다아시의 법칙

다아시의 법칙은 다공성 매체를 통한 유체의 흐름을 설명하는 방정식이다. 이 법은 헨리 다아시가 모래밭을 통한 물의 흐름에 관한 실험^[1] 결과를 바탕으로 제정해 지구과학의 한 분야인 수력지질학의 기초를 형성했다.

배경

다아시의 법칙은 처음에는 다아시에 의해 실험적으로 결정되었으나, 이후 나비에르에서 파생되었다.–동질화 방법을 통해 방정식을 추출한다.^[2] 열전도 분야에서는 푸리에의 법칙, 전기망 분야에서는 옴의 법칙, 확산 이론에서는 픽의 법칙과 유사하다.

다아시의 법칙의 한 가지 적용은 대수층을 통한 물 흐름의 분석에 있다; 다아시의 법칙은 질량 보존의 방정식과 함께 지하수 흐름 방정식으로 단순화된다. 수력 지질학의 기본 관계 중 하나이다.

모리스 머스킷은 먼저^{[citation needed]} 다아시의 단상(유체) 위상 방정식에 점도를 포함시켜 다아시의 단상 흐름 방정식을 정제했다. 점성 액체는 점성이 적은 액보다 다공성 매체를 통해 침투하는 데 더 많은 어려움을 가지고 있음을 알 수 있다. 이러한 변화는 석유 산업의 연구자들에게 적합하게 만들었다. 동료 와이코프와 보셋의 실험 결과를 바탕으로 머스크랏과 메레스는 석유 저장소의 다공성 매질에서 물, 석유, 가스의 다아제 흐름을 포괄하는 다아시의 법칙도 일반화했다. Muskat 등이 일반화한 다중효소 유동식은 오늘날까지 존재하는 저수지 공학에 대한 분석적 토대를 제공한다.

설명

다르시의 법칙'으로 모리스 Muskat에 의해, 중력의 부재와 균질 투과성 매체에서에서 정제된, 순간 속 q단순 비례 관계에 의해)Q/Q의{\displaystyle q=Q/A}(단위{Q\displaystyle}:m3/s, A{A\displaystyle}단위:m2들, q의 단위{ 주어진다.\d다공성 매체를 통한 $isplaystyle q}$: m/s), 매체의$$ 투과성 k ${\displaystyle k},$ 주어진 거리 $L{\displaystyle }$ ${\displaystyle$ $\mu},$ 그리고$$$$$양식$에서 압력 강하 ${\displaystyle \Delta }$ p ${\displaystyle \$$Delta$ $p$$\}.$

${\displaystyle q=-{\frac {k}{\mu L}\Delta p}$

이 방정식은 단상(유체) 흐름의 경우 절대투과성(단상투과성)에 대한 정의 방정식이다.

오른쪽의 다이어그램을 참조하여 플럭스 $q{\displaystyle }$ ${\displaystyle q}$또는 단위 면적당 방전량은 단위$({\displaystyle m/s}$) ${\displaystyle(m/s)$ ${\displaystyle$ $},$ 단위$$$m$ ${\displaystyle {2\mathrm{}}^{}}$) ${\displaystyle$$k$$\},$ 단면적 $A{\displaystyle }$ ${\displaystystystyty$ A$},$ 단위$$$({\displaystyle {m\mathrm{}}^{}}$ 2)로 정의된다${\displaystyle {}^{}}$${\displaystyle (m^{2})}$, the total pressure drop ${\displaystyle \Delta p=p_{b}-p_{a}}$ in units ${\displaystyle (Pa)}$, the dynamic viscosity ${\displaystyle \mu }$ in units ${\displaystyle (Pa\cdot s)}$, and ${\displaystyle L}$ is the length of the sample in units $$${\displaystyle (m}$) ${\displaystyle (m$ 이러한 파라미터의 많은 수가 아래 대체 정의에서 사용된다. 음의 부호는 유체가 고기압의 지역에서 저압의 지역으로 흐르는 표준물리학 규약에 따른 유동성의 정의에 사용된다. 입구와 출구가 서로 다른 고도에 있는 경우 표고 헤드가 고려되어야 한다는 점에 유의하십시오. 압력 변화가 음수일 경우 흐름은 양의 x 방향으로 된다. 절대투과성을 위한 구성방정식에 대한 제안은 여러 번 있었으며, 가장 유명한 것은 아마도 코제니 방정식(코제니-카르만 방정식이라고도 한다)일 것이다.

다아시 법칙의 본질적 형식은 다음과 같다.

${\displaystyle Q={\frac {kA}{\mu L}\,{\delta p}\,}$

여기서 Q(시간당 부피의 단위, 예를³ 들어 m/s)는 총 방전량이다. 정적 유체 압력(Stevin의 법칙):

$p=\rhogh}$

그 대표성을 추론할 수 있다.

${\displaystyle Q={\frac {kAg}{\nu L}\,{\delta h}\,}$

여기서 ν은 동역학적 점성이다. 따라서 해당 유압 전도도는 다음과 같다.

${\displaystyle K={\frac {k\rho g}{\mu }}}{\frac {kg}{\nu }}}.}$

흔히 다아시 플럭스(Darcy flux) 또는 다아시(Darcy) 속도(Darcy)로 불리는$$이 수량 $K{\displaystyle }$ ${\displaystyle K}$는 유체가 모공을 통해 이동하는 속도가 아니다. 유속(u)은 다공성(多空性)에 의해 유속(q)과 관련되며 형태를 취한다.

${\displaystyle u={\frac {q}{\barphi }}\,}$

다아시의 법칙은 대수층에 흐르는 지하수가 보여주는 몇 가지 친숙한 성질을 다음과 같이 깔끔하게 요약한 간단한 수학적 진술이다.

• 거리에 대한 압력 구배가 없는 경우 유량이 발생하지 않는다(이것은 정수 조건이다).
• 압력 경사가 있는 경우, 고압에서 저압으로 가는 흐름이 발생할 것이다(경사가 증가하는 방향 반대 - 따라서 다아시의 법칙에 부정적인 기호가 있음).
• (동일한 형질 재료를 통한) 압력 구배가 클수록 방전율 및
• 두 경우 모두에 동일한 압력 구배가 존재하더라도, 액체의 방출 속도는 다른 형성 물질(또는 같은 물질을 통해서라도 다른 방향으로)을 통해 종종 다를 수 있다.

(다아시의 법칙과 질량 보존에 근거한) 정상 상태의 지하수 흐름 방정식의 사용을 그래픽으로 나타낸 삽화는 플라이트의 건설에서, 댐 아래로 흐르는 지하수의 양을 계량화한다.

다아시의 법칙은 느리고 점성이 있는 흐름에만 유효하지만, 대부분의 지하수 흐름 사례는 이 범주에 속한다. 일반적으로 레이놀즈 수가 1보다 적은 흐름은 분명히 층이고, 다아시의 법칙을 적용하는 것이 유효할 것이다. 실험 실험 결과, 레이놀즈 숫자가 10까지 되는 흐름 체계는 지하수 흐름의 경우처럼 여전히 다르시안일 수 있다는 것이 밝혀졌다. 다공성 미디어 흐름에 대한 레이놀즈 번호(차원이 없는 파라미터)는 일반적으로 다음과 같이 표현된다.

${\displaystyle \mathrm {Re} ={\frac {ud}{\nu }\}}$

여기서 ν은 물의 동역학적 점도, u는 특정 방류량(공공속도가 아니라 1회 길이 단위를 갖는 것), d는₃₀ 다공성 매체의 대표적인 곡물 직경이다(표준 선택은 d30으로, 체를 이용한 곡물 크기 분석에서 30%의 통과 크기 - 길이 단위를 갖는 것).

파생

정지 상태로 즉.mw-parser-output .sfrac{white-space:nowrap}.mw-parser-output.sfrac.tion,.mw-parser-output.sfrac .tion{디스플레이:inline-block, vertical-align:-0.5em, font-size:85%;text-align:센터}.mw-parser-output.sfrac .num,.mw-parser-output.sfrac .den{디스플레이:블록, line-height:1em, 마진:00.1em}.mw-parser-ou, 포복, 비압축성 흐름을 나타낸다.Tput.sfrac .den{border-top:1px 고체}.mw-parser-output .sr-onlyᆫD(ρui)/Dt ≈ 0, 나비에.–스톡스 방정식은 스톡스 방정식으로 단순화되며, 대량 항을 무시하면 다음과 같다.

${\displaystyle \mu \nabla ^{2}u_{i}-\pair _{i}p=0\...}$

여기서 μ는 점도, u는_i i 방향의 속도, g는_i i 방향의 중력 성분, p는 압력이다. 비스코스 저항력이 속도와 선형이라고 가정하면 다음과 같이 기록할 수 있다.

${\displaystyle -\왼쪽(k^{-1}\오른쪽)_{ij}\mu \varphi u_{j}-\mu \varphi u_{j}-\mu_{i}p=0\}}}$

여기서 φ은 다공성이고, k는_ij 투과성 텐서 2번째 순서다. 이것은 n방향의 속도를 제공한다.

${\displaystyle k_{ni}\왼쪽(k^{-1}\right)_{ij}u_{j}=\ni_{ni}=-{\frac {k_{ni}}}}{\varphi \mu }}}}}{i}p\}}}}}$

N 방향의 체적 플럭스 밀도에 대한 다아시의 법칙을 알려주고

${\displaystyle q_{n}=-{\frac {k_{ni}}{\mu }}\,\cHB_{i}p\,}$

등방성 다공성 매체에서 투과성 텐서 내 비대각 원소는 0이고, i j j에 대해서는_ij k = 0이며, 대각성 원소는_ii k = k이며, 공통 형태는 다음과 같이 구하여 주어진 영역에서 일련의 방정식을 풀어서 액체 흐름 속도를 결정할 수 있다. ^[3]

${\displaystyle {\bmbol{q}=-{\frac {k}{\mu }\,{\bmbol {\bla }p\,}$

위의 방정식은 다공성 매체에서의 단상 유체 흐름에 대한 지배 방정식이다.

석유공학에서 사용

다아시의 법칙의 또 다른 파생은 투과성 매체를 통한 흐름을 결정하기 위해 석유 공학에서 광범위하게 사용된다. 가장 간단한 것은 단일 유체 위상과 일정한 유체 점도를 가진 1차원 동종 암석 형성을 위한 것이다.

거의 모든 저유소에는 기름다리 아래에 수역이 있고, 일부 저유소에는 기름다리 위쪽에 가스 뚜껑도 있다. 석유생산에 의해 저수지 압력이 떨어지면 아래로부터 유전으로 물이 유입되고, 위로부터 가스가 오일존으로 유입되며(가스캡이 존재하는 경우), 우리는 오일존의 모든 유체상(fluid phase)을 동시에 혼합하게 된다. 유전 운영자는 또한 석유 생산의 개선을 위해 물(및/또는 가스)을 주입할 수 있다. 따라서 석유 산업은 Muskat et alios에 의해 개발된 다아시 방정식을 다중효소 흐름에 일반화시키고 있다. 다아시의 이름은 다아시의 이름이 너무나 널리 퍼져 있고 다아스의 유동과 강하게 연관되어 있기 때문에, 다아제의 다아시 방정식은 다아시(또는 법칙)나 단순히 다아시 방정식(또는 법칙) 또는 단순히 다아시(Muskat et alios)의 다아시 방정식을 논하고 있다고 문맥이 되어 있는 경우 다아시의 법칙을 가리킨다. 석유와 가스 저장소의 다중효소 흐름은 포괄적인 주제인데, 이 주제에 대한 많은 기사 중 하나는 다아시의 다중효소 흐름 법칙이다.

커피 양조 시 사용

많은 논문이 다아시의 법칙을 이용해 모카냄비에 양조하는 물리학을 모델링했는데, 특히 바르라모프와 발레스트리노의 2001년 논문부터 시작하여 ^[4]지아니노의 2007년 논문,^[5] 나바리니 외 연구진의 2008년 논문,^[6] W. 킹의 2008년 논문까지, 커피 분쇄를 통해 온수가 어떻게 스며드는지를 구체적으로 모델로 삼았다.^[7] 그 논문들은 커피 투과성을 단순화로서 일정하게 받아들이거나 양조 과정을 통해 변화를 측정할 것이다.

추가 양식

이차법

레이놀즈 수가 약 1에서 10보다 큰 다공성 미디어의 흐름의 경우 관성 효과도 유의할 수 있다. 때때로 관성 용어는 포르치하이머 용어로 알려진 다아시의 방정식에 추가된다. 이 용어는 압력차 대 흐름 데이터의 비선형 동작을 설명할 수 있다.^[8]

${\displaystyle {\frac {\frac {\property x}=-{\frac {\mu}{k}q-{k_}{1}rho {}{k_}q^{2}\}}$

여기서 k라는₁ 추가 용어가 관성 투과성으로 알려져 있다.

사암저수지 한가운데의 흐름은 너무 느려서 보통 포치하이머의 방정식은 필요없지만 가스 생산 우물로의 기체 흐름은 포치하이머 방정식의 사용을 정당화할 만큼 높을 수도 있다. 이 경우 3D 모델의 그리드 셀이 아닌 우물에 대한 유입 성능 계산은 포치하이머 방정식을 기반으로 한다. 그 효과는 유입 성능 공식에 요율 의존성 피부가 추가로 나타나는 것이다.

일부 탄산염 저수지는 많은 골절을 가지고 있으며, 다아시의 다아시 유량 방정식은 골절과 행렬의 흐름(즉, 전통적인 다공성 암석)을 통제하기 위해 일반화된다. 골절벽의 불규칙한 표면과 골절의 높은 유속은 포치하이머 방정식의 사용을 정당화할 수 있다.

미세한 매체의 기체에 대한 보정(Knudsen 확산 또는 Klinkenberg 효과)

작은 특성 차원(예: 매우 미세한 모래, 나노구조물 등)에서의 기체 흐름의 경우 입자-벽 상호작용의 빈도가 높아져 추가적인 벽 마찰(Knudsen 마찰)이 발생한다. 점성과 크누드센 마찰이 모두 존재하는 이 지역의 흐름을 위해서는 새로운 제형을 사용할 필요가 있다. 크누드센은 작은 모세혈관에 대한 실험을 바탕으로 과도체제의 흐름에 대한 반감기적 모델을 제시했다.^[9][10] 다공성 매체의 경우 Knudsen 방정식은 다음과^[10] 같이 주어질 수 있다.

${\displaystyle N=-\left({\frac {k}{\mu }}{\frac {p_{a}+p_{b}}{2}}+D_{\mathrm {K} }^{\mathrm {eff} }\right){\frac {1}{R_{\mathrm {g} }T}}{\frac {p_{\mathrm {b} }-p_{\mathrm {a} }}{L}}\,,}$

여기서 N은 어금니 플럭스, R은_g 기체 상수, T는 온도^eff
_K, D는 다공성 매체의 효과적인 Knudsen 확산성이다. 이 모델은 또한 첫 번째 원칙 기반 이항 마찰 모델(BFM)에서 파생될 수 있다.^[11][12] BFM에 기초한 다공성 매체에서의 전환 흐름의 미분 방정식은 다음과^[11] 같다.

${\displaystyle {\frac {\partial p}{\partial x}=-R_{\mathrm {g}}{\frac {kp}{\mu}}+D_{\mathrm {K}}}}^{-1}N\,.}$

이 방정식은 다공성 매체뿐만 아니라 모세혈관에도 유효하다. Knudsen 효과와 Knudsen diffusivity의 용어는 기계 및 화학 공학에서 더 흔하다. 지질학과 석유화학 공학에서는 이러한 효과를 클링켄베르그 효과라고 한다. 어금속의 정의를 이용하여 위의 방정식을 다음과 같이 다시 쓸 수 있다.

${\displaystyle {\frac {\partial p}{\partial x}}=-R_{\mathrm {g} }T\left({\frac {kp}{\mu }}+D_{\mathrm {K} }\right)^{-1}{\dfrac {p}{R_{\mathrm {g} }T}}q\,.}$

이 방정식은 다음 방정식으로 재배열할 수 있다.

${\displaystyle q=-{\frac {k}{\mu}}{\frac {D_{\mathrm{K}}}{k}{1}{p}\오른쪽){\frac {\partial p}{\p}}}}\partial x}}\,\,}$

이 방정식을 기존의 다아시의 법칙과 비교하면, 새로운 공식은 다음과 같이 주어질 수 있다.

${\displaystyle q=-{\frac {k^{\mathrm { {}}}}{\frac {\frac {\frac}{\frac x}}}}}$

어디에

${\displaystyle k^{\mathrm {eff}}}}}=k\left(1+{\frac {D_{\mathrm {K}}}}{k}}{\frac {1}{p}\오른쪽)\,\,}$

이는 Klinkenberg가 제안한 유효 투과성 공식과 동일하다.^[13]

${\displaystyle k^{\mathrm {mathrm}}}=k\left(1+{\frac{b}{p}}\오른쪽)\,}$

여기서 b는 기체와 다공성 매체 구조에 따라 달라지는 Klinkenberg 매개변수로 알려져 있다. 위의 공식들을 비교해 보면 이것은 아주 명백하다. Klinkenberg 매개변수 b는 투과성, Knudsen 확산성 및 점도(즉, 기체와 다공성 매체 특성 둘 다)에 따라 달라진다.

다아시의 짧은 시간 척도법

매우 짧은 시간 척도의 경우, 플럭스의 시간 파생물이 다아시의 법칙에 추가될 수 있으며, 이는 매우 적은 시간에 유효한 해결책이 된다(열전달에서, 이것을 푸리에 법칙의 변형 형태라고 한다).

${\displaystyle \tau {\frac {\buffer q}{\buffer t}+q=-k\k\bla h\...}$

여기서 τ은 이 방정식을 "정상" 시간(>나노초)에 다아시의 법칙의 정상적인 형태로 감소시키는 매우 작은 시간 상수다. 이렇게 하는 주된 이유는 규칙적인 지하수 흐름 방정식(분출 방정식)이 매우 작은 시간에 일정한 머리 경계에서 특이점으로 이어지기 때문이다. 이러한 형태는 수학적으로 더 엄격하지만 쌍곡 지하수 흐름 방정식을 초래하는데, 이는 풀기가 더 어렵고 매우 작은 시간에만 유용하며, 전형적으로 실제 사용의 영역에서는 벗어난다.

다아시의 법칙의 브링크만 형식

전통적인 형태의 다아시 법의 또 다른 연장선은 경계 사이의 과도기적 흐름을 설명하기 위해 사용되는 브링크만 용어다(1949년^[14] 브링크만 도입).

${\displaystyle -\displayla ^{2}q+q=-{\frac {k}{\mu }}\mu p\la p\...}$

여기서 β는 유효 점도 용어다. 이 보정 용어는 매체의 알갱이 자체가 다공성(多空性)이지만 사용하기 어려운 매체를 통한 흐름을 설명하며, 일반적으로는 소홀히 취급된다.

다아시의 법칙의 타당성

다아시의 법칙은 퇴적물을 통한 층류 흐름에 유효하다. 미세한 퇴적물에서는 틈새의 치수가 작아 유속이 층층이다. 거친 결의 퇴적물도 비슷하게 작용하지만 매우 거친 결의 퇴적물에서는 흐름이 격동할 수 있다.^[15] 따라서 다아시의 법칙은 그러한 퇴적물에서 항상 유효한 것은 아니다. 상업용 원형 파이프를 통한 흐름의 경우 레이놀즈 수가 2000년 미만일 때는 층류, 4000년 이상일 때는 난류지만, 일부 퇴적물에서는 레이놀즈 수치의 값이 1 미만일 때는 층류인 것으로 밝혀졌다.^[16]

참고 항목

• 유체 투과성의 단위인 다아시
• 수력 지질학
• 지하수 흐름 방정식
• 수학적 모형
• 블랙오일 방정식

참조