단수 추적

수학에서, 단일 추적()은 유한 등급의 연산자에서 사라지는 분리 가능한 힐베르트 공간의 선형 연산자 공간에 대한 추적입니다.단수 추적은 제곱합 시퀀스의 공간과 제곱 적분 가능 함수의 공간과 같은 무한 차원 힐베르트 공간의 특징입니다.유한 차원 힐베르트 공간의 선형 연산자는 모든 연산자의 순위가 유한하기 때문에 단일 추적으로 기능하는 0만 있습니다.예를 들어 행렬 대수에는 사소한 단일 추적이 없으며 행렬 추적은 스케일링까지의 고유 추적입니다.

미국 수학자 게리 와이스와 나중에 영국 수학자 나이절 칼튼은 무한 차원의 경우에 추적 클래스 ^[1][2]연산자의 이상에 사소한 단일 흔적이 있다는 것을 관찰했습니다.따라서 유한 차원의 경우와 구별하여 무한 차원에서 표준 연산자 추적은 스케일링까지의 고유한 추적이 아닙니다.연산자 추적은 유한 순위 연산자에서 모든 추적 클래스 연산자로 행렬 추적을 연속적으로 확장하는 것이며, 단수라는 용어는 르베그 측정이 지원되는 단일 측정값이 사라지는 것과 유사하게 행렬 추적이 지원되는 곳에서 단일 추적이 사라진다는 사실에서 유래합니다.

특이 추적은 연산자의 점근 스펙트럼 행동을 측정하고 프랑스 수학자 알랭 ^[3][4]코네스의 비가환 기하학에서 응용 프로그램을 찾았습니다.휴리스틱 용어로, 단일 추적은 일반적인₁ 합 a + a₂₃ + a + ...에 대해 완전히 직교하거나 '단일'인 숫자₁ a, a₂, a₃, ...를 합하는 방법에 해당합니다. 이것은 수학자들이 일반적인 합에 대해 다른 조화 시퀀스(및 유사한 스펙트럼 행동을 갖는 연산자)와 같은 시퀀스를 합할 수 있게 합니다.유사한 용어로 (비가환) 측정 이론 또는 확률 이론은 일반적인 의미에서 유한한 기대를 갖지 않는 코시 분포(및 유사한 스펙트럼 행동을 갖는 연산자)와 같은 분포에 대해 구축될 수 있습니다.

기원.

1950년까지 폰 노이만 대수의 ^[5]반정점 이론의 창시자인 프랑스 수학자 자크 딕스미어는 분리 가능한 힐베르트 공간의 경계 연산자에 대한 추적이 몇몇 사소한 ^{[6]: 217} 반례까지 자동적으로 정상적일^{[clarification needed]} 것이라고 생각했습니다.15년 동안 Dixmier는 Nachman Aronszajn의 제안과 Joseph Hersch에 의해 증명된 불평등의 도움을 받아 약한 추적 클래스 ^[7]연산자에 대한 사소하지만 비정상적인^{[clarification needed]} 추적의 예를 개발하여 그의 이전 견해를 반증했습니다.딕스미어의 구조에 기초한 단일 추적을 딕스미어 추적이라고 합니다.

독일 수학자 알브레히트 피에치(de)는 바나흐 ^[8]공간의 연산자 이상에 대한 흔적을 독립적이고 다른 방법으로 조사했습니다.1987년 나이젤 칼튼은 연산자 추적이 힐베르트 ^[9]공간에서 추적 클래스 연산자의 준규범적인 적절한 하위 아이디얼에 대한 고유한 추적이 아니라는 것을 보여줌으로써 피에치의 질문에 답했습니다.요세프 바르가는 독립적으로 비슷한 질문을 ^[10]연구했습니다.추적 클래스 연산자의 전체 이상에 대한 추적의 고유성 문제를 해결하기 위해 칼튼은 게리 ^[1]와이스의 결과에 이어 추적 클래스 연산자의 정류자 부분 공간에 대한 스펙트럼 조건을 개발했습니다.바이스의 결과와 칼튼의 스펙트럼 조건의 결과는 추적 클래스 ^{[2][6]: 185} 연산자에 대한 사소한 단일 추적의 존재였습니다.

또한 독립적으로, 그리고 다른 방향에서, Mariusz Wodzicki는 ^[11]다지관의 차원의 음수보다 작은 차수의 추적 클래스 유사 미분 연산자에서 사라지는 소형 다지관의 고전적인 유사 미분 연산자에 대한 추적인 비가환 잔여물을 조사했습니다.

정의.

분리 가능한 힐버트 공간 H에서 경계 선형 연산자 B(H)의 양면 이상 J에 대한 추적 δ는 J에서 B(H)에서 모든 연산자 A에 대한 δ(AB) = δ(BA)와 같은 선형 함수 δ:J →$C{\displaystyle \mathbb{}}$({$displaystyle \mathbb{C}}$입니다.즉, 추적은 J의 정류자 부분 공간 Com(J)에서 사라지는 J에 대한 선형 함수입니다.

추적 δ는 J 내의 유한 순위 연산자 F(H)의 하위 아이디얼에서 모든 A에 대해 δ(A) = 0이면 단수입니다.

존재와 특성화

단일 추적은 힐베르트 공간의 경계 연산자의 양면 이상과 재배열 불변 시퀀스 공간 사이의 스펙트럼 칼킨 대응으로 특징지어집니다.켄 다이케마, 타데우스 피기엘, 게리 바이스, 마리우스 보지키로 ^[12]인한 정류자 부분 공간의 스펙트럼 특성화를 사용하여, 모든 추적 δ에 대한 쌍방향 이상 J에 대응하는 칼킨 수열 공간에는 다음과 같은 고유한 대칭 함수 f가 존재합니다.

${\displaystyle \varphi(A)=displayrm {f}(\mu(A))}$

(1)

J에 ^[6]속하는 모든 양의 연산자 A에 대해.여기서 μ: J₊ → j는₊ 양의 연산자에서 단수 값으로의 지도입니다.단일 추적 δ는 0이 아닌 항의 유한한 수열인 c에서₀₀ 사라지는 시퀀스 공간 j의 대칭 함수 f에 해당합니다.

특성화는 일반적인 연산자 추적의 구성과 유사합니다.

$표시({style\rm {Tr}}(A)=\sum _{n=0}^{\infty}\mu(n,A)=\sum \mu(A)}$

A의 경우 양의 추적 클래스 연산자.추적 클래스 연산자와 가산 가능한 시퀀스의 시퀀스 공간은 칼킨 대응입니다.(합 δ는 가산 가능한 시퀀스의 공간에 대한 대칭 함수입니다.)

존재

0이 아닌 추적 δ는 정류자 부분 공간의 공동 차원이 0이 아닌 경우 분리 가능한 힐베르트 공간의 연산자의 양면 이상 J에 존재합니다.무한히 많은 선형 독립적인 0이 아닌 단수 추적을 허용하는 이상이 있습니다.예를 들어, 약한 추적 클래스 연산자의 이상적인 정류자 부분 공간은 추적 클래스 연산자의 이상을 포함하며 약한 추적 클래스의 정류자 부분 공간에 있는 모든 양의 연산자는 ^[12]추적 클래스입니다.결과적으로, 약한 추적 클래스 이상의 모든 추적은 단수이고 약한 추적 클래스 이상의 정류자 하위 공간의 공동 차원은 ^{[6]: 191} 무한합니다.약한 추적 클래스 이상적인 모든 단일 추적이 Dixmier ^{[6]: 316} 추적은 아닙니다.

리드스키 공식

정사각형 행렬의 궤적은 고유값의 합입니다.Lidskii의 공식은 이 결과를 함수 분석으로 확장하고 추적 클래스 연산자 A의 추적은 고유값의 ^[13]합으로 제공된다고 말합니다.

$표시({style\rm {Tr}(A)=\sum _{n=0}^{\infty}\sum(n,A)=\sum(\sum(A))}$

특이치에 적용되는 대칭 함수로서 2-이상 J의 양의 연산자에 대한 추적 δ의 특성화(1)는 J의 모든 연산자에 대한 추적 δ가 고유치 시퀀스에 적용되는 동일한 대칭 함수에 의해 제공된다는 진술로 개선될 수 있습니다.J에 있는 모든 연산자의 고유값이 칼킨 시퀀스 공간 ^[14]j에 속한다고 가정할 때.특히, 경계 연산자 A가 J에 속한다면, J에 경계 연산자 B가 있을 때마다 다음과 같습니다.

$\"표시 스타일 \displaystyle _{k=0}^{n}\mu (k,A)\leq \displaystyle \displaystyle \displays _{k=0}^{n}\mu (k,B)}$

(2)

모든 자연수 n에 대하여, 그리고 J 위의 각 추적 δ에 대하여 칼킨 공간 j 위의 고유한 대칭 함수 f가 있습니다.

${\displaystyle \varphi(A)=displayrm {f}(\displaystyle(A)}}$

(3)

여기서 λ(A)는 J에서 연산자 A의 고윳값 시퀀스로, 고윳값의 절대값이 감소하도록 정렬됩니다.A가 준-영점일 경우 γ(A)는 0 시퀀스입니다.대부분의 양면 이상은 모든 바나흐 이상과 준 바나흐 이상을 포함하여 속성을 만족시킵니다(2).

방정식 (3)은 단일 추적이 연산자의 점근 스펙트럼 행동을 측정한다는 정확한 진술입니다.

프레드홀름 공식

정사각형 행렬의 궤적은 대각선 요소의 합입니다.함수 분석에서 추적 클래스 연산자에 해당하는 공식은 다음과 같습니다.

$표시({\stylerm {Tr}}(A)=\sum _{n=0}^{\infty}\taule Ae_{n},e_{n}\rangle =\sum(\{\\infty})\rangle \}_{n=0}^{\infty}}}$

여기서 {e_n}_n=0^∞는 분리 가능한 힐베르트 공간 H의 임의의 직교 기저입니다. 단수 추적은 임의의 기저에 대해 동등한 공식을 가지지 않습니다.π(A)=0일 때만 연산자 A는 일반적으로 다음을 만족합니다.

${\displaystyle \varphi (A)=dirrm {f}}(\{\dircle Ae_{n},e_{n}\rangle \}_{n=0}^{\infty })}$

단일 추적 φ 및 임의의 직교 정규 기준 {e_{n n=0}^∞}^{[6]: 242} 에 대해.

제품의 고유값을 결정하기 어렵기 때문에 Lidskii 공식 대신 대각 공식을 사용하여 제품의 흔적을 계산하는 경우가 많습니다.예를 들어, 양자 통계 역학에서 관측 가능한 S의 기대는 고정 추적 클래스 에너지 밀도 연산자 T에 대해 계산됩니다.

$\displaystyle \langle S\rangle =\sum _{n=0}^{\infty }\langle Se_{n},e_{n}\rangle \langle (n,T)=v_{T}(\{\langle Se_{n},e_{n}\rangle \{n=0}^{infty})}$

여기서_T v는 (l_∞)_* ≅ l에₁ 속합니다.기대값은 시스템의 기대값 δSe_n, e와_n 결합된 양자 상태에_n 있는 확률 δP_n = δ(n,T)로부터 계산됩니다.여기서_n P는 에너지 고유 상태가_n 차지하는 1차원 부분 공간에 대한 투영 연산자입니다.곱의 고유값인 λ(n, ST)은 동등한 해석이 없습니다.

제품의 ^[15]단일 흔적에 대한 결과가 있습니다.S가 경계이고 T가 자기접합이며 양면 아이디얼 J에 속하는 곱 ST의 경우,

${\displaystyle \varphi (ST)=displayryrm {f}(\{\displaystyle Se_{n},e_{n}\rangle \displaystyle \varphi (n,T)\}_{n=0}^{infty})=v_{n}\rangle \varphi,T}(\langle Se_{n=0}^{infty})$

J의 어떤 흔적에도.직교 기준 {e_n }_n=0^∞은(는_n) Te_n = μ(n,T)e, n=0,1,2... . φ가 단수이고 φ(T)=1일 때 v는_φ,T 수렴 시퀀스 c에서 무한대로 한계를 확장하는 선형 함수 l입니다_∞.이 경우 예상 ΔS = Δ(ST)는 각 n에 대해 ΔP_n = 0인 특성을 갖거나, 결합된 양자 상태에 있을 확률이 없습니다.그거

${\displaystyle \displaystyle S\rangle =접두사 텍스트{'무한 한계'}}\displaystyle Se_{n},e_{n}\rangle}$

단일 추적, 대응 원리 및 고전적 ^{[6]: ch 12} 한계 사이의 연결로 이어졌습니다.

비가환 기하학에서 사용

단수 추적의 첫 번째 적용은 비가환 잔여물로, 다지관 차원의 음수보다 작은 차수의 추적 클래스 유사 미분 연산자에서 사라지는 소형 다지관의 고전적인 유사 미분 연산자에 대한 추적이며, 마리우스 워지키와 빅토르 길레민을 ^[11][16]독립적으로 도입했습니다.알랭 콘스는 딕스미어 ^[3]추적을 사용하여 미분 기하학의 일반화인 비가환 기하학 내의 비가환 잔여물을 특성화했습니다.

단일 트레이스 및 비 트레이스 클래스 밀도를 포함하는 기대는 비가환 기하학에서 사용됩니다.

${\displaystyle \int S=dirrm {Tr}_{\omega }(SD ^{-d})}$

(4)

여기서 S는 d차원 닫힌 다양체 X에 대한 제곱 적분 가능 함수의 힐베르트 공간 L2(X)에 대한 경계 선형 연산자이고, Trω는 약한 추적 클래스 이상에 대한 딕스미어 추적이다,그리고 약한 추적 등급 이상에서 밀도 D-d는 '선 요소' D-1의 d번째 거듭제곱이다. 여기서 D는 Trω(D-d)=1이 되도록 적절하게 정규화된 디랙 유형 연산자이다.

기대(4)는 L(X)^[15]에₂ 대한₂ 곱셈에 의해 작용하는 본질적으로 경계가 있는 함수의 교환 대수에 대한 르베그 적분의 확장입니다.그것은,

${\displaystyle \int M_{f}=\int _{X}f(x)\,dx}$

여기서 dx는 X의 부피 형태이고, f는 본질적으로 유계 함수이며, M은_f L(X)의₂ 임의의 제곱 적분 가능 함수 h에 대한 유계 연산자_f Mh(x) = (fh)(x)입니다.동시에, 기대치(4)는 X에 대한 라플라시안의 고유 벡터에 의해 정의된 양자 기대치 S → ⟨Se_n, e_n⟩의 무한대에서의 한계입니다.보다 정확하게는, L(X)의₂ 많은 유계 연산자에 대해, f가 본질적으로 유계 함수인 M 형태의_f 모든 0차 고전적인 유사 미분 연산자와 연산자를 포함하고, 수열_n "Se_n, e"는 로그 수렴하고^{[6]: 384} ,

${\displaystyle \int S=\lim _{n\to \infty}{\frac {\sum _{k=0}^{n}{\frac {1}{\frac Se_{k}}\displaystyle Se_{k}\rangle }{\sum _{k=0}^{\frac {1+k}}}}}}}}$

이러한 특성은 Dixmier 트레이스가 아닌 Dirac 유형 연산자의 스펙트럼에 연결됩니다. (4)의 Dixmier 트레이스가 약한 트레이스 클래스 ^[15]연산자의 트레이스로 대체된 경우에도 유지됩니다.

예

H가 분리 가능한 무한 차원 힐베르트 공간이라고 가정합니다.

흔적이 없는 이상

• 경계 연산자.폴 할모스는 1954년 분리 가능한 무한 차원 힐베르트 공간의 모든 유계 연산자가 두 ^[17]개의 정류자의 합이라는 것을 보여주었습니다.즉, Com(B(H) = B(H)이며, B(H)의 정류자 부분 공간의 공칭은 0입니다.경계 선형 연산자는 모든 곳에 정의된 추적을 허용하지 않습니다.자격은 관련이 있습니다. 폰 노이만 대수 B(H)가 반 유한(강력하게 정의된) 추적을 허용하기 때문입니다.

정류자 하위 공간에 대한 현대적인 검사는 스펙트럼 특성 확인을 포함합니다.칼킨 대응 시퀀스 공간의 양의 시퀀스의 체사로 평균이 시퀀스 공간에 다시 속하기 때문에 다음 이상은 흔적이 없으며, 이상과 그 정류자 부분 공간이 같다는 것을 나타냅니다.

• 콤팩트 연산자.정류자 부분 공간 Com(K(H)) = K(H) 여기서 K(H)는 콤팩트 선형 연산자를 나타냅니다.콤팩트 연산자의 이상적인 조건은 추적을 허용하지 않습니다.
• 이상을 깨트립니다.정류자 부분 공간 Com(L_p) = L_p, p > 1, 여기서_p L은 산란 p-벡터를 나타냅니다.

${\displaystyle L_{p}=\{A\in K(H):\left(\sum _{n=0}^{\infty }\mu(n,A)^{p}\right)^{\frac{1}{p}}<\infty \}}$

그리고 μ(A)는 콤팩트 연산자 A의 단수 값 순서를 나타냅니다.p > 1에 대한 섀튼 이상은 흔적을 허용하지 않습니다.

• 로렌츠 p-이상 또는 약한_p L-이상.정류자 부분 공간 Com(L_p,∞) = L_p,∞, p > 1, 여기서,

${\displaystyle L_{p,\infty}=\{A\in K(H):\mu(n,A)=O(n^{-{\frac{1}{p}}}\}}}$

약한_p L 이상입니다.p_p > 1의 약한 L 이상은 흔적을 인정하지 않습니다.약한_p L 이상은 오목 함수 δ(n)=n인^1−1/p 로렌츠 이상(δ)과 동일합니다.

흔적이 있는 이상

• 유한 순위 연산자.스펙트럼 조건에서 연산자 추적 Tr의 커널과 유한 순위 연산자의 정류자 부분 공간이 동일한 ker Tr = Com(F(H))인지 확인합니다.따라서 정류자 부분 공간 Com(F(H))은 F(H)에서 동차원 1을 갖습니다.스케일링 Tr까지는 F(H)의 고유 트레이스입니다.
• 클래스 연산자를 추적합니다.추적 클래스 연산자₁ L은 ker Tr에 Com(L₁)을 엄격하게 포함합니다.따라서 정류자 부분 공간의 공동 차원은 1보다 크고 ^[18]무한한 것으로 표시됩니다.Tr이 표준 A =₁ Tr(A)에 대한 L의₁ 고유한 연속 추적인 반면, 추적 클래스 연산자의 이상은 무한히 많은 선형 독립적이고 비연속적인 단일 추적을 허용합니다.

• 약한 추적 클래스 연산자입니다.Com(L_1,∞)₊ = (L₁)₊이기 때문에 약한₁ L 아이디얼의 정류자 부분 공간의 공칭은 무한합니다.약한 추적 클래스 연산자의 모든 추적은 추적 클래스 연산자에서 사라지므로 단수입니다.약한 추적 클래스 연산자는 이상에 대한 모든 추적이 ^[18]단수여야 하는 최소 이상을 형성합니다.Dixmier 추적은 약한 추적 클래스 연산자에 대한 추적의 명시적 구성을 제공합니다.

$표시({stylem {Tr}}_{\omega }(A)=\omega \left(\left\{\frac {1}{\log(1+n)}}\sum_{k=0}^{n=0}^{\infty}),\displayA\inL_{1,\infty}.$

이 공식은 모든 약한 추적 클래스 연산자 A에 유효하며 절대값 감소로 정렬된 고유값을 포함합니다.또한 π는 보통 한계의 l에 대한_∞ 확장일 수 있으며, 딕스미어의 원래 공식에서와 같이 확장 불변일 필요는 없습니다.약한 추적 클래스 이상적인 모든 단일 추적이 Dixmier ^{[6]: 316} 추적은 아닙니다.

• k-between trace 계급 이상들.위에서 설명한 바와 같이 약한_p L 이상, p > 1은 흔적을 허용하지 않습니다.이 설정은 약한_1,∞ 추적 클래스 이상적인 L에서 추적의 고차 인수 분해에 적합하지 않습니다.자연수 k ≥ 1에 대한 이상

${\displaystyle E_{\otimes k}=\{A\in K(H):\mu(n,A)=O(\log ^{k-1}(n)/n)\}$

적절한 설정을 지정합니다.그들은 E ⊂ Com(E_⊗k)과_⊗k-1 같은 체인을 형성하는 무한 공변량의 정류자 부분 공간을 가지고 있습니다(E₁ = L이라는 관례₀).E의_⊗k 딕스미어 흔적은 다음과 같은 형태를 갖습니다.

$표시({style\rm {Tr}}_{\omega }^{k}(A)=\omega \left(\left\{\frac {1}{\log ^{k}(1+n)}\sum_{j=0}^{n}(j,A)\right\}_{n=0}^{\infty}\right}), A\inE_{otimes k}.$

• 로렌츠 이상.딕스미어 트레이스의 자연스러운 설정은 오목한 증가 함수에 대한 로렌츠 γ-γ에 있습니다 : [0,δ] → [0,δ],

${\displaystyle L_{\psi}=\{A\in K(H):\frac {1}{\psi(1+n)}}\sum_{j=0}^{n}\mu(n,A)<\infty \}$

일반적인 한계를 l로_∞ 확장하는 몇몇 ω들이 있습니다.

$표시({style\rm {Tr}}_{\omega }^{\psi}(A)=\omega \left(\left\{\frac {1}{\psi(1+n))\sum_{j=0}^{n}(j,A)\right\}_{n=0}^{\infty}\right}),\linL_{\psi}},\psi},\light},\lota\lota\psi}.$

단일 추적은 다음과 같은 경우에만^{[6]: 225} 가능합니다.

${\displaystyle \liminf_{n\to \infty}{\frac {\psi(2n)}{\psi(n)}=1}$

μ(A)=θ'를 갖는 콤팩트 연산자 A에 의해 생성된 주요 이상을 L 내부의_ψ '작은 이상'이라고 합니다.k-벡터 약한 추적 클래스 이상은 γ=log를^k 가진 로렌츠 이상 내부의 작은 이상입니다.

• 완전 대칭 이상은 로렌츠 이상을 일반화합니다.딕스미어 트레이스는 스케일링까지 로렌츠 이상에서 모든 완전 대칭 트레이스를 형성하고 일반적인 완전 대칭 이상에서 완전 대칭 트레이스의 약한* 조밀 하위 집합을 형성합니다.완전 대칭 추적은 완전 대칭 이상에서 ^{[6]: 109} 양의 추적의 엄격한 부분 집합이라고 알려져 있습니다.따라서 Dixmier 추적은 로렌츠 이상에 대한 긍정적 추적의 전체 집합이 아닙니다.

메모들

레퍼런스

• S. Lord, F. A. Sukochev. D. Zanin (2012). Singular traces: theory and applications. Berlin: De Gruyter. doi:10.1515/9783110262551. ISBN 978-3-11-026255-1.

• B. Simon (2005). Trace ideals and their applications. Providence, RI: Amer. Math. Soc. ISBN 978-0-82-183581-4.

• A. Pietsch (1981). "Operator ideals with a trace". Mathematische Nachrichten. 100: 61–91. doi:10.1002/mana.19811000105.

• A. Pietsch (1987). Eigenvalues and s-numbers. Cambridge, UK: Cambridge University Press. ISBN 978-0-52-132532-5.

• S. Albeverio; D. Guido; A. Ponosov; S. Scarlatti (1996). "Singular traces and compact operators" (PDF). Journal of Functional Analysis. 137 (2): 281–302. doi:10.1006/jfan.1996.0047.

• M. Wodzicki (2002). "Vestigia investiganda" (PDF). Moscow Mathematical Journal. 2 (4): 769–798. doi:10.17323/1609-4514-2002-2-4-769-798.

• A. Connes (1994). Noncommutative geometry. Boston, MA: Academic Press. ISBN 978-0-12-185860-5.

참고 항목

• 딕스미어 트레이스