 라인 모양을 갖습니다.

${\displaystyle {\tilde {\gamma }_{q}(\n)u )={\frac {1}{\tau _{c}}}\left {\frac {{\tilde {E}}_{q}(\nu )}{E_{q,s}}}\right ^{2}={\frac {1}{\tau _{c}}}{\frac {1}{(2\tau _{c})^{-2}+4\pi ^{2}(\nu -\nu_{q})^{2}}}$

주파수가 통합적인 것을 의미합니다. 반치전폭(FWHM) 선폭$$δ ν c ${\displaystyle$ \Delta \n 소개합니다.로런츠 스펙트럼 선 $모양$의 $u_{c}}$를 구하면 다음과 같습니다.

${\displaystyle \Delta \nu_{c}={\frac {1}{2\pi \tau _{c}}\오른쪽 화살표 {\tilde {\gamma }}_{q}(\nu )={\frac {1}{\pi }}{\frac {\Delta \nu _{c}/2}{(\Delta \nu_{c}/2)^{2}+(\nu -\nu _{q})^{2}}}={\frac {2}{\pi }}{\frac {\Delta \nu _{c}}{(\Delta \nu_{c})^{2}+4(\nu -\nu_{q})^{2}}}$

HWHM(Half-Width-at-Half-Maximum) 선폭${\displaystyle {}_{}}$δ$$ν c / 2 ${\$displaystyle \Delta \n으로 표현됩니다.$u_{c}/2}$ 또는 FWHM 선폭$$$δ$ $ν$ c {\displaystyle \Delta \n$u_{c$ 단일성의 피크 높이로 보정하면 로렌츠 선을 얻을 수 있습니다.

${\displaystyle \gamma _{q,L}(\n)u )={\frac {\pi }{2}}\Delta \nu_{c}{\tilde {\gamma }}_{q}(\nu )={\frac {(\Delta \nu _{c}/2)^{2}}{(\Delta \nu_{c}/2)^{2}+(\nu -\nu _{q})^{2}}}={\frac {(\Delta \nu _{c})^{2}}{(\Delta \nu_{c})^{2}+4(\nu -\nu_{q})^{2}}.$

공진기에서$$ 모드 인덱스 $q$가 ${\displaystyle q}$인 모든 모드에 대해 위와 같은 푸리에 변환을 반복하면 공진기의 전체 모드 스펙트럼을 얻게 됩니다.

선폭이$$δ ν c ${\$displaystyle \Delta \n이므로$u_{c}}$ 및 자유 스펙트럼 범위 $δ$$$$ν$ FRS ${\displaystyle$ \Delta \n$u_{\rm {FSR}}$는 주파수에 독립적인$$ 반면, 파장 공간에서는 선폭을 적절하게 정의할 수 없고 자유 스펙트럼 범위는 파장에 의존합니다. 그리고 공진 주파수는$$ν q ${\displaystyle$ \n이기 때문에$u_{q}}$ 스케일은$$ 주파수에 비례하며, Fabry-Pérot 공진기의 스펙트럼 응답은 주파수 공간에서 자연스럽게 분석되어 표시됩니다.

일반 에어리 분포: 내부 공진 강화 인자

거울 1에 입사한 전기장에 대한 파브리-페로트 공명기의 반응은 공명기 내부 또는 외부의 다른 위치에서 전방 또는 후방 전파 방향의 빛 세기를 정량화하는 여러 에어리 분포(수학자이자 천문학자인 조지 비델 에어리의 이름을 따서 명명됨)에 의해 설명됩니다. 발사되거나 입사되는 빛의 세기. Fabry-Pérot 공진기의 응답은 순환장 접근법을 사용하여 가장 쉽게 도출됩니다.^[11] 이 접근 방식은 정상 상태를 가정하고 다양한 전기장을 서로 연관시킵니다(그림 "Fabry-Pérot 공진기의 전기장" 참조).

${\displaystyle {\mathrm{Ecc}}_{}}$ ${\$ 필드는 에 의해 공진기로 시작되는$$ ${\displaystyle {\mathrm{Elaun}}_{}}$ ${\$ 필드와 관련될 수 있습니다$$.

${\displaystyle E_{\rm {circ}}=E_{\rm {laun}}+E_{\rm {RT}}=E_{\rm {laun}}+r_{1}r_{2}e^{-i2\phi }E_{\rm {circ}}\Rightarrow {\frac {E_{\rm {circ}}}{E_{\rm {laun}}}}={\frac {1}{1-r_{1}r_{2}e^{-i2\phi }}}.}$

공진기 내부의 빛이 보여주는 물리적 과정만을 고려한 일반적인 에어리 분포는 발사된 세기에 대한 공진기 내부를 순환하는 세기로 도출됩니다.^[9]

${\displaystyle A_{\rm {circ}}={\frac {I_{\rm {circ}}}{I_{\rm {laun}}}}={\frac {\left E_{\rm {circ}}\right ^{2}}{\left E_{\rm {laun}}\right ^{2}}}={\frac {1}{\left 1-r_{1}r_{2}e^{-i2\phi }\right ^{2}}}={\frac {1}{\left({1-{\sqrt {R_{1}R_{2}}}}\right)^{2}+4{\sqrt {R_{1}R_{2}}}\sin ^{2}(\phi )}}.}$

${\displaystyle {\mathrm{원형}}_{}}$ c$${\$displaystyle A_{\rm {circ}}$는 공진기가 발사된 빛에 제공하는 스펙트럼 의존적 내부 공진 향상을 나타냅니다$$(그림 "Fabry-Pérot 공진기에서의 공진 향상" 참조). 공진 주파수에서$$ν q ${\displaystyle$ \n$u_{q$ ${\displaystyle \sin }$$⁡$($ϕ$$) {\displaystyle$ \sin(\phi )}이(가) 0인 경우 내부 공진 강화 계수는

${\displaystyle A_{\rm {circ}}(\nu _{q})={\frac {1}{\left(1-{\sqrt {R_{1}R_{2}}}\right)^{2}}}.}$

기타 에어리 분포

내부 공진 향상, 즉 일반적인 Airy 분포가 설정되면, 다른 모든 Airy 분포는 간단한 스케일링 인자에 의해 추론될 수 있습니다.^[9] 공진기로 발사되는 세기는 미러 1에 입사되는 세기의 투과 분율과 같으므로,

${\displaystyle I_{\text{laun}}=\left(1-R_{1}\right)I_{\text{inc}}}$

그리고 미러 2를 통해 전달되고 미러 2에서 반사되며 미러 1을 통해 전달되는 세기는 공진기 내부를 순환하는 세기의 투과 분율 및 반사/투과 분율로서,

${\displaystyle {\begin{aligned}I_{\text{trans}}&=\left(1-R_{2}\right)I_{\text{circ}},\\I_{\text{b-circ}}&=R_{2}I_{\text{circ}},\\I_{\text{back}}&=\left(1-R_{1}\right)I_{\text{b-circ}},\end{aligned}}$

다른 Airy 분포 $A{\displaystyle }$ ${\displaystyle$ A$}$은(는) 시작된 강도 I ${\$와 A$'$는 $입사{\displaystyle {}^{}}$ 강도 $I{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {\text{inc}}_{}}$ ${\$과(는) 시작된 강도 $I{\displaystyle {}_{}}$ {\$displaystyle$ A$^{\prime}}$입니다^[9].

${\displaystyle {\begin{aligned}A_{\text{circ}}&={\frac {1}{R_{2}}}A_{\text{b-circ}}={\frac {1}{R_{1}R_{2}}}A_{\text{RT}}={\frac {1}{1-R_{2}}}A_{\text{trans}}={\frac {1}{(1-R_{1})R_{2}}}A_{\text{back}}={\frac {1}{1-R_{1}R_{2}}}A_{\text{emit}},\\A_{\text{circ}}'&={\frac {1}{R_{2}}}A_{\text{b-circ}}'={\frac {1}{R_{1}R_{2}}}A_{\text{RT}}'={\frac {1}{1-R_{2}}}A_{\text{trans}}'={\frac {1}{(1-R_{1})R_{2}}}A_{\text{back}}'={\frac {1}{1-R_{1}R_{2}}}A_{\text{emit}}',\\A_{\text{circ}}'&=\left(1-R_{1}\right)A_{\text{circ}}.\end{align}}}$

지표 "방출"은 공명기의 양쪽에서 방출되는 강도의 합을 고려한 에어리 분포를 나타냅니다.

역 투과 세기 $I{\displaystyle {}_{}}$ 백 ${\$는 처음에 역반사된 빛이 역방향 전파 신호를 추가하기 때문에 측정할$$ 수 없습니다. 역방향으로 전파하는 두 전기장의 간섭으로 인한 강도의 측정 가능한 경우는 에어리 분포를^[9] 초래합니다.

${\displaystyle A_{\text{refl}}^{\prime }={\frac {I_{\text{refl}}}{I_{\text{inc}}}}={\frac {\left E_{\text{refl}}\right ^{2}}{\left E_{\text{inc}}\right ^{2}}}={\frac {\left({{\sqrt {R_{1}}}-{\sqrt {R_{2}}}}\right)^{2}+4{\sqrt {R_{1}R_{2}}}\sin ^{2}(\phi )}{\left({1-{\sqrt {R_{1}R_{2}}}}\right)^{2}+4{\sqrt {R_{1}R_{2}}}\sin ^{2}(\phi )}}.}$

Fabry-Pérot 공진기에서는 건설적이고 파괴적인 간섭이 발생하더라도 모든 주파수에서 에너지가 보존됨을 쉽게 알 수 있습니다.

${\displaystyle A_{\text{trans}}^{\prime}+A_{\text{refl}}^{\prime}={\frac {I_{\text{trans}+I_{\text{refl}}{I_{\text{inc}}}=1.}$

외부 공진 향상 계수(그림 "Fabry-Pérot 공진기에서의 공진 향상" 참조)는^[9] 다음과 같습니다.

${\displaystyle A_{\text{circ}}^{\prime} ={\frac {I_{\text{circ}}{I_{\text{inc}}}}=(1-R_{1})A_{\text{circ}}={\frac {1-R_{1}}{\left({1-{\sqrt {R_{1}R_{2}}}}\right)^{2}+4{\sqrt {R_{1}R_{2}}}\sin ^{2}(\phi )}}.}$

공진 주파수에서$$ν q ${\displaystyle$ \n$u_{q$ ${\displaystyle \sin }$$⁡$($ϕ$$) {\displaystyle$ \sin(\phi )}이(가) 0인 경우 외부 공진 강화 계수는

${\displaystyle A_{\text{circ}}^{\prime}(\n)u _{q})={\frac {1-R_{1}}{\left(1-{\sqrt {R_{1}R_{2}}}\right)^{2}}}.}$

일반적으로 빛은 Fabry-Pérot 공진기를 통해 전달됩니다. 따라서 자주 적용되는 에어리 분포는^[9]

${\displaystyle A_{\text{trans}}^{\prime}={\frac {I_{\text{trans}}}{I_{\text{inc}}}}=(1-R_{1})(1-R_{2})A_{\text{circ}}={\frac {(1-R_{1})(1-R_{2})}{\left({1-{\sqrt {R_{1}R_{2}}}}\right)^{2}+4{\sqrt {R_{1}R_{2}}}\sin ^{2}(\phi )}}.}$

미러 2를 통해 전송되는 미러 1에 입사한 광원의$$ 세기 I ${\displaystyle {\text{inc}}_{}}$ ${\$의 ${\${\text{inc$}}$를 변환한 $분수$를 설명합니다(그림 "Airy Distribution $A{\displaystyle {}_{}^{}}$ ${\displaystyle {\text{trans}}_{\mathrm{}}^{}}$ ${\$ 참조).$$ 공진 ${\displaystyle {주파수}_{}}$에서의 피크값$$ν $q$ ${\$displaystyle \n$u_{q}}$는

${\displaystyle A_{\text{trans}}^{\prime}(\n)u _{q})={\frac {(1-R_{1})(1-R_{2})}{\left({1-{\sqrt {R_{1}R_{2}}}}\right)^{2}}}.}$

${\displaystyle {R1}_{}}$ = ${\$displaystyle R_{1} = R_{2}}의 경우 피크 값은 통일성과 같습니다. 즉, 공진기에 입사된 모든 빛은 전송됩니다. $따라서{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {\text{Erefl},}_{}}$ $1 {\$$text{refl}},$ 1$}$ 및$$ $E{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {\text{back}}_{}}$ ${\$ 필드 사이의 파괴적인 간섭으로 $인해{\displaystyle {}_{}^{}}$ ${\displaystyle {\text{빛}}_{}^{}}$이 ${\displaystyle 반사}$되지 않습니다$.$

${\displaystyle {}_{}^{}}$순환장 접근법에서 거울을 통한 각 투과 동${\displaystyle {안}_{}^{}}$ $π$ / 2 ${\displaystyle$e^{i\pi / 2}의 추가 위상 이동을 고려하여$'$ {\$displaystyle A_{\text${trans$}^{\prime}}$를 도출했습니다.

${\displaystyle {\begin{aligned}E_{\text{circ}}=it_{1}E_{\text{inc}}+r_{1}r_{2}e^{-i2\phi }E_{\text{circ}}&\Rightarrow {\frac {E_{\text{circ}}}{E_{\text{inc}}}}={\frac {it_{1}}{1-r_{1}r_{2}e^{-i2\phi }}},\\E_{\text{trans}}=it_{2}E_{\text{circ}}e^{-i\phi }&\Rightarrow {\frac {E_{\text{trans}}}{E_{\text{inc}}}}={\frac {-t_{1}t_{2}e^{-i\phi }}{1-r_{1}r_{2}e^{-i2\phi }}},\end{aligned}}}$

결과적으로

${\displaystyle A_{\text{trans}}^{\prime}={\frac {I_{\text{trans}}}{I_{\text{inc}}}}={\frac {\left E_{\text{trans}}\right ^{2}}{\left E_{\text{inc}}\right ^{2}}}={\frac {\left -t_{1}t_{2}e^{-i\phi }\right ^{2}}{\left 1-r_{1}r_{2}e^{-i2\phi }\right ^{2}}}={\frac {(1-R_{1})(1-R_{2})}{\left({1-{\sqrt {R_{1}R_{2}}}}\right)^{2}+4{\sqrt {R_{1}R_{2}}}\sin ^{2}(\phi )}}.}$

아니면. ${\displaystyle {\text{트랜스}}_{\mathrm{}}^{}}$ ${\$는 입사 $전기장{\displaystyle {}_{}}$ E ${\displaystyle {\text{inc}}_{}}${\$displaystyle E_{\text{inc}}$가 공진기에 진입하여 ${\displaystyle {\text{전기장}}_{}}$ E 트랜스를 축적한 후 보여주는 무한한 왕복 횟수를 추적하여 왕복 감쇠 접근법을^[12] 통해 얻을 수 있습니다$$.모든 왕복에서 $전송$되는 {\$displaystyle E_{\text{$trans$$$}}.$ 제1 전파 후에 전송되는 필드 및 공진기를 통해 연속적으로 전파된 후에 전송되는 더 작은 필드는 다음과 같습니다.

${\displaystyle {\begin{aligned}E_{\text{trans,1}}&=E_{\text{inc}}it_{1}it_{2}e^{-i\phi }=-E_{\text{inc}}t_{1}t_{2}e^{-i\phi },\\E_{{\text{trans}},m+1}&=E_{{\text{trans}},m}r_{1}r_{2}e^{-i2\phi },\end{aligned}}}$

각각 다음과 같다. 악용하는 중

${\displaystyle \sum _{m=0}^{\infty }x^{m}={\frac {1}{1-x}}\Rightarrow E_{\text{trans}}=\sum _{m=1}^{\infty }E_{{\text{trans}},m}=E_{\text{inc}}{\frac {-t_{1}t_{2}e^{-i\phi }}{1-r_{1}r_{2}e^{-i2\phi }}}}$

위와$$ $동일$한 ${\displaystyle {\text{E}}_{}}$ trans${\displaystyle {}_{}}$/ ${\displaystyle E{}_{}}$ ${\displaystyle {\text{inc}}_{}}${\$displaystyle E_{\text{trans}}/E_{\text{inc}}$가 생성되고 동일한 Airy 분포 A ${\displaystyle {\text{trans}}_{}^{}}$'${\$가 도출됩니다. 그러나 이 방법은 미러 1 이후의 발사 및 순환하는 빔이 아니라 미러 2 이후의 아웃커플드 빔 사이에서 공진기 내부에서 간섭이 발생한다고 가정하기 때문에 물리적으로 오해의 소지가 있습니다. 스펙트럼 내용을 변경하는 것은 간섭이므로 공진기 내부의 스펙트럼 강도 분포는 입사 스펙트럼 강도 분포와 동일할 것이고, 공진기 내부에서는 공진 향상이 발생하지 않을 것입니다.

모드 프로파일의 총합으로 공기 분포

물리적으로 Airy 분포는 종방향 공진기 모드의 모드 프로파일의 합입니다.^[9] 공진기 내부를 순환하는$$ 전기장 ${\displaystyle {\mathrm{Ec}}_{}}$ ${\$에서 시작하여 공진기의 양쪽 거울을 통해 이 필드의 시간에 따른 지수적 감쇠를 고려합니다. 푸리에가 주파수 공간으로 변환하여${\displaystyle {}_{}}$정규화된 스펙트럼 선 모양 γ ~ q$$(ν)${\displaystyle {\tilde${\gamma}}_{q}(\n$u )$ 총 순환 전기장 세기가 공진기에서 종방향으로 분포하고 단위 시간당 커플링되어 방출 모드 프로파일이 생성되는 방법을 설명하기 위해$$ 왕복 시간 ${\displaystyle {\mathrm{tRT}}_{}}$ ${\$로 나누었습니다.

${\displaystyle \gamma _{q,{\rm {emit}}(\nu )={\frac {1}{t_{\rm {RT}}}{\tilde {\gamma }}_{q}(\nu ),}$

그리고 모든 종방향 모드의^[9] 방출 모드 프로파일을 합산합니다.

${\displaystyle \sum _{q=-\infty}^{\infty }\gamma _{q,{\rm {emit}}(\nu )={\frac {1-R_{1}R_{2}}{\left({1-{\sqrt {R_{1}R_{2}}}}\right)^{2}+4{\sqrt {R_{1}R_{2}}}\sin ^{2}(\phi )}}=A_{\rm {emit}},}$

따라서 Airy 분포 ${\displaystyle {\mathrm{A}}_{}}$는 ${\$과 같습니다$.$

개별 Airy 분포 간의 관계를 제공하는 동일한 단순 스케일링 인자는${\displaystyle {}_{}}$γ ${\displaystyle {\mathrm{q}}_{}}$,${\displaystyle }$emit$($ ν$)${\$displaystyle \gamma$ _${q$,{\rm {emit}}(\n) 간의 관계도 제공합니다.$u )}$ 및 기타$$ 모드 프로파일:^[9]

${\displaystyle \gamma _{q,{\rm {circ}}}={\frac {1}{R_{2}}}\gamma _{q,{\text{b-circ}}}={\frac {1}{R_{1}R_{2}}}\gamma _{q,{\rm {RT}}}={\frac {1}{1-R_{2}}}\gamma _{q,{\rm {trans}}}={\frac {1}{(1-R_{1})R_{2}}}\gamma _{q,{\rm {back}}}={\frac {1}{1-R_{1}R_{2}}}\gamma _{q,{\rm {emit}}},}$

${\displaystyle \gamma _{q,{\rm {circ}}}^{\prime }={\frac {1}{R_{2}}}\gamma _{q,{\text{b-circ}}}^{\prime }={\frac {1}{R_{1}R_{2}}}\gamma _{q,{\rm {RT}}}^{\prime }={\frac {1}{1-R_{2}}}\gamma _{q,{\rm {trans}}}^{\prime }={\frac {1}{(1-R_{1})R_{2}}}\gamma _{q,{\rm {back}}}^{\prime }={\frac {1}{1-R_{1}R_{2}}}\gamma _{q,{\rm {emit}}}^{\prime },}$

${\displaystyle \gamma _{q,{\rm {circ}}^{\prime} =(1-R_{1})\gamma _{q,{\rm {circ}}}$

Fabry-Pérot 공진기의 특성: 로렌쯔 선폭과 정밀도

스펙트럼 분해능의 테일러 기준은 개별 라인이 반 강도로 교차하면 두 스펙트럼 라인이 분해될 수 있다고 제안합니다. Fabry-Pérot 공진기에 빛을 발사할 때 Airy 분포를 측정하여 로렌쯔 선폭$$δ ν c${\displaystyle$ \Delta \n을 다시 계산하여 Fabry-Pérot 공진기의 총 손실을 도출할 수 있습니다.$u_{c$ 그림 "로렌츠 선폭 및 정밀도 대 에어리 선폭 및 정밀도"의 자유 스펙트럼 범위에 대한 표시(파란색 선).

기본적인 로렌츠 선은 테일러 기준을 준수하기만 하면 해결될 수 있습니다(그림 "로렌츠 기교의 물리적 의미" 참조). 결과적으로, 파브리-페로트 공명기의 로렌츠 기술을 정의할 수 있습니다.^[9]

${\displaystyle {\mathcal {F}}_{c}={\frac {\Delta \nu _{\rm {FSR}}}{\Delta \nu _{c}}}={\frac {2\pi }{-\ln(R_{1}R_{2})}}.}$

그림 "로렌츠 기교의 물리적 의미"에서 파란색 선으로 표시됩니다. 로렌츠 기교 ${\displaystyle {Fc}_{}}$ ${\$는 기본적인 물리적 의미를$$ 갖습니다. 에어리 분포를 측정할 때 에어리 분포의 기초가 되는 로렌츠 선이 얼마나 잘 분해될 수 있는지를 설명합니다. 그 지점에서.

${\displaystyle \Delta \nu _{c}=\Delta \nu _{\rm {FSR}}\Rightarrow R_{1}R_{2}=e^{-2\pi }\approx 0.001867,}$

${\displaystyle {Fc}_{}}$ = ${\$displaystyle {\mathcal {F}_{c}=1}과 동등한 수준으로 단일 에어리 분포의 스펙트럼 해상도에 대한 테일러 기준에 도달합니다. 에서< 1 {\$displaystyle {\mathcal {F}_{c$1$}$에서는 두 스펙트럼 라인을 구별할 수 없습니다. 동일한 거울 반사율의 경우, 이 점은 $R$ ${\displaystyle 1_{}}$ = ${\displaystyle R_{}}$ ${\displaystyle 2}$ ≈ 4.32% {\display R_{1} = R_{2}\약 4.32\%}일 때 발생합니다. 따라서 Fabry-Pérot 공진기의 Airy 분포의 기초가 되는 로렌쯔 선폭은 Airy 분포를 측정하여 해결할 수 있습니다. 따라서 이때까지 공진기 손실을 분광학적으로 측정할 수 있습니다.

Fabry-Pérot 공진기 스캔: 통풍이 잘 되는 선폭과 기교

Fabry-Pérot 공진기를 스캐닝 간섭계(scanning interferometer), 즉 다양한 공진기 길이(또는 입사각)로 사용하면, 하나의 자유 스펙트럼 범위 내에서 서로 다른 주파수에서 스펙트럼 라인을 분광학적으로 구별할 수 있습니다. 여러 에어리 분포 $A$ ${\displaystyle {\mathrm{trans}}_{}^{}}$ν) {\displaystyle A_{\$rm {trans}}^{\prime$}(\n)$u )$개별 스펙트럼 라인에 의해 생성된 각각의 스펙트럼 라인인$$}을(를) 해결해야 합니다. 따라서 Airy 분포가 기본적인 기본 함수가 되고 측정값은 Airy 분포의 합계를 제공합니다. 이 상황을 적절하게 정량화하는 파라미터는 Airy linewidth δ$$ν Ary${\displaystyle$ \Delta \n입니다.$u_{\rm {Airy}}$과(와) Airy finness ${\displaystyle {\mathrm{Fairy}}_{}}$ ${\$ FWHM 선폭 δ$$ν Ary ${\$displaystyle \Delta \n$에어리$ 분포의 u_{\${\displaystyle {\mathrm{rm}}_{}^{}}${$Airy}}$ $($$ν$${\displaystyle {}_{}^{}}$ ${\$displaystyle A_{\$rm {trans}}^{\prime$}(\n$u )}$은^[9](는)

${\displaystyle \Delta \nu _{\rm {Airy}}=\Delta \nu _{\rm {FSR}}{\frac {2}{\pi }}\arcsin \left({\frac {1-{\sqrt {R_{1}R_{2}}}}{2{\sqrt[{4}]{R_{1}R_{2}}}\right).$

에어리 선폭 δ$$ν 에어리${\displaystyle$ \Delta \n$u_{\rm {Airy}}$는 "Fabry-Pérot 공진기의 로렌쯔 선폭 및 기교 대 에어리 선폭 및 기교" 그림에서 녹색 곡선으로 표시됩니다$$.

에어리 피크의 선폭을 FWHM으로 정의하는 개념은 δ ν ${\displaystyle {에어리}_{}}$ = δ$$ν FR {\displaystyle \Delta \n$u _{\rm {Airy}}=\Delta \n$$u_{\rm {FSR}}($그림의 빨간색 실선$$"공기 분배 ${\displaystyle {\mathrm{A}}_{}^{}}$ trans' {\$displaystyle A_{\rm {trans}}^{\prime$}"),$$ 이 시점에서 Airy 선폭은 ${\displaystyle \arcsin}$ 함수의$$ ${\displaystyle \mathrm{arcs}}$에 대해 무한대 값으로 순간 점프하기 때문입니다. $R{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {1\mathrm{}}_{}}$ ${\displaystyle {}_{}{}_{}}$ ${\displaystyle {2\mathrm{}}_{}}$ ${\$의 낮은 반사율 값의 경우 Airy 피크의 FWHM 선폭이 정의되지 않습니다$.$ 제한 사례는 다음에서 발생합니다.

${\displaystyle \Delta \nu _{\rm {Airy}}=\Delta \nu _{\rm {FSR}}\Rightarrow {\frac {1-{\sqrt {R_{1}R_{2}}}}{2{\sqrt[{4}]{R_{1}R_{2}}}}}=1\Rightarrow R_{1}R_{2}\approx 0.02944.}$

동일한 미러 반사율의 경우 R ${\displaystyle 1_{}}$ = ${\displaystyle R_{}}$ ${\displaystyle 2}$ ≈ 17.2% {\$display$ R_{1} = R_{2$}\$approx $17일$ 때 이 지점에 도달합니다.$2\%}($그림의 빨간색 실선 "Airy Distribution ${\displaystyle {\mathrm{Tra}}_{}^{}}$'${\$

그림 "로렌츠 선폭 및 에어리 선폭 및 에어리 선폭 및 에어리 선폭"에서 녹색 곡선으로 표시되는 파브리-페로트 공명기의 에어리 분포의 정밀도는 로렌츠의 정밀도 ${\displaystyle {Fc}_{}}${\$display$ style ${\mathcal {F}_{c}}$와 직접 비교하여 다음과^[9] 같이 정의됩니다$.$

${\displaystyle {\mathcal {F}}_{\rm {Airy}}={\frac {\Delta \nu _{\rm {FSR}}}{\Delta \nu _{\rm {Airy}}}}={\frac {\pi }{2}}\left[\arcsin \left({\frac {1-{\sqrt {R_{1}R_{2}}}}{2{\sqrt[{4}]{R_{1}R_{2}}}}}\right)\right]^{-1}.}$

Fabry-Pérot 공진기의 길이(또는 입사광의 각도)를 스캔할 때, Airy fince는 개별 주파수$$ν m ${\$displaystyle \n에서 빛에 의해 생성되는 Airy 분포의 최대 수를 정량화합니다.$u _{m}}:$ Fabry-Pérot 공진기의 자유 스펙트럼 범위 내에서$$, 인접한 피크는 분광학적으로 명확하게 구별될 수 있습니다. 즉, FWHM에서 겹치지 않습니다(그림 "Airy finnesse의 물리적 의미" 참조). 에어리 기술에 대한 이 정의는 분광기의 해상도에 대한 테일러 기준과 일치합니다. FWHM 선폭의 개념이 δ ν ${\displaystyle {}_{}}$ = δ$$ν FR {\displaystyle \Delta \n에서 분해되므로$u _{\rm {Airy}}=\Delta \n$$u_{\rm {FSR$ 결과적으로 Airy finness는 ${\displaystyle {\mathrm{Faire}}_{}}$ $=$ ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle {\$mathcal {F}}_{\rm {Airy}$=$1}까지만 정의됩니다, 그림 "로렌츠 선폭과 기술 대 에어리 선폭과 Fabry-Pérot 공진기의 기술"을 참조하십시오.

${\displaystyle \mathrm{종종}}$⁡$($ϕ) ≈ ϕ$${\$displaystyle$ \sin {(\phi $)}\$approxy \phi}에서 A $trans' {\displaystyle$ A_${\$rm {trans}}^{\prime } ${\displaystyle {\mathrm{에어리}}_{}}$선폭 δ ν Ary {\displaystyle \Delta \n을 통해$$될 때 불필요한 근사치가 $만들어집니다$.$u_{\rm {Airy$ 위의 정확한 해와는 대조적으로 다음과 같은 결과가 나옵니다.

${\displaystyle \Delta \nu _{\rm {Airy}}\approx \Delta \nu _{\rm {FSR}}{\frac {1}{\pi }}{\frac {1-{\sqrt {R_{1}R_{2}}}}{\sqrt[{4}]{R_{1}R_{2}}}}\Rightarrow {\mathcal {F}}_{\rm {Airy}}={\frac {\Delta \nu _{\rm {FSR}}}{\Delta \nu _{\rm {Airy}}}}\approx \pi {\frac {\sqrt[{4}]{R_{1}R_{2}}}{1-{\sqrt {R_{1}R_{2}}}}}.}$

그림 "로렌츠 선폭과 정밀도 대 파브리-페로트 공명기의 에어리 선폭과 정밀도"에서 빨간색 곡선으로 표시된 에어리 선폭의 근사값, 반사율이 낮은 상태에서 올바른 곡선에서 벗어나 δν > δν FRS {\displaystyle \Delta \n$u _{\rm {Airy}}>\Delta \n$$u_{\rm {FSR$ 이 근사값은 일반적으로 Airy finness를 계산하는 데 사용됩니다.

주파수에 따른 거울 반사율

주파수에 의존하는 거울 반사율을 가진 Fabry-Pérot 공진기의 더 일반적인 경우는 광자 붕괴 ${\displaystyle \mathrm{시간}}$τ c$($ν) ${\displaystyle$ \tau_{c}(\n)를 제외하고는 위와 같은 방정식으로 처리할 수 있습니다.$u )}$ 및 선폭 $δ$${\displaystyle {}_{}}$$ν$ c$($$ν$) {\displaystyle \Delta \n$u_{c}(\n$$)$$u )}$이(가) 주파수의 로컬 함수가 됩니다. 광자 붕괴 시간은 여전히 잘 정의된 양이지만, 선폭은 스펙트럼 대역폭과 비슷하기 때문에 의미를 잃습니다. 그 값은 이제 그 대역폭 내에서 변합니다. 또한 이 경우 각 Airy 분포는 강하게 왜곡될 수 있는 모든 기본 모드 프로파일의 합입니다.^[9] Airy Distribution A ${\displaystyle {\mathrm{trans}\text{'}}_{}^{}}${\$displaystyle A_{\rm {trans}}^{\prime }$의 예와 일부 기본 모드 프로파일${\displaystyle {}_{}^{}}$γ ${\displaystyle {\mathrm{q}}_{}^{}}$ $'($ν) ${\displaystyle \$gamma_{q,${\rm {trans}}^{\prime}(\n$$)$$u )}$은(는) "주파수 의존 미러 반사율을 갖는 Fabry-Pérot 공진기의 예"에 나와 있습니다.

고유 광학 손실이 있는 Fabry–Pérot 공진기

공진기 내부의 고유 전파 손실은 단위 길이당$$ ${\$ ${\displaystyle {\mathrm{강도-손실}}_{}}$ $계수{\displaystyle {}_{}}$ α 손실로 정량화하거나, 이와 동등하게 고유 왕복 손실 ${\displaystyle {\mathrm{LRT},}_{}}$ ${\displaystyle L_{\rm {RT}}$로 정량화하여 다음과 같이$$^[13] 할 수 있습니다.

${\displaystyle 1-L_{\rm {RT}}=e^{-\alpha _{\rm {loss}}2\ell}=e^{-t_{\rm {RT}}/\tau _{\rm {loss}}}$

추가 손실은 공진기의 광자 감소 시간$$τ c ${\displaystyle \tau_${c}}를 단축시킵니다.

${\displaystyle {\frac {1}{\tau _{c}}}={\frac {1}{\tau _{\rm {out}}}}+{\frac {1}{\tau _{\rm {loss}}}}={\frac {-\ln {[R_{1}R_{2}(1-L_{\rm {RT}})]}}{t_{\rm {RT}}}}={\frac {-\ln {[R_{1}R_{2}]}}{t_{\rm {RT}}}}+c\alpha _{\rm {loss}}.}$

여기서 $c{\displaystyle }$ ${\displaystyle c}$는 캐비티 내 광속입니다. ${\displaystyle {일반적}_{}}$인 Airy 분포 또는 내부 공진 향상 ${\displaystyle {\mathrm{인자}}_{}}$ c {\$displaystyle A_{\rm {circ}}$는 진폭 ${\displaystyle {\mathrm{손실}}_{}}$ 계수 ${\displaystyle \alpha \mathrm{}}$ ${\displaystyle {\mathrm{loss}}_{}}$ /${\displaystyle {}_{}}$2 ${\displaystyle \alpha_{\rm {loss}/2}$를 통한 전파 손실을 포함하여 위와 같이 유도됩니다$.$^[13]

${\displaystyle E_{\rm {circ}}=E_{\rm {laun}}+E_{\rm {RT}}=E_{\rm {laun}}+r_{1}r_{2}e^{-(\alpha _{\rm {loss}}/2)2\ell }e^{-i2\phi }E_{\rm {circ}}\Rightarrow {\frac {E_{\rm {circ}}}{E_{\rm {laun}}}}={\frac {1}{1-r_{1}r_{2}e^{-\alpha _{\rm {loss}}\ell }e^{-i2\phi }}}\Rightarrow }$

${\displaystyle A_{\rm {circ}}={\frac {I_{\rm {circ}}}{I_{\rm {laun}}}}={\frac {\left E_{\rm {circ}}\right ^{2}}{\left E_{\rm {laun}}\right ^{2}}}={\frac {1}{\left 1-r_{1}r_{2}e^{-\alpha _{\rm {loss}}\ell }e^{-i2\phi }\right ^{2}}}={\frac {1}{\left({1-{\sqrt {R_{1}R_{2}}}e^{-\alpha _{\rm {loss}}\ell }}\right)^{2}+4{\sqrt {R_{1}R_{2}}}e^{-\alpha _{\rm {loss}}\ell }\sin ^{2}(\phi )}}.}$

그런 다음 전파 손실을 추가로 고려하여 위와 같이 다른 Airy 분포를 도출할 수 있습니다. 특히 손실이 있는 전송 함수는^[13]

${\displaystyle A_{\text{trans}}^{\prime}={\frac {I_{\rm {trans}}{I_{\rm {inc}}}}=(1-R_{1})(1-R_{2})e^{-\alpha _{\rm {loss}}\ell }A_{\rm {circ}}={\frac {(1-R_{1})(1-R_{2})e^{-\alpha _{\rm {loss}}\ell }}{\left({1-{\sqrt {R_{1}R_{2}}}e^{-\alpha _{\rm {loss}}\ell }}\right)^{2}+4{\sqrt {R_{1}R_{2}}}e^{-\alpha _{\rm {loss}}\ell }\sin ^{2}(\phi )}}.}$

파장공간에서의 Fabry-Pérot 공진기에 대한 설명

에탈론의 다양한 투과 기능은 두 반사면 사이의 빛의 다중 반사 사이의 간섭으로 인해 발생합니다. 전송된 빔이 위상에 있으면 보강 간섭이 발생하며, 이는 에탈론의 높은 전송 피크에 해당합니다. 전송된 빔이 위상을 벗어나면 파괴적인 간섭이 발생하며 이는 전송 최소값에 해당합니다. 다중 반사 빔이 위상에 있는지 여부는 빛의 파장(λ), 빛이 에탈론을 통과하는 각도(θ), 에탈론의 두께(ℓ) 및 반사면 사이의 물질의 굴절률(n)에 따라 달라집니다.

연속적으로 전송되는 각 쌍(즉, 다이어그램의 T와₂₁ T) 간의 위상 차이는 다음과^[14] 같습니다.

${\displaystyle \delta =\left ({\frac {2\pi}{\lambda }}\right)2n\ell \cos \theta.}$

두 표면 모두 반사율 R을 가지면 에탈론의 투과율 함수는 다음과 같습니다.

${\displaystyle T_{e}={\frac {(1-R)^{2}}{1-2R\cos \delta +R^{2}}}={\frac {1}{1+F\sin ^{2}\left({\frac {\delta }{2}}\right)}},}$

어디에

${\displaystyle F={\frac {4R}{(1-R)^{2}}}}$

기교의 계수입니다.

최대 전송(${\displaystyle {Te}_{}}$ = ${\displaystyle 1}$ ${\$displaystyle T_{e} = 1$\})$은 각 전송 빔 간의 광 경로 길이 차이(2 n l cos ⁡ θ {\displaystyle 2n\cos \theta })가 파장의 정수배일 때 발생합니다. 흡수가 없는 경우 에탈론 R의 반사율은 ${\displaystyle {}_{}}$ + ${\displaystyle Re{}_{}}$= ${\displaystyle 1_{}}$ ${\displaystyle$T_{e}+R_{e} = $1}$와 같은 투과율의 상보입니다$.$ 최대 반사율은 다음과 같습니다.

${\displaystyle R_{\max}=1-{\frac {1}{1+F}}={\frac {4R}{(1+R)^{2}}},}$

경로 길이 차이가 파장의 절반 홀수 배일 때 발생합니다.

인접한 전송 피크 사이의 파장 분리를 에탈론, δ λ의 자유 스펙트럼 범위(FSR)라고 하며 다음과 같이 표시됩니다.

${\displaystyle \Delta \lambda ={\frac {\lambda _{0}^{2}}{2n_{\mathrm {g}}\ell \cos \theta +\lambda _{0}}\lambda {\frac {\approx _{0}^{2}}\ell \cos \theta }}$

여기서 λ는 가장 가까운 전송 ${\displaystyle {피크}_{}}$의 중심 파장이고$ng$ {\$displaystyle n_{\mathrm {$g}}는 그룹 굴절률입니다. FSR은 하나의 전송 대역의 전폭 반치수, δλ와 관련이 있습니다.

${\displaystyle {\mathcal {F}}={\frac {\Delta \lambda }{\lambda \delta}}={\frac {\pi}{2\arcsin \left ({\frac {1}{\sqrt {F}}\right)}}}$

이는 일반적으로 (R > 0.5의 경우) 다음과 같이 근사됩니다.

${\displaystyle {\mathcal {F}}\proxy {\frac {\pi {\sqrt {F}}{2}}={\frac {\pi R^{\frac {1}{2}}{1-R}}}$

만약 두 거울이 같지 않다면, 기술은

${\displaystyle {\mathcal {F}}\proxy {\frac {\pi \left(R_{1}R_{2}\right)^{\frac {1}{4}}{1-\left(R_{1}R_{2}\right)^{\frac {1}{2}}}$

높은 기술을 가진 에탈론은 더 낮은 최소 전송 계수로 더 날카로운 전송 피크를 보여줍니다. 비스듬한 입사의 경우, 프레넬 방정식에 의해 주어진 R의 값이 일반적으로 p와 s 편광에 대해 다르기 때문에, 기술은 빔의 편광 상태에 따라 달라집니다.

오른쪽 그림에는 두 개의 빔이 나타나 있는데, 그 중 하나는 (T₀)가 에탈론을 통해 전송되고, 다른 하나는 (T₁)가 두 번 반사되어 전송됩니다. 반사할 때마다 진폭은 $R$ ${\displaystyle {\sqrt {R}}$만큼 감소하는$$반면, 인터페이스를 통한 각 변속기에서는 진폭이 $T$ ${\displaystyle {\sqrt {T}}$만큼 감소합니다$.$ 흡수가 없다고 가정할 때, 에너지 보존에는 T + R = 1이 필요합니다. 아래 유도에서, n은 에탈론 내부의 굴절률이고, n은₀ 에탈론 외부의 굴절률입니다. n > n 으로₀ 추정됩니다. a 지점의 입사 진폭은 1로 간주되며, 복사의 진폭을 나타내기 위해 페이저가 사용됩니다. 그러면 b 지점에서 전송되는 진폭은

${\displaystyle t_{0}= T\,e^{ik\ell /\cos \theta}}$

여기서 $k$ = 2$$π n / λ {\displaystyle k = 2\pin/\lambda }는 에탈론 내부의 파수이고 λ는 진공 파장입니다. c 지점에서 전송되는 진폭은

${\displaystyle t'_{1}=TR\,e^{3ik\ell /\cos \theta }.}$

두 빔의 총 진폭은 빔 방향에 수직인 선을 따라 측정된 두 빔의 진폭의 합이 됩니다. 따라서 b 지점의 진폭 t는 $k$ ${\displaystyle 0_{}}$ℓ 0 {\$displaystyle k_{0$ell_{0}만큼 위상 지연된 t'에 더할 수 $있습니다$. ${\displaystyle {여기}_{}}$서 k ${\displaystyle 0_{}}$ =${\displaystyle {}_{}}$2$$π n 0 / λ {\displaystyle k_{0} = 2\pin_{0}/\lambda }는 에탈론 외부의 파수입니다. 따라서

${\displaystyle t_{1}=TR\,e^{\left(3ik\ell /\cos \theta \right)-ik_{0}\ell_{0}}}$

ℓ가 있는 곳에

${\displaystyle \ell _{0}=2\ell \theta \sin \theta _{0}}$

두 빔의 위상 차이는

${\displaystyle \delta ={2k\ell \over \cos \theta}-k_{0}\ell _{0}}$

θ와 θ의 관계는 스넬의 법칙에 의해 정해집니다.

${\displaystyle n\sin \theta = n_{0}\sin \theta _{0}}$

위상차가 다음과 같이 기록될 수 있도록

${\displaystyle \delta =2k\ell \,\cos \theta .}$

일정한 곱셈 위상 계수 내에서 m번째 송신 빔의 진폭은 다음과 같이 기록될 수 있습니다.

${\displaystyle t_{m}=TR^{m}e^{im\delta }.}$

전송된 총 진폭은 모든 개별 빔의 진폭의 합입니다.

${\displaystyle t=\sum _{m=0}^{\infty}t_{m}=T\sum _{m=0}^{\infty }R^{m}\,e^{im\delta }.}$

이 급수는 기하급수로, 그 합은 해석적으로 표현될 수 있습니다. 진폭은 다음과 같이 다시 쓸 수 있습니다.

${\displaystyle t={\frac {T}{1-Re^{i\delta }}}.}$

빔의 강도는 복잡한 결합체의 t배에 불과할 것입니다. 입사 빔의 세기는 1로 가정되었기 때문에, 다음과 같은 전송 기능도 제공합니다.

${\displaystyle T_{e}=tt^{*}={\frac {T^{2}}{1+R^{2}-2R\cos \delta }}$

비대칭 공동, 즉 서로 다른 두 개의 미러를 갖는 하나의 경우, 일반적인 전송 기능의 형태는 다음과 같습니다.

${\displaystyle T_{e}={\frac {T_{1}T_{2}}{1+R_{1}R_{2}-2{\sqrt {R_{1}R_{2}}}\cos \delta }}.}$

Fabry-Pérot 간섭계는 간섭계에서 투과 피크가 발생하는 파장을 변경하기 위해 판 사이의 거리 ℓ를 조정할 수 있다는 점에서 Fabry-Pérotetalon과 다릅니다. 변속기의 각도 의존성으로 인해 에탈론을 빔에 대해 회전시킴으로써 피크를 이동시킬 수도 있습니다.

전송 함수에 대한 또 다른 표현은 주파수 공간에서의 설명에서 모든 종방향 모드 프로파일의 무한합으로 이미 도출되었습니다. γ =${\displaystyle ln}$ ⁡ (1 R) {\displaystyle \gamma =\ln \left ({\frac {1}{R}\right)} 위 식을 다음과 같이 쓸 수 있습니다.

${\displaystyle T_{e}={\frac {T^{2}}{1-R^{2}}\left({\frac {\sinh \gamma }{\cosh \gamma -\cos \delta }\right)}$

두 번째 항은 로런츠 함수를 일련의 로런츠 함수로 쓸 수 있도록 래핑된 로런츠 분포에 비례합니다.

${\displaystyle T_{e}={\frac {2\pi \,T^{2}}{1-R^{2}}}\,\sum _{\ell =-\infty }^{\infty }L(\delta -2\pi \ell ;\gamma ),}$

어디에

${\displaystyle L(x;\gamma )={\frac {\gamma }{\pi \left(x^{2}+\gamma ^{2}\right)}}}$

참고 항목

• 루머-게르케 간섭계
• 기레스-투르누아에스탈론
• 원자선 필터
• ARROW 도파관
• 분산 브래그 반사기
• 파이버 브래그 격자
• 광학 미세공동
• 박막 간섭
• 레이저 선폭

메모들

참고문헌

• Hernandez, G. (1986). Fabry–Perot Interferometers. Cambridge: Cambridge University Press. ISBN 0-521-32238-3.

외부 링크

• Etalons의 고급설계 - Precision Photonics Corporation에 의한