치랄 폴리토프
Chiral polytope수학에서, 치랄 폴리토프에 대한 두 가지 경쟁적인 정의가 있다.하나는 치랄(혹은 "반동형")인 폴리토프(polytope)로 거울 대칭이 없다는 뜻이다.이 정의에 따르면, 대칭성이 전혀 없는 폴리토프는 치랄 폴리토프의 예가 될 것이다.
치랄 폴리토프의 다른 경쟁적 정의는 거울 대칭이 되지 않고 가능한 한 대칭인 폴리토프(polytope)라는 것으로, 그것의 깃발 위에 있는 폴리토프의 대칭 그룹의 작용 측면에서 공식화되었다.이 정의에 따르면, 스너브 큐브와 같은 고대칭성 및 반동형성 폴리토페어도 치랄이 아니다.대칭적이긴 하지만 치랄성 폴리토페스에 대한 많은 연구가 기하학적 사례의 빈약성 때문에 추상적인 폴리토페스의 틀에서 수행되었다.
미러 대칭이 없는 폴리탑
 |  |
| 스너브 큐브, 정점 변환이지만 미러 대칭이 아님. | |
많은 폴리에스테르들은 거울 대칭성이 결여되어 있고, 그런 의미에서 치랄 폴리에스테르를 형성한다.가장 간단한 예는 스칼린 삼각형이다.[1]
다각류의 대칭도는 높지만 거울 대칭은 부족하지 않다. 간단한 예는 얼굴이 이소체 삼각형에 합치되지 않을 때의 분산형이고,[2] 다른 예는 이러한 의미에서 정점 변환형이고 치랄형인 스너브 큐브형이다.[3]
대칭치랄다각포
정의
치랄 폴리토프의 보다 기술적인 정의는 그것의 대칭의 그룹 아래에 두 개의 깃발의 궤도를 가진 폴리토페로, 다른 궤도로 인접한 깃발을 가지고 있다.이것은 각각의 꼭지점, 가장자리 또는 얼굴이 양쪽 궤도의 깃발로 표현되어야 하기 때문에 정점 변환, 가장자리 변환 및 얼굴 변환이어야 함을 의미한다. 그러나 폴리토프의 모든 거울 대칭이 일부 인접한 깃발을 교환하기 때문에 거울 대칭이 될 수 없다.[4]
이 정의의 목적상, 폴리토프의 대칭 그룹은 두 가지 방법 중 하나로 정의될 수 있다. 즉, 폴리토프의 대칭을 기하학적 물체로 지칭할 수 있거나(이 경우 폴리토프를 기하학적으로 치랄이라 한다) 폴리토프의 대칭을 결합 구조로 지칭할 수 있다(추상적 폴리토프).치랄성은 대칭의 어느 유형에도 의미가 있지만 두 정의는 서로 다른 폴리토페를 치랄 또는 비치랄로 분류한다.[5]
3차원으로
3차원에서는 기하학적으로 치랄 폴리토프가 유한한 얼굴을 많이 갖는 것은 불가능하다.예를 들어 스너브 큐브는 정점 변환이지만 깃발은 2개 이상의 궤도를 가지고 있으며, 가장자리 변환도 아니고 얼굴 변환도 아니므로 치례의 공식적 정의를 충족하기에 충분히 대칭적이지 않다.큐빅형 다면체와 그들의 이중체(입방체)는 또 다른 흥미로운 형태의 근접체를 제공한다: 그들은 두 개의 궤도를 가지고 있지만 거울 대칭이며, 인접한 모든 국기 쌍이 다른 궤도에 속하는 것은 아니다.그러나 유한 치랄 3차원 다면체의 비불변성에도 불구하고, 유형 {4,6}, {6,4}, {6,6}[5]의 무한 3차원 치랄 스큐 다면체가 존재한다.
참조
- ^ Tilley, Richard J. D. (2006), Crystals and Crystal Structures, John Wiley & Sons, p. 44, ISBN 9780470018217.
- ^ Petitjean, M. (2015). "The most Chiral Disphenoid" (PDF). MATCH - Communications in Mathematical and in Computer Chemistry. 73 (2): 375–384. Zbl 1462.05096.
- ^ Coxeter, H. S. M. (1995), Kaleidoscopes: Selected Writings, John Wiley and Sons, p. 282, ISBN 9780471010036.
- ^ Schulte, Egon; Weiss, Asia Ivić (1991), "Chiral polytopes", in Gritzmann, P.; Sturmfels, B. (eds.), Applied Geometry and Discrete Mathematics (The Victor Klee Festschrift), DIMACS Series in Discrete Mathematics and Theoretical Computer Science, vol. 4, Providence, RI: American Mathematical Society, pp. 493–516, MR 1116373.
- ^ a b Schulte, Egon (2004), "Chiral polyhedra in ordinary space. I", Discrete and Computational Geometry, 32 (1): 55–99, doi:10.1007/s00454-004-0843-x, MR 2060817, S2CID 13098983.
추가 읽기
- Monson, Barry; Pisanski, Tomaž; Schulte, Egon; Weiss, Asia Ivić (2007), "Semisymmetric graphs from polytopes", Journal of Combinatorial Theory, Series A, 114 (3): 421–435, arXiv:math/0606469, doi:10.1016/j.jcta.2006.06.007, MR 2310743, S2CID 10203794.
- Hubard, Isabel; Weiss, Asia Ivić (2005), "Self-duality of chiral polytopes", Journal of Combinatorial Theory, Series A, 111 (1): 128–136, doi:10.1016/j.jcta.2004.11.012, MR 2144859.
- Conder, Marston; Hubard, Isabel; Pisanski, Tomaž (2008), "Constructions for chiral polytopes", Journal of the London Mathematical Society, Second Series, 77 (1): 115–129, doi:10.1112/jlms/jdm093, MR 2389920.
- Monson, Barry; Ivić Weiss, Asia (2008), "Cayley graphs and symmetric 4-polytopes", Ars Mathematica Contemporanea, 1 (2): 185–205, doi:10.26493/1855-3974.79.919, MR 2466196.