정상 불변성

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수학에서 정상지도는 윌리엄 브라우더로 인해 기하학적 위상에서의 개념으로 수술 이론에서 기본적으로 중요하다.푸앵카레 콤플렉스 X(더 기하학적으로 푸앵카레 공간)를 보면, X의 정상 지도가 대략적으로 밀폐된 다지관의 호모토피-이성 지구 구조와 함께 그 공간을 내포하고 있다.특히 X는 안정적인 정상다발과 톰 붕괴지도가 좋은 후보지를 갖고 있는데, 이는 다지관 M에서 X까지의 지도가 기본 클래스와 일치하고 정상다발 정보를 보존하는 것과 맞먹는다.X의 치수가 $\ge {\displaystyle }$ ${\displaystyle \geq }$ 5인$$ 경우 C로 인한 대수 위상 수술 방해만 있을 뿐이다. T. C. 벽에서 X까지의 거리는 실제로 닫힌 다지관과 동등한 호모토피다.일반 지도는 세르게이 노비코프가 개척한 호모토피 유형 내 다지관 구조물의 고유성에 대한 연구에도 적용된다.

X에 있는 정상지도의 코보디즘 클래스는 정상불변성이라고 불린다.다지관의 범주(다름성, 조각성-선형 또는 위상학)에 따라, 일반 지도와 일반 불변성의 개념은 유사하게 정의되지만 불평등하다.

도메인 다지관 수술, 지도 보존 등을 뜻하는 일반 지도에서 수술을 할 수 있다.정상지도에서의 수술은 상대 호모토피 집단의 요소들을 사소한 정상 묶음을 가진 임베딩으로 표현함으로써 체계적으로 죽일 수 있게 한다.

정의

정상 맵의 정의는 정상 번들을 사용하는지 다지관의 접선 번들을 사용하는지에 따라 두 가지 등가 정의가 있다.따라서 상당히 편리한 것으로 판명된 정의들 사이에서 전환이 가능하다.

1. Poincaré complex X(즉, 셀룰러 체인 콤플렉스가 Poincaré duality를 만족하는 CW 복합체)의 공식 차원 $n{\displaystyle }$ ${\displaystyle n}$에 따라 X에 대한 일반 지도가 다음과 같이 구성된다$.$

• $닫힌{\displaystyle }$${\displaystyle \mathrm{n차원}}$ 다지관 M의 지도$$ f${\displaystyle }$→ ${\displaystyle X}$ $[\displaystyle f\colon M\to X}$
• X 위에$$ 묶음 ${\displaystyle \xi}$과(와) $M{\displaystyle }$ ${\displaystyle M}$의 안정적인 일반 묶음 ${\displaystyle {bundle}_{}}$ $M{\displaystyle {}_{}}$ ${\$에서$${$${\$displaysty \xi}$에 이르는 안정적인 맵.
• 보통 일반 지도는 1등급으로 되어 있다.즉, $M{\displaystyle }$ ${\displaystyle M}$의 기본 클래스는 $f{\displaystyle }$ ${\displaystyle f}$에 따라$$ X ${\displaystyle X}$의 기본 클래스에 매핑되어야 함$$$:$ $f{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {\ast }_{}}$ $M$=${\displaystyle }$[$X]$ $H_{n(X)$.

2$.$ 공식 차원 n {\$displaystyle{\displaystyle }$ n}의$푸앵카레$콤플렉스 X {\displaystyle X}(즉, 셀룰러 체인 콤플렉스가 푸앵카레 이중성을 만족하는 CW 콤플렉스$)$에 따라 $X{\displaystyle }$ ${\displaystyle$ $X$$}$에 대한 일반 맵(접선 번들에 대한)은 다음과 같이 구성된다.$$

• 지도 $f{\displaystyle }$: ${\displaystyle M}$→ ${\displaystyle X}$ ${\$$displaystyle f\colon M\to$ X$}$의 닫힌 n {\$displaystyle n}$ -차원$$ $다지관{\displaystyle }$ M ${\displaystyle M$
• $X{\displaystyle }$ ${\displaystyle X}$ 위에$$ 묶음 ${\displaystyle \xi}$이(가$)$ 있고, $M{\displaystyle }$ ${\displaystyle M}$의 안정적인 접선 번들 ${\displaystyle {bundle}^{}}$ ${\$$$\$tau_{M}\oplus \varepsilon ^{k}}$에서 $\{\backslash$$disy}$에 이르는 안정적인 지도.
• similarly as above it is required that the fundamental class of ${\displaystyle M}$ should be mapped under ${\displaystyle f}$ to the fundamental class of ${\displaystyle X}$: ${\displaystyle f_{*}([M])=[X]\in H_{n}(X)}$.

두 개의 정상적인 지도는 그들 사이에 정상적인 보르디즘이 존재한다면 동등하다.

수술 이론에서의 역할

지도 수술 대 일반 지도 수술

다음 질문을 고려하십시오.

공식 차원 n 호모토피(homotophy)의 푸앵카레 콤플렉스 X는 닫힌 n-manifold와 동일한가?

이 질문에 대한 순진한 수술 방법은 $다음$과 같다: 일부 $다지관{\displaystyle }$ M ${\displaystyle M}$에서 $X{\displaystyle }$ ${\displaystyle X}$까지의 지도 M${\displaystyle }$→ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle M\to$ X$}$부터 시작하여 호모토피 균등성을 만들기 위해 수술을 시도한다$.$다음 사항에 유의하십시오.우리의 시작 지도가 임의로 선택되었고, 수술은 항상 거미줄 지도가 만들어지기 때문에, ${\displaystyle \mathrm{지도}}$ $M{\displaystyle }$→ X ${\displaystyle M\to$ X$}$의 모든 거미줄 등급에 대해 (최악의 경우에는) 이 절차를 수행해야 한다$.$ 이러한 종류의 거미줄 이론은 톰에 의해 계수가 계산된 호몰로지 이론이다. 그러므로 거미줄 계급은그러한 지도의 계산은 최소한 모든 공간에 대해 이론적으로 가능하다$.$ $X{\displaystyle }$ ${\displaystyle X}.$

그러나 수술을 통해 지도에서 호모토피 균등성을 만드는 것이 가능한지 여부를 결정하는 것은 매우 어려운 반면, 지도에서 정상지도의 추가 구조가 나오면 같은 질문이 훨씬 쉬워지는 것으로 나타났다.따라서 우리 질문에 대한 고전적 수술 접근법에서는 정상 지도 $f{\displaystyle }$→ $(M$ → $X)로 시작$하여 (있는 경우라면) $수술$을 실시한다.$$여기에는 다음과 같은 몇 가지 장점이 있다.

• The map being of degree one implies that the homology of ${\displaystyle M}$ splits as a direct sum of the homology of ${\displaystyle X}$ and the so-called surgery kernel ${\displaystyle K_{*}(M)=ker(f_{*}\colon H_{*}(M)\to H_{*}(X))}$, that is ${\displaystyle H_{\ast }(M}$${\displaystyle H_{*}(M)=K_{*}(M)\oplus H_{*}(X)}$. (Here we suppose that ${\displaystyle f}$ induces an isomorphism of fundamental groups and use homology with local coefficients in ${\displaystyle Z[\pi _{1}(X)]}$.)

화이트헤드의 정리로는, $지도{\displaystyle }$ f$${\$displaystyle f}$는 수술 알맹이가 0인 경우에만$$ 호모토피 동등하다.

• 번들 데이터는 다음을 암시한다.요소 $\alpha {\displaystyle }$ ${\displaystyle {}_{}}$α ${\displaystyle {\mathrm{\alpha }}_{}}$ p${\displaystyle {}_{}}$+ 1${\displaystyle {}_{}}$(${\displaystyle f}$) ${\displaystyle \alpha \in \pi _{p+1}(f)}($$f{\displaystyle }$ ${\displaystyle f}$의 상대 호모토피 그룹$)$을 내장 $embed{\displaystyle }$: ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle p^{}}$→ M ${\displaystystyle \phi$:$f{\displaystyle }$ ${\displaystyle \circ }$: ${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle p^{}}$→ ${\displaystyle X}$ ${\circle \pi :$ null-homotopy가 $있는$ S$^{p}\to$ M$}($$또는$ 더 일반적으로 몰입)$S^{p}\to X}$그러면 정상 묶음이 안정적으로 사소한 임베딩(또는 몰입)으로 나타낼 수 있다.이 관찰은 수술은 사소한 정상적인 묶음을 가진 임베딩에서만 가능하기 때문에 중요하다.예를 들어, $p{\displaystyle }${\$displaystyle p}$이(가) X$${\$displaystyle$X}의 치수의 절반 이하인 경우$,$ ${\displaystyle \mathrm{모든}}$ 지도 ${\displaystyle S^{}}$ p${\displaystyle {}^{}}$→ X ${\displaysty S^{p}\to X}$는 휘트니의 정리에 의해 임베딩과 동일시적이다$$.반면에, 그러한 임베딩의 모든 안정적이고 사소한 정상 묶음은 자동적으로 사소한 것으로서, 왜냐하면 ${\displaystyle {\pi }_{}}$ p${\displaystyle {}_{}}$(${\displaystyle B}$ ${\displaystyle O}$, B ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle k_{}}$)${\displaystyle }$= ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle \pi _{p}(BO,$ BO,> ${\displaystyle k>p}$에 대한 $BO_{k}=0$ 따라서 정상 지도에 대한 수술은 항상 중간 치수 이하로 할 수 있다.임의 지도에 대해서는 그렇지 않다.

이러한 새로운 접근방식으로 인해 정상불변형인 정상지도의 보르디즘 등급이 분류될 필요가 있다는 점에 유의한다.반론적으로 지도들의 거미줄 계급과 대조적으로, 정상적인 불변자들은 공동동족학 이론이다.그 계수는 위상학적 다지관의 경우에 알려져 있다.매끄러운 다지관의 경우 이론의 계수가 훨씬 복잡하다.

일반 불변제 대 구조물 세트

세트 $N{\displaystyle \mathcal{}}$( $){\displaystyle {\mathcal{N}(X)}$을(를) 연구하는 것이 중요한 이유는 두 가지$.$ 수술 이론의 주요 목표는 질문에 답하는 것임을 상기하라.

1. 유한한 푸앵카레 콤플렉스 $X{\displaystyle }$ ${\displaystyle X$$}$에 $해당$하는 n ${\displaystyle n$$}$ -manifold$$ homotopy가 있는가$?$

2. Given two homotopy equivalences ${\displaystyle f_{i}\colon M_{i}\rightarrow X}$, where ${\displaystyle i=0,1}$ is there a diffeomorphism ${\displaystyle h\colon M_{0}\rightarrow M_{1}}$ such that ${\displaystyle f_{1}\circ h\simeq f_{0}}$?

이러한 질문에 대한 대답이 긍정적이면 다음 두 질문에 대한 대답이 긍정적이어야 하는 것이 필수 조건이라는 점에 유의하십시오.

1. 유한한 푸앵카레 콤플렉스 $X{\displaystyle }$ ${\displaystyle X}$이(가) 1도 정상지도$({\displaystyle f}$, ${\displaystyle b}$)${\displaystyle }$: ${\displaystyle M}$→ X ${\displaystyle (f,b)\colon M\rightarrow X}$이(가) 있는가$?$

2.' Given two homotopy equivalences ${\displaystyle f_{i}\colon M_{i}\rightarrow X}$, where ${\displaystyle i=0,1}$ is there a normal cobordism ${\displaystyle (F,B)\colon (W,M_{0},M_{1})\to (X\times I,X\times 0,X\times 1)}$ such that${\displaystyle {\mathrm{\partial }}_{}}$ ${\displaystyle {0\mathrm{}}_{}{}_{}}$ = ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {0\mathrm{}}_{}}${\$displaystyle \partial _{0}F=f_{0}}$ 및$$ $\partial {\displaystyle {\mathrm{}}_{}}$ ${\displaystyle {1\mathrm{}}_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$= f ${\displaystyle {1\mathrm{}}_{}}$ ${\$}F$=f_{1$}:{1$}:{$1}:{1$\}\}\}\}\}$

이것은 물론 거의 사소한 관찰이지만, 1번 문제에 답하는 효과적인 이론이 있다는 것이 밝혀지기 때문에 중요하다.' 그리고 1번 문제에 답하는 효과적인 이론이 있다. 1번 답은 '그렇다'이다.질문 2.와 2.의 경우와 유사하다.' 또한 우리는 질문을 다음과 같이 구문할 수 있다.

1.' $N{\displaystyle \mathcal{}}$( ${\displaystyle X}$) ${\displaystyle \mathrm{\ne }}$ ${\displaystyle {\mathcal${\n$}(X)\neq \emptyset }$인가$?$

2.' f ${\displaystyle {0\mathrm{}}_{}}$= ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {1\mathrm{}}_{}}$ ${\$${\displaystyle \mathrm{f\_}}$${1}:{$1} in$$ $N{\displaystyle \mathcal{}}$ (${\displaystyle }$X${\displaystyle }$) ${\displaystyle {\mathcal{N}(X)}$ 인가요$?$

${\displaystyle \mathrm{따라서}}$ $N{\displaystyle \mathcal{}}$( X$){\displaystyle {\mathcal{N}(X)}$을(를) 공부하는 것은 정말로 수술 이론의 주요 목표인$$ $S{\displaystyle \mathcal{}}$( $){\displaystyle {\mathcal{S}}}}$을(를) 이해하려는 첫걸음이다$$.요점은 $아래$와 같이 대수 위상의 관점에서 N${\displaystyle }$( ${\displaystyle X}$) ${\displaystyle {\mathcal{N}(X)}$이(가) 훨씬 접근하기 쉽다는$$ 것이다.

호모토피 이론

1.' X를 유한 n차원 푸앵카레 콤플렉스가 되게 하라.$N{\displaystyle \mathcal{}}$( $){\displaystyle {\mathcal{N}(X)}$의 정의를 일반 번들과 함께$$ 사용하면 유용하다.(매끄러운) 다지관은 독특한 접선 다발과 독특한 안정적 정상 다발을 가지고 있다는 것을 상기하라.그러나 유한한 푸앵카레 단지는 그런 독특한 보따리를 소유하고 있지 않다.그럼에도 불구하고, 그것은 대체품 - 어떤 의미에서는 구면 진동 - 소위 스피박 보통 진동을 가지고 있다.$X{\displaystyle }$ ${\displaystyle X}$이(가) 다지관과 동등한 호모토피일 경우 해당 다지관의 정상 다발의 풀백과 관련된 구형 진동이 스피바크 일반 진동에 이형성이 있다는 특성이 있다.따라서 $N{\displaystyle \mathcal{}}$( ${\displaystyle X}$)$≠{\displaystyle {\mathcal {\n}(X)\neq \emptyset }}$에 따라 Spivak 정상 진동이 번들 감소한다.Pontrjagin-Thom 건설에 의해 그 반대도 사실이다.

이것은 호모토피 이론의 관점에서 공식화될 수 있다.Recall ${\displaystyle BG}$ the classifying space for stable spherical fibrations, ${\displaystyle BO}$ the classifying space for stable vector bundles and the map ${\displaystyle J\colon BO\rightarrow BG}$ which is induced by the inclusion ${\displaystyle O\hookrightarrow G}$ and which corresponds 벡터 번들의 연관된 구형 진동.In fact we have a fibration sequence ${\displaystyle BO\rightarrow BG\rightarrow B(G/O)}$. The Spivak normal fibration is classified by a map ${\displaystyle \nu _{X}\colon X\rightarrow BG}$. It has a vector bundle reduction if and only if ${\displaystyle \nu _{X}}$ has a lift $$${\displaystyle {\tilde {\nu }}_{X}\colon X\rightarrow BO}$. This is equivalent to requiring that the composition ${\displaystyle X\rightarrow BG\rightarrow B(G/O)}$ is null-homotopic.

는 B(G/O){B(G/O)\displaystyle}의 호모토피 그룹 특정 low-dimensions에서 가능성은 위의 조건 일부 X{X\displaystyle}이 실패할 수 있다는 의견은이 있다. 사실 그러한 유한 푸앵카레 단지에, 첫번째 예 Gitler과 Stasheff,는 경우에는 cita에 의해 입수됐다 있음을 유의한다.tion yiel 해결을 필요한따라서 다지관과 동등한 호모토피가 아닌 푸앵카레 콤플렉스의 예.

2.' 위의 고려사항을 상대화하여 (자연스럽지 않은) 편견을 얻는다.

${\displaystyle {\mathcal{N}(X)\cong [X, G/O]}$

다른 범주

위의 $생체주입$은 $공간{\displaystyle }$ G${\displaystyle /O}$ ${\displaystyle G/O}$이(가) 루프 공간이고$$ 사실상 무한 루프 공간이기 때문에 정상 불변자는 그 무한 루프 공간에 의해 정의된 비상한 코호몰로지 이론의 제로트 코호몰로지 그룹이기 때문에 아벨 그룹 {\$displaystystyle {\mathcal{N}(X)$의 구조를$$ 제공한다.유사한 아이디어는 다른 범주의 다지관에 적용되며 하나는 반대한다는 점에 유의하십시오.

${\displaystyle {\mathcal {N}}(X)\cong [X,G/O]}$, and ${\displaystyle {\mathcal {N}}^{PL}(X)\cong [X,G/PL]}$, and ${\displaystyle {\mathcal {N}}^{TOP}(X)\cong [X,G/TOP].$$}$

그 공간은 잘 알려져 있다.

${\displaystyle G}$/ ${\displaystyle O}$ ${\displaystyle G/O$ $G{\displaystyle }$/ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle G/PL}$ 및$$ $G{\displaystyle }$/ ${\displaystyle T}$ O ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle G/TOP}$

상호 호모토피 등가물이 아니므로 세 가지 다른 호모학 이론을 얻는다.

$설리반$은 G / P L ${\디스플레이$ ${\displaystyle \mathrm{스타일}}$ $G/PL}$과 G${\displaystyle }$/ T ${\displaystyle O}$ ${\displaystyle P}$ ${\디스플레이$ 스타일 $G/TOP}$의 사례들을 분석한 결과, 이러한 공간들이 대체적인 무한 루프 공간 구조를 가지고 있으며, 이는 사실 다음과 같은 관점에서 더 나은 것으로 나타났다$.$일반 불변제부터 L그룹까지 수술 방해 지도가 있음을 상기한다.위에서 설명한 일반적인 불변성의 그룹 구조와 함께 이 지도는 동형성이 아니다.그러나 설리반의 정리로부터 나온 그룹 구조와 함께 $C{\displaystyle }$ ${\displaystyle A}$T = ${\displaystyle P}$ L ${\displaystyle CAT=$ 범주에서 동형식이 된다.$PL}$, 그리고 $T{\displaystyle }$ ${\displaystyle O}$ P ${\displaystyle TOP$ 그의 정리는 또한 이러한 새로운 집단 구조들을 잘 알려진 코호몰로지 이론, 즉 단수 코호몰로지, 진짜 K-이론과 연결시킨다.

참조

• Browder, William (1972), Surgery on simply-connected manifolds, Berlin, New York: Springer-Verlag, MR 0358813
• Gitler, Samule; Stasheff, James D. (November 1965), "The first exotic class of BF", Topology, 4 (3): 257–266, doi:10.1016/0040-9383(65)90010-8
• Lück, Wolfgang (2002), A basic introduction to surgery theory (PDF), ICTP Lecture Notes Series 9, Band 1, of the school "High-dimensional manifold theory" in Trieste, May/June 2001, Abdus Salam International Centre for Theoretical Physics, Trieste 1-224
• Ranicki, Andrew (2002), Algebraic and Geometric Surgery, Oxford Mathematical Monographs, Clarendon Press, CiteSeerX 10.1.1.309.8886, doi:10.1093/acprof:oso/9780198509240.001.0001, ISBN 978-0-19-850924-0, MR 2061749
• Wall, C. T. C. (1999), Surgery on compact manifolds, Mathematical Surveys and Monographs, vol. 69 (2nd ed.), Providence, R.I.: American Mathematical Society, CiteSeerX 10.1.1.309.8451, doi:10.1090/surv/069, ISBN 978-0-8218-0942-6, MR 1687388