등각 선형 변환

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등각 선형 변환은 동질적 유사도 변환 또는 동질적 유사도 변환이라고도 하며, 원점을 고정하는 유클리드 또는 유사 유클리드 벡터 공간의 유사도 변환입니다. 균일한 스케일링(확장)을 갖는 직교 변환(원점 보존 강성 변환)의 구성으로 작성할 수 있습니다. 모든 유사성 변환(형상을 전역적으로 보존하지만 기하학적 도형의 크기를 반드시 보존할 필요는 없음)도 등각적(국소적으로 형상을 보존함)입니다. 원점을 고정하는 유사성 변환은 또한 스칼라-벡터 곱셈과 벡터 덧셈을 보존하여 선형 변환으로 만듭니다.

모든 원점 고정 반사 또는 팽창은 회전 및 부적절한 회전 및 가장 일반적인 유사성 변환을 포함하여 이러한 기본 변환의 모든 구성과 마찬가지로 등각 선형 변환입니다. 그러나 전단 변환 및 불균일 스케일링은 그렇지 않습니다. 등각 선형 변환은 두 가지 유형으로 제공되며, 적절한 변환은 공간의 방향을 보존하는 반면 부적절한 변환은 공간을 역전시킵니다.

선형 변환으로서 등각 선형 변환은 벡터 공간에 기초가 주어지면 행렬로 나타낼 수 있으며, 서로 구성하고 행렬 곱셈에 의해 벡터를 변환합니다. 이러한 변환의 Li 그룹은 등각 직교 그룹, 등각 선형 변환 그룹 또는 동종 유사 그룹이라고 불립니다.

또는 모든 등각 선형 변환은 벡터의 기하학적 곱(geometric product of vector)으로 표현될 수 있습니다.^[1] 모든 등각 선형 변환과 음의 변환은 동일한 변환을 나타내므로, 등각 직교 그룹의 이중 커버(double cover)가 됩니다.

등각 선형 변환은 뫼비우스 변환(원을 원에 매핑하는 등각 변환)의 특별한 유형입니다. 등각 직교 그룹은 등각 그룹의 하위 그룹입니다.

일반속성

모든 차원에서 등각 선형 변환은 다음과 같은 특성을 갖습니다.

• 거리 비율은 변환에 의해 보존됩니다.^[2]
• 정규 직교 기저가 주어지면 변환을 나타내는 행렬은 각 열의 크기가 동일해야 하며 각 열 쌍은 직교해야 합니다.
• 변환은 등각(각 보존)이며, 특히 직교 벡터는 변환을 적용한 후에도 직교 상태를 유지합니다.
• 변환은 매 k(원에서 원으로, 구에서 구로 등)에 대해 동심 k-구에 매핑합니다. 특히 원점을 중심으로 하는 k-구는 원점을 중심으로 하는 k-구에 매핑됩니다.
• 카르탕-디에우도네 정리에 의해 n차원 공간의 모든 직교 변환은 최대 n개의 반사의 어떤 구성으로 표현될 수 있습니다. 따라서 모든 등각 선형 변환은 최대 n개의 반사와 확장의 구성으로 표현될 수 있습니다. 초평면을 가로지르는 모든 반사는 유사 유클리드 공간의 방향을 반대로 만들기 때문에 임의의 짝수 반사의 구성과 양의 실수에 의한 확장은 적절한 등각 선형 변환입니다. 그리고 임의의 홀수 개의 반사와 확장의 구성은 부적절한 등각 선형 변환입니다.

2차원

유클리드 벡터 평면에서 부적절한 등각 선형 변환은 양의 팽창으로 구성된 원점을 통과하는 선을 가로지르는 반사입니다. 정규적인 기저가 주어지면, 이는 다음과 같은 형태의 행렬로 나타낼 수 있습니다.

${\displaystyle {\begin{bmatrix}a&b\b&a\end{bmatrix}}}$

적절한 등각 선형 변환은 양의 팽창으로 구성된 원점에 대한 회전입니다. 형태의 행렬로 나타낼 수 있습니다.

${\displaystyle {\begin{bmatrix}a&-b\b&a\end{bmatrix}}}$

또는 적절한 등각 선형 변환은 $a{\displaystyle }$+ ${\displaystyle \mathrm{bi}}$ 형식의 복소수로 표현될 수 있습니다${\displaystyle .}$ ${\displaystyle a$+ $bi.}$

실용화

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다중 선형 변환을 구성할 때, 비균일 스케일의 부모 변환과 회전의 자식 변환을 구성함으로써 전단/왜곡을 생성할 수 있습니다. 따라서, 시어/스큐가 허용되지 않는 상황에서는, 구성의 결과로 시어/스큐가 나타나는 것을 방지하기 위해 변환 행렬도 균일한 스케일을 가져야 합니다. 이는 여러 변환을 구성할 때 전단/왜곡을 방지하기 위해 등각 선형 변환이 필요하다는 것을 의미합니다.

물리 시뮬레이션에서 구(또는 원, 초구 등)는 점과 반지름으로 정의되는 경우가 많습니다. 따라서 한 점이 구와 겹치는지 확인하려면 중심까지의 거리를 확인해야 합니다. 회전 또는 플립/반사를 사용하면 구가 대칭이고 불변이므로 동일한 검사가 작동합니다. 균일한 스케일로 반경만 변경하면 됩니다. 그러나 균일하지 않은 스케일 또는 전단/왜곡을 사용하면 구가 타원체로 "왜곡"되어 거리 확인 알고리즘이 더 이상 올바르게 작동하지 않습니다.

참고문헌