인과구조

수학 물리학에서 로렌츠 다지관의 인과 구조는 다지관의 점들 사이의 인과 관계를 설명한다.

소개

현대 물리학에서(특히 일반 상대성) 스페이스타임은 로렌츠 다지관으로 표현된다. 다지관의 점들 사이의 인과관계는 어떤 사건이 어떤 다른 사건에 영향을 미칠 수 있는지를 설명하는 것으로 해석된다.

임의(아마도 곡선인) 로렌츠 다지관의 인과 구조는 곡률의 존재에 의해 더욱 복잡하게 만들어진다. 그러한 다지관의 인과 구조에 대한 논의는 점 쌍을 연결하는 부드러운 곡선의 관점에서 표현되어야 한다. 곡선의 접선 벡터에 대한 조건은 인과 관계를 정의한다.

접선 벡터

${\displaystyle (M}$, ${\displaystyle g}$) ${\displaystyle \,$ ($M,g)}$이(가) 로렌츠 다지관인 경우($다지관{\displaystyle }$ M ${\displaystyle M}$의 $메트릭{\displaystyle }$ g ${\displaystyle g$$\}$의 경우), 다지관의 각 지점에 있는 접선 벡터는 세 개의 분리형으로 분류할 수 있다. 접선 벡터 $X{\displaystyle }$ ${\displaystyle X}$은(는) 다음과 같다.

• (, )< 0 ${\displaystyle \,g(X,X)<0}$인 경우 시간 표시
• ${\displaystyle g(}$ ${\displaystyle X}$, ${\displaystyle X}$)${\displaystyle }$= ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle \,g(X,X)=0}$인 경우 null 또는 light like
• (, )> ${\displaystyle \,g(X,X)>0}$의 경우 공백과 같은 크기

여기서는 (${\displaystyle }$-${\displaystyle }$,${\displaystyle }$+${\displaystyle }$,${\displaystyle }$+ ,${\displaystyle }$+ ,${\displaystyle }$+ , + ,${\displaystyle \cdots }$) ${\displaystyle(-,+,+,+,+,\cdots )}$ 메트릭$$ 서명을 사용한다. 우리는 접선 벡터가 null이거나 timelyke일 경우 비공간적이라고 말한다.

정식 로렌츠 다지관은 민코프스키 스팩타임이며, $여기$서${\displaystyle }$M = ${\displaystyle {\mathrm{}}^{}}$ 4 ${\$ M$=\mathb {R}^4$$},$ $g{\displaystyle }$ ${\displaystyle$ g$}$은 평탄한 민코프스키 미터법이다. 접선 벡터의 이름은 이 모델의 물리학에서 왔다. 접선 공간도 R 4 ${\$이므로 접선 벡터는 공간의 점으로 식별할 수 있기 때문에 Minkowski 시간의 점들 사이의 인과관계는 특히 단순한 형태를 취한다. The four-dimensional vector ${\displaystyle X=(t,r)}$ is classified according to the sign of ${\displaystyle g(X,X)=c^{2}t^{2}-\ r\ ^{2}}$, where ${\displaystyle r\in \mathbb {R} ^{3}}$ is a Cartesian coordinate in 3-dimensional space, ${\displaystyle$$c}$은 범용 속도 제한을 나타내는 상수이며 $t{\displaystyle }$ ${\displaystyle t}$은 시간이다$$. 공간의 벡터 분류는 로렌츠 변환에 의해 관련되는 모든 기준 프레임에서 동일할 것이다(그러나 그 원점이 변위될 수 있기 때문에 일반적인 푸앵카레 변환에 의해 관련되지 않는다).

시간 지향성

$M{\displaystyle }$ ${\displaystyle M}$의 각 지점에서 점의 접선 공간에 있는$$ 시간적 접선 벡터는 두 등급으로 나눌 수 있다. 이를 위해 먼저 시간 단위 접선 벡터 쌍에 동등성 관계를 정의한다.

If ${\displaystyle X}$ and ${\displaystyle Y}$ are two timelike tangent vectors at a point we say that ${\displaystyle X}$ and ${\displaystyle Y}$ are equivalent (written ${\displaystyle X\sim Y}$) if ${\displaystyle \,g(X,Y)<0}$.

그 다음 두 개의 등가 등급이 있는데, 그 등급 사이에는 그 지점의 모든 시간적 접선 벡터가 포함되어 있다. 우리는 (임의적으로) 이러한 동등성 계급 중 하나를 미래지향적으로 부르고 다른 하나는 과거지향적으로 부를 수 있다. 물리적으로 미래 지향적 및 과거 지향적 시간 벡터의 두 종류에 대한 이 지정은 그 점에서 시간의 화살표의 선택에 해당한다. 미래 및 과거 방향 지정은 연속성에 의해 한 지점에서 null 벡터로 확장될 수 있다.

로렌츠 다지관은 비공간적 벡터에 대한 미래 지향적 및 과거 지향적 명칭을 전체 다지관에 걸쳐 연속적으로 지정할 수 있다면 시간^[1] 지향적이다.

곡선

A path in ${\displaystyle M}$ is a continuous map ${\displaystyle \mu :\Sigma \to M}$ where ${\displaystyle \Sigma }$ is a nondegenerate interval (i.e., a connected set containing more than one point) in ${\displaystyle \mathbb {R} }$. A smooth path has ${\displaystyle \mu }$ differentiable an appr(일반적으로 $C{\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {\infty \mathrm{}}^{}}$ ${\$ C$^{\inflt })$ 횟수를 초과하며,$$ 정규 경로에는 비바니싱 파생 모델이 있다.

A curve in ${\displaystyle M}$ is the image of a path or, more properly, an equivalence class of path-images related by re-parametrisation, i.e. homeomorphisms or diffeomorphisms of ${\displaystyle \Sigma }$. When ${\displaystyle M}$ is time-orientable, the curve is oriented if the parameter change is required to be monotonic.

$M{\displaystyle }$ ${\displaystyle M}$의 부드러운 정규 곡선(또는 경로)은 접선 벡터에 따라 분류할 수 있다$$. 그런 곡선은

• 접선 벡터가 곡선의 모든 점에서 시간적(또는 시간적)인 경우. 세계선이라고도 한다.^[2]
• 접선 벡터가 곡선의 모든 점에서 null인 경우 null.
• 접선 벡터가 곡선의 모든 점에서 공간과 같은 경우.
• 접선 벡터가 시간 또는 곡선의 모든 점에서 null인 경우 인과(또는 비공간적)

$\sigma {\displaystyle \mathrm{}}$ ${\displaystyle \Sigma}$의 정규성 및 비기존성 요건은 닫힌 인과 곡선(예: 단일 점으로 구성된 곡선)이 모든 스페이스타임에서 자동으로 인정되지 않음을 보장한다$$.

다지관이 시간 방향성을 가질 수 있는 경우 비공간적 곡선은 시간에 대한 방향성에 따라 추가로 분류될 수 있다.

$M$ ${\displaystyle M}$의 연대순, null 또는 인과 곡선은

• 곡선의 모든 점에 대해 접선 벡터가 미래 지향적이라면 미래 지향적 벡터.
• 과거 방향의 경우, 곡선의 모든 점에 대해 접선 벡터가 과거 방향의 경우.

이러한 정의는 시간에 관한 방향성(timeelike 또는 null 탄젠트 벡터)만 할당할 수 있기 때문에 인과 곡선(만성 또는 null)에만 적용된다.

• 닫힌 시간곡선은 미래 지향 시간곡선(또는 과거 방향 시간곡선) 어디에나 있는 닫힌 곡선이다.
• 닫힌 null 곡선은 미래 지향 null(또는 과거 방향 null) 어디에나 있는 닫힌 곡선이다.
• 닫힌 null 지오데틱 주위의 appine 매개변수 변화 비율의 공칭은 적색변수 인자이다.

인과관계

다지관 $M{\displaystyle }$ ${\displaystyle M}$에서 점 $x{\displaystyle }$ ${\displaystyle$ x$}$과 $y$ ${\displaystyle$ y$} 사이$에 두 가지 유형의 인과 관계가 있다$.$

• ${\displaystyle }$$x{\displaystyle }$ ${\displaystyle x}$ 연대기적으로 $y{\displaystyle }$ ${\displaystyle \{\backslash }$$displaystyle$${\displaystyle y}$}($$$\displaystyle$\,$x\ll$y$\})$가 x ${\displaystyle x}$에서 $y{\displaystyle }$ ${\displaysty y$까지의 미래 지향적인 시간별 곡선이 있는 경우.
• ${\displaystyle }$$x{\displaystyle }$ ${\displaystyle$ $x$$}$은(는) $x{\displaystyle }$ ${\$$displaystyle$ y$}($)에서 $y{\displaystyle }$ ${\$$displaystyle x}($으)로$$ 미래 지향적 인과(비공간적) 곡선이 있는 경우 y ${\$$displaystyle y}($$으$로 엄격히$$ 인과적으로 선행한다$.$
• ${\displaystyle }$$x$ ${\displaystyle x}$이(가) $y{\displaystyle }$ ${\$$displaystyle$ $y$$}$보다 인과적으로 앞서는 $경우$ x {\$displaystyle$ $x\back y$ $또는$ ${\displaystyle x}$= ${\displaystyle$ x$=y}$인 경우 x가 y ${\$displaystyle x=y}보다 앞서는 것으로 ${\displaystyle \mathrm{표시}}$됨$.$
• 만약 x)y{\displaystyle x=y}이나){\displaystyle)}에서future-directed null곡선{이\displaystyle}[4]y에(또는 동등하게, x ≺ y{\display 존재하는 X{\displaystyle)}horismos{이\displaystyle}[3](y는 종종을 설명)→ y{\displaystyle x\to}또는 시작\↗ y{\displaystyle x\nearrow는 y})y.세인트${\displaystyle \mathrm{yle}}$ $x\property y}$ 및$$ $x{\displaystyle }$ ${\displaystyle \ll ̸}$ y ${\displaystyle$x\$not \ll$ y$}$ $$.

그리고^[5] 만족시키다

• ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle \ll }$ y ${\displaystyle$ x$\ll y}$은(는) x$\$ y {\$displaystyle x\display y}$을(를) 암시한다($$이것은 정의에서 사소한 것으로 따옴).
• ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle \ll }$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle x\ll y$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle \prec }$ z ${\displaystyle y\displayz}$는 $x{\displaystyle }$ ${\displaystyle \ll }$ ${\displaystyle z}$ ${\displaystyle$ x$\ll z}$을(를) 의미한다$$.
• ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle \prec }$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle x\displaystyle y$ $y{\displaystyle }$ ${\displaystyle \ll }$ ${\displaystyle z}$ ${\displaystyle y\ll z}$은(는${\displaystyle )}$ x $\$ z {\$displaystyle x$\ll z$}$을(를) 의미한다$$.
• ${\displaystyle \ll }$ ${\displaystyle \ll$<{\$displaystyle <},$$\prec {\displaystyle }$ ${\displaystyle$\displaystyle \$disp$ }은$($는)
• ${\displaystyle \prec }$ ${\displaystyle \property$${\displaystyle }$→ ${\displaystyle \to }$반사적임

$다지관{\displaystyle }$ M$${\$displaystyle M$}의$$ $점{\displaystyle }$ x$${\$displaystyle$x}에^[5] 대해$$ 정의하며

• $x$${\displaystyle x}$의 시간별 미래는 "$I{\displaystyle }$${\displaystyle {}^{}}$+${\displaystyle {}^{}}$( x${\displaystyle }$) ${\displaystyle \,I^{+}(x)"$를 M$$${\displaystyle$ $M$$}$에서 $모든{\displaystyle }$ y ${\displaystyle y}$의 점 집합으로 표시하며, 이러한$$ $경우{\displaystyle }$ x$$${\$$displaystyley$ y$}$은 $다음$과 $같다$

${\displaystyle \,I^{+}(x)=\{y\in M x\ll y\}}$

• $x$${\displaystyle x}$의 시간별 과거는 ${\displaystyle I{}^{}}$-${\displaystyle {}^{}}$( ${\displaystyle x}$) ${\displaystyle \,I^{-}(x)}$을$($를) $M{\displaystyle }$ ${\displaystyle M}$에서 모든 $y{\displaystyle }$ ${\$$displaystyle y}$의 점 집합으로 표시하며, $y$ ${\displaystyley$ x$}$은 $::$

${\displaystyle \,I^{-}(x)=\{y\in M y\ll x\}}$

우리는 비슷하게 정의한다.

• $x{\displaystyle }$ ${\displaystyle$ $x$$}$의$$인과 미래(${\displaystyle \mathrm{일명}}$ 절대 미래)는 "$J{\displaystyle }$${\displaystyle {}^{}}$+ (${\displaystyle {}^{}}$x${\displaystyle }$) ${\displaystyle \,J^{+}(x)"$를 인과적으로$$y ${\displaystyle$ x}이$($$가$$$$$) ${\$$displaysty y}$보다 선행하도록 $M{\displaystyle }$ ${\$displaystystystyleyleyleyle y$}$의 모든 점 집합으로 $표시$했다$.$

${\displaystyle \,J^{+}(x)=\{y\in M x\prec y\}}$

• $x{\displaystyle }$ ${\displaystyle x}$의 인과적 과거(${\displaystyle \mathrm{절대}}$ 과거라고도 함$)$는 ${\displaystyle J{}^{}}$-${\displaystyle {}^{}}$( x${\displaystyle }$) ${\displaystyle \,J^{-}(x)}$을$($를$)$ M {\$displaystyle$ M$}$에서$$모든 y {\$displaysty$ y}의 $집합$으로 표시하여 y$$$$${\displaystystyle x$

${\displaystyle \,J^{-}(x)=\{y\in M y\prec x\}}$

• $x{\displaystyle }$→ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle$ $x$$}$과($와$$)$ 같은 M {\$displaystyle$ M$}$의 모든$$점 y {\$displaystyle$ y$}$ 집합으로 향후$$ null 콘(x ${\displaystyle$ x\$to y$
• $M{\displaystyle }$ {\$displaystyle M$$}$에서 $y{\displaystyle }$ → ${\displaystyle x}$ ${\$$displaystyle y}$의 모든 점 $집합$으로${\displaystyle }$x$$${\$$displaystyle y}$의 과거 null 콘$.$
• $x{\displaystyle }$ ${\$$displaystyle x}$의 미래 및 과거 null cones를$$ 함께$$ 사용하는 x ${\$$displaystyle x}$의 라이트 콘.^[6]
• 라이트 콘, 인과 미래 또는 인과적 과거가 아닌 다른 지점.^[6]

${\displaystyle 예}$를 들어$,$ I${\displaystyle {}^{}}$+${\displaystyle {}^{}}$( ${\displaystyle x}$) ${\displaystyle \,I^{+}(x)}$에 포함된 포인트는 $미래{\displaystyle }$ 지향적인 시간 곡선을$$ 통해 x ${\displaystyle x}$에서 도달할 수 있다. 예를 들어 ${\displaystyle J{}^{}}$$$- ( x${\displaystyle }$) ${\displaystyle \,J^{-}(x)}$에 포함된 지점에서 $x{\displaystyle }$ {\$displaystyle x}$을(를) 미래 지향적인 비공간 곡선(non-space like curve)으로$$ 도달할 수 있다$$${\displaystyle {.}^{}}$

Minkowski ${\displaystyle spacetime}$에서${\displaystyle \mathrm{세트}}$ I$$+${\displaystyle {}^{}}$( x ) {\$displaystyle$\,I^{+}($x)}$는 $x{\displaystyle }$ ${\displaystyle x$에 있는 미래 라이트 콘의 내부다. 세트 ${\displaystyle J{}^{}}$+ (${\displaystyle {}^{}x}$) ${\displaystyle \,J^{+}(x)}$은 원뿔 자체를 $포함$한 x$${\$displaystyle x}$의 전체 미래 라이트 콘이다$.$

이 ${\displaystyle \mathrm{세트}}$는 ${\displaystyle I{}^{}}$+${\displaystyle {}^{}}$( ${\displaystyle x}$)${\displaystyle }$, ${\displaystyle {}^{}{}^{}}$-${\displaystyle {}^{}}$( x${\displaystyle }$)${\displaystyle }$, ${\displaystyle {}^{}{}^{}}$+${\displaystyle {}^{}}$( ${\displaystyle x}$)${\displaystyle }$, ${\displaystyle {}^{}}$- (${\displaystyle {}^{}x}$) ${\displaystyle \,I^{+}(x),$$I^{-}(x),$$J^{+}(x),$$M{\displaystyle }$ ${\displaystyle M}$에서 $모든{\displaystyle }$ x ${\displaystyle x}$에 대해 정의된$$ J$^{-}(x)$를 $M{\displaystyle }$ ${\displaystyle M}$의 인과 구조라고 총칭한다$.$

$S{\displaystyle }$ ${\displaystyle S}$에 대해^[5] $정의$한$$M {\$displaystyle M}$의 하위$$ 집합

${\displaystyle I^{\pm }(S)=\빅컵 _{x\in S}I^{\pm }x(x)}$

${\displaystyle J^{\pm }(S)=\빅컵 _{x\in S}J^{\pm }x(x}$

${\displaystyle S}$, T ${\displaystyle S,T}$에 대해 정의한$$M {\$displaystyle M}$의 두 하위 집합

• The chronological future of ${\displaystyle S}$ relative to ${\displaystyle T}$, ${\displaystyle I^{+}(S;T)}$, is the chronological future of ${\displaystyle S}$ considered as a submanifold of ${\displaystyle T}$. Note that this is quite a different concept from ${\displ$$Aystyle{\displaystyle }$ $I^{+}(S)\cap T$$}$에서 S ${\displaystyle S}$부터 시작하는 미래 지향적인 시간별 곡선으로 도달할 수 있는$$ 점 집합을 $제공$하는 Aystyle I$^{}($S)\cap T$\}.$ 첫 번째 경우에는 그렇지$$ 않은 경우 곡선이 $T{\displaystyle }$ ${\displaystystyle T}$에 있어야 한다. 호킹과 엘리스의 경우를 참조하십시오.
• The causal future of ${\displaystyle S}$ relative to ${\displaystyle T}$, ${\displaystyle J^{+}(S;T)}$, is the causal future of ${\displaystyle S}$ considered as a submanifold of ${\displaystyle T}$. Note that this is quite a different concept from ${\displaystyle J^{+}($$S{\displaystyle }$$)\cap T$$}$에서 S ${\displaystyle S}$부터 시작되는 미래 방향 인과 곡선으로 도달할 수 있는$$ 점 집합을 $제공$하는 T$$ ${\displaystyle$ T}.$$첫 번째 경우에는 그렇지 않은 두 번째 경우에는$$ 곡선이 $T{\displaystyle }$ ${\displaystytle T}$에 있어야 한다. 호킹과 엘리스의 경우를 참조하십시오.
• 미래 집합은 시간적 미래에서 닫힌 집합이다.
• 과거 집합은 연대기적 과거로 마감된 집합이다.
• 외설적인 과거 세트(IP)는 두 개의 다른 열린 과거의 적절한 서브셋의 결합이 아닌 과거 세트다.
• ${\displaystyle I^{}}$-${\displaystyle {}^{}}$( ${\displaystyle x}$) ${\displaystyle I^{-}(x)}$은(는) 적절한 외설적인 과거 세트(PIP)이다$$.
• TIP는 IP가 아닌 IP이다.
• $S{\displaystyle }$ ${\displaystyle S}$, $D{\displaystyle {}^{}}$+${\displaystyle {}^{}}$( S${\displaystyle }$) ${\displaystyle$ D$^{+}(S)}$의 향후 Cauchy 개발은 모든 점 $x{\displaystyle }$ ${\displaystyle x}$을 통해 연장 $불가능$한 인과 곡선을 향하는 모든 $과거$가 S ${\\displaystyle S}$을 한 번 이상$$ 교차하는$$ 것이다$$. 유사하게 과거 코치 개발에도 그랬다. 카우치 개발은 미래와 과거의 카우치 개발의 결합이다. 코치 개발은 결정론의 연구에 중요하다.
• A subset ${\displaystyle S\subset M}$ is achronal if there do not exist ${\displaystyle q,r\in S}$ such that ${\displaystyle r\in I^{+}(q)}$, or equivalently, if ${\displaystyle S}$ is disjoint from ${\displaystyle I^{+}(S)}$.
• Cauchy 표면은 $Cauchy{\displaystyle }$ 개발이 M {\$displaystyle M}$인 닫힌 무채색 집합이다$.$
• 측정기준은 코시 표면으로 추론할 수 있다면 전지구적으로 쌍곡선이다.
• 연대기 위반 집합은 닫힌 시간 곡선이 통과하는 점 집합이다.
• 인과관계 위반 집합은 닫힌 인과 곡선이 통과하는 점 집합이다.
• 원인 곡선 $\gamma {\displaystyle }$ ${\displaystyle \gamma$ $\}$의 $경우{\displaystyle {}^{}}$ 원인 다이아몬드는 J +${\displaystyle {}^{}}$(${\displaystyle {}^{}\gamma }$ )${\displaystyle \cap }$ J - (${\displaystyle {}^{}\gamma }$ )${\displaystyle J^{+}(\gamma )\cap$ J$^{-}(\gamma )}($여기서 우리는 'curve'의 루프 정의를 사용한다. 즉, 입자의 세계선 $\gamma {\displaystyle }$ ${\displaystyle \gamma}$의 인과 다이아몬드는 $\gamma {\displaystyle }$ ${\displaystyle \gamma}$의 특정 지점의 과거 및$$ $\gamma {\displaystyle }$ ${\displaysty \gamma$의 미래 모두에 놓여 있는 모든 사건의 집합이다$$.

특성.

Penrose(1972), p13을 참조하십시오.

• 점 $x{\displaystyle }$ ${\displaystyle x}$은(는) ${\displaystyle I{}^{}}$-${\displaystyle {}^{}}$( y${\displaystyle }$) ${\displaystyle \,I^{-}(y)}$에 $있으며{\displaystyle }$, 이는 y$$ ${\displaysty y}$이(${\displaystyle 가}$) ${\displaystyle I{}^{}}$+ ${\displaystyle {}^{}}$x${\displaystyle }$) ${\displaystysty \,I^{+}(x)$에 있는 경우에만$$ 해당된다$.$
• ${\displaystyle x\prec y\implies I^{-}(x)\subset I^{-}(y)}$
• ${\displaystyle x\prec y\implies I^{+}(y)\subset I^{+}(x)}$
• ${\displaystyle I^{+}[S]=I^{+}[I^{+}][S]\subset J^{+}[S]=J^{+}[J^{+}][S]}$
• ${\displaystyle I^{-}[S]=I^{-}[I^}{-}]\subset J^{-}[S]=J^{-}[J^{-}]}$
• 호리스모는 무효 지질학적 조합에 의해 생성된다.

위상학적 특성:

• ${\displaystyle {}^{}I{}^{}}$±${\displaystyle {}^{}}$( x${\displaystyle }$) ${\displaystyle$ I$^{\pm }(x)}$은(는) $M{\displaystyle }$ ${\displaystyle M}$의 모든 $포인트{\displaystyle }$ x ${\displaystyle x}$에 대해 열려 있다$$$.$
• ${\displaystyle I^{}}$±${\displaystyle {}^{}}$[ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle ]}$ ${\displaystyle$ I$^{\pm }[S]}$은(는) 모든 하위 집합 $S{\displaystyle }$ ${\displaystyle \{}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle S\subset M}$에 대해 열려 있다$$$.$
• ${\displaystyle$$I^{\pm }[{\overline{S}}}$ 모든 하위 $집합{\displaystyle }$ S ${\displaystyle \subset }$ ${\displaystyle M}${\$displaystyle$S\$subset M}$에 대해. $여기$서 S${$ {\$displaystyle {\overline$ {$S}$은(는) 하위 $집합{\displaystyle }$ S$${\$displaystystyle S}$의 닫힘입니다$.$
• ${\displaystyle I^{\pm }[S]\subset {\overline {J^{\pm }}}}}$

등각 기하학

Ω ${\$$displaystyle \,g}$ 및$$ $g{\displaystyle \stackrel{}{}}$ ${\displaystyle \stackrel{}{^}}$ ${\$}}, 일부 실제 함수 $\Omega {\displaystyle \mathrm{}}$ ${\displaystyle {\g}=\$$Displaysty \Oomega$$}g$$}$에 대해$$ $g{\displaystyle \stackrel{}{}}$ ${\displaystyle \stackrel{}{^}}$= ${\displaystyle {\mathrm{}}^{}}$ ${\displaystyle {}^{}}$}, \d ${g$$}$이(가)가 일치 요인이라고$$ 하는$$ 경우 두 가지 메트릭이(가 일치한다^[7]. (정규 지도 참조).

어떤 접선 벡터가 시간적으로 같으며, null이며 공간적으로 보이는 정의를 살펴보면, ${\displaystyle 우리}$가 g ${\displaystyle$\,$g}$ $또는$ g ${\displaystyle \stackrel{}{^}}$ .${\displaystyle {\hat {g}}$을(를) 사용해도 변경되지 않는다.$}$ 예를 들어$$ $X{\displaystyle }$ ${\displaystyle X}$이(가) ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle \,g}$ 메트릭에$$ 대해 시간적으로 같은 접선 벡터라고 가정하십시오. This means that ${\displaystyle \,g(X,X)<0}$. We then have that ${\displaystyle {\hat {g}}(X,X)=\Omega ^{2}g(X,X)<0}$ so ${\displaystyle X}$ is a timelike tangent vector with respect to the ${\displaystyle {\hat {g}}}$ too.

로렌츠 다지관의 인과 구조는 이에 따른 순응적 변환의 영향을 받지 않는다.

참고 항목

• 인과 동적 삼각측량(CDT)
• 인과 조건
• 원인 집합
• 코시 표면
• 닫힌 시간 곡선
• 글로벌 쌍곡 다지관
• 펜로즈 도표
• 스페이스타임

메모들

참조

• Hawking, S.W.; Ellis, G.F.R. (1973), The Large Scale Structure of Space-Time, Cambridge: Cambridge University Press, ISBN 0-521-20016-4
• Hawking, S.W.; Israel, W. (1979), General Relativity, an Einstein Centenary Survey, Cambridge University Press, ISBN 0-521-22285-0
• Penrose, R. (1972), Techniques of Differential Topology in Relativity, SIAM, ISBN 0898710057
• Sard, R. D. (1970). Relativistic Mechanics - Special Relativity and Classical Particle Dynamics. New York: W. A. Benjamin. ISBN 978-0805384918.

추가 읽기

외부 링크

• 울프램 시연 프로젝트인 엔리케 젤레니의 튜링 머신 인과망
• Weisstein, Eric W. "Causal Network". MathWorld.