테이트 곡선

수학에서 테이트 곡선은 정수 계수를 가진$$ 공식 파워 시리즈 $Z{\displaystyle \mathbb{}}$[ [${\displaystyle q}$ ${\displaystyle ]}$ ${\displaystyle \mathb {Z}[q]}$의 링 위에 정의된 곡선이다.q가 변위할 수 없는 열린 하위 체임 위로 테이트 곡선은 타원형 곡선이다.또한 테이트 곡선은 q에 대해 1보다 작은 표준의 완전한 영역의 요소로서 정의될 수 있으며, 이 경우 공식 파워 시리즈가 수렴된다.

테이트 곡선은 존 테이트(1995)가 1959년 원고를 통해 소개한 '완벽한 들판 위에 타원곡선의 Rational Points on Ellightic Curve Over Completed Fields'로, 수년 뒤까지 결과를 발표하지 않았고, 그의 작품은 로켓(1970)에 처음 등장했다.

정의

테이트 곡선(Tate curve)은 공식 파워 계열의 링 Z[q] 위로 투영 평면 곡선으로, 방정식으로 주어진 정수 계수(appine open subset of the projective plane)이다.

${\displaystyle y^{2}+xy=x^{3}+a_{4}}x+a_{6}}}$

어디에

${\displaystyle -a_{4}=5\sum _{n}{n}{n^{3}q^{n}}}{1-q^{n}}}=5q+45q^{n}}}}=5q+45q^{2}+140q^{3}+\cdots }}}}$

${\displaystyle -a_{6}=\sum _{n}{\frac {7n^{5}+5n^{3}}{12}\cdots {\frac {q^{n}{1-q^{n}}}=q+23q^{2}+{3}+\cdots }}}$

정수 계수가 있는 파워 시리즈.^[1]

테이트가 완전한 들판 위로 커브를 그리며

필드 k가 어떤 절대값과 관련하여 완전하다고 가정하고, q는 q <1을 갖는 필드 k의 0이 아닌 요소라고 가정한다.그런 다음 위의 시리즈가 모두 수렴하고, k 위에 타원곡선을 정의한다.추가 q가 0이 아닌 경우, k^*Z/q에서 이 타원곡선까지 그룹의 이형성이 존재하며, w에서 (x(w),y(w)까지를 q의 힘이 아닌 (w)로 가져간다.

${\displaystyle x(w)=-y(w)-y(w^{-1})}$

${\displaystyle y(w)=\sum _{m\in \mathbf {Z}{}{\frac {(q^{m}w)^{2}}{(1-q^{m}w)^{3}}}+\sum _{m\geq 1}{\frac {q^{m}}{{{{}}}}:{2}}:$

그리고 타원곡선의 무한정 지점까지 q의 힘을 가져간다.x(w)와 y(w) 시리즈는 w의 공식 파워 시리즈가 아니다.

직관적인 예

In the case of the curve over the complete field, ${\displaystyle k^{*}/q^{\mathbb {Z} }}$, the easiest case to visualize is ${\displaystyle \mathbb {C} ^{*}/q^{\mathbb {Z} }}$, where ${\displaystyle q^{\mathbb {Z} }}$ is the discrete subgroup generated by one multiplicativeperiod ${\displaystyle e^{2\pi i\tau }}$, where the period ${\displaystyle \tau =\omega _{1}/\omega _{2}}$. Note that ${\displaystyle \mathbb {C} ^{*}}$ is isomorphic to ${\displaystyle {\mathbb {C} +}/\mathbb {Z} +}$, where ${\displaystyle \mathbb$${C} +}$은(는) 추가 중인 복잡한 숫자다.

필드가 통상적인 규범과 함께 C일 때 테이트 곡선이 토러스(torus)에 도덕적으로 일치하는 이유를 알기 위해, $q{\displaystyle }${\$displaystyle q}$은(는) 이미 단독 주기적인$$ 것이며, q의 정수 파워에 의해 $C{\displaystyle \mathbb{}}$ ${\$를 Z 2 ${\$에 의해 변조되고 있다$.$ 이것은 토러스다.다시 말해서, 우리는 고리뼈를 가지고 있고, 안쪽과 바깥쪽 가장자리를 접착제로 붙인다.

그러나 환율은 원을 뺀 값에 해당하지 않는다. 환율은 q의 두 연속된 힘 사이의 복잡한 숫자의 집합이다. 즉, 크기가 1과 q 사이인 모든 복잡한 숫자들을 말한다.그것은 우리에게 두 개의 원, 즉 환형의 안쪽과 바깥쪽 가장자리를 준다.

여기에 주어진 토러스 이미지는 상감 원들이 원점에 가까워질수록 점점 좁아지는 것이다.

이는 평판지 $C{\displaystyle \mathbb{}}$ ${\$로$$시작하여 측면을 접착하여 실린더 C${\displaystyle \mathbb{}/Z\mathbb{}}$ ${\$을$($를) 만든 다음 실린더 가장자리를 접착하여 토러스, $C{\displaystyle \mathbb{}}$/ ${\displaystyle Z{\mathbb{}}^{}}$ ${\displaystyle {\mathrm{}}^{}}${$displaysty \\}$로 시작하는 일반적인 방법과는 약간 다르다.$mathbb {C} /\mathb {Z} ^{2$

이것은 약간 지나치게 단순화되었다.테이트 곡선은 정말로 C에 대한 곡선이라기보다는 형식적인 파워 시리즈 링에 대한 곡선이다.직감적으로 형식적인 파라미터에 따라 곡선 계열이다.공식 매개변수가 0일 때는 핀으로 고정된 토러스(torus)로 변하며, 0이 아닐 때는 토러스(torus)로 변한다.

특성.

테이트 곡선의 j-invariant는 선행 조건 q와⁻¹ 함께 q의 파워 시리즈에 의해 주어진다.^[2]따라서 p-adic 로컬 영역에 걸쳐 j는 비통합형이고 테이트 곡선은 승법형식의 반증적 축소가 있다.반대로 국부장을 지나는 모든 반증 가능한 타원곡선은 테이트 곡선(최대 2차 트위스트)에 이형이다.^[3]

참조

• Lang, Serge (1987), Elliptic functions, Graduate Texts in Mathematics, vol. 112 (2nd ed.), Berlin, New York: Springer-Verlag, doi:10.1007/978-1-4612-4752-4, ISBN 978-0-387-96508-6, MR 0890960, Zbl 0615.14018
• Manin, Yu. I.; Panchishkin, A. A. (2007). Introduction to Modern Number Theory. Encyclopaedia of Mathematical Sciences. Vol. 49 (Second ed.). ISBN 978-3-540-20364-3. ISSN 0938-0396. Zbl 1079.11002.
• Robert, Alain (1973), Elliptic curves, Lecture Notes in Mathematics, vol. 326, Berlin, New York: Springer-Verlag, doi:10.1007/978-3-540-46916-2, ISBN 978-3-540-06309-4, MR 0352107, Zbl 0256.14013
• Roquette, Peter (1970), Analytic theory of elliptic functions over local fields, Hamburger Mathematische Einzelschriften (N.F.), Heft 1, Göttingen: Vandenhoeck & Ruprecht, ISBN 9783525403013, MR 0260753, Zbl 0194.52002
• Silverman, Joseph H. (1994). Advanced Topics in the Arithmetic of Elliptic Curves. Graduate Texts in Mathematics. Vol. 151. Springer-Verlag. ISBN 0-387-94328-5. Zbl 0911.14015.
• Tate, John (1995) [1959], "A review of non-Archimedean elliptic functions", in Coates, John; Yau, Shing-Tung (eds.), Elliptic curves, modular forms, & Fermat's last theorem (Hong Kong, 1993), Series in Number Theory, vol. I, Int. Press, Cambridge, MA, pp. 162–184, CiteSeerX 10.1.1.367.7205, ISBN 978-1-57146-026-4, MR 1363501