구역 정리

기하학에서 구역정리는 직선의 배열에서 직선의 구역의 복잡성을 확립하는 결과이다.

정의.

A${\displaystyle }$( ${\displaystyle L}$) \ $displaystyle$ A $( L$ )$$$as{\displaystyle }$ as 、 L $($ \ $displaystyle$L$$) $l{\displaystyle }$ of of of of of of of of of of of of of of of of of of of ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( a a a a of of of of of of of L ( \ $displaystyle$ 2$$\ $displaystyle$2)차원면$$,$$1차원면$$ ${\displaystyle \mathrm{}}$ 정점($\$ $displaystyle$$$0$)$으로 유도되는 평면의 하위 분할입니다.n개의$$$라인{\displaystyle }$ L$(\displaystyle$n$),$ 라인 $배열{\displaystyle }$A$(\displaystyle$ A$(L)$및 $라인{\displaystyle }$L$(\displaystyle$ L$)$이 있는 경우$,$ L(\$displaystyle$ L)의 $구역$은 L$(\displaystyle$$$L$)$과 교차하는 면 집합입니다.구역의 복잡도는 경계에 있는 총 에지 수로, n$\displaystyle$n의 함수로$$$표현$됩니다.구역정리에 따르면 해당 복잡도는 $O{\displaystyle }$(${\displaystyle n}$) \ $displaystyle$O ($n$ )$$。

역사

이 결과는 1985년에 ^[1]처음 발표되었으며, 샤젤 외 연구진은 배열에서 선의 구역의 복잡성에 대해 ${\displaystyle \mathrm{10n}}$+$$(\$display$ style $10n+2$)의 상한을 부여했다.1991년${\displaystyle \mathrm{,<sup\; class="reference"\; id="cite\_ref-horizon\_2-0"><a\; href="\#cite\_note-horizon-2">[2]</a></sup>}}$ 이 결합은 ${\displaystyle \mathrm{was}}$ ${\displaystyle 9.}$5n${\$ - ${\displaystyle 1}$ ({ $displaystyle \lfloor$9.$5n\rfloor$ -$1$로 개선되었으며, 또한 이것이 소량 첨가 인자까지 가능한 최선의 상한임이 확인되었다.그 후 2011년 ^[3]ROM Pinchasi는 배치에서 라인의 구역의 복잡도가 ${\displaystyle \mathrm{많아야\; 9}}$.${\displaystyle \mathrm{5n}}$ ${\displaystyle -}$ - ${\displaystyle 3}($$디스플레이$ 스타일$9.5n \rfloor$ -$3$)임을 증명했으며, 이는 엄격한 범위이다.

정리의 다른 증명에 사용되는 패러다임은 유도,^[1][6][7] 스위프 기술,^[2][4] 트리 구성 ^[5]및 데이븐포트-신젤 시퀀스입니다.

일반화

가장 인기 있는 버전은 평면 내의 선 배치에 대한 것이지만, 구역 정리에 대한 몇 가지 일반화가 존재합니다.예를 들어, $치수{\displaystyle }$d$\backslash$$displaystyle$d에서 하이퍼플레인의 배치를 고려할 때, $하이퍼플레인{\displaystyle }$h(\$displaystyle$ h$)$ 구역의$$ 복잡도는 셀 세트($\displaystyle$ d-1$)$와 h$\displaystyle$ d$\$dimensional$$ faces)가 $교차$하는 패싯 ${\displaystyle (\mathrm{d}}$ - 1$($displaystyle d-1)이다.$splaystyle$ h$\}.$ 마찬가지로$$d\$displaystyle$ d$}$ 구역정리에 따르면 하이퍼플레인 구역의 복잡도는 $O{\displaystyle (n^{}}$ d${\displaystyle {}^{}}$-$)\displaystyle$ O$(n^{d-1$^[7]입니다.$차원{\displaystyle }$ d${\displaystyle 3}$3 {\$displaystyle$ d$\geq$3$}$에 대한 정리에 대한 증명은 상당히 적다$.$ $3차원$의 $경우{\displaystyle \mathrm{}}$ 스위프 기법에 기초한 증명들이 있으며, 더 높은 차원에 대해서는 오일러의 관계를 사용한다: ${\displaystyle {\delta }_{}^{}}$ ${\displaystyle {\mathrm{i}}_{}^{}}$ ${\displaystyle {=}_{}^{}}$ ${\displaystyle {}_{}^{}\mathrm{d}}$ (${\displaystyle {}^{}}$- 1) ${\displaystyle {}^{}{}_{}}$ $=$0 {\$displaystyle \Sigma$ (0-i$)^{i}$$F_{i}\geq 0.}$^[8]

또 하나의 일반화는 라인(및 하이퍼플레인)이 아닌 의사 하이퍼플레인($및{\displaystyle }$ 치수$d$의 의사 하이퍼플레인)의$$배치를$$고려하는 것입니다.어떤 정리에 대한 증명들은 그들의 ^[7]주장을 통해 선의 직선성을 실질적으로 사용하지 않기 때문에 이 경우에 잘 작동한다.

동기

약정의 구역 복잡성을 연구하려는 주된 동기는 약정을 구축하기 위한 효율적인 알고리즘을 찾는 것에서 비롯된다.고전적인 알고리즘은 증분구조를 말하며, 각 라인을 차례로 추가해 각각에 의해 생성된 모든 면을 적절한 데이터 구조(일반적인 배열 구조는 이중접속 에지 리스트(DCEL)))에 격납하는 것으로 대략 설명할 수 있다.여기서 구역정리의 결과는$$각 라인의 $삽입$에는 $)\displaystyle$ O$(n^{2})\displaystyle$$$O${\displaystyle (}$n)\displaystyle O(n)\displaystyle O$(n$displaystyle O(n)\displaystyle O(n$)\backslash$displaystyle O(${\displaystyle {n\mathrm{}}^{}}$)}시간$$ $내$에 모든 라인 배열을 구성할 수 있다는 것입니다.

메모들

레퍼런스

• 를 클릭합니다Agarwal, P. K.; Sharir, M. (2000), "Arrangements and their applications" (PDF), in Sack, J.-R.; Urrutia, J. (eds.), Handbook of Computational Geometry, Elsevier, pp. 49–119.

• 를 클릭합니다Agarwal, P. K.; Sharir, M. (2002), "Pseudo-line arrangements: duality, algorithms, and applications", Proc. 13th ACM-SIAM Symposium on Discrete Algorithms (SODA '02), San Francisco: Society for Industrial and Applied Mathematics, pp. 800–809.

• Aharoni, Y, Halperin, D;한니엘 족장이요, 나;Har-Peled, S.;Linhart, C(1999년),"선의 배열에 비행기에서 온라인 지역 건설", Vitter, 제프리 S.;Zaroliagis,인 크리스토 D(eds.), 알고리즘 공학:3국제 워크숍 WAE'99, 런던, 영국, 7월 19–21, 1999년, 회보, 강의 노트 컴퓨터 과학으로, 1668년, Spri vol..Nger-Verlag,를 대신하여 서명함. 139–153, CiteSeerX 10.1.1.35.7681, doi:10.1007/3-540-48318-7_13, 아이 에스비엔 978-3-540-66427-7.
• 를 클릭합니다Bern, M. W.; Eppstein, D.; Plassman, P. E.; Yao, F. F. (1991), "Horizon theorems for lines and polygons", in Goodman, J. E.; Pollack, R.; Steiger, W. (eds.), Discrete and Computational Geometry: Papers from the DIMACS Special Year, DIMACS Ser. Discrete Math. and Theoretical Computer Science (6 ed.), Amer. Math. Soc., pp. 45–66, MR 1143288.

• 를 클릭합니다Chazelle, B.; Guibas, L. J.; Lee, D. T. (1985), "The power of geometric duality", BIT Numerical Mathematics, 25 (1): 76–90, doi:10.1007/BF01934990, S2CID 122411548.

• 를 클릭합니다Edelsbrunner, H. (1987), Algorithms in Combinatorial Geometry, EATCS Monographs in Theoretical Computer Science, Springer-Verlag, ISBN 978-3-540-13722-1.

• 를 클릭합니다Edelsbrunner, H.; O'Rourke, J.; Seidel, R. (1986), "Constructing arrangements of lines and hyperplanes with applications", SIAM Journal on Computing, 15 (2): 341–363, doi:10.1137/0215024.

• 를 클릭합니다Edelsbrunner, H.; Guibas, L. J. (1989), "Topologically sweeping an arrangement", Journal of Computer and System Sciences, 38 (1): 165–194, doi:10.1016/0022-0000(89)90038-X.

• 를 클릭합니다Edelsbrunner, H.; Guibas, L. J.; Pach, J.; Pollack, R.; Seidel, R.; Sharir, M. (1992), "Arrangements of curves in the plane—topology, combinatorics, and algorithms", Theoretical Computer Science, 92 (2): 319–336, doi:10.1016/0304-3975(92)90319-B.

• Edelsbrunner, H.; Seidel, R.; Sharir, M. (1991), "On the zone theorem for hyperplane arrangements", New Results and New Trends in Computer Science, Graz, Austria: Springer Science & Business Media, 555: 108, doi:10.1016/0304-3975(92)90319-B
• 를 클릭합니다Grünbaum, B. (1972), Arrangements and Spreads, Regional Conference Series in Mathematics, vol. 10, Providence, R.I.: American Mathematical Society.

• Pinchasi, R. (2011), "The zone theorem revisited", Manuscript

• Saxena, S. (2021), "Zone theorem for arrangements in dimension three", Information Processing Letters, 172: 106161, arXiv:2006.01428, doi:10.1016/j.ipl.2021.106161, S2CID 219179345