비선형 공명

물리학에서 비선형 공명은 비선형 시스템에서 공명이 발생하는 것이다. 비선형 공진에서 시스템 동작(공명 주파수 및 모드)은 진동의 진폭에 따라 달라지는 반면, 선형 시스템의 경우 진폭과는 독립적이다. 비선형 시스템에서 모드의 혼합을 공명 상호작용이라고 한다.

설명

일반적으로 두 가지 유형의 공진 - 선형과 비선형 공진도를 구별해야 한다. 물리적 관점에서는 외부 힘이 시스템의 고유진동수(해당되는 선형 및 비선형 공명)와 일치하는지 여부에 의해 정의된다. 진동 모드는 상호작용 모드의 에너지와 모멘텀이 모두 보존되었을 때 공명 상호작용으로 상호작용할 수 있다. 에너지 보존은 모드의 주파수 합계가 0이어야 함을 의미한다.

${\displaystyle \omega _{n}=\omega _{1}+\omega _{2}+\cdots +\omega _{n-1}}$

$\Omega {\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle i_{}}$=${\displaystyle \Omega }$ (${\displaystyle {\mathbf{}}_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$)${\displaystyle }$, ${\displaystyle \omega _{i}=\omega(\mathbf {k} _{i})$가 일부 비선형 부분 미분 방정식의 선형 부분의 고유값이다$$. $k{\displaystyle {\mathbf{}}_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\$는 모드와 연관된 파형 벡터로서, 정수 첨자 $i{\displaystyle }$ ${\displaystyle$ i$}$가 푸리에 고조파 - 또는 고유모드로 색인화되는 것은$$ 푸리에 시리즈를 참조한다. 따라서 주파수 공진 조건은 알 수 없는 것이 많은 디오판틴 방정식에 해당한다. 그들의 해결책을 찾는 문제는 알고리즘적으로 해결할 수 없는 것으로 증명된 힐버트의 10번째 문제와 같다.

비선형 공진 이론의 주요 개념과 결과는 다음과 같다.^[1]

1. 다양한 물리적 애플리케이션에서 나타나는 분산$$ 관계 Ω =${\displaystyle \Omega }$ (${\displaystyle k\mathbf{}}$ ) ${\displaystyle \omega =\omega(\mathbf {k}$)를 사용하면 주파수 공명 조건의 해결책을 찾을 수 있다.
2. 주어진 분산 함수와 공명 조건의 형태에 대한 공명 집합은 비절연 공명 클러스터로 분할된다. 각 군집의 역학은 (적절한 시간 척도로) 독립적으로 연구될 수 있다. 이런 것들을 흔히 '경계파'라고 하는데, 상호작용을 할 수 없는 '자유파'와는 반대로 '경계파'라고 한다. 유명한 예는 KdV 방정식의 솔리톤이다: 솔리톤은 상호 작용하지 않고 서로 움직일 수 있다. 고유모드로 분해되면 솔리톤의 고주파수 모드는 상호작용하지 않는다(공진 상호작용의 방정식을 만족시키지 못함), 근본에 "결합"된다.^[2]
3. 바운드 모드(리소스 클러스터)의 각 모음은 특수 구조의 평면 그래프인 NR 다이어그램으로 나타낼 수 있다. 이 표현은 클러스터의 시간 의존적 동작을 기술하는 고유 3a) 동적 시스템을 재구성할 수 있으며, 3b) 다항식 보존 법칙의 집합이다. 이것들은 가장 단순한 클러스터(삼중주 및 사중주)에 대한 움직임의 Manley-Rawe 상수의 일반화다.
4. 일부 유형의 클러스터를 설명하는 동적 시스템은 분석적으로 해결될 수 있다. 이러한 시스템은 정확히 해결 가능한 모델이다.
5. 이러한 이론적 결과는 파동 난류 이론에서 실생활의 물리적 현상(예를 들어 지구 대기의 자연 내 진동)이나 다양한 파동 난류 체제를 설명하는 데 직접 사용할 수 있다. 공명 상호작용에 관한 기사에는 더 많은 예가 수록되어 있다.

비선형 공진 시프트

비선형 효과는 고조파 오실레이터의 공명 곡선의 모양을 유의하게 변경할 수 있다. 우선$$ 공진 주파수$\Omega {\displaystyle }$ {\$displaystyle \omega}$은 공식에 따라$$ "자연" 값 $\Omega {\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {0\mathrm{}}_{}}$ ${\$에서 이동한다.

$\displaystyle \omega =\omega _{0}+\kappa A^{2},}$

여기서$A$는 진동 $진폭$이고 $and{\displaystyle }$ ${\displaystyle \kappa }$은(는) 고조파 계수에 의해 정의된 상수다. 둘째, 공명곡선의 모양이 일그러진다(폴더오버 효과). (sinusoidal) 외부 힘 $F{\displaystyle }$ ${\displaystyle F}$의 진폭이 임계값 $F$ c ${\displaystyle {\mathrm{r}}_{}}$ ${\displaystyle {\mathrm{i}}_{}}$ ${\displaystyle {\mathrm{t}}_{}}$ ${\$ 불안정성이$$ 나타난다. 임계 값은 공식에 의해 주어진다.

${\displaystyle F_{\mathrm {crit}{4m^{2}\omega_{0}^{2}\gamma^{3}}{3}{\sqrt{3}}\cappa }}},},}$

여기서 $m{\displaystyle }$ ${\displaystyle m}$은(는) 오실레이터 $질량$이고$display$ {\$displaystyle$\ is$$$}$은(는) 감쇠 계수다. 더욱이, $\Omega {\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {0\mathrm{}}_{}}$ ${\$에 가까운 주파수의 진동이 $\Omega {\displaystyle {}_{}{0\mathrm{}}_{}}$. {\$displaystyle \omega_{0}$과 상당히 다른 주파수를 가진 외부 힘에 의해 흥분되는$$ 새로운 공명 현상이 나타난다.$}$

비선형 주파수 응답 함수

일반화된 주파수 응답 기능과 비선형 출력 주파수 응답 기능을 통해 사용자는 원칙적인 방법으로 주파수 영역의 복잡한 비선형 동작을 연구할 수 있다. 이러한 기능은 사용자가 복잡한 비선형 이산형 및 연속 시간 모델에서 주파수 영역으로 또는 그 반대로 이러한 용어를 연관시킬 수 있는 방식으로 공명 능선, 조화, 상호 변조 및 에너지 전달 효과를 나타낸다.

참고 항목

• 더핑 방정식
• 파동 난류

참고 및 참조

메모들

참조

• Landau, L. D.; Lifshitz, E. M. (1976), Mechanics (3rd ed.), Pergamon Press, ISBN 0-08-021022-8, (hardcover).and ISBN 0-08-029141-4 (softcover)
• Rajasekar, S.; Sanjuan, M. A. F. (2016), Nonlinear Resonances (1st ed.), Springer, ISBN 978-3-319-24886-8, (ebook)

외부 링크

• Elmer, Franz-Josef (July 20, 1998), Nonlinear Resonance, University of Basel, retrieved 27 October 2010