샤피로의 보조정리

수학에서, 특히 그룹 코호몰로지 또는 상대적 호몰로지 대수학을 다루는 추상대수의 영역에서, Eckmann-Shapiro 보조마라고도 알려진 샤피로의 보조마사는 특히 그룹의 그룹 링과 하위 그룹의 그룹 링에 대한 확장에 한 링에 대한 모듈의 확장을 연관시킨다.따라서 그룹에 대한 그룹 코호몰로지(cohomology)와 하위 그룹에 대한 코호몰로지(cohomology)를 연관시킨다.샤피로의 보조정리 이름은 아놀드 S의 이름을 따서 지어졌다. 1961년에 그것을 증명했던 샤피로;^[1] 하지만, Beno Eckmann은 1953년에 그것을 더 일찍 발견했다.^[2]

링에 대한 문

R → S를 링 동형성으로 하여 S가 좌우 R-모듈이 되게 한다.M은 왼쪽 S-모듈이 되고 N은 왼쪽 R-모듈이 되게 하라.스칼라의 제한에 의해 M도 좌 R모듈이다.

• S가 우측 R-모듈로 투영되는 경우:

${\displaystyle \operatorname {Ext} _{R}^{n}(N,{}_{R}M)\cong \operatorname {Ext} _{S}^{n}(S\otimes _{R}N,M)}}$

• S가 좌측 R-모듈로 투영되는 경우:

${\displaystyle \operatorname {Ext} _{R}^{n}({}_{R}M,N)\cong \operatorname {Ext} _{S}^{N(M,\operatorname {Hom}) _{R}(S,N)}}}}$

참조 (Benson 1991, 페이지 47).투영성 조건은 특정 Tor- 또는 Ext-group의 소멸에 대한 조건으로 약화될 수 있다. 참조(Cartan & Eilenberg 1956, 페이지 118, VI.§5).

그룹 링에 대한 문

H가 G에서 유한지수의 부분군일 때 그룹 링 R[G]은 좌우 R[H] 모듈로서 정밀하게 생성되므로 이전의 정리가 간단한 방법으로 적용된다.M을 G와 N의 유한차원 표현으로 하고 H의 유한차원 표현으로 한다.이 경우 모듈 S ⊗_R N은 H에서 G로 N의 유도표현이라고 하며, M은 G에서 H로 M의 제한표현이라고 한다.하나는 다음과 같은 것을 가지고 있다.

${\displaystyle \operatorname {Ext} _{G}^{n}(M,N\uparrow _{H}^{G})\cong \operatorname {Ext} _{H}^{N}(M\downarrow _{H}^{G}N)}}}}}$

n = 0일 때, 이것을 완전히 환원 가능한 모듈에 대해서는 프로베니우스 상호주의라고 하고, 일반적으로 나카야마 상호주의라고 한다.이러한 상위 버전의 Mackey 분해도 포함되어 있는 (Benson 1991, 페이지 42)를 참조하십시오.

그룹 코호몰로지 문

사소한 모듈로 M을 전문화하면 익숙한 샤피로의 보조정리기가 만들어진다.H를 G와 N의 부분군으로 한다. N의^G 경우 텐서 제품을 사용하여 H에서 G로 N을 유도하고 H의_* 경우 집단 호몰로학:

H_*(G, N^G) = H_*(H, N)

마찬가지로 N의^G 경우 Hom functor를 사용하여 H에서 G까지 N을 공동 유도하고 H의^* 경우 그룹 코호몰로지:

H^*(G, N^G) = H^*(H, N)

H가 G에서 유한 지수일 경우 유도 및 코인 듀레이션 표현이 일치하며 보조정리기는 호몰로지 및 코호몰로지 둘 다에 유효하다.

참고 항목(Weibel 1994, 페이지 172).

참고 항목

• 반지 교환

메모들

참조

• Benson, David J. (1991), Representations and cohomology. I, Cambridge Studies in Advanced Mathematics, vol. 30, Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-36134-7, MR 1110581
• Cartan, Heri; Eilenberg, Samuel (1956), Homological Algebra, Princeton University Press
• Eckmann, Beno (1953), "Cohomology of groups and transfer", Annals of Mathematics, 2nd ser., 58 (3): 481–493, doi:10.2307/1969749, JSTOR 1969749, MR 0058600.
• Neukirch, Jürgen; Schmidt, Alexander; Wingberg, Kay (2000), Cohomology of Number Fields, Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften, vol. 323, Berlin: Springer-Verlag, ISBN 978-3-540-66671-4, MR 1737196, Zbl 0948.11001, 59페이지
• Weibel, Charles A. (1994). An introduction to homological algebra. Cambridge Studies in Advanced Mathematics. Vol. 38. Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-55987-4. MR 1269324. OCLC 36131259.