가법 범주

수학에서, 특히 범주 이론에서, 가법 범주는 모든 미세한 바이프로덕트를 인정하는 사전 가법 범주 C이다.

정의

범주 C는 그것의 모든 호미 집합이 아벨 그룹이고 형태론의 구성이 이선형인 경우 사전 가산형이다. 즉, C는 아벨 그룹들의 단일 범주보다 더 풍부하다.

부가 전 범주에서 모든 미세한 제품(빈 제품, 즉 최종 물체 포함)은 반드시 공동 생산물(또는 빈 다이어그램의 경우 초기 물체)이며, 이에 반하여 모든 미세한 공동 생산물은 반드시 하나의 제품이다(이는 정의의 결과물이지 그 일부가 아니다).

따라서 첨가제 범주는 모든 미세한 제품을 인정하는 사전 첨가제 범주 또는 모든 미세한 결합물을 허용하는 사전 첨가제 범주로 동등하게 설명된다.

첨가물 범주를 정의하는 또 다른 동등한 방법은 0개의 물체, 유한 결합물 및 유한한 제품을 가진 범주(사전 첨가물로 간주되지 않음)이며, 그러한 범주에서 제품까지의 표준적 지도가 그것이다.

$X\coprod Y\to X\prod Y}$

이소모르프다.이 이형성은 $H{\displaystyle \mathrm{}}$ ${\displaystyle \mathrm{o}}$ m${\displaystyle }$( ${\displaystyle X}$, Y${\displaystyle }$) ${\displaystyle \mathrm {Hom} (X,Y)}$을(를) 교환 단형 구조로$$ 장착하는 데 사용할 수 있다.마지막 요건은 이것이 사실상 아벨 그룹이라는 것이다.앞서 언급한 정의와 달리 이 정의는 홈 세트의 보조 첨가 그룹 구조가 기준점으로 필요하지 않고 오히려 속성으로 필요하다.^[1]

빈 바이프로덕트는 범주에 반드시 0개의 물체가 되며, 모든 미세한 바이프로덕트를 인정하는 범주를 반첨가라고 부르는 경우가 많다.아래 나온 것처럼 모든 반addic 범주는 자연적인 덧셈을 가지고 있기 때문에, 우리는 대안으로 모든 형태론이 첨가된 역효과를 갖는 특성을 가진 반addic 범주로 정의할 수 있다.

일반화

보다 일반적으로는 교호환 R에 대한 첨가제 R-선형 범주도 고려한다.이것들은 R-모듈의 단일 범주에 걸쳐 농축된 범주로서 모든 미세한 바이프로덕트를 허용한다.

예

첨가제 범주의 원래 예는 아벨리아 그룹 아브(Ab)의 범주다.0개체는 사소한 그룹이고, 형태론의 첨가는 점으로 주어지며, 2중 유도체는 직접 합으로 주어진다.

보다 일반적으로, 링 R에 대한 모든 모듈 범주는 첨가물이므로, 특히 필드 K에 대한 벡터 공간의 범주는 첨가물이다.

아래에 설명한 범주로 생각되는 링 위의 행렬의 대수 또한 첨가된다.

가산법의 내부특성화

C를 반첨가 범주로 삼아서 모든 미세한 2중으로 나누자.그러면 모든 홈셋은 덧셈이 있어, 아벨의 모노이드의 구조로 그것을 내포하고, 그렇게 해서 형태론의 구성은 이선형으로 되어 있다.

또한 C가 첨가제라면, 홈셋에 있는 두 추가사항은 일치해야 한다.특히 반가법 범주는 모든 형태론이 가법역설을 갖는 경우에만 가법적이다.

이것은 가법 범주에 대한 가산법이 그 범주에 내부적이라는 것을 보여준다.^[2]

덧셈 법칙을 정의하기 위해, 우리는 biproduct에 대해_k p는 투영 형태론을 나타내고_k, 나는 주입 형태론을 나타내는 관례를 사용할 것이다.

각 개체 A에 대해 다음을 정의한다.

• 대각선 형태론 ∆: A → A by ∆ = i + i₁₂;
• 대구각형 형태론 ∇: A ⊕ A → A by ∆ = p + p₁₂.

그러면 k = 1, 2의 경우 p_k ∘ ∆ = 1과_A ∇ i = 1이_A 있다_k.

다음으로_l 두 가지 형태 α_k: A → B를 주어 p ∘ (α₁ α₂ α) i_k i가 k = l이면 α_k, 그렇지 않으면 0과 같은 독특한 형태론 α₁ α α α α α α₂: A → B exists B가 존재한다.

따라서 우리는 α₁ + α₂ := α₁ α α α₂ α α α α α ∆을 정의할 수 있다.

이 덧셈은 교감적이기도 하고 연상적이기도 하다.연관성은 구성을 고려해서 알 수 있다.

${\displaystyle A\ {\xrightarrow {\quad \Delta \quad }}\ A\oplus A\oplus A\ {\xrightarrow {\alpha _{1}\,\oplus \,\alpha _{2}\,\oplus \,\alpha _{3}}}\ B\oplus B\oplus B\ {\xrightarrow {\quad \nabla \quad }}\ B}$

우리는 α + 0 = α를 가지고 있는데, 그 α α = i α₁ α p를₁ 사용한다.

또한 ilin ∘ β = (β β β) ∘과 (α α₁ α₂) ∘ = (α₁₁ ⊕ β₂) ( = (α β₁ β) β₂ (α β₂ β) ⊕을 예로 들어 이린이다.

우리는 쌍곡선 A for B의₁ 경우 i₁ ∘ p₂ + i ∘ p₂ = 1. 이것을 이용하여 어떤 형태론 A ⊕ B → C ⊕ D를 행렬로 나타낼 수 있다.

형태론의 행렬 표현

A₁, ..., A_n, B₁, 첨가물_m 범주에서 볼 때, 우리는 형태 f: A₁ ⋅ ⋅⋅⋅ ⊕ ⊕ ⊕ → → → → → → B를_n1m m-by-n 행렬로 나타낼 수 있다.

(f11f12⋯ f1nf21f22⋯ f2n⋮ ⋮⋯ ⋮ fm1fm2⋯ fmn){\displaystyle{\begin{pmatrix}f_{11}&, f_{12}&, \cdots &, f_{1n}\\f_{21}&, f_{22}&, \cdots, f_{2n}\\\vdots &, \vdots &, \cdots &, \vdots \\f_{m1}&, f_{m2들}&, \cdots &, f_{중성자의 정지 질량}&.\end{pmatrix}}}이 fk나는:=${\displaystyle f_{kl}=p_{k$$}$

이 ∑_k i_k ∘ p_k = 1을 사용하여 행렬의 추가와 구성은 행렬 추가와 행렬 곱셈에 대한 일반적인 규칙을 준수한다.

따라서 첨가물 범주는 행렬의 대수학에서 가장 일반적인 맥락으로 볼 수 있다.

단일 물체 A에서 그 자체로 형태론이 내형성(Endomorphism)을 형성한다는 것을 상기하라.만약 우리가ⁿ A가 스스로 A의 n-폴드 제품을 나타낸다면, A에서^nm A까지의 형태는 끝(A)의 항목이 있는 m-by-n 행렬이다.

반대로 어떤 링 R을 주더라도 자연수 집합에 의해 지수화된 물체 A(0을 포함_n)를 취하여 A에서_nm A까지의 형태론의 홈셋을 R에 대한 m-by-n 행렬 집합으로 하고, 여기서 행렬 곱셈에 의해 구성이 주어지는 범주 Mat(R)을 형성할 수 있다.^[3]그 다음 Mat(R)은 첨가제 범주로, A는_n n-폴드 검정력(A₁)과 같다.ⁿ

이 구조는 링이 단 하나의 물체를 가진 사전 첨가 범주라는 결과와 비교해야 한다.

만약 우리가 물체 A를_n 왼쪽 모듈 R으로ⁿ 해석한다면, 이 매트릭스 범주는 R을 통한 왼쪽 모듈 범주의 하위 범주가 된다.

이것은 m이나 n이 0인 특별한 경우, 우리는 대개 0행이나 0열이 있는 행렬을 생각하지 않기 때문에 혼동될 수 있다.그러나 이러한 개념은 타당하다: 그러한 행렬은 항목이 없으므로 크기에 따라 완전히 결정된다.이러한 행렬은 다소 퇴보되지만, 가법 범주는 0개의 객체를 가져야 하기 때문에 가법 범주를 얻기 위해 포함될 필요가 있다.

그러나 그러한 행렬에 대해 생각하는 것은 한 가지 방법으로 유용할 수 있다. 추가 범주에 있는 물체 A와 B는 A에서 0까지의 형태론(End(A)에 항목이 있는 0-by-1 행렬이 정확히 한 개 있는 것처럼)이 있고 0-B의 형태론은 정확히 한 개라는 사실을 강조한다(End(A)에서 B까지의 형태론도 정확히 한 개씩 있는 것처럼).끝(B) – 0은 0의 물체라는 것을 의미할 뿐이다.더욱이, A에서 B까지의 영점 형태론은 이러한 형태론의 구성으로, 퇴화된 행렬을 곱하여 계산할 수 있다.

첨가제 펑터

가법전 범주 사이의 functor F: C → D는 C의 각 홈 집합에서 아벨 그룹 동형성인 경우 가법적이다.범주가 가법적인 경우 펑터는 모든 바이프로덕트 다이어그램을 보존하는 경우에만 가법적이다.

즉, B가 A₁, ..., A in_n C에서 투영 형태 p와_k 주입 형태 i의_j 바이프로덕트인 경우, F(B)는 F(A₁), ..., F(A_n)의 바이프로덕트여야 하며, D에서는 투영 형태 F(p_j)와 주입 형태 F(i_j)가 있어야 한다.

첨가제 범주들 사이에서 연구된 거의 모든 functors는 첨가제다.사실 첨가제 범주들 사이의 모든 부호화 펑커는 부가화 펑커(여기 참조)여야 한다는 것이 정리인데, 모든 범주 이론에서 연구된 대부분의 재미있는 펑커들은 부호화다.

일반화

R-선형 적층 범주 사이의 펑터를 고려할 때, 보통 R-선형 펑커로 제한하므로 각 홈 집합에서 R-모듈 동형성을 제공하는 펑커스는 R-선형 펑커로 제한된다.

특례

• 아벨 이전 범주는 모든 형태론이 커널과 코커넬을 갖는 첨가 범주를 말한다.
• 아벨 범주(Abelian category)는 모든 단동형(monomorphism)과 경동형(epimorphism)이 정상일 정도로 아벨 이전의 범주다.

일반적으로 연구되는 많은 첨가제 범주는 사실 아벨의 범주들이다. 예를 들어, 아브는 아벨의 범주다.자유 아벨리아 집단은 첨가물이지만 아벨이 아닌 범주의 예를 제공한다.^[4]

참조

• Nicolae Popescu; 1973; Abelian Categories with Applications to Ring and Modules; Academic Press, Inc. (인쇄되지 않은) 이 모든 것을 아주 천천히 훑어본다.