미니맥스 에버전

Minimax eversion

기하학에서 미니맥스 에버시언은 반원형 모델을 사용하여 구성된 구면 에버스언의 한 종류다.

그것은 다양한 방법으로, 특별한 호모토피(Willmore 에너지와 관련하여 최단 경로)로 구성되어 있다; 일반적인 Thurston의 골판지와 대조된다.

반원형 모델의 원래 방법은 중원형을 통과하는 일반 호모토피들이 최적의 방법은 아니었으나 둥근 구에서 중원형으로 가는 길은 손으로 만들어졌고, 오르막길/ 오르막길이 아니었다.

하프웨이 모델을 통한 이버젼은 프란시스와 모린에 의해 담배-푸치 이버젼이라고 불린다.[1]

하프웨이 모델

하프웨이 모델은 R 에 구 2 2}}의 몰입인데 구면 회피의 반원점이기 때문에 소위 말하는 것이다.이 에버스션의 등급은 시간 대칭성을 가지고 있는데, 일반 호모토피의 전반부는 표준 원형 구에서 반원형 모델로, 후반부(반원형 모델에서 안쪽으로)는 역방향으로 같은 과정을 거친다.

설명

Rob Kusner는 에서 구체 2 의 모든 몰입 공간에 Willmore 에너지를 이용한 최적의 회피 방법을 제안했다둥근 구와 안쪽의 둥근 구는 윌모어 에너지의 독특한 글로벌 미니마이며, 미니맥스 에버전은 안장 지점(산길을 통해 두 계곡을 오가는 것처럼)을 넘어 이들을 연결하는 길이다.[2]

쿠스너의 하프웨이 모델은 윌모어 에너지의 안장 지점이며, (브라이언트의 정리에 따르면) 3-공간의 특정 완전 최소 표면에서 발생하는 것이다. 미니맥스 이온은 원형 구에서 하프웨이 모델까지 상승하는 구배, 그 다음 구배 하강으로 구성된다(윌모어 에너지의 점진적 하강은 윌모어 흐름이라고 불린다).좀더 대칭적으로, 하프웨이 모델에서 시작하라; 한 방향으로 밀고 윌모어 흐름을 따라 둥근 구면으로 내려간다; 반대 방향으로 밀고 윌모어 흐름을 따라 안쪽이 바깥쪽으로 내려간다.

하프웨이 모델에는 두 가족이 있다(이 관찰은 프란시스와 모린 덕분이다).

  • 홀수 순서: 소년 표면 일반화: 3배, 5배 등, 대칭, 반원형 모델은 이중으로 덮인 투영면(일반적으로 2-1의 담금형)이다.
  • 짝수 순서: 모린 표면 일반화: 2배, 4배 등, 대칭성; 반원형 모델은 일반적으로 1-1의 몰입형 구체, 반의 대칭성 간 시트를 비틀어 구면간체

역사

첫 번째 명시적 구체 회피는 1960년대 초 샤피로와 필립스가 보이의 표면을 하프웨이 모델로 사용하였다.후에 Morin은 Morin 표면을 발견했고 그것을 다른 구면들을 만드는데 사용했다.쿠스너는 1980년대 초 미니맥스 에버젼을 구상했다. 그것은 역사적 세부사항이다.

참조

  1. ^ J. Scott Carter (2012). An Excursion in Diagrammatic Algebra: Turning a Sphere from Red to Blue. World Scientific. pp. 17–. ISBN 978-981-4374-50-7.
  2. ^ Michele Emmer (2005). The Visual Mind II. MIT Press. pp. 485–. ISBN 978-0-262-05076-0.