트리플 시스템

대수학에서 트리플 시스템(또는 테르나르)은 F-트릴린 지도와 함께 필드 F 위에 있는 벡터 공간 V이다.

$#\displaystyle (\cdot ,\cdot )\colon V\time V\time V\to.}$

가장 중요한 예는 리 트리플 시스템과 요르단 트리플 시스템이다.그것들은 1949년 Nathan Jacobson에 의해 도입되어 트리플 커뮤터[u, v]와 트리플 안티코뮤터 {u, {v, w}에 의해 폐쇄된 연상 알제브라의 하위 영역을 연구하기 위해 도입되었다.특히 어떤 리 대수학도 리 트리플 시스템을 정의하고, 어떤 요르단 대수학도 요르단 트리플 시스템을 정의한다.그것들은 대칭 공간의 이론, 특히 은둔자의 대칭 공간과 그 일반화(대칭 R-공간과 그 비-대칭 이중)에서 중요하다.

리 트리플 시스템

트리플 $시스템$은$$[$$ ,${\displaystyle \cdot }$ ,$$⋅ ,$$ ]$$로 표시된 3행 지도가 다음과 같은 정체성을 만족하면 리 $트리플 시스템이라$고 한다.

${\displaystyle [u,v,w]=-[v,u,w]}$

${\displaystyle [u,v,w]+[w,u,v]+[v,w,u]=0}$

${\displaystyle [u,v,[w,x,y]=[u,v,w],x,y]+[u,v,x]+[u,v,y]].}$

처음 두 개의 정체성은 3중 정류자에 대한 꼬치 대칭과 자코비 정체성을 추상화하며, 세 번째 정체성은_u,v L(w) = [u, v, w]로 정의된 선형 지도 L_u,v: V → V가 3중 제품의 파생이라는 것을 의미한다.또한 공간 k = span {L_u,v : u, v v V}이(가) 정류자 브래킷에서 닫히므로 Lie 대수라는 것을 알 수 있다.

V를 대신하여 m을 쓰는 것은 다음과 같다.

${\displaystyle {\mathfak{g}:=k\oplus {\mathfak{m}}$

Bracket과 함께 m의 표준 내장형인 $Z{\displaystyle {\mathbb{}}_{}}$ ${\displaystyle {\mathrm{}}_{}}$ ${\$ -graded$$ Lie 대수학으로 만들 수 있다.

$[\displaystyle [(L,u), (M,v)]=([L,M]+L_{u,v},L(v)-M(u)].}$

g의 분해는 분명히 이 Lie 괄호에서 대칭 분해로서, 따라서 G가 Lie 대수 g와 연결된 Lie 그룹이고 K가 Lie 대수 k와 함께 있는 부분군이라면 G/K는 대칭 공간이다.

반대로, 그러한 대칭 분해(즉 대칭 공간의 Lie 대수)를 가진 Lie 대수 g를 주어, 3중괄호[u, v, w]는 m을 Lie 3중계로 만든다.

요르단 트리플 시스템

트리플 시스템은 {,.}을(를) 나타내는 3행 지도가 다음과 같은 정체성을 만족하면 요르단 3행 시스템이라고 한다.

${\displaystyle \{u,v,w\}=\{u,w,v\}}}}$

${\displaystyle \{u,v,\{w,x,y\}\}=\{w,x,\{u,v,y\}\}\{u,v,x\}\}\{v,u,w\},y\}-\{v,u,w\},x,y\}.}$

첫 번째 정체성은 삼중 안티코무터의 대칭을 추상화하는 반면, 두 번째 정체성은 L_u,v(y) = {u, v, y}에 의해 L_u,v:V→V가 정의되면 그 다음이 된다는 것을 의미한다.

${\displaystyle [L_{u,v},L_{w,x}]:=L_{u,v}\circle L_{w,x}-L_{w,x}\circle L_{u,v}=L_{w,v,x\}}}}\{u,v,x\}}-L_{v,u,w\}}}}}}$

선형 맵의 공간이 {L_u,v:u,v ∈ V}에 걸쳐 정류자 브래킷 아래에서 닫히므로 Lie 대수 g이다₀.

제품과 관련하여 Jordan 3중 시스템은 Lie 3중 시스템이다.

${\displaystyle [u,v,w]=\{u,v,w\}-\{v,u,w\}.}$

요르단 트리플 시스템은 L의_u,v 추적에 의해 정의된 V의 이선형 형태가 양정형(비정형)이면 양정확정형(비정형)이라고 한다.어느 경우든, 이중 공간을 가진 V의 식별이 있고, g에₀ 상응하는 비자발성이 있다.그들은 의 비자발성을 유도한다.

${\displaystyle V\oplus {\mathfrak {g}_{0}\oplus V^{*}}}$

확실한 확실한 경우에는 카르탄의 비자발이다.해당 대칭 공간은 대칭 R-공간이다.복합 재료로 Cartan 비자발성을 g의₀ +1과 V와 V의^* -1과 같은 비자발성으로 대체함으로써 주어지는 비 컴팩트 듀얼을 가지고 있다.이 시공의 특별한 경우는 g가₀ V에 복잡한 구조물을 보존할 때 발생한다.이 경우 소형 및 비 컴팩트 유형의 이중 에르미트 대칭 공간(후자는 대칭 영역으로 경계됨)을 얻는다.

요르단 쌍

요르단 쌍은 두 개의 벡터 공간 V와₊ V를₋ 포함하는 요르단 트리플 시스템의 일반화다.그런 다음 3행 지도는 한 쌍의 3행 지도로 대체된다.

${\displaystyle \{\cdot ,\cdot ,\cdot \}{+}}\colon V_{-}\time S^{2}V_{+}\}\to{{+}}}}}}{+}}}}}}}: {\cdot \}}$

${\displaystyle \{\cdot ,\cdot ,\cdot \}_{-}\colon V_{+}\time S^{2}V_{-}\}\to V_{-}}}}}}$

흔히 2차 지도 V₊ → Hom(V₋, V₊) 및 V₋ → Hom(V₊₋, V)으로 보는 것.다른 요르단 공리(대칭과는 별개로)도 마찬가지로 두 개의 공리로 대체되는데, 하나는 다음과 같다.

${\displaystyle \{u,v,\{w,x,y\}_{+}\}_{+}=\{w,x,\{u,v,y\}_{+}\}_{+}+\{w,\{u,v,x\}_{+},y\}_{+}-\{\{v,u,w\}_{-},x,y\}_{+}}$

다른 하나는 + 첨자와 - 첨자가 교환된 아날로그 입니다.

요르단 트리플 시스템의 경우처럼 V에서는₋ u를, V에서는₊ u를 선형 지도로 정의할 수 있다.

${\displaystyle L_{u,v}^{+}:V_{+}\to V_{+}\quad {\text{by}}\quad L_{u,v}^{+}=\{u,v}}^{+}=\{u,v,y\}_{+}}}}}}}}$

그리고⁻ 비슷하게 L.조던 공리(대칭과는 별개로)를 작성할 수 있다.

${\displaystyle [L_{u,v}^{\pm }}^{w,x}^{\pm }}=L_{w,\{u,v,x\}_{\pm }}^{\pm }-{\pm }{{v,u,w\}}{\mp }^{\pmp}}}}}}}}}{{u,v,v,v,x,x\}^{\pmpm}}}}}}}}}}}$

이는 L과⁺ L의⁻ 영상이 End(V₊)와 End(V₋)의 정류자 괄호 아래 닫힌다는 것을 의미한다.그들은 함께 선형 지도를 결정한다.

${\displaystyle V_{+}\otimes V_{-}\to {\mathfrak {gl}(V_{+})\plus {\mathfrak {gl}(V_{-})}$

누구의 이미지는 Lie subalgebra $g{\displaystyle {\mathfrak{}}_{}}$ ${\displaystyle 0_{\mathrm{}}}$ ${\$이며, 조던의 정체성은 Lie bracket on의 등급이 매겨진 Lie bracket을 위한 Jacobi 정체성이 된다.

${\displaystyle V_{+}\oplus {\mathfrak {g}}{0}\oplus V_{-}}$

반대로 만약

${\displaystyle {\mathfrak{g}={\mathfrak{g}}}\mathfrak {g}\mathfrak {g}\mathfrak {g}{-1}}}$

등급이 매겨진 Lie 대수학이고, 그 다음 쌍$({\displaystyle {\mathfrak{}}_{}}$+ ${\displaystyle 1_{}}$,${\displaystyle {}_{}{\mathfrak{}}_{}}$- ${\displaystyle 1_{}}$) ${\displaystyle({\mathfrak {g}_{+1},{\mathfrak {g}_{-1})$은 요르단 쌍이며, 대괄호가 있다.

${\displaystyle \{X_{\mp }},Y_{\pm }\}\{\pm }\}\}\pm }:=[X_{\mp }},Y_{\pm },Z_{\pm }].}$

요르단 트리플 시스템은 V₊ = V₋ 및 동일한 삼선 지도가 있는 요르단 쌍이다.또 다른 중요한 경우는 V와₊ V가₋ 서로 이중일 때 발생하는데, 이중삼중선 지도가 다음 요소에 의해 결정된다.

${\displaystyle \mathrm {End}(S^{2}V_{+})\cong S^{2}V_{+}^{***}\otimes S^{2}V_{-}^{*}}}\congmathrm {End}(S^{2}V_{-})}).}$

이러한 현상은$$ $특히{\displaystyle \mathfrak{}}$ 위의$$g {\$displaystyle${\$mathfak{g}}$이(가) semisimple일 때 발생하며, 킬링 폼이 ${\displaystyle {\mathrm{g}}_{}}$+ 1 ${\$와 $g{\displaystyle {\mathfrak{}}_{}}$- ${\displaystyle 1_{}}$ ${\displaystystyle$ {$g}_{-1}$ 사이에 이중성을 제공할 때 발생한다$.$

참고 항목

• 어소시에이터
• 2차 요르단 대수

참조

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