시걸의 추측

시걸의 번사이드 링 추측, 아니 좀더 간단히 말하면 시걸 추측은 수학의 한 분야인 호모토피 이론의 정리다.이 정리는 유한그룹 G의 번사이드 링과 분류공간 BG의 안정적인 코호모토피와 관련된다.이 추측은 1970년대 중반 그레임 시걸에 의해 이루어졌고 1984년 군나르 칼손에 의해 증명되었다.2016년^[update] 현재, 이 진술은 현재 정리 상태를 가지고 있음에도 불구하고, 여전히 일반적으로 시걸 추측이라고 언급되고 있다.

정리명세서

시걸 추측에는 몇 가지 다른 공식들이 있지만, 이 모든 것이 동등하지는 않다.여기 약한 형태가 있다: 모든 유한집단 G에 대해, 이등형성이 존재한다.

${\displaystyle \varprojlim \pi _{S}^{0}\왼쪽(BG_{+}^{+}^{(k)\오른쪽)\\\\\widehat{A}(G)}}}\cHT.}$

여기서 임은 역한계를 나타내고, ,*은_S 안정적 코호모피 링을 나타내며, B는 분류 공간을 나타내며, 위첨자 k는 k-skeleton을 나타내며, 첨자 +는 부절립 베이스 포인트의 추가를 나타낸다.오른쪽에서 모자는 확대 이상과 관련하여 번사이드 링의 완성을 나타낸다.

번사이드 링

유한그룹 G의 번사이드 링은 그랜디크 그룹으로서 유한 G-셋의 범주로부터 구성된다.더 정확히 말하자면, M(G)을 유한 G-set의 이형성 등급의 정류적 단조로 하고, 여기에 더해 G-set과 아이덴티티 요소의 분리 결합(독특한 방식으로 G-set)이 되도록 한다.그렇다면 M(G)의 그로텐디크 그룹인 A(G)는 아벨 그룹이다.그것은 사실 G-set G/H로 대표되는 기본 원소를 가진 자유 아벨리아 그룹이다. 여기서 H는 G의 하위그룹에 따라 다르다. (여기서 H는 G의 정상적인 하위그룹으로 가정되지 않는 반면 G/H는 이 경우 그룹이 아니기 때문에 G-set이다.)A(G)의 링 구조는 G-set의 직접 산물에 의해 유도되며, 승수 정체성은 (모든 것의 이형성 등급) 원 포인트 세트로서, 독특한 방식으로 G-set이 된다.

번사이드 링은 필드 위의 유한 차원 벡터 공간의 범주와 반대로 유한 세트 범주에 있는 표현 링의 아날로그다(아래 동기 참조).유한집단의 대표이론에서 중요한 도구임을 입증했다.

분류 공간

CW 복합체의 구조를 인정하는 위상학 그룹 G의 경우, 주된 G번들의 범주를 고려할 수 있다.각 CW 콤플렉스 X에 주 G번들 집합을 X에 할당함으로써 CW 콤플렉스의 범주에서 집합 범주에 이르는 펑터를 정의할 수 있다.이 functor는 CW 복합체의 호모토피 범주에 관한 functor에게 내려가고, 그렇게 얻은 functor가 대표성이 있는지 묻는 것은 당연하다.답은 긍정적이며, 대표 물체는 G그룹의 분류공간이라고 하며, 일반적으로 BG를 나타낸다.만약 우리가 주의를 CW 콤플렉스의 호모토피 범주로 제한한다면, BG는 독특하다.BG에 해당하는 호모토피인 CW 콤플렉스는 BG의 모델이라고 불린다.

예를 들어 G가 순서 2의 그룹이라면 BG의 모델은 무한 차원 실제 투영 공간이다.G가 유한하면 어떤 CW 복합 모델링 BG도 임의로 큰 치수의 셀을 가지고 있다는 것을 알 수 있다.반면 G = Z, 정수일 경우 BG 분류공간은 S 원에 해당하는¹ 호모토피다.

동기부여와 해석

정리의 내용은 역사적 맥락에 놓이면 어느 정도 명확해진다.유한집단의 표현론에서는 위에서 설명한 번사이드 링의 구성과 완전히 유사한 방법으로 $G$ ${\displaystyle G}$의 표현 링이라고 하는$$ $개체{\displaystyle }$ R${\displaystyle }$[ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle ]}$ ${\displaystyle R[G]}$을 형성할 수 있다.안정적인 코호모토피는 어떤 의미에서 ${\displaystyle {}^{}}$ U${\displaystyle {}^{}}$to${\$라고 하는 복합 K 이론과 자연적인 유사성이 있다$.$세갈은 마이클 아티야가 이소모르피즘의 존재를 입증한 후 그의 추측에 영감을 받았다.

${\displaystyle KU^{0}(BG)\to {\widehat{R}[G]}$

아티야-세갈 완성 정리의 특별한 경우다.

참조

• Adams, J. Frank (1980). "Graeme Segal's Burnside ring conjecture". Topology Symposium, Siegen 1979. Lecture Notes in Mathematics. Vol. 788. Berlin: Springer. pp. 378–395. MR 0585670.
• Carlsson, Gunnar (1984). "Equivariant stable homotopy and Segal's Burnside ring conjecture". Annals of Mathematics. 120 (2): 189–224. doi:10.2307/2006940. JSTOR 2006940. MR 0763905.