스투름의 정리

수학에서 단변 다항식 p의 스터름 시퀀스는 다항식 에유클리드 알고리즘의 변종에 의해 p 및 그 파생물과 연관된 다항식 시퀀스다. 스투름의 정리는 그 구간의 경계에서 스투름 수열의 값의 부호 변화 횟수의 관점에서 구간에 위치한 p의 뚜렷한 실질 근의 수를 표현한다. 모든 실수의 간격에 적용하여 p의 실수의 총수를 부여한다.^[1]

대수학의 근본적인 정리는 여러 가지로 계산되는 복잡한 뿌리의 전체 수를 흔쾌히 산출하는 반면에, 그것은 그것들을 계산하는 절차를 제공하지 않는다. 스투름의 정리는 뚜렷한 진짜 뿌리의 수를 세어 간격을 두고 위치시킨다. 일부 뿌리를 포함하는 간격을 세분화함으로써, 각각 정확히 하나의 뿌리를 포함하는 임의의 작은 간격으로 뿌리를 분리할 수 있다. 이것은 가장 오래된 진짜 뿌리 분리 알고리즘과 일변량 다항식용 임의정밀 뿌리 찾기 알고리즘을 산출한다.

실재에 대한 계산을 위해 스투름의 정리는 데카르트의 기호 규칙에 근거한 다른 방법들에 비해 효율성이 떨어진다. 그러나, 그것은 모든 실제 폐쇄적인 분야에서 작용하며, 따라서, 실수의 첫 번째 순서 이론에서 결정성과 정량화 제거의 계산 복잡성에 대한 이론적 연구를 위해 기초적인 것으로 남아 있다.

스투름 순서와 스투름의 정리는 1829년 정리를 발견한 자크 샤를 프랑수아 스투름의 이름을 따서 지은 것이다.^[2]

정리

실제 계수가 있는 일변량 다항식 P(x)의 스터름 체인 또는 스터름 시퀀스는 다항식 $P{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {0\mathrm{}}_{}}$ P ${\displaystyle {1\mathrm{}}_{}}$, ${\displaystyle \dots ,}$ ${\displaystyle P_{0},P_{1},\ldots$의 시퀀스로 다음과 같다$$$.$

${\displaystyle {\reasoned}P_{0}&=P,\\P_{1}&=P',\P_{i+1},\\P_{i+1}&=-\operatorname {rem}(P_{i-1},P_{i}),\end{aigned}}}}}}$

for i ≥ 1, where P' is the derivative of P, and ${\displaystyle \operatorname {rem} (P_{i-1},P_{i})}$ is the remainder of the Euclidean division of ${\displaystyle P_{i-1}}$ by ${\displaystyle P_{i}.$$}}$ 스터름 수열의 길이는$$ 기껏해야 P 정도.

P의 스터름 시퀀스 of에서의 부호 변화 횟수는 실수의 순서로 부호가 바뀌는 횟수(영점 무시)이다.

${\displaystyle P_{0}(\xi ), P_{1}(\xi ), P_{2}(\xi ),\ldots .}$

이 수치의 부호 변형은 여기에서 V(ξ)로 표시된다.

스투름의 정리에는 P가 사각형 없는 다항식이라면, 반개방 간격(a, b)에 있는 P의 뚜렷한 실질 뿌리 수는 V(a) - V(b) (여기서 a와 b는 < b)와 같은 실수라고 되어 있다.^[1]

정리는 다항식의 +∞에 있는 부호를 선행계수의 부호(즉, 최고도 항수의 계수)로 정의함으로써 무한구간까지 확장된다. -1987에서 다항식의 부호는 짝수 다항식의 경우 선행 계수의 부호가 되고, 홀수 다항식의 경우 반대 부호가 된다.

비제곱 자유 다항식의 경우 a와 b가 p의 다중 루트가 아닌 경우 V(a) - V(b)는 P의 구별되는 실제 루트의 수입니다.

The proof of the theorem is as follows: when the value of x increases from a to b, it may pass through a zero of some ${\displaystyle P_{i}}$ (i > 0); when this occurs, the number of sign variations of ${\displaystyle (P_{i-1},P_{i},P_{i+1})}$ does not change. x가 P ${\displaystyle {0\mathrm{}}_{}}$= ${\displaystyle P}$, ${\displaystyle P_{0$${\displaystyle {}_{}}$$P$의 루트를 통과하면${\displaystyle }$(P${\displaystyle {}_{}{0\mathrm{}}_{}}$, P 1 ) {\$displaystyle (P_{0},$P_$${1}})의 기호 변화 수가 1에서 0으로 감소한다$$. 이것들은 어떤 부호가 바뀔 수 있는 x의 유일한 값이다.

예

다항식 $p{\displaystyle (}$ ${\displaystyle x}$)${\displaystyle }$= ${\displaystyle {x\mathrm{}}^{}}$ 4${\displaystyle {}^{}}$+ ${\displaystyle {x\mathrm{}}^{}}$ ${\displaystyle 3{}^{}}$-${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle p(x)=x^{4}+x^{3}-x-1}$에 대한 일부 범위의 루트 수를 찾으려고 한다고 가정해 보십시오$.$

${\displaystyle {\regated}p_{0}(x)&=p(x)=x^{4}+x^{3}-x-1\\p_{1}(x)&p'=4x^{3}+3x^{2}-1\ed}}}}}}일정된 {nd{liged}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}$

p₀ by p의₁ 유클리드 분할의 나머지는 -${\displaystyle }$3 ${\displaystyle {16\mathrm{}}^{}}$ ${\displaystyle x{}^{}}$ 2${\displaystyle {}^{}}$- 3 ${\displaystyle 4}$ ${\displaystyle \frac{\mathrm{x}}{}}$ ${\displaystyle -}$ ${\displaystyle \frac{15}{}}$ $;$ {\$displaystyle -{\tfrac{3}{16}}}-{4}x-{\$tfrac{$15}{16};}$에 -1을 곱한 값이다.

${\displaystyle {}_{}p}$ ${\displaystyle {2\mathrm{}}_{}}$( x${\displaystyle }$)${\displaystyle }$= 3 ${\displaystyle \frac{16}{}}$ ${\displaystyle {x\mathrm{}}^{}}$ 2${\displaystyle {}^{}}$+ 3 ${\displaystyle 4}$ ${\displaystyle \frac{\mathrm{x}}{}}$+ ${\displaystyle \frac{15}{}}$ ${\displaystyle \frac{16}{}}$ ${\$

다음에 p를₁ p로₂ 나누고 나머지에 -1을 곱하면 우리는 얻는다.

${\displaystyle p_{}}$ ${\displaystyle {3\mathrm{}}_{}}$( ${\displaystyle x}$)${\displaystyle }$=${\displaystyle }$- ${\displaystyle 32}$ ${\displaystyle x}$- ${\displaystyle 64}$ ${\displaystyle p_{3}(x)=-32x-64}$.

이제₂ p를 p로₃ 나누고 나머지를 -1로 곱하면 우리는 얻는다.

${\displaystyle {p\mathrm{}}_{}}$ 4${\displaystyle {}_{}}$( ${\displaystyle x}$)${\displaystyle }$=${\displaystyle }$- 3 ${\displaystyle \frac{16}{}}$ ${\$ .

이것이 상수인 만큼 스투름 수열의 연산을 마친다.

$p{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {0\mathrm{}}_{}}$ ${\$의 실제 루트의 수를 찾으려면 각각$$ (+, -, -, +, +, +, +, +, -)와 (+, +, +, +, -)인 - -와 ∞에서 이러한 다항식 부호의 시퀀스를 평가해야 한다. 그러므로

${\displaystyle V(-\fty )-V(+\fty )=3-1=2,}$

그것은 p가 두 개의 진짜 뿌리를 가지고 있다는 것을 보여준다.

이는 p(x)를 (x² - 1)(x² + x + 1)로 인수할 수 있으며, 여기서 첫 번째 요인은 -1과 1이고, 두 번째 요인은 실제 뿌리가 없음을 확인하면 알 수 있다. 이 마지막 주장은 2차 공식에서 비롯되며, -∞에서는 부호 시퀀스(+, –, –), + at에서는 +, +, –)를 주는 스투름의 정리에서도 비롯된다.

일반화

철갑상어의 순서는 두 방향으로 일반화되었다. 각 다항식을 순서에 따라 정의하기 위해 스투렘은 앞의 두 개의 유클리드 분할의 나머지 부분의 음을 사용했다. 그 정리는 그 나머지 부분의 음을 그 곱이나 몫에 의해 양수나 다항식의 제곱으로 대체하는 경우에도 참으로 남아 있다. 두 번째 다항식이 첫 번째 다항식의 파생형이 아닌 시퀀스를 고려하는 것도 유용하다(아래 참조).

일반화된 Sturm 시퀀스는 실제 계수를 갖는 다항식의 유한 시퀀스다.

${\displaystyle P_{0},P_{1},\dots,P_{m}}$

그런

• 첫 번째 i< P - $(\${i-1}><\deg P_${i-1}$ i = 2, ..., m;
• ${\displaystyle P_{}}$ ${\displaystyle m_{}}$ ${\$은(는) 실제 뿌리가 없거나$$ 실제 뿌리에 가까운 기호의 변화가 없다.
• 만약_i P(()가 0 < i < m>과 0에 대해 0이라면, P_{i −1} (ξ) P_{i + 1}(ξ) < 0.

마지막 조건은 두 개의 연속된 다항식들이 어떤 공통의 진짜 뿌리를 가지고 있지 않다는 것을 의미한다. 특히 원래의 스터름 시퀀스는 일반화된 스터름 시퀀스인데, 만약 (그리고 만약) 다항식이 다중 실제 루트를 가지고 있지 않다면(그렇지 않으면 그것의 스터름 시퀀스의 처음 두 다항식은 공통 루트를 가지고 있다)

유클리드 분할에 의한 원래의 스터름 시퀀스를 계산할 때, 절대 부정적이지 않은 인자를 갖는 다항식(${\displaystyle {x2\mathrm{}}^{}}${\$displaystyle$ x$^{2}}}$ 또는$$ ${\displaystyle {x\mathrm{}}^{}}$ 2${\displaystyle {}^{}}$+ ${\displaystyle 1}$ ${\displaysty x^{2}+1}$과 같은 현상이 발생할 수 있다$.$ 이 경우, 비부정 인자에 의한 지수로 대체되는 다항식으로 연산을 계속하면, 스투름의 정리 증명이 여전히 적용되기 때문에 (제3 조건 때문에) 실제 뿌리의 수를 계산하는 데도 사용될 수 있는 일반화된 스투름 수열을 얻게 된다. 이는 x의 고른 힘을 제외하고는 일반적으로 그러한 비부정 인자를 찾기가 어렵지만 때로는 연산을 단순화할 수 있다.

의사 제거 시퀀스 사용

컴퓨터 대수에서, 고려되는 다항식은 정수 계수를 가지거나 정수 계수를 가지도록 변환될 수 있다. 정수 계수가 있는 다항식의 Sturm 시퀀스는 일반적으로 계수가 정수가 아닌 다항식을 포함한다(위의 예 참조).

합리적인 숫자로 계산되는 것을 피하기 위해 공통적인 방법은 다항식 최대 공통 구분자를 계산하기 위해 유클리드 분할을 의사 분할로 대체하는 것이다. 이는 유클리드 알고리즘의 나머지 시퀀스를 의사-제거자 ${\displaystyle {시퀀스\mathrm{}}_{}}$ p 0 ,${\displaystyle }$…${\displaystyle }$, ${\displaystyle p_{}}$ k ${\$ 그런 상수가$$ ${\displaystyle {있는}_{}}$ 다항식의 시퀀스$$ $p{\displaystyle {}_{}}$ ${\$ ${\displaystyle b_{}}$ ${\$b_{$i}}$로 대체하는 것과 같다. that ${\displaystyle b_{i}p_{i+1}}$ is the remainder of the Euclidean division of ${\displaystyle a_{i}p_{i-1}}$ by ${\displaystyle p_{i}.}$ (The different kinds of pseudo-remainder sequences are defined by the choice of ${\displaystyle a_{i}}$ and ${\d$$isplaystyle b_{i};};}$ 일반적으로$$ 유클리드 분할 중에 분모를 도입하지 않는 ${\displaystyle {경우}_{}}$ i ${\$가 선택되며$$, $b{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle i_{}}$ ${\$는 결과 잔차 계수의 일반적인 구분자임. 자세한 내용은 Phoke-remainer 시퀀스를 참조하십시오.) For example, the remainder sequence of the Euclidean algorithm is a pseudo-remainder sequence with ${\displaystyle a_{i}=b_{i}=1}$ for every i, and the Sturm sequence of a polynomial is a pseudo-remainder sequence with ${\displaystyle a_{i}=1}$ and ${\displaystyle b_{i}=-1}$ for everi i.

다양한 의사 제거 시퀀스는 분모를 도입하지 않고 정수 계수를 갖는 다항식의 최대 공통 분수를 계산하기 위해 설계되었다(의사 제거 시퀀스 참조). 모두 $b{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle i_{}}$ ${\$의 기호를 ${\displaystyle i_{}}$. ${\displaystyle a_{i}$의 기호와 반대로 선택하여$$ 일반화된 스터름 시퀀스를 만들 수 있다.$}$ 이를$$ 통해 사이비-제거 시퀀스와 함께 스투름의 정리를 사용할 수 있다.

뿌리 격리

실제 계수가 있는 다항식의 경우, 루트 격리는 각 실제 루트에 대해 이 루트를 포함하는 구간과 다른 루트를 찾지 않는 것으로 구성된다.

이것은 뿌리의 선택을 허용하고 뉴턴의 방법과 같은 빠른 숫자 알고리즘의 좋은 출발점을 제공하는 뿌리 발견에 유용하며, 마치 뉴턴의 방법이 즉시 잘못된 뿌리로 수렴된다고 추론할 수 있는 간격 밖으로 수렴되는 것처럼 결과를 인증하는 데도 유용하다.

뿌리 격리는 대수적 숫자로 계산하는 데도 유용하다. 대수적 숫자로 계산하는 경우, 공통적인 방법은 대수적 숫자가 루트인 다항식 쌍과 분리 구간으로 표시하는 것이다. 예를 들어, $2{\displaystyle \sqrt{\mathrm{}}}${\$displaystyle${\$sqrt{2}}$는$x2$2, [ $, 2$ )로 명확하게 나타낼 수 있다$$$.$$}$

스투름의 정리는 데카르트의 기호 규칙과 관련된 다른 방법들에 비해 효율성이 낮은 (정수 계수가 있는 다항식의 경우) 실제 뿌리를 분리하는 방법을 제공한다. 그러나, 주로 이론적 목적, 예를 들어, 인피니티시멀을 수반하는 실제 대수 기하학의 알고리즘에 대해서는 일부 상황에서 유용하게 남아 있다.

실제 뿌리를 분리하기 위해서는 모든 ${\displaystyle \mathrm{실제}}$ 뿌리 또는 관심의 뿌리(${\displaystyle \mathrm{종종}}$ 물리적 문제에서는 양의 뿌리만 흥미롭다)를 포함하는$$ 간격${\displaystyle (,}$ , b ${\displaystyle ]}$ ${\displaystyle (a,b)$에서 $시작$하여${\displaystyle V}$ ($){\displaystyle$V$(a)$와 $V{\displaystyle }$(${\displaystyle b}$ ${\displaystyle )}$.\$displaysty V(b)$를 계산한다.$}$ 이 시작 간격을 정의하기 위해$$ 루트 크기에 대한 경계를 사용할 수 있다(다항식 루트 속성 § 다항식 루트(복잡한)에 대한 경계 참조). 그런 다음$,{\displaystyle }$ 이 간격을 (${\displaystyle }$a, ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle ]}$. $[\displaystyle (a,b$)의 중간에 c를 선택하여 둘로 나눈다$.$$}$ $V{\displaystyle }$( ${\displaystyle c}$) ${\displaystyle V(c)}$의 계산은$$ ${\displaystyle (,}$ ${\displaystyle c}$) ${\displaystyle (a,c)}$ 및${\displaystyle (,}$ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle ]}$, ${\displaystyle (c,b),}$의 실제 루트 수를 제공하며$$, 각$$ 하위 인터벌에 대해 동일한 작업을 반복할 수 있다. 이 과정에서 루트를 포함하지 않는 구간이 발생할 경우, 고려해야 할 구간 목록에서 억제할 수 있다. 한 루트가 정확히 한 루트가 들어 있는 구간을 마주치면 분리 구간인 만큼 분리를 중단할 수도 있다. 분리 간격만 남아 있으면 결국 공정이 중단된다.

이 격리 프로세스는 간격의 실제 뿌리 수를 계산하기 위해 어떤 방법으로도 사용될 수 있다. 이론적 복잡성 분석과 실제 경험은 데카르트의 기호 규칙에 기초한 방법이 더 효율적이라는 것을 보여준다. 그 뒤를 이어 오늘날에는 스터름 시퀀스가 뿌리 절연에 거의 사용되지 않는다.

적용

일반화 스터름 시퀀스는 이러한 루트를 명시적으로 계산하지 않고 다른 다항식이 양(또는 음)인 다항식의 루트를 계산할 수 있다. 첫 번째 다항식의 루트에 대한 격리 간격을 알고 있는 경우, 이것은 또한 첫 번째 다항식의 이 특정 루트에서 두 번째 다항식의 기호를 찾을 수 있게 하며, 루트의 더 나은 근사치를 계산하지 않아도 된다.

P(x)와 Q(x)는 P와 Q가 공통 루트가 없고 P는 다중 루트가 없는 등 실제 계수를 갖는 두 다항식이 되도록 한다. 즉, P와 P'Q는 동시 다항식이다. GCD 계산으로 일반 사례를 줄일 수 있고, 스터름 시퀀스 계산 비용은 GCD의 계산 비용과 동일하므로 이 제한은 실제로 다음과 같은 일반성에 영향을 미치지 않는다.

W(를) 개념화된 슈투름 시퀀스 0만약<>b은 두가지 실수를, P의 간격(a, b]{(의]}은 Q( 이러한\displaystyle)을에서 뿌리의 W(를)– W(b)은 수;0마이너스의 뿌리가 같은 간격의 수가 Q(를)<>P와 P의 A.에서 시작해에 사인 변화의 수를 나타내자.전체와 결합하여 스투름의 정리가 주는 같은 간격의 P의 뿌리 수, 이것은 Q(a) > 0과 같은 P의 뿌리 수를, 그리고 Q(a) < 0과 같은 P의 뿌리 수를 준다.^[1]

참고 항목

참조

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• D.G. Hook과 P. R. McAree, Graphic Gems I(A. Glassner ed.), Academic Press 416–422, 1990페이지의 "다항식의 진짜 뿌리를 브라켓으로 만드는 스터름 시퀀스 사용"