단수함수

Singular function
동그라미 지도의 권선 번호 그래프는 단수함수의 예다.

수학에서 [a, b] 구간에 대한 실제 값 함수 f는 다음과 같은 특성을 가진 경우 단수라고 한다.

  • f는 [a, b] (**)에서 연속이다.
  • 측정값 0의 집합 N이 존재하여 N의 모든 x 외부에 대해 파생상품 f ((x)이 존재하며 0, 즉 f의 파생상품은 거의 모든 곳에서 사라진다.
  • f는 [a, b]에 대해 비결정적이다.

단수함수의 표준적인 예로는 칸토르함수가 있는데, 이를 악마의 계단(일반적으로 단수함수에도 사용되는 용어)이라고도 한다.그러나 그러한 이름을 부여받은 다른 기능들이 있다.하나는 서클 맵의 관점에서 정의된다.

f(x)가 모든 x ≤ a에 대해 0이고 f(x)가 모든 x ≥ b에 대해 1이면 함수를 취하여 이산 랜덤 변수(각 점에 대해 확률이 0이기 때문에) 또는 절대 연속 랜덤 변수(확률 밀도가 존재하는 모든 곳에 0이기 때문에)가 아닌 랜덤 변수에 대한 누적 분포 함수를 나타낼 수 있다.).

예를 들어, 단수 함수는 Frenkel-Kontorova 모델과 ANNNI 모델에 의해 프로토타입 방식으로 기술된 고형물과 자석의 공간적으로 변조된 위상 또는 구조물의 시퀀스로서, 그리고 일부 동적 시스템에서도 발생한다.가장 유명한 것은 아마도 그것들은 분수 양자 홀 효과의 중심에 놓여있다.

특이점이 있는 함수를 참조할 때

일반적으로 수학 분석을 논할 때, 또는 보다 구체적으로 실제 분석이나 복잡한 분석이나 미분 방정식을 논할 때, 수학 특이점을 포함하는 함수를 '가수함수'라고 부르는 것이 일반적이다.한 지점 또는 경계에서 무한대로 분산되는 기능을 언급할 때 특히 그렇다.예를 들어 "1/x는 원점에서 단수가 되기 때문에 1/x는 단수함수"라고 말할 수 있다.

특이점을 포함하는 함수로 작업하기 위한 고급 기법은 분포적 또는 일반화된 함수 분석이라는 과목에서 개발되었다.약한 파생상품은 부분 미분방정식 등에 단수함수를 사용할 수 있도록 정의된다.

참고 항목

참조

(**) 이 조건은 참조에 따라 달라진다.

  1. ^ "Singular function", Encyclopedia of Mathematics, EMS Press, 2001 [1994]