브램블-힐버트 보조정리

수학, 특히 수치 분석에서 브램블-제임스 H. 브램블과 스티븐 힐버트(Stephen Hilbert)의 이름을 딴 Hilbert 보조정리기는 순서 $m{\displaystyle }$ ${\$ $\textstyle u}$의 $u{\displaystyle }$ ${\$ $\textstyle$ $u}$의 파생$$ 모델 측면에서$$ 최대 $m{\displaystyle }$- ${\displaystyle 1}$의 다항식으로 $u{\displaystyle }$ ${\$u}의 오차를 제한한다.$m}.$$u{\displaystyle }$ ${\$의 근사값과 파생상품 모두 $R{\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {}^{}}$ ${\$ $\textstyle$ L$^{p}}$의 경계 도메인에서 L ${\displaystyle p^{}}$ ${\$ $\textstyle \mathb$ {$R} ^{n}}}}}$에 의해 측정된다$.$이는 예를 들어 선형 보간 $u{\displaystyle }$ ${\$의 오류는 $u{\displaystyle }$ ${\$의 두 번째 파생 모델을 사용하여 경계할 수$$ 있는 고전적인 수치 분석과 유사하지만$,$ Bramble–힐버트 보조마사는 하나의 차원만이 아니라 임의의 차원에 적용되며, $u{\displaystyle }$ ${\$의 근사오차와 파생상품은 최대 규범뿐만 아니라 평균을 수반하는 보다 일반적인 규범에 의해 측정된다$$.

Bramble-를 위해서는 도메인에 대한 추가적인 가정이 필요하다.힐버트 보조정리해 줘본질적으로 도메인의 경계는 "합리적"이어야 한다.예를 들어, 끝에 0 각도가 있는 스파이크 또는 슬릿이 있는 도메인은 제외된다.립시츠 도메인은 충분히 합리적이며, 볼록한 영역과 지속적으로 다른 경계를 가진 도메인을 포함한다.

Bramble-의 주요 용도Hilbert 보조정리자는 $순서{\displaystyle }$m {\$displaystyle$u$$}의$$u {\$displaystyle$ u} 파생상품 측면에서$$최대 $m{\displaystyle }$- ${\displaystyle 1}$의$$다항식을 보존하는 연산자에 의한 함수$$ $u{\displaystyle }$ ${\$$\textstyle u$$}$의 보간 오류에 대한 한계를 증명하는 것이다$.$이것은 유한요소법에 대한 오차 추정의 필수적인 단계다.브램블-힐버트 보조마사는 하나의 요소(또는 어떤 초융합 결과에서는 소수의 요소)로 구성된 영역에 적용된다.

1차원 케이스

보조기구를 전체적으로 설명하기 전에 간단한 특수한 경우를 살펴보는 것이 유용하다.${\displaystyle m}$ {\$displaystyle \textstyle$ m$}$개의$$ 파생 모델이 $간격$$({\displaystyle }$ , b${\displaystyle }$)에 있는$$ 기능$u{\displaystyle }$$$${\$$displaystyle \textstyle \left(a,b\오른쪽)$의 경우, 보조마사는 다음과 같이 감소한다$.$

${\displaystyle \inf _{v\in P_{m-1}}{\bigl \Vert }u^{\left(k\right)}-v^{\left(k\right)}{\bigr \Vert }_{L^{p}\left(a,b\right)}\leq C\left(m,k\right)\left(b-a\right)^{m-k}{\bigl \Vert }u^{\left(m\right)}{\bigr \Vert }_{L^{p}\left(a,b\right)}{\text{ for each integer }}k\leq m{\text{ and extended real }}p\geq 1,}$

여기서 $P{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle m_{}}$- ${\displaystyle 1_{}}$ ${\$은(는) $대부분$의${\displaystyle }$m - ${\displaystyle 1}$ ${\$ 및$$ $f{\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {(k}^{}}$ ${\displaystyle {)}^{}}$ ${\$ f$^{(k)$에서 모든 다항식의 공간이며, $f{\displaystyle }$${\$$displaystystyle k$ th $파생물$을 $나타낸다.$

$p{\displaystyle }$= $∞ {\$ $\},$$$${\displaystyle \mathrm{m}}$=${\displaystyle }$2 ${\$}, k = 0 ${\$${\displaystyle \mathrm{displaystyle}}$$$\$textyle$ $k=0$}, u {\$u}$이$($가) 두 배 다른 경우, 이는 $다항식{\displaystyle }$v ${\$ v}이 $있음을 의미한다.$l $x{\displaystyle }$ ${\displaystyle \in }$ ${\displaystyle (,b}$) ${\$

$\displaystyle \vert u\좌측(x\우측)-v\좌측(x\우측)\vert \leq C\좌측(b-a\우측)^{2}\좌측(a,b\우측)\vert u^{\premium \우측\우측\우측\vert.}$

이러한 불평등은 또한 $u{\displaystyle }$ ${\$의 선형 보간물로 $v{\displaystyle }$ ${\$을(를) 선택하여 선형 보간에서 잘 알려진 오류 추정에서도 나타난다$.$

보조정리명세서

^{[문서 – 토의]}

Suppose ${\displaystyle \textstyle \Omega }$ is a bounded domain in ${\displaystyle \textstyle \mathbb {R} ^{n}}$, ${\displaystyle \textstyle n\geq 1}$, with boundary ${\displaystyle \textstyle \partial \Omega }$ and diameter ${\displaystyle \textstyle d}$. ${\$$displaystyle \textstyle W_{p}^{k}(\Omega )}$ is the Sobolev space of all function ${\displaystyle \textstyle u}$ on ${\displaystyle \textstyle \Omega }$ with weak derivatives ${\displaystyle \textstyle D^{\alpha }u}$ of order ${\displaystyle \textstyle \left\vert \alpha \right\vert }$ up to $$${\displaystyle \textstyle k}$ in ${\displaystyle \textstyle L^{p}(\Omega )}$. Here, ${\displaystyle \textstyle \alpha =\left(\alpha _{1},\alpha _{2},\ldots ,\alpha _{n}\right)}$ is a multiindex, ${\displaystyle \textstyle \left\vert \alpha \right\vert$$=}$ ${\displaystyle \textstyle \alpha _{1}+\alpha _{2}+\cdots +\alpha _{n}}$ and ${\displaystyle \textstyle D^{\alpha }}$ denotes the derivative ${\displaystyle \textstyle \alpha _{1}}$ times with respect to ${\displaystyle \textstyle x_{1}}$, ${\displaystyle {\alpha }_2}$$\displaystyle \textstyle \cHB_{2}}$회$$ 등 x ${\displaystyle {2\mathrm{}}_{}}$ ${\$2}}회$.$$W{\displaystyle {}_{}^{}}$ ${\displaystyle p_{}^{}}$ ${\displaystyle {}_{}^{}}$(${\displaystyle \mathrm{\Omega }}$) ${\$의 Sobolev 세미놈은 최상위 파생상품의 ${\displaystyle L^{}}$ p${\$ L$^{p}}$ 규범으로$$ 구성된다$$.

${\displaystyle \left\vert u\right\vert _{W_{p}^{m}(\Omega )}=\left(\sum _{\left\vert \alpha \right\vert =m}\left\Vert D^{\alpha }u\right\Vert _{L^{p}(\Omega )}^{p}\right)^{1/p}{\text{ if }}1\leq p<\infty }$

그리고

${\displaystyle \vert u\right\vert _{W_{\infit }{m}(\Oomega )}=\max_{\lapa \right\vert=m}\vert D^{\alpha u\right\vert_{L^{\inft}}}\inft}}}\inft}}}}}}}\inft}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}$

${\displaystyle \textstyle P_{k}}$ is the space of all polynomials of order up to ${\displaystyle \textstyle k}$ on ${\displaystyle \textstyle \mathbb {R} ^{n}}$. Note that ${\displaystyle \textstyle D^{\alpha }v=0}$ for all ${\displaystyle \textstyle v\in P_{m$$-1}}$ and ${\displaystyle \textstyle \left\vert \alpha \right\vert =m}$, so ${\displaystyle \textstyle \left\vert u+v\right\vert _{W_{p}^{m}(\Omega )}}$ has the same value for any ${\displaystyle \textstyle v\in P_{m-1}}$.

Lemma (Bramble and Hilbert) Under additional assumptions on the domain ${\displaystyle \textstyle \Omega }$, specified below, there exists a constant ${\displaystyle \textstyle C=C\left(m,\Omega \right)}$ independent of ${\displaystyle \textstyle p}$ and ${\displaystyle \textstyle u}$ such that for any ${\displaystyle \textstyle u\in W_{p}^{m}(\Omega )}$ there exists a polynomial ${\displaystyle \textstyle v\in P_{m-1}}$ such that for all ${\displaystyle \textstyle k=0,\ldots ,m,}$

${\displaystyle \vert u-v\right\vert _{w_{p}^{k}(\Oomega )}\leq Cd^{m-k}\vert u\right\vert _{W_{p}^{m}(\Oomega )}.}$

원래의 결과

보조정리기는 $\Omega {\displaystyle \mathrm{}}$ ${\$ \$Oomega}$이(가) 강한 콘 특성을 만족한다는$$ 가정 하에 Bramble과 Hilbert에 의해 증명되었다. 즉$,{\displaystyle }$ { ${\displaystyle {Oi}_{}}$ ${\$$O_{i}\right\}}$ of ${\displaystyle \textstyle \partial \Omega }$ and corresponding cones ${\displaystyle \textstyle \{C_{i}\}}$ with vertices at the origin such that ${\displaystyle \textstyle x+C_{i}}$ is contained in ${\displaystyle \textstyle \Omega }$ for any ${\displaystyl$$e \textstyle x}$ $\in$${\displaystyle }$ ${\displaystyle \mathrm{\Omega }}$ ${\displaystyle \cap }$ ${\displaystyle {Oi}_{}}$ ${\$

여기서 보조정리자의 진술은 정리1 in에 기재된 우측 불평등을 간단히 다시 쓴 것이다.^[1]의 실제 진술은 요소공간 W $p{\displaystyle {}_{}^{}}$ ${\displaystyle m_{}^{}}$ (${\displaystyle \mathrm{\Omega }}$ ${\displaystyle {}_{}^{}}$/${\displaystyle }$P m${\displaystyle {}_{}}$- ${\displaystyle 1_{}}$ ${\$의 규범이 W ${\displaystyle {}_{}^{}}$ (${\displaystyle {}_{}^{}\mathrm{\Omega }}$)${\$}}}(오메가$$$})$ 세민과 동일하다는$$ 것이다.$W{\displaystyle {}_{}^{}}$ ${\displaystyle p_{}^{}}$ ${\displaystyle {}_{}^{}}$(${\displaystyle \mathrm{\Omega }}$) ${\$ 규범은$$ 일반적인 규범이 아니라 용어의 $크기$를 d$${\$displaystyle \textstyle$ d$}$로 조정하여 세미노름의 등가성에 대한 우측 불평등이 여기의 문구와 정확히 나타나도록 한다$$.

원래 결과에서 다항식의 선택은 지정되지 않았으며, 상수 값과 도메인 $\Omega {\displaystyle \mathrm{}}$ ${\$에 대한 의존성은 증명에서 결정할 수 없다$$.

건설형식

대안의 결과 듀퐁과 스콧[2]에 의해 가설을 세우는 도메인Ω{\displaystyle\textstyle \Omega}별 모양의 하에, 즉 새로운 공 B{\textstyle B\displaystyle}어떤 x에 ∈Ω{\displaystyle\textstylex\in \Omega},{)}의 닫힌 볼록 선체 ∪ 그런 B{\d이 주어졌다.isp$레이스타일 \textstyle \left\{x\right\}\cupbe B}$는 $\Omega {\displaystyle \mathrm{}}$ ${\$ \$textstyle$ \$rho_{\max}}$의 하위 집합체.$$.${\displaystyle {max}_{}}$ ${\$}이$$ 이러한 공 직경의 최상이라고 가정하자.비율 $\gamma {\displaystyle }$= ${\displaystyle d}$ /${\displaystyle \rho {}_{}}$ ${\displaystyle {max}_{}}$ ${\$ Ω ${\$의 청결도라고 한다$$$.$

Then the lemma holds with the constant ${\displaystyle \textstyle C=C\left(m,n,\gamma \right)}$, that is, the constant depends on the domain ${\displaystyle \textstyle \Omega }$ only through its chunkiness ${\displaystyle \textstyle \gamma }$ and the dimension of the space ${\displaystyle$$\textstyle n$ 또한 $v{\displaystyle }$ ${\displaystyle v}$을(를) $v{\displaystyle }$= ${\displaystyle {Qm}^{}}$ ${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle v=Q^{m}u}$로 선택할 수 있으며$,$ 여기서$$ ${\displaystyle {Qm}^{}}$ ${\displaystyle {}^{}}$ ${\$m}$u}$은 다음과$$ 같이 정의된 평균 Taylor 다항식이다.

${\displaystyle Q^{m}u=\int _{B}T_{y}^{m}u\좌(x\우)\psi \좌(y\우)\,dx,}$

어디에

${\displaystyle T_{y}^{m}u\left(x\right)=\sum \limits _{k=0}^{m-1}\sum \limits _{\ret \alpha \right\vert=k}{\frac {1}{\alpha!}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}D^{\alpha }u\좌(y\우)\좌(x-y\우)^{\alpha }}}$

$x{\displaystyle }$ {\$displaystyle \textstyle x}$에서 $평가$된 y ${\$$displaystyle \textstyle y}$ 중심$$ u {\displaystyle \textstyle $u}$의 $최대{\displaystyle }$ m${\displaystyle }$- ${\displaystyle 1}$ ${\$은 모든$$ 순서의 파생 모델이 있는 함수입니다$.$$B{\displaystyle }$ ${\$의 외부에 0과 같음

${\displaystyle \int _{B}\psi \,dx=1.}$

이러한 함수 $\psi {\displaystyle }$ ${\$은(는) 항상$$ 존재한다.

자세한 내용과 자습서 처리는 브레너와 스콧의 모노그래프를 참조하십시오.^[3]그 결과는 도메인 $\Omega {\displaystyle \mathrm{}}${\$displaystyle \textstyle \Oomega}$이(^[2]가) 강한 콘 속성보다 약간 더 일반적이며 모든 다항식의 공간보다 일정한 수의 항성형 도메인의 결합인$$ 경우로 확장될 수 있다.

선형 함수에 바인딩됨

이 결과는 위의 보조정리로부터 바로 따르며, 때로는 브램블-이라고 부르기도 한다.힐버트 보조정리, 예를 들어 시아레트의 보조정리.^[4]그것은 본질적으로 에서의 정리 2이다.^[1]

Lemma Suppose that ${\displaystyle \textstyle \ell }$ is a continuous linear functional on ${\displaystyle \textstyle W_{p}^{m}(\Omega )}$ and ${\displaystyle \textstyle \left\Vert \ell \right\Vert _{W_{p}^{m}(\Omega )^{^{\prime }}}}$ its dual norm.$모든$ $v{\displaystyle }$ ${\displaystyle \in }$${\displaystyle }$($v$)${\displaystyle }$= ${\displaystyle 0}$ ${\$\$textstyle \$ $\left(v\$$right$$)=0$$}$이라고 가정합시다$.$그러면 다음과 같은$$ 상수 $C{\displaystyle }$= ${\displaystyle C}$ (${\displaystyle \mathrm{\Omega }}$) ${\$가 존재한다.

${\displaystyle \왼쪽(우측)\vert \ell \left\오른쪽\vert \leq C\left\vert \{W_{p}^{p}(\Oomega)^{{{p}}}^{{p}}}}}\vert u\ret upt _{W_{p}{p}}\m}\ret }\iecut }\iecutega}.}$

참조

외부 링크

• Raytcho D. Lazarov (2001) [1994], "Bramble–Hilbert lemma", Encyclopedia of Mathematics, EMS Press
• https://arxiv.org/abs/0710.5148 – Jan Mandel:브램블-힐베르트 렘마