준조화 근사

준조화적 근사치는 열팽창과 같은 부피의존적 열효과를 설명하기 위해 사용되는 포논 기반의 고체물리학 모델입니다.이는 조정 가능한 파라미터로 간주되는 격자 상수의 모든 값에 대해 고조파 근사치가 유지된다는 가정에 기초한다.

개요

준조화 근사치는 격자 역학의 조화 포논 모델에 따라 확장된다.고조파 포논 모델은 모든 원자간 힘이 순수하게 고조파라고 말하지만, 그러한 모델은 열팽창을 설명하기에 불충분하다. 왜냐하면 그러한 모델의 원자간 평형 거리는 온도와 독립적이기 때문이다.

따라서 준조화 모델에서는 포논의 관점에서 포논 주파수는 준조화 근사치에서의 부피 의존적이 되며, 따라서 각 부피마다 고조파 근사치가 유지된다.

열역학

격자의 경우, 준 고조파 근사에서의 헬름홀츠 자유 에너지 F는 다음과 같다.

$F(T,V)=E_{\rm {lat}}(V)+U_{\rm {vib}}(T,V)-TS(T,V)$

여기서_lat E는 정적 내부 격자 에너지, U는_vib 격자의 내부 진동 에너지, 또는 포논 시스템의 에너지, T는 절대 온도, V는 부피, S는 진동 자유도에 의한 엔트로피입니다.진동 에너지는 다음과 같습니다.

$U_{\rm {vib}(T,V)=sum_{\mathbf {k},i}{\frac {1},i}{\hbar \mathbf {k},i}(V)+{\frac {N},sum}_mathbf {k},{n}Theta _{\mathbf {k},i}(V)/T)-1}=sum _{\mathbf {k},i}[{\frac {1}{2}+n_{\mathbf {k},i}(T,V)]\h \mathbfrac {k},{kf$

여기서 N은 합계의 항의 수이고, ${\textstyle \Theta _{\mathbf {k} ,i}(V)=\hbar \omega _{\mathbf {k} ,i}(V)/k_{B}}$ k , ${\textstyle \Theta _{\mathbf {k} ,i}(V)=\hbar \omega _{\mathbf {k} ,i}(V)/k_{B}}$ ( ${\textstyle \Theta _{\mathbf {k} ,i}(V)=\hbar \omega _{\mathbf {k} ,i}(V)/k_{B}}$ V ) $=$ ${\textstyle \Theta _{\mathbf {k} ,i}(V)=\hbar \omega _{\mathbf {k} ,i}(V)/k_{B}}$ ${\textstyle \Theta _{\mathbf {k} ,i}(V)=\hbar \omega _{\mathbf {k} ,i}(V)/k_{B}}$ , ${\textstyle \Theta _{\mathbf {k} ,i}(V)=\hbar \omega _{\mathbf {k} ,i}(V)/k_{B}}$ ( ${\textstyle \Theta _{\mathbf {k} ,i}(V)=\hbar \omega _{\mathbf {k} ,i}(V)/k_{B}}$ ) / ${\textstyle \Theta _{\mathbf {k} ,i}(V)=\hbar \omega _{\mathbf {k} ,i}(V)/k_{B}}$ ${\textstyle \Theta _{\mathbf {k} ,i}(V)=\hbar \omega _{\mathbf {k} ,i}(V)/k_{B}}$ ${\$ _ ${\mathbf {k}$ , $i}(V$ )=\ $hbar \mathbf {k}$ , $i}$ / $k_{B}$ 특성은 ${\textstyle \Theta _{\mathbf {k} ,i}(V)=\hbar \omega _{\mathbf {k} ,i}(V)/k_{B}}$ 다음과 같다. $hbf {k},i}(T,V)$ 는 ${\textstyle n_{\mathbf {k} ,i}(T,V)}$ 온도 T 및 볼륨 V에서 (k,i)-phonon의 수를 줄인 것입니다.기존과 같이 ${\textstyle \hbar }$ { $textstyle \hbar}$ 는 ${\textstyle \hbar }$ 환산 플랑크 상수이고_B k는 볼츠만 상수이다.U의_vib 첫 번째 용어는 포논 시스템의 제로점 에너지이며 제로점 열압으로서 열팽창에 기여합니다.

헬름홀츠 자유 에너지 F는 다음과 같이 주어진다.

$F=E_{\rm {lat}(V)+{\frac {1}{N}}\sum _{\mathbf {k},i}{\hbar \mathbf {k},i}(V)+{\frac {N}\sum {k},sum},{f}T\ln \left [1-\exp(-\Theta _{\mathbf {k},i}(V)/T)\right]$

엔트로피 항은

$S=-\left({\frac {\partial F}{\partial T}}\right)_{V}=-{\frac {1}{N}}\sum _{\mathbf {k} ,i}k_{B}\ln \left[1-\exp(-\Theta _{\mathbf {k} ,i}(V)/T)\right]+{\frac {1}{NT}}\sum _{\mathbf {k} ,i}{\frac {\hbar \omega _{\mathbf {k} ,i}(V)}{\exp(\Theta _{\mathbf {k} ,i}(V)/T)-1}}$ $exp(-\Theta _{\mathbf {k},i}(V)/T)\right]+{\frac {1}{$ $NT}}\sum _{\mathbf {k},i}{\frac \hbar \Omega _{\mathbf {k},i}(V)}{\exp(\)$ $Theta$ _ ${\mathbf {k},i}(V)/T)-1$

F = U - TS를 쉽게 확인할 수 있습니다.

k의 함수로서의 주파수 θ는 분산 관계입니다.상수값 V의 경우 이러한 방정식은 고조파 근사치에 해당합니다.

Legendre 변환을 적용함으로써 온도와 압력의 함수로서 시스템의 깁스 자유 에너지 G를 얻을 수 있다.

$G(T,P)=\min _{V}\left[E_{\rm {lat}}(V)+U_{\rm {vib}}(V,T)-TS(T,V)+PV\right]$

여기서 P는 압력입니다.G의 최소값은 주어진 T와 P의 평형 부피에서 구한다.

파생수량

일단 깁스 자유 에너지가 알려지면, 많은 열역학적 양이 1차 또는 2차 도함수로 결정될 수 있다.아래는 고조파 근사만으로는 결정할 수 없는 몇 가지입니다.

평형 체적

V(P,T)는 깁스 자유에너지를 최소화함으로써 압력과 온도의 함수로서 결정된다.

열팽창

체적 열팽창α는_V 다음과 같이 V(P,T)에서 도출할 수 있다.

$\alpha _{V}=black {1}{V}}\left({\flac {\flac V}{\partial T}}\right)_{P}$

Grüneisen 파라미터

Grüneisen 파라미터는 모든 포논모드에 대해 다음과 같이 정의됩니다.

$\displaystyle _{i}=-{\frac {\ln \Omega _{i}}{\displaystyle \ln V}}$

여기서 i는 포논 모드를 나타냅니다.total Grüneisen 파라미터는 모든 의 합계입니다_i.이는 시스템의 부조화성을 측정하는 것으로, 열팽창과 밀접하게 관련되어 있습니다.

레퍼런스

도브, 마틴 T.(1993)케임브리지 대학 출판부의 격자 역학 소개 ISBN 0521392934.

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