수술 구조 세트

수학에서 수술구조 집합 ${\mathcal {S}}(X)$ ( $){\displaystyle {\mathcal{S}(X)}$ 는 닫힌 다지관 X에 해당하는 호모토피인 다지관 연구의 기본 대상이다 ${\mathcal {S}}(X)$ .그것은 두 개의 호모토피 등가 다지관이 차이점형(또는 PL-동형 또는 동형)인지에 대한 질문에 대답하는 데 도움이 되는 개념이다.카테고리(DIFF, PL 또는 TOP)와 화이트헤드 비틀림 고려 여부에 따라 다른 버전의 구조물이 설정된다.

정의

X를 치수 n의 닫힌 스무스(또는 PL 또는 위상학) 다지관으로 한다.우리는 두 개의 호모토피 동등성을 $f_{i}:M_{i}\to X$ $f_{i}:M_{i}\to X$ : $f_{i}:M_{i}\to X$ → $f_{i}:M_{i}\to X$ $f_{i$ 라고 부른다. $M_{i}\to X}$ from closed manifolds $M_{i}$ of dimension $n$ to $X$ ( $i=0,1$ ) equivalent if there exists a cobordism ${\mathcal {}}(W;M_{0},M_{1})$ together with a map $(F;f_{0},f_{1}):(W;M_{0},M_{1})\to (X\times [0,1];X\times \{0\},X\times \{1\})$ ${\displaystyle (F;F_{0},F_$ $F$ ${\displaystyle F$ f $f_{0}$ ${\$ $f_{1}$ $f_{1}$ ${\$ 1}와 같은 $(F;f_{0},f_{1}):(W;M_{0},M_{1})\to (X\times [0,1];X\times \{0\},X\times \{1\})$ $X\time \{0\}, X\time$ \times \{1 $\}}}}$ 은 $f_{1}$ (는) 균등성이다.구조물 집합 ${\mathcal {S}}^{h}(X)$ ${\mathcal {S}}^{h}(X)$ ( X ${\mathcal {S}}^{h}(X)$ ) ${\s}^{h}(X)$ 은 ${\mathcal {S}}^{h}(X)$ 호모토피 동등성 f : M → ${\displaystyle f:$ $치수$ n부터 X까지의 폐쇄 다지관으로부터 $f:M\to X$ M $\to$ X $}.$ 이 집합에는 $id:X\to X$ 설정 기준점 $id:X\to X$ : $id:X\to X$ → X ${\displaystyle id:$ $X\to$ X $id:X\to X$

화이트헤드 비틀림을 고려한 버전도 있다.위의 정의에서 호모토피 동등성 F, $f_{0}$ 0 ${\$ 및 $f_{1}$ $f_{1}$ ${\$ }을 단순 호모토피 동등성이라고 $f_{1}$ 요구하면 ${\mathcal {S}}^{s}(X)$ 구조 집합 ${\mathcal {S}}^{s}(X)$ ( $){\displaystyle$ {\s $}^{s}(X)$ 를 얻는다 ${\mathcal {S}}^{s}(X)$

언급

${\mathcal {S}}^{h}(X)$ ${\mathcal {S}}^{h}(X)$ ( $){\displaystyle$ {\displaystyle ${\mathcal {\s}^{h}(X)}$ 의 정의에서 $(W;M_{0},M_{1})$ $(W;M_{0},M_{1})$ ( $W$ ; $M_{0},M_{1}}}}}$ 이(가) resp에 ${\mathcal {S}}^{h}(X)$ 유의하십시오. ${\mathcal {S}}^{s}(X)$ ( ${\mathcal {S}}^{s}(X)$ ) ${\mathcal{S}^{s}(X)$ 은 ${\mathcal {S}}^{s}(X)$ h-코보르드주의 resp. s-코보르드주의다.s-코보르디즘의 정리를 사용하여 우리는 ${\mathcal {S}}^{s}(X)$ 구조 집합 S ( ${\mathcal {S}}^{s}(X)$ ) ${\displaystyle {\s}^{s}(X$ 에 대한 또 다른 설명을 얻는다. 단, n>4: ${\mathcal {S}}^{s}(X)$ 구조 집합 ${\mathcal {S}}^{s}(X)$ ( X ${\mathcal {S}}^{s}(X)$ ) ${\mathcal {S}^{s}(X)$ 는 ${\mathcal {S}}^{s}(X)$ $f:M\to X$ $f:M\to X$ f : M → X ${\displaystyle f:$ $다음$ 과 같은 동등성 관계와 관련하여 치수 n의 $M$ 닫힌 다지관 $M$ $M$ 에서 $f:M\to X$ X까지 M $\to X}.$ 두 개의 호모토피 동등성 $f_{i}:M_{i}\to X$ $f_{i}:M_{i}\to X$ : $f_{i}:M_{i}\to X$ → X ${\displaystyle f_{i}:$ $M_{i}\to X}($ i=0,1)는 차이형성(또는 PL-동형성 또는 동형성) g $g:M_{0}\to M_{1}$ : $g:M_{0}\to M_{1}$ $g:M_{0}\to M_{1}$ → $g:M_{0}\to M_{1}$ 1 ${\$ $f_{1}\circ g$ $f_{1}\circ g$ $f_{1}\circ g$ g $f_{1}\circg$ 이 $g:M_{0}\to M_{1}$ $f_{1}\circ g$ (가) $f_{0}$ 0 ${\$ 과(와) 동일시되도록 $M_{0}\to M_{1}}}}.$

As long as we are dealing with differential manifolds, there is in general no canonical group structure on ${\mathcal {S}}^{s}(X)$ . If we deal with topological manifolds, it is possible to endow ${\mathcal {S}}^{s}(X)$ with a preferred structure of an abelian group (see라니키(Ranicki)의 제18장).

Notice that a manifold M is diffeomorphic (or PL-homeomorphic or homeomorphic) to a closed manifold X if and only if there exists a simple homotopy equivalence $\phi :M\to X$ whose equivalence class is the base point in ${\mathcal {S}}^{s}(X)$ . Some care is necessary because it주어진 단순한 호모토피 동등성 $\phi :M\to X$ : $\phi :M\to X$ → X ${\displaystyle \pi :M\to$ X $}$ 은(또는 PL-동형 또는 동형) 차이점동형(또는 PL-동형)에 대한 동일성이 아닐 $\phi :M\to X$ 수 있다. ${\mathcal {S}}^{s}(X)$ S ${\mathcal {S}}^{s}(X)$ ( $){\displaystyle{\mathcal{S}^{s}(X)}$ 에 대한 X의 단순한 자기 동일성의 호모토피 클래스 그룹의 운영도 연구할 필요가 있다 ${\mathcal {S}}^{s}(X)$

간단한 구조 세트를 계산하는 기본 도구는 수술 순서다.

예

위상학적 구체:위상학 범주에서 일반화된 푸앵카레 추측에 ${\mathcal {S}}^{s}(S^{n})$ S ${\mathcal {S}}^{s}(S^{n})$ ( ${\mathcal {S}}^{s}(S^{n})$ n ${\mathcal {S}}^{s}(S^{n})$ ) ${\displaystyle {\mathcal{S}^{s}(S^{n})$ 는 기준점으로만 구성된다 ${\mathcal {S}}^{s}(S^{n})$ .이러한 추측은 스마일(n > 4), 프리드먼(n = 4)과 페렐만(n = 3)에 의해 증명되었다.

이국적인 구:케르베어와 밀노르에 의한 이국적인 구의 ${\mathcal {S}}^{s}(S^{n})=\theta _{n}=\pi _{n}(PL/O)$ 는 n > 4(원활한 범주)에 ${\mathcal {S}}^{s}(S^{n})=\theta _{n}=\pi _{n}(PL/O)$ ${\mathcal {S}}^{s}(S^{n})=\theta _{n}=\pi _{n}(PL/O)$ S ${\mathcal {S}}^{s}(S^{n})=\theta _{n}=\pi _{n}(PL/O)$ n ${\mathcal {S}}^{s}(S^{n})=\theta _{n}=\pi _{n}(PL/O)$ ) = ${\mathcal {S}}^{s}(S^{n})=\theta _{n}=\pi _{n}(PL/O)$ = ${\mathcal {S}}^{s}(S^{n})=\theta _{n}=\pi _{n}(PL/O)$ ${\mathcal {S}}^{s}(S^{n})=\theta _{n}=\pi _{n}(PL/O)$ L ${\mathcal {S}}^{s}(S^{n})=\theta _{n}=\pi _{n}(PL/O)$ / O $){\displaystyle {\\mathcal{S}^{s}}}}^{n}=\pi _{n}(PL/O)}}}}}$ 을 부여한다.

참조

Browder, William (1972), Surgery on simply-connected manifolds, Berlin, New York: Springer-Verlag, MR 0358813
Ranicki, Andrew (2002), Algebraic and Geometric Surgery, Oxford Mathematical Monographs, Clarendon Press, ISBN 978-0-19-850924-0, MR 2061749
Wall, C. T. C. (1999), Surgery on compact manifolds, Mathematical Surveys and Monographs, vol. 69 (2nd ed.), Providence, R.I.: American Mathematical Society, ISBN 978-0-8218-0942-6, MR 1687388
Ranicki, Andrew (1992), Algebraic L-theory and topological manifolds (PDF), Cambridge Tracts in Mathematics 102, CUP, ISBN 0-521-42024-5, MR 1211640

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