혼성 기하학

수학에서, 쌍생 기하학은 두 개의 대수적 품종이 저차원 하위 집합 밖에 있는 이형성인 때를 결정하는 것을 목표로 하는 대수 기하학의 분야다. 이것은 다항식이 아닌 합리적인 기능에 의해 주어지는 매핑을 연구하는 것과 같다; 이성적인 기능에 극이 있는 곳에서는 지도를 정의하지 못할 수 있다.

혼혈 지도

이성적 지도

A rational map from one variety (understood to be irreducible) ${\displaystyle X}$ to another variety ${\displaystyle Y}$, written as a dashed arrow X⇢Y, is defined as a morphism from a nonempty open subset ${\displaystyle U\subset X}$ to ${\displaystyle Y}$. By definition of the Zariski topology used in algebraic 지오메트리, 비어 있지 않은 열린 $부분{\displaystyle }$ 집합$$U {\$displaystyle U}$은(는) $항상{\displaystyle }$X {\$displaystyle X$에 밀도 있고$$, 사실 낮은 차원 부분 집합의 보완이다. 구체적으로는 합리적인 기능을 이용하여 좌표로 합리적 지도를 작성할 수 있다.

혼혈 지도

X에서 Y까지의 쌍생지도는 f와 역행하는 이성적 지도 Y가 있는 이성적 지도 f: X is Y이다. 혼성 지도는 X의 비어 있지 않은 열린 부분 집합에서 비어 있지 않은 부분 집합 Y로 이형성을 유도한다. 이 경우 X와 Y는 혼혈, 즉 비합리적 등가라고 한다. 대수학적으로, 필드 k에 대한 두 가지 품종은 기능장이 k의 확장장처럼 이형인 경우에만 분생이다.

특별한 경우는 혼성 형태론 f: X → Y로, 혼성 형태론을 의미한다. 즉 f는 어디에서나 정의되지만 그 역은 아닐 수도 있다. 전형적으로, 이것은 쌍생 형태론이 X의 일부 하위 분포를 Y의 점으로 수축시키기 때문에 발생한다.

혼성 등가성 및 합리성

버라이어티 X는 어떤 차원의 공간을 결합하는 것(또는 동등하게 투영적인 공간에 결합하는 것)이 비합리적이라면 합리적이라고 한다. 합리성은 매우 자연적인 특성이다. 즉, X에서 일부 저차원 부분집합은 부속공간에서 일부 저차원 부분집합을 뺀 것으로 식별할 수 있다는 것을 의미한다.

평면 원뿔의 혼성 등가성

예를 들어 아핀 평면에$$ 방정식 $x{\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {2\mathrm{}}^{}}$+ ${\displaystyle {y\mathrm{}}^{}}$ ${\displaystyle 2{}^{}}$- 1${\displaystyle }$= 0 ${\displaystyle x^{2}+y^{2$}+{2}-1$=0}$이($가{\displaystyle {\mathbb{}}^{}}$) 있는 원$X{\displaystyle }$${\$X가 주어지는 합리적 곡선이다.

${\displaystyle f(t)=\lefts\frac {2t}{1+t^{2}},{\frac {1-t^{2}}:{1+t^{2}}}}\오른쪽),}$

합리적인 역 g: X ⇢ $A{\displaystyle {\mathbb{}}^{}}$ ${\displaystyle {\mathrm{}}^{}}$ ${\$^1}이$($가) 제공됨$$

${\displaystyle g(x,y)={\frac {1-y}{x}}.}$

지도 f를 이성적인 숫자로 적용하면 피타고라스 삼쌍의 체계적인 구도를 얻을 수 있다.

The rational map ${\displaystyle f}$ is not defined on the locus where ${\displaystyle 1+t^{2}=0}$. So, on the complex affine line ${\displaystyle \mathbb {A} _{\mathbb {C} }^{1}}$, ${\displaystyle f}$ is a morphism on the open subset ${\displaystyle$${\displaystyle U}$$=\mathb {A} _{\mathb {C}^{1}-\{i,-i$ $f{\displaystyle }$: U${\displaystyle }$→ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle f:$$U\to X$ 마찬가지로 합리적 지도 g: X ⇢ ${\displaystyle {\mathrm{}}^{}}$ $1{\displaystyle {\mathbb{}}^{}}$ ${\$^$1}$은(는) $X{\displaystyle }$ ${\displaystyle X}$의 점$({\displaystyle }$0${\displaystyle ,}$- ${\displaystyle 1}$)$${\$displaystyle(0,-1)$에서 정의되지 않는다$$$.$

매끄러운 사분면과 P의ⁿ 균등성

보다 일반적으로, 어떤 차원 n의 매끄러운 4중면 X는 입체 투영에 의해 합리적이다. (X의 경우, 필드 k에 걸친 4중면의 경우, X는 k-합리점을 갖는 것으로 가정해야 한다. 이는 k가 대수적으로 닫힌 경우 자동이다.) 입체 투영을 정의하려면 p를 X의 점으로 두십시오. 그런 다음 ${\displaystyle {}^{}}$에서 투영 공간 $P{\displaystyle {\mathbb{}}^{}}$ ${\$^{$n}$까지 X의 점 Q를 p와 q를 통과하는 선에 전송함으로써 주어진다. 이는 q = p(그리고 X에 포함된 p를 통과하는 선에서 역지도를 정의하지 못함)에서 정의되지 못하기 때문에 다양성의 이소모르퍼시즘은 아니다.

사분면 혼성 등가성

Segre 임베딩은 내장 $P{\displaystyle {\mathbb{}}^{}}$ ${\displaystyle {\mathrm{}}^{}}$ ${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {\mathrm{}}^{}}$ ${\displaystyle {}^{}}$→ ${\displaystyle {\mathrm{}}^{}}$ ${\displaystyle {\mathbb{}}^{}}$ ${\$}\$1}\to \mathb {P}$^3$}$에 의해 부여된다.

${\displaystyle ([x,y],[z,w]])\mapsto[xz,xw,yz,yw].}$

The image is the quadric surface ${\displaystyle x_{0}x_{3}=x_{1}x_{2}}$ in ${\displaystyle \mathbb {P} ^{3}}$. That gives another proof that this quadric surface is rational, since ${\displaystyle \mathbb {P} ^{1}\times \mathbb {P} ^{1}}$ is obviously rational, hav열린 부분 집합 이형성을 $A{\displaystyle {\mathbb{}}^{}}$ ${\displaystyle {\mathrm{}}^{}}$ ${\$$^{2}}.$

최소 모델 및 특이점 분해능

모든 대수적 다양성은 투영적 다양성(초이원의 보조정리)에 비합리적이다. 그래서, 쌍생 분류의 목적상, 투영적인 품종만으로 작업하기에 충분하며, 이것은 보통 가장 편리한 환경이다.

훨씬 더 깊은 것은 특이점 해결에 관한 히로나카 씨의 1964년 정리인데, 특징 0(복잡한 숫자와 같은)의 분야에 걸쳐서, 모든 다양성은 매끄러운 투영적 다양성에 대해 비합리적이다. 그 점을 감안할 때, 원활한 투영 품종을 쌍생 동등성까지 분류하기에 충분하다.

차원 1에서 두 개의 매끄러운 투영 곡선이 분생형인 경우 이형성이다. 그러나 그것은 폭파 공사 때문에 적어도 2차원에서는 실패한다. 폭발함으로써 적어도 2 이상의 부드러운 투영적 차원의 모든 다양성은 예를 들어 베티 수가 더 큰 무한히 많은 "더 큰" 품종들에 대한 결합이 된다.

이것은 최소 모델에 대한 아이디어로 이어진다: 각 생물학적 동등성 등급에 고유한 가장 단순한 다양성이 있는가? 현대적 정의는 X의 모든 곡선에서 표준선다발_X K가 음이 아닌 정도를 갖는 경우 투영적 다양성 X가 최소라는 것이다. 즉, K는_X nef이다. 부풀려진 품종이 결코 미미하지 않다는 것을 쉽게 확인할 수 있다.

이 개념은 대수적 표면(차원 2의 변이)에 완벽하게 작용한다. 현대적인 관점에서, 표면 분류의 일부인 1890–1910년의 ${\displaystyle \mathrm{이탈리아}}$ 대수 기하학의 한 가지 중심 결과는 모든 표면 X가 제품 P ${\displaystyle {\mathrm{}}^{}}$ ${\displaystyle {}^{}}$ C$[\displaystyle \mathb {P} ^{1}\times C}$의 일부 곡선 C 또는 최소 표면 Y에 대한$$ 결합이다.^[1] 두 사건은 상호 배타적이며, Y는 존재한다면 독특하다. Y가 존재할 때는 X의 최소모델이라고 한다.

쌍생불변제

처음에는 합리적이지 못한 대수적 품종이 있다는 것을 어떻게 보여줘야 할지 명확하지 않다. 이를 증명하기 위해서는 대수학 변종들의 일부 분생 불변성이 필요하다. 쌍생 불변제는 모든 종류의 수, 고리 등을 말하며, 모든 품종과 동일하거나 이형성이 있다.

플루리게네라

한 가지 유용한 쌍생 불변제 집합은 플뤼리게네라이다. 치수 n의 매끄러운 품종 X의 표준 번들은 n-폼 K_X = Ω의ⁿ 라인 번들을 의미하며, 이는 X의 등각 번들의 n번째 외부 전력이다. 정수 d의 경우 K의_X d번째 텐서 파워는 다시 선다발이 된다. d ≥ 0의 경우, 지구영역 H⁰(X_X^d, K)의 벡터 공간은 부드러운 투영 품종 사이의 혼성 지도 f: X ⇢ Y가 이형성 H⁰(X_X^d, K) ≅ H⁰(Y, K_Y^d)를 유도한다는 놀라운 특성을 가지고 있다.^[2]

d ≥ 0의 경우 dth plurigenus P를_d 벡터 공간⁰ H(X, K_X^d)의 치수로 정의하고, 그 다음, plurigenera는 부드러운 투영 품종을 위한 생식 불변성 물질이다. 특히 d > 0을 가진 Plurigenus P가_d 0이 아니라면 X는 합리적이지 않다.

고다이라 치수

근본적인 생식불변제는 고다이라 차원으로, d가 무한대로 가면서 P의 성장을_d 측정하는 것이다. 고다이라 치수는 모든 종류의 치수 n을 n + 2로 나누는데, 고다이라 치수 -∞, 0, 1, ... 또는 n이 있다. 이것은 고다이라 치수 - ∞을 가진 투사적인 공간에 대한 다양성의 복잡성을 측정하는 척도다. 가장 복잡한 품종은 일반형 품종이라고 불리는 그들의 치수 n과 같은 고다이라 치수를 가진 품종이다.

Ω^{1 k}및 일부 호지 숫자의 합계

보다 일반적으로, 모든 자연적인 총합에 대해

${\displaystyle E(\Oomega ^{1}=\bigotimes ^{k}\Oomega ^{1}}$

r ≥ 0의 등각 번들 Ω의¹ r-th 텐서 출력 중, 전역 섹션 H⁰(X, E(Ω¹))의 벡터 공간은 부드러운 투영 품종을 위한 쌍생 불변성 물질이다. 특히 호지수들은

${\displaystyle h^{p,0}=H^{0}(X,\Oomega ^{p}})}$

X의 생식 불변성이다(대부분의 다른 Hodge number h는^p,q 폭발로 보여지는 것과 같이 생식 불변성이 아니다).

매끄러운 투영 품종의 기본군

기본 그룹 π₁(X)은 매끄러운 복잡한 투영 품종을 위한 생식 불변성 물질이다.

아브라모비치, 카루, 마츠키, 브와다르치크(2002)에 의해 증명된 「약한 요소화 정리」에 의하면, 두 가지 매끄러운 복잡한 투영품종 사이의 어떤 쌍생지도는, 매끄러운 하위분리의 미세하게 많은 블로업이나 블로다운으로 분해될 수 있다고 한다. 이것은 알아야 할 중요한 것이지만, 두 개의 부드러운 투영 품종이 혼혈인지 아닌지를 결정하는 것은 여전히 매우 어려울 수 있다.

더 높은 차원의 최소 모델

투영 버라이어티 X는 표준 번들 K가_X nef이면 미니멀이라고 한다. 차원 2의 X에 대해서는 이 정의에서 매끄러운 품종을 고려해도 충분하다. 최소 3차원에서 최소 품종은 K가_X 여전히 얌전한 특정한 가벼운 특이점을 가질 수 있도록 허용되어야 한다. 이를 말단 특이점이라고 한다.

말하자면, 최소 모델 추측이란 모든 품종 X가 합리적인 곡선이나 최소 품종 Y에 대한 혼혈에 의해 가려진다는 것을 암시할 수 있다. 그것이 존재할 때, Y는 X의 최소 모델이라고 불린다.

최소 모델은 최소 3개 이상의 차원이 고유하지 않지만, 최소 2개 차종은 매우 유사하다. 예를 들어, 그것들은 적어도 2개의 코디네이션의 하위 집합 밖에 있는 이형성이고, 더 정확히 말하면 그것들은 일련의 플롭들에 의해 연관되어 있다. 그래서 최소한의 모델 추측이 대수적 변종들의 혼성 분류에 대한 강력한 정보를 줄 것이다.

그 추측은 모리에 의해 차원 3에서 증명되었다.^[3] 일반적인 문제는 아직 해결되지 않았지만, 더 높은 차원에서는 큰 진전이 있었다. 특히 비르카르, 카스비니, 하콘, 맥커넌(2010년)^[4]은 특징 0의 분야를 넘어서는 모든 종류의 일반형이 최소한의 모델을 가지고 있다는 것을 증명했다.

개량되지 않은 품종

품종은 이성적인 곡선으로 덮여 있으면 무교체라고 한다. 변형되지 않은 품종은 최소한의 모델을 가지지 않지만, 훌륭한 대체품이 있다. 비르카르, 카스미니, 하콘, 그리고 맥커넌은 특징 0의 들판 위에 있는 모든 변형되지 않은 다양성이 파노 섬유 공간과 결합한다는 것을 보여주었다.^[a] 이는 파노 섬유 공간과 (가장 흥미로운 특수 사례로서) 파노 품종의 혼성 분류 문제로 이어진다. 정의상 항암다발 K ${\displaystyle X_{}^{}}$variety {\디스플레이스타일 ${X}^{*}}}}}$이 넉넉하면$$ 투영 버라이어티 X는 Fano이다. 파노 품종은 투영 공간과 가장 유사한 대수적 품종으로 간주될 수 있다.

차원 2에서, 대수적으로 닫힌 필드를 지나는 모든 파노 품종(Del Pezzo surface로 알려져 있다)은 합리적이다. 1970년대의 주요 발견은 차원 3에서 시작하여 이성적이지 않은 파노 품종이 많다는 것이었다. 특히 평활 큐빅 3배는 클레멘스-그리피스(1972)가, 평활 4배는 이스코프스키크-마닌(1971)이 합리적이지 않다. 그럼에도 불구하고 어떤 파노 품종이 이성적인지 정확히 판단하는 문제는 결코 해결되지 않는다. 예를 들어 pn +${\displaystyle 1^{}}$ ${\$^{$n+1}$에 n ≥ 4가$$ 있는 매끄러운 입방형 과외면이 있는지 알 수 없다.

쌍생자동화군

대수학적 다양성은 그들이 얼마나 많은 쌍생 자동화를 가졌는지에 따라 크게 다르다. 모든 종류의 일반적 유형은 그 혼성 자동형성 집단이 유한하다는 점에서 극도로 경직되어 있다. 다른 극단에서는, Cremona 그룹 Cr_n(k)로 알려진 필드 k에 걸쳐$$ 투영 $공간{\displaystyle {\mathbb{}}^{}}$ P n$${\$displaystyle \mathb{P}$^n}{$n}}$의 쌍성 오토모르피즘 그룹이 n for 2에 대해 큰(의미치, 무한 차원)이다. n = ${\displaystyle 2}$의 경우, 복잡한 Cremona 그룹 $C{\displaystyle }$ ${\displaystyle {r\mathrm{}}_{}}$ 2${\displaystyle {}_{}}$( C${\displaystyle }$) ${\displaystyle Cr_{2}(\mathb {C}$)는 "Quadratic transform"에 의해 생성된다$$.

[x,y,z] ↦ [1/x, 1/y, 1/z]

$그룹{\displaystyle {\mathbb{}}^{}}$ P G${\displaystyle }$L ( 3, ${\displaystyle \mathrm{C}}$ ) {\$displaystyle PGL(3,\mathb {C}$)과 함께${\displaystyle {}^{}}$ Max Noeter 및 Castelnuovo에 의한$$ P ${\displaystyle {\mathrm{}}^{}}$, ${\displaystyle \mathb {P} ^{2$}의 자동화를 구성한다$$. 이와는 대조적으로, 치수 n 3 3의 크레모나 그룹은 매우 미스터리하다: 명시적인 발전기 집합은 알려져 있지 않다.

이스코프스키크-마닌(1971)은 매끄러운 사분위수 3배의 쌍성 자동형 집단이 유한한 자동형 집단과 동일하다는 것을 보여주었다. 이런 의미에서 사분위 3배는 이성적인 다양성의 분생자동화 집단이 거대하기 때문에 이성적인 것과는 거리가 멀다. 이 "새의 강직성" 현상은 그 후 많은 다른 파노 섬유 공간에서 발견되었다.^{[citation needed]}

참고 항목

• 풍요 추측

인용구

메모들

참조