슈바르츠실트 측정법

Schwarzschild metric

아인슈타인의 일반 상대성 이론에서, 슈바르츠실트 측정법(또는 슈바르츠실트 해법)은 질량의 전하, 질량의 각운동량, 그리고 보편적우주론적 항성이라는 가정하에 구면 질량 외부의 중력장을 설명하는 아인슈타인 장 방정식의 정확한 해이다.nt는 모두 제로입니다.해답은 지구와 태양을 포함한 많은 과 행성과 같이 느리게 회전하는 천체들을 묘사하는 데 유용한 근사치입니다.1916년 칼 슈바르츠실트에 의해 발견되었고, 비슷한 시기에 슈바르츠실트 [1]이후 4개월 만에 보다 완벽하고 현대적으로 보이는 그의 토론을 출판한 요하네스 드로스테에 의해 독립적으로 발견되었다.

Birkhoff의 정리에 따르면, 슈바르츠실트 측정법은 아인슈타인 장 방정식 중 가장 일반적구대칭 진공해이다.슈바르츠실트 블랙홀은 전하도 각운동량도 없는 블랙홀이다.슈바르츠실트 블랙홀은 슈바르츠실트 측정법으로 설명되며 질량을 제외하고는 다른 어떤 슈바르츠실트 블랙홀과도 구별할 수 없습니다.

슈바르츠실트 블랙홀은 종종 블랙홀의 반지름이라고 불리는 슈바르츠실트 반지름에 위치한 사건의 지평선이라고 불리는 주변의 구면 경계에 의해 특징지어집니다.경계는 물리적 표면이 아니며, 사건의 지평선을 통해 떨어진 사람은 (조력에 의해 산산조각 나기 전에) 그 위치에서 어떠한 물리적 표면도 알아차리지 못할 것이다; 이것은 블랙홀의 특성을 결정하는 데 중요한 수학적 표면이다.슈바르츠실트 반지름보다 작은 무회전 및 무충전 질량은 블랙홀을 형성합니다.아인슈타인 장 방정식의 해는 어떤 질량 M에도 유효하기 때문에 (일반상대성이론에 따르면) 이론적으로 어떤 질량의 슈바르츠실트 블랙홀이 형성될 수 있을 만큼 조건이 좋아지면 존재할 수 있다.

슈바르차일드 블랙홀 근처에서는 빛이 굴절될 정도로 공간이 휘고, 매우 가까운 빛은 블랙홀 주위를 여러 번 이동할 정도로 굴절될 수 있다.[2][3][4]

공식화

슈바르츠실트 메트릭은 (여기서 시그니처 규칙(-, +, +, +)을 사용하여)에 정의된 구대칭 로렌츠 메트릭이다.

E 3차원 유클리드 이고 S E 2개의 구이다.회전 S( 3) SO)=}})는 먼저 O O를 중심으로 회전하면서 -(\ E S}})에 작용합니다.슈바르츠실트 측정법은 빈 공간에 있는 아인슈타인의 방정식의 로, 중력체 에서만 유효하다는 것을 의미한다.즉, 반지름 R은 구형의 몸에{R\displaystyle}은 해결책 r>;R{\displaystyle r> 유효하다..R}. 슈바르츠실트 해결책이라는 적합한 내부 해결책을 r로)일치시켜야 하는 그 gravitating 몸 외부와 내부 양쪽은 중력장을 묘사하기 위해 R{\displaystyle r=R}내부 같은 ,[5]. 슈바르츠실트 미터법.

슈바르츠실트 좌표 , , , ) { , , \, \) }에서 슈바르츠실트 지표(또는 이에 상당하는 적절한 시간의 요소)는 다음과 같은 형태를 가진다.

{\}}은 두 구의 메트릭입니다 , ( d 2 + 2⁡ d 2 ) { }=\left^{2}\ ^{\ ph} ph} 입니다.

  • 2 \ d \ ^ { 는 타임라이크 곡선에 대해 양수입니다.이 "\ \ display 는 적절한 시간(테스트 파티클과 같은 월드 라인을 따라 이동하는 클럭에 의해 측정된 시간)입니다.
  • c는 빛의 속도입니다.
  • t는 r> s \ r > 의 경우 (로부터 무한히 떨어진 고정시계에 의해 계산됨) 시간 좌표입니다.
  • { r }은 r s { r > 의 경우 반경 좌표(질량체의 중심을 이루는 구체의 원주, 2µ로 나눈 값)입니다.
  • \ \ Omega}는 의 구 displaystyle S2}) 위의 점,
  • { \theta}는 z축을 임의로 선택한 후 { \ \Omega}(북쪽에서 온 각도, 라디안 단위)의 계수입니다.
  • \phi 는 선택한 z축 \Omega }의 경도입니다.
  • s})는 질량(\ M)에 r M (\}=})와 관련된 스케일 팩터인 질량 M(\displaystyle M슈바르츠실트 반경이다. G G 중력 상수입니다.[6]

슈바르츠실트 메트릭은 r r 특이점을 가지며, 이는 고유 곡률 특이점이다.또한 이벤트 r s {\ rs에도 특이점이 있는 것으로 보입니다. 따라서 메트릭은 영역 {\ >s에만 정의되며 r <\ r 또는 이들의 결합에 대해서만 정의됩니다.그러나 메트릭은 적절한 좌표에서 볼 수 있듯이 실제로 이벤트 지평선에서 단일이 아닙니다(아래 참조).r \ r 슈바르츠실트 메트릭은 민코프스키 공간의 표준 로렌츠 메트릭에 점근한다.거의 모든 천체물리학적 물체에 대해 r r r (\ { 은 매우 작습니다.예를 들어, 지구의 슈바르츠실트 r 약 8.9mm이며, 질량이 3.3×10배5[7] 태양은 약 인 슈바르츠실트 r 는 약 3이다.이 비율은 블랙홀중성자별과 같은 초밀도 물체에 근접할 때만 커집니다.

반지름 좌표는 "지오데식 시계와 관련하여 동시에 발생하는 두 사건 사이의 적절한 거리, 두 사건은 같은 반지름 좌표선에 놓여 있다"[8]는 점에서 물리적으로 중요한 것으로 밝혀졌다.

슈바르츠실트 해는 점 입자 주위의 중력장에 해당하는 고전 뉴턴 이론과 유사합니다.지구 표면에서도 뉴턴 중력에 대한 보정은 [9]10억분의 1에 불과하다.

역사

슈바르츠실트 해법은 1915년 정확한 해법을 찾아 아인슈타인의 일반상대성이론을 발표한 지 한 달이 조금 지난 [10]1916년 1월 발표한 칼 슈바르츠실트를 기리기 위해 붙여졌다.이것은 아인슈타인 장 방정식의 첫 번째 정확한 해이며, 단순한 평탄한 공간 해법을 제외한다.슈바르츠실트는 [11]제1차 세계대전 중 독일군 복무 중 발병한 질병으로 논문 발표 직후 사망했다.

1916년[12] 요하네스 드로스테는 Schwarzchild와 동일한 솔루션을 더 단순하고 직접적인 [13]파생물을 사용하여 독립적으로 생산했습니다.

일반상대성이론의 초기에는 슈바르츠실트와 아인슈타인방정식의 다른 해법에서 발견된 특이점의 본질에 대해 많은 혼란이 있었다.슈바르츠실트의 원본 논문에서 그는 현재 우리가 사건 지평선이라고 부르는 것을 그의 좌표계의 [14][self-published source?]원점에 두었다.이 논문에서 그는 또한 보조 변수로 현재 알려진 슈바르츠실트 반경 좌표( 방정식에서는 r)를 소개했다.그의 방정식에서 슈바르츠실트는 슈바르츠실트 반경에서 0인 다른 반경 좌표를 사용했다.

특이점 구조에 대한 보다 완벽한 분석은 다음 해에 David[15] Hilbert에 의해 제공되었으며, r = 0rs = r에서 특이점을 식별했다.r = 0에서 특이점이 '확실한' 물리적 특이점이라는 일반적인 합의가 있었지만, r = r에서s 특이점의 성격은 [16]여전히 불분명했다.

1921년 Paul Painlevé1922년 Allvar Gullstrand는 독립적으로 아인슈타인 방정식의 구대칭 해법인 메트릭을 작성했다. 이제 우리가 알고 있는 것은 슈바르츠실트 메트릭, 굴스트랑-파인레베 좌표의 좌표 변환이며, r = r에는s 특이점이 없었다.그러나 그들은 그들의 해법이 단지 좌표 변환이라는 것을 인식하지 못했고, 사실 아인슈타인의 이론이 틀렸다고 주장하기 위해 그들의 해법을 사용했다.1924년 아서 에딩턴은 r = r에서의s 특이점이 좌표 인공물이라는 것을 보여주는 최초의 좌표 변환(에딩턴-핀켈슈타인 좌표)을 작성했지만, 그는 또한 이 발견의 중요성을 알지 못한 것으로 보인다.이후 1932년, 조르주 르메트르는 같은 효과로 다른 좌표 변환(르메트르 좌표)을 주었고 이것이 r = r에서의s 특이점이 물리적이지 않다는 것을 암시한다는 것을 처음으로 인식했다.1939년 하워드 로버트슨은 슈바르츠실트 메트릭에서 하강하는 자유낙하 관측자가 좌표 시간 [16]t의 관점에서 무한한 시간이 걸리더라도 적절한 시간의 유한rs = r 특이점을 교차할 것이라는 것을 보여주었다.

1950년, John Synge는 슈바르츠실트 메트릭의 최대 분석 확장을 보여주는 논문을[17] 작성했으며, r = r에서의s 특이점이 좌표 아티팩트이며 두 개의 지평을 나타낸다는 것을 다시 보여주었다.비슷한 결과는 나중에 조지 슈케레스[18]마틴 크루스칼[19]의해 독립적으로 재발견되었다.오늘날 Kruskal-Szekeres 좌표라고 알려진 새로운 좌표는 Synge 좌표보다 훨씬 단순했지만, 둘 다 전체 시공간을 포괄하는 단일 좌표 집합을 제공했습니다.그러나, 아마도 르메트르와 싱게의 논문이 발표된 저널의 불명확함 때문에, 아인슈타인을 포함한 그 분야의 많은 주요 연구자들이 슈바르츠실트 반지름에서의 특이점이 [16]물리적이라고 믿으면서, 그들의 결론은 무시되었다.

로렌츠 다양체가 특이하다는 것이 무엇을 의미하는지 보다 정확하게 정의할 수 있도록 하면서, 미분 기하학의 더 정확한 도구들이 일반 상대성 이론의 영역에 진입한 1960년대에 실질적인 발전이 이루어졌다.이를 통해 슈바르츠실트 측정 기준에서 rs = r 특이점을 사건 지평선(한 [16]방향으로만 교차할 수 있는 시공간에서 초서면)으로 확정적으로 식별할 수 있었다.

특이점과 블랙홀

슈바르츠실트 해는 r = 0r = r에서s 특이점을 갖는 것으로 보인다. 일부 메트릭 구성 요소는 이러한 반지름에서 "확대"된다.슈바르츠실트 측정법은 중력체의 반지름 R보다 큰 반지름에만 유효할 것으로 예상되기 때문에 R > r이면s 문제가 없다.일반 별이나 행성은 항상 그렇다.예를 들어, 태양의 반경은 약 700,000km인 반면, 그것의 슈바르츠실트 반경은 겨우 3km이다.

r = r에서의s 특이성은 두 의 분리된 패치로 슈바르츠실트 좌표를 나눈다.r > rs 외부 슈바르츠실트 해는 별과 행성의 중력장과 관련된 해이다.r = 0에서 특이점을 포함하는 0 µ r < rs 내부 슈바르츠실트 용액은 r = r에서s 특이점에 의해 외부 패치와 완전히 분리된다.따라서 슈바르츠실트 좌표는 두 패치 사이에 물리적 연결을 제공하지 않으며, 이는 별도의 솔루션으로 간주될 수 있습니다.그러나 r = r에서의s 특이점은 환상이다. 이것은 좌표 특이점이라고 불리는 것의 예이다.이름에서 알 수 있듯이 특이점은 좌표 또는 좌표 조건의 선택이 잘못되었기 때문에 발생합니다.다른 좌표계(예: Lemaitre 좌표, Edington-Finkelstein 좌표, Kruskal-Szekeres 좌표, Novikov 좌표 또는 Gulstrand-Painlevé 좌표)로 변경하면 측정 기준은 r = r에서s 규칙적이며 외부 패치를 r보다 작은s 으로 확장할 수 있다.그런 다음 다른 좌표 변환을 사용하여 확장 외부 패치를 내부 [20]패치와 연결할 수 있습니다.

그러나 대/소문자 r = 0은 다릅니다.해답이 모든 r에 대해 유효하다고 묻는 경우, 원점에서 진정한 물리적 특이점 또는 중력 특이점에 부딪힙니다.이것이 진정한 특이점임을 알기 위해서는 좌표 선택과 무관한 수량을 살펴봐야 한다.그러한 중요한 양 중 하나는 크레치만 불변량인데, 이것은 다음과 같이 주어진다.

r = 0일 곡률은 무한대로 변하며 특이점이 있음을 나타냅니다.이 시점에서 측정지표는 매끄러운 방식으로 확장될 수 없다(크레치만 불변성은 측정지표의 2차 도함수를 포함한다). 그러면 시공간 자체가 더 이상 잘 정의되지 않는다.게다가, Sbierski는 측정 기준을 연속적으로 연장할 수 없다는 것을 보여주었다.오랫동안 그러한 해결책은 비물리적이라고 생각되었다.그러나 일반상대성이론에 대한 더 큰 이해는 그러한 특이점들이 단지 이국적인 특수한 경우가 아니라 이론의 일반적인 특징이라는 것을 깨닫게 했다.

모든 r > 0에 유효하다고 간주되는 슈바르츠실트 해를 슈바르츠실트 블랙홀이라고 합니다.아인슈타인 장 방정식의 완벽한 해법이지만, (다른 블랙홀과 마찬가지로) 다소 기괴한 성질을 가지고 있습니다.r < rs 대해 슈바르츠실트 반경 좌표 r은 시간적, 시간 좌표 t는 공간적 [22]상태가 된다.일정 r에서의 곡선은 더 이상 입자 또는 관찰자의 가능한 세계선이 아니며, 이는 시공간이 원인과 결과의 방향(입자의 미래 광원추)이 [citation needed]특이점을 가리키도록 너무 많이 구부러졌기 때문에 발생합니다.표면 r = rs 블랙홀의 사건 지평선이라고 불리는 것을 정의합니다.이것은 빛이 더 이상 중력장을 벗어날 수 없는 지점을 나타냅니다.반지름 R이 슈바르츠실트 반지름 이하가 되는 물리적인 물체는 중력붕괴를 거쳐 블랙홀이 된다.

대체 좌표

슈바르츠실트 해는 위에서 사용한 슈바르츠실트 좌표 외에 다양한 좌표 선택 범위로 표현될 수 있다.다양한 선택지에 따라 솔루션의 다양한 기능이 강조되는 경향이 있습니다.아래 표는 몇 가지 인기 있는 선택지를 보여줍니다.

대체 좌표[23]
좌표 선요소 메모들 특징들
에딩턴-핀켈슈타인 좌표
(ingoing
미래의 지평선에서 규칙적인
--과거의 지평선은 v=- 무한대에 있습니다.
에딩턴-핀켈슈타인 좌표
(표준)
과거 지평선에서의 규칙적인
수평선 너머로 뻗어 있습니다.
u = 무한대의 미래 수평선
굴스트랑-팡레베 좌표 (+ 미래/과거) 수평선에서의 규칙적인
등방 좌표 [24]
이벤트 지평선 밖에서만 유효: > / { R > _ { } / }
고정 시간 슬라이스의 등방성 광원뿔
크루스칼-셰케레스 좌표 정시 정시의
최대 시공간까지 확장 가능
레마트르 좌표 미래/과거의 지평선에서 규칙적인
조화 좌표

위의 표에서는 간략화를 위해 몇 가지 약어가 도입되었습니다.광속 c는 1로 설정되어 있습니다.표기법

단위 반지름 2차원 구의 메트릭에 사용됩니다.또한 각 에서 R R T T 특정 좌표에 대한 방사 좌표와 시간 좌표의 대체 선택을 나타냅니다. R T {\ T 엔트리마다 다를 수 있습니다.

크루스칼-제케레스 좌표는 벨린스키-자하로프 변환을 적용할 수 있는 형태를 가진다.이것은 슈바르츠실트 블랙홀이 중력 솔리톤의 한 형태라는 것을 암시한다.

플램 포물면

플램의 포물선 플롯.중력 유정의 개념과 혼동해서는 안 된다.

r > rs 대한 슈바르츠실트 솔루션의 공간 곡률은 그림과 같이 시각화할 수 있습니다.슈바르츠실트 해결책을 통해 일정한 시간 적도 한조각()θ.mw-parser-output .frac{white-space:nowrap}.mw-parser-output.frac.num,.mw-parser-output.frac .den{:80%;line-height:0;vertical-align:슈퍼 font-size}.mw-parser-output.frac .den{vertical-align:서브}.mw-parser-output .sr-only{생각해 보자.국경:0;클립:rect(0,0,0,0), 높이:1px, 마진:-1px, 오버 플로: 숨어 있었다. 패딩:0;위치:절대, 너비:1px}π⁄2, t)상수)과 남은 슈바르츠실트 좌표(r, φ)이 비행기에 입자 이동의 위치 설명하자.이제 물리적 실체가 없는 추가적인 유클리드 차원 w가 있다고 상상해 보세요(이것은 시공간이 아닙니다.그리고 (r, θ) 평면을 (Flamm의 포물면)에 따라 w 방향으로 움푹 패인 표면으로 바꿉니다.

이 표면은 그 안에서 측정된 거리가 슈바르츠실트 메트릭의 거리와 일치한다는 특성을 가지고 있다. 왜냐하면 위의 w의 정의에 따르면,

따라서 Flamm의 포물선은 Schwarzschild 메트릭의 공간 곡률을 시각화하는 데 유용합니다.그러나 중력 유정과 혼동해서는 안 된다.포물면상의 모든 거리가 우주와 같기 때문에 보통의 (질량이 없거나 질량이 없는) 입자는 포물면 위에 있는 세계선을 가질 수 없습니다.타키온은 완전히 하나의 포물선 위에 있는 우주와 같은 세계선을 가질 수 있다.하지만, 그 경우에 측지학적 경로가 중력 유정의 "고무 시트"를 통해 통과하는 궤적이 아닐지라도, 특히 보조개가 아래가 아닌 위쪽으로 그려지면, 타키온의 측지학적 경로는 여전히 멀어지는 것이 아니라 중심 질량을 향해 구부러집니다.자세한 내용은 중력 우물 문서를 참조하십시오.

Flamm의 포물체는 다음과 같이 도출할 수 있다.원통 좌표의 유클리드 미터법(r, θ, w)은 다음과 같다.

표면이 함수 w = w(r)로 설명되도록 놔두면, 유클리드 메트릭은 다음과 같이 쓸 수 있다.

슈바르츠실트 메트릭을 가진 적도 면에 이 비교().mw-parser-output .sfrac{white-space:nowrap}.mw-parser-output.sfrac.tion,.mw-parser-output.sfrac .tion{디스플레이:inline-block, vertical-align:-0.5em, font-size:85%;text-align:센터}.mw-parser-output.sfrac .num,.mw-parser-output.sfrac .den{θ.디스플레이:블록, line-height:1em, 마진:00.1em}.mw-parser-output.sfrac .den{border-top:1px 고체}.mw-parser-output .sr-only{국경:0;클립:rect(0,0,0,0), 높이:1px, 마진:-1px, 오버 플로: 숨어 있었다. 패딩:0;위치:절대, 너비:1px}π/2)정시에(t=상수, dt)0).

w(r)에 대한 적분식을 생성합니다.

그 용액이 플램의 포물선이에요

궤도 운동

뉴턴(왼쪽)과 슈바르츠실트(오른쪽) 시공간에서의 테스트 입자의 궤도 비교.오른쪽의 압시달 세차운동에 주목한다.

슈바르츠실트 미터법으로 공전하는 입자는 r > 3rs 안정적인 원형 궤도를 가질 수 있다.r이s 1.5r에서 3rs 사이원형 궤도는 불안정하며, r < 1.5rs 원형 궤도는 존재하지 않는다.최소 반지름 1.5rs 원형 궤도는 빛의 속도에 근접하는 궤도 속도에 해당합니다.입자가 r에서 1.5rs 사이의 일정s 을 갖는 것은 가능하지만, 어떤 힘이 작용하여 그 값을 유지하는 경우에만 가능합니다.

수성과 같은 비원형 궤도는 뉴턴 중력에서 예상했던 것보다 작은 반지름에서 더 오래 머문다.이것은 입자가 사건의 지평선을 통과하여 그 안에 영원히 머무르는 더 극적인 경우에 대한 덜 극단적인 버전으로 볼 수 있다.수성의 경우와 사건의 지평선을 넘어 떨어지는 물체의 경우 사이의 중간에는 칼끝 궤도 같은 이국적인 가능성이 있는데, 이 경우 위성은 임의로 많은 수의 거의 원형 궤도를 실행한 후 다시 바깥쪽으로 날아갈 수 있다.

대칭

슈바르츠실트 측량의 등각성군은 시간축(별의 궤적)을 스스로 갖는 10차원 푸앵카레 그룹의 부분군이다.공간 변환(3차원)을 생략하고, 부스트(3차원)를 실시합니다.시간 변환(1차원)과 회전(3차원)을 유지합니다.그래서 4차원이 있습니다.Poincaré 그룹과 같이, 그것은 4개의 연결된 구성 요소를 가지고 있습니다: 동일성의 구성 요소, 시간 반전 구성 요소, 공간 반전 구성 요소, 그리고 시간 반전 및 공간 반전 구성 요소.

곡선

Ricci 곡률 스칼라와 Ricci 곡률 텐서는 모두 0입니다.리만 곡률 텐서의[25] 0이 아닌 성분은 다음과 같다.

리만 텐서의 대칭으로 얻을 수 있는 성분은 표시되지 않습니다.

이러한 양의 물리적 의미를 이해하려면 곡률 텐서를 직교 기준으로 표현하는 것이 유용합니다.관측자의 직교 정규 기반에서 기하학 단위[25] 0이 아닌 성분은 다음과 같다.

다시, 리만 텐서의 대칭에 의해 얻을 수 있는 성분은 표시되지 않습니다.이러한 결과는 로렌츠 부스트에 불변하므로 비정적 관찰자의 경우 성분이 변경되지 않습니다.측지선 편차 방정식은 j {\ 구분된 두 관측자 사이의 조석 가 D ^ / 2 - ^ t^ t ^ ^ k ^ {2} \xi ^ {\ ^{\hat { } = {\d} = {\hat j} ^ {\d} = {\t = {\hat} = {\hat}. {k이므로 L({ L 본체는 외관가속도s / 3) 2 의해 반경방향으로 늘어나며 ^{2}L}는 /r}의 수직방향으로 압축됩니다.

「 」를 참조해 주세요.

메모들

  1. ^ McGruder III, Charles H.; VanDerMeer, B. Wieb (2018-01-21). "The 1916 PhD Thesis of Johannes Droste and the Discovery of Gravitational Repulsion". arXiv:1801.07592 [physics.hist-ph].
  2. ^ Luminet, J. -P. (1979-05-01). "Image of a spherical black hole with thin accretion disk". Astronomy and Astrophysics. 75: 228–235. ISSN 0004-6361.
  3. ^ Bozza, V. (2002-11-22). "Gravitational lensing in the strong field limit". Physical Review D. 66 (10): 103001. doi:10.1103/PhysRevD.66.103001.
  4. ^ Sneppen, Albert (2021-07-09). "Divergent reflections around the photon sphere of a black hole". Scientific Reports. 11 (1): 14247. doi:10.1038/s41598-021-93595-w. ISSN 2045-2322.
  5. ^ Frolov, Valeri; Zelnikov, Andrei (2011). Introduction to Black Hole Physics. Oxford. p. 168. ISBN 978-0-19-969229-3.
  6. ^ (Landau & Lifthitz 1975) 오류::
  7. ^ Tennent, R.M., ed. (1971). Science Data Book. Oliver & Boyd. ISBN 0-05-002487-6.
  8. ^ Gautreau, R., & Hoffmann, B. (1978)적절한 거리의 측정값으로서의 슈바르츠실트 반경 좌표.Physical Review D, 17(10), 2552.
  9. ^ Ehlers, Jürgen (January 1997). "Examples of Newtonian limits of relativistic spacetimes" (PDF). Classical and Quantum Gravity. 14 (1A): A119–A126. Bibcode:1997CQGra..14A.119E. doi:10.1088/0264-9381/14/1A/010. hdl:11858/00-001M-0000-0013-5AC5-F.
  10. ^ 슈바르츠실트, K.(1916년)."Über 다쓰 Gravitationsfeld Massenpunktes nach der Einsteinschen Theorie eines".Sitzungsberichte Königlich Preussischen Akademie하는 Wissenschaften하는.7:189–196.Bibcode:1916AbhKP...189S.번역을 들어, Antoci, S.;Loinger, A(1999년)를 참조하십시오."는 질점의 중력장에 아인슈타인의 이론에 따르면". arXiv:physics/9905030.
  11. ^ O'Connor, John J.; Robertson, Edmund F., "Karl Schwarzschild", MacTutor History of Mathematics archive, University of St Andrews
  12. ^ Droste, J. (1917). "The field of a single centre in Einstein's theory of gravitation, and the motion of a particle in that field" (PDF). Proceedings of the Royal Netherlands Academy of Arts and Science. 19 (1): 197–215. Bibcode:1917KNAB...19..197D.
  13. ^ Kox, A. J. (1992). "General Relativity in the Netherlands:1915-1920". In Eisenstaedt, J.; Kox, A. J. (eds.). Studies in the History of General Relativity. Birkhäuser. p. 41. ISBN 978-0-8176-3479-7.
  14. ^ Brown, K. (2011). Reflections On Relativity. Lulu.com. Chapter 8.7. ISBN 978-1-257-03302-7.[자체 확인 소스]
  15. ^ Hilbert, David (1924). "Die Grundlagen der Physik". Mathematische Annalen. Springer-Verlag. 92 (1–2): 1–32. doi:10.1007/BF01448427. S2CID 179177367.
  16. ^ a b c d Earman, J. (1999). "The Penrose–Hawking singularity theorems: History and Implications". In Goenner, H. (ed.). The expanding worlds of general relativity. Birkhäuser. p. 236-. ISBN 978-0-8176-4060-6.
  17. ^ Synge, J. L. (1950). "The gravitational field of a particle". Proceedings of the Royal Irish Academy. 53 (6): 83–114. doi:10.1038/164148b0. PMID 18210531. S2CID 4108538.
  18. ^ Szekeres, G. (1960). "On the singularities of a Riemannian manifold". Publicationes Mathematicae Debrecen. 7: 285. Bibcode:2002GReGr..34.2001S. doi:10.1023/A:1020744914721. S2CID 118200205.
  19. ^ Kruskal, M. D. (1960). "Maximal extension of Schwarzschild metric". Physical Review. 119 (5): 1743–1745. Bibcode:1960PhRv..119.1743K. doi:10.1103/PhysRev.119.1743.
  20. ^ Hughston, L. P.; Tod, K. P. (1990). An introduction to general relativity. Cambridge University Press. Chapter 19. ISBN 978-0-521-33943-8.
  21. ^ Sbierski, Jan (2015). "The C0-inextendibility of the Schwarzschild spacetime and the spacelike diameter in Lorentzian Geometry". arXiv:1507.00601 [gr-qc].
  22. ^ Time: A Traveler's Guide. Oxford University Press, Incorporated. 1999. ISBN 9780199929924. If you look at black holes, the metric inside the event horizon reverses spacelike and timelike coordinates. The radius starts to act timelike, and time starts to act spacelike.
  23. ^ Ni, Wei-Tou, ed. (26 May 2017). One Hundred Years of General Relativity: From Genesis and Empirical Foundations to Gravitational Waves, Cosmology and Quantum Gravity. Vol. 1. World Scientific. p. I-126. ISBN 9789814635141.
  24. ^ Eddington, A. S. (1924). The Mathematical Theory of Relativity (2nd ed.). Cambridge University Press. p. 93.
  25. ^ a b Misner, Charles W., Thorne, Kip S., Wheeler, John Archibald, "Gravitation", W.H. Freeman and Company, 뉴욕, ISBN 0-7167-0334-3

레퍼런스