작업순서

Order of operations
운영 순서와 혼동하지 않도록 합니다.

수학과 컴퓨터 프로그래밍에서 연산 순서는 주어진 수학식을 평가하기 위해 어떤 연산을 먼저 수행해야 하는지에 대한 규칙을 반영하는 규칙 모음입니다.

이 규칙은 운영자의 순위로 공식화됩니다. 연산자의 순위를 우선 순위라고 하며, 우선 순위가 높은 연산은 우선 순위가 낮은 연산보다 먼저 수행됩니다. 계산기는 일반적으로 왼쪽에서 오른쪽으로 동일한 우선 순위로 연산을 수행하지만 [1]일부 프로그래밍 언어와 계산기는 서로 다른 규칙을 채택합니다.

예를 들어 곱셈은 덧셈보다 더 높은 우선순위를 부여받는데, 현대 대수기보법이 도입된 이래로 이런 식이었습니다.[2][3] 따라서 식 1 + 2 × 3에서 곱셈은 덧셈 전에 수행되며, 식은 (1 + 2) × 3 = 9가 아닌 1 + (2 × 3) = 7의 값을 갖습니다. 지수는 16세기와 17세기에 도입되었을 때 덧셈과 곱셈 모두에 우선권이 주어졌고 그들의 기저 오른쪽에 위첨자로 놓였습니다.[2] 따라서 3 + 5 = 28이고 3 × 5 = 75입니다.

이러한 규칙은 표기법을 간략하게 유지하면서 표기법의 모호성을 피하기 위해 존재합니다.[4] 우선 순위 규칙을 무시하거나 강조하고자 하는 경우 괄호( )를 사용할 수 있습니다. 예를 들어, (2 + 3) × 4 = 20은 곱셈 앞에 덧셈을, (3 + 5) = 64는 지수 앞에 덧셈을 수행합니다. 수학식에서 여러 쌍의 괄호가 필요한 경우(네스팅된 괄호의 경우) 괄호는 [2 × (3 + 4)] - 5 = 9와 같이 혼동을 피하기 위해 괄호 또는 괄호로 대체될 수 있습니다.

이러한 규칙은 일반적인 표기법(infix 표기법이라고 함)을 사용해야 의미가 있습니다. 함수나 폴란드어 표기법이 모든 연산에 사용될 때 연산의 순서는 표기법 자체에서 비롯됩니다.

통상순서

연산의 순서, 즉 식에서 연산이 일반적으로 수행되는 순서는 수학, 과학, 기술 및 많은 컴퓨터 프로그래밍 언어 전반에 걸쳐 채택된 규칙의 결과입니다. 요약하면 다음과 같습니다.[2][5]

  1. 괄호
  2. 지수화
  3. 곱셈과 나눗셈
  4. 덧셈과 뺄셈

즉, 식을 평가하려면 먼저 괄호 안에 있는 모든 하위 식을 평가하고 집합이 둘 이상인 경우 내부에서 외부로 작업합니다. 괄호 안에 있든 없든 위 목록에서 상위에 있는 연산을 먼저 적용해야 합니다. 동일한 우선 순위의 연산은 일반적으로 왼쪽에서 오른쪽으로 평가됩니다.

각 나눗셈이 역수(승수 역수)에 의한 곱셈으로 대체되면 곱셈의 연관 및 교환 법칙에 의해 각 항에 있는 인자들이 어떤 순서로 함께 곱해질 수 있습니다. 때로는 곱셈과 나눗셈이 동등한 우선순위를 부여받거나, 때로는 나눗셈보다 곱셈이 더 높은 우선순위를 부여받을 수 있습니다. 아래의 § 혼합 나눗셈과 곱셈을 참조하십시오. 각 뺄셈이 반대(가산적 역)의 덧셈으로 대체되면, 덧셈의 연관 및 교환 법칙에 따라 임의의 순서로 항을 추가할 수 있습니다.

뿌리 기호 √은 전통적으로 라디칼 위에 막대(빈큘럼이라고 함)로 연장됩니다(이것은 라디칼 주위에 괄호가 필요하지 않습니다). 다른 함수들은 모호함을 피하기 위해 입력 주변에 괄호를 사용합니다.[6][7][a] 입력이 sin x = sin(x) 및 sin π = sin(π)의 경우와 같이 단일 수치 변수 또는 상수인 경우 괄호를 생략할 수 있습니다. 전통적으로 이 관습은 단항식으로 확장됩니다. 따라서 sin 3x = sin(3x) 및 sin 1/2x = sin(xy/2)이지만 sin x + y = sin(x) + y는 단항식이 아니기 때문입니다. 그러나 이 관습은 보편적으로 이해되지 않으며 일부 저자는 명시적 괄호를 선호합니다.[b] 일부 계산기 및 프로그래밍 언어는 함수 입력 주변에 괄호가 필요하지만 일부는 필요하지 않습니다.

그룹화 기호를 사용하여 일반적인 작업 순서를 재정의할 수 있습니다.[2] 그룹화된 기호는 단일 표현식으로 처리할 수 있습니다.[2] 그룹화 기호는 연관 및 분배 법칙을 사용하여 제거할 수 있으며, 그룹화 기호 내부의 표현이 충분히 단순화되어 제거에 따른 모호성이 발생하지 않는 경우 제거할 수 있습니다.

예

덧셈 전 곱셈:

괄호 안의 하위 표현을 먼저 평가합니다.

곱셈 전 지수화, 뺄셈 전 곱셈:

수식이 위첨자로 쓰여지면 위첨자는 밑부분 위의 위치에 따라 그룹화된 것으로 간주됩니다.

루트 기호의 피연산자는 오버바에 의해 결정됩니다.

수평 분수선은 그룹화의 기호로도 사용됩니다.

읽기 쉽도록 괄호()와 함께 곱슬곱슬한 괄호({ }) 또는 사각형 괄호([ })와 같은 다른 그룹화 기호를 사용하기도 합니다. 예:

특수한 경우

단항 마이너스 부호

단항 연산 '-'(일반적으로 "마이너스"로 발음됨)과 관련하여 다양한 규칙이 있습니다. 문자나 인쇄 수학에서 -3이라는 표현은 -(3) = -9를 의미하는 것으로 해석됩니다.

Microsoft Excel, PlanMaker(및 기타 스프레드시트 응용 프로그램) 및 프로그래밍 언어 bc와 같은 일부 응용 프로그램 및 프로그래밍 언어에서 단항 연산자는 이진 연산자보다 높은 우선 순위를 갖습니다. 즉, 단항 마이너스가 지수화보다 높은 우선 순위를 가지므로 해당 언어에서 -3은 (-3) = 9로 해석됩니다. 이는 이진 빼기 연산 '-'에는 적용되지 않습니다. 예를 들어 마이크로소프트 엑셀의 공식과 같은 경우입니다. =−2^2, =-(2)^2 그리고. =0+−2^2 리턴 4, 공식들 =0−2^2 그리고. =−(2^2) 리턴 -4

혼합 나눗셈과 곱셈

'÷'로 표시된 나눗셈과 '×'로 표시된 곱셈을 모두 포함하는 용어를 해석하는 보편적인 관례는 없습니다. 제안된 규칙에는 작업을 동일한 우선 순위로 할당하고 왼쪽에서 오른쪽으로 평가하는 것이 포함됩니다. 또는 나눗셈을 역수에 의한 곱셈으로 동등하게 취급한 다음 임의의 순서로 평가합니다.[10] 먼저 모든 곱셈을 평가한 다음 왼쪽에서 오른쪽으로 나눗셈을 수행합니다. 또는 그러한 표현을 피하고 대신 명시적 괄호로 항상 명확하게 구분합니다.[11]

초등학교 이후에는 나눗셈을 위한 기호 '÷'이 거의 사용되지 않지만, 일반적으로 분모 위에 분자를 쌓아 수직으로 쓰는 대수 분수의 사용으로 대체되며, 이는 그룹화를 명시적이고 모호하지 않게 만듭니다. 그러나 때로는 슬래시 또는 솔리더스 기호인 '/'를 사용하여 인라인으로 쓰기도 합니다.

병치로 표시되는 곱셈(묵시 곱셈이라고도 함)은 시각적 단위를 생성하며 대부분의 다른 작업보다 높은 우선 순위를 가집니다. 학술 문헌에서, 인라인 분수가 명시적 괄호 없이 암시적 곱셈과 결합될 때, 곱셈은 나눗셈보다 높은 우선순위를 갖는 것으로 전통적으로 해석되므로, 예를 들어 1/2 n은 (1/2)·n이 아닌 (2·n)을 의미하는 것으로 해석됩니다.[2][10][13] 예를 들어, Physical Review 저널의 원고 제출 설명서에는 나눗셈보다 곱셈이 우선한다고 직접 기재되어 있는데,[14] 이는 Landau와 Lifshitz의[c] 이론물리학 과정과 Graham, Knuth의 Concrete Mathematics와 같은 수학 교과서에서 관찰되는 관례이기도 하고, 그리고 파타슈닉.[15] 그러나 일부 저자는 /bc와 같은 표현에 반대하여 괄호 a /(bc)를 명시적으로 사용하는 것을 선호합니다.[3] Physical Review 제출 지침은 a / b / c 형식의 식에 대해 권장합니다. 보다 명시적인 식(a / b) / c 또는 a / (b / c)는 명확하지 않습니다.[14]

6 ÷2(1+2)는 fx-82MS(상부)에 의해 6 ÷(2x(1+2))로, (6 ÷2)×(1+2)는 TI-83 Plus 계산기(하부)에 의해 각각 해석됩니다.

이러한 모호함은 "8 ÷2(2+2)"와 같은 인터넷 밈의 주제가 되었으며, 이에 대해 8 ÷[2(2+2)] = 1과 [8 ÷2](2+2) = 16이라는 상반된 해석이 있습니다. 수학 교육 연구원인 Hung-Hsi Wu는 "실생활에서 이런 종류의 계산은 결코 얻을 수 없다"고 지적하고, 그러한 작위적인 예들을 "비합리적으로 복잡한 규칙의 관점에서 표현함으로써 의심하지 않는 사람을 가두기 위해 고안된 일종의 Gotcha! parter 게임"이라고 부릅니다.[12]

연속 지수화

지수화가 위첨자 표기법을 사용하여 쌓인 기호로 표시되는 경우 일반적인 규칙은 위에서 아래로 작업하는 것입니다.[2][7]

a = a

일반적으로 (ab)와 동일하지 않습니다.c 이 규칙은 (a) = a인 지수화 속성이 있으므로 이에 대해 직렬 지수화를 사용할 필요가 없기 때문에 유용합니다.

그러나 캐럿(^) 또는 화살표(↑)와 함께 연산자 표기법을 사용하는 경우에는 공통 표준이 없습니다. 예를 들어 Microsoft Excel 및 계산 프로그래밍 언어 MATLAB은 다음과 같이 평가합니다. a^b^c (ab)로,c 하지만 구글 검색과 울프램 알파를 a로(bc). 따라서 4^3^2 첫 번째 경우 4,096, 두 번째 경우 262,144로 평가됩니다.

니모닉스

니모닉스는 다양한 연산을 나타내는 단어의 첫 글자를 포함하는 규칙을 기억하는 데 자주 사용됩니다.[18][19]

  • PEMDAS라는 약어는 미국과[20] 프랑스에서 흔히 볼 수 있습니다.[21] 괄호, 지수, 곱셈/분할, 덧셈/ 뺄셈을 나타냅니다.[22] PEMDAS는 학교에서 기억력이 풍부한 "우리 사랑하는 샐리 이모에게 실례합니다"로 확장되기도 합니다.[23]
  • BEDMAS, 괄호, 지수, 나눗셈/곱셈, 덧셈/ 뺄셈의 약자는 캐나다와 뉴질랜드에서 흔히 볼 수 있습니다.[24]
  • 영국 및 기타 영연방 국가는 괄호, 운영, 분할/곱, 덧셈/ 뺄셈을 의미하는 BODMAS를 사용할 수 있습니다.[24] 때때로 O는 "Of"[d] 또는 "Order"(즉, 거듭제곱/지수 또는 루트)로 확장됩니다.[25]
  • BIDMAS는 괄호, 색인, 나눗셈/곱셈, 덧셈/ 뺄셈의 약자로도 사용됩니다.[26]
  • 독일에서는 이 컨벤션을 단순히 푼트레흐눙 또는 스트리히레흐눙으로 가르칩니다.

이러한 기억법은 이런 식으로 쓰여지면 오해의 소지가 있을 수 있습니다.[23] 예를 들어, 위의 규칙 중 하나를 "먼저 덧셈, 나중에 뺄셈"을 의미하는 것으로 잘못 해석하면 - + c a - + 식을[23] -(+ a - + c 식으로 잘못 평가하는반면 올바른 평가는(- b)+ c a - b) + 값은 c ≠ 0 c\n일 때 다릅니다. 0

네모닉 두문자어는 연산 순서에 대한 개념적 이해를 발달시키지 못했고, 그 목적이나 유연성에 대한 학생들의 질문을 다루지 못했다는 비판을 받아왔습니다.[27] 기억 약어를 통해 작동 순서를 배우는 학생들은 일부 예비 교사들과 마찬가지로 [28]일상적으로 실수를 합니다.[29] 학생들이 두문자어를 올바르게 배울 때도 부족한 암기에 불균형적으로 초점을 맞추면 실질적인 수학 내용이 쏟아져 나옵니다.[12] 두문자어의 절차적 적용은 전문가들의 수학적 표기법에 대한 직관적 이해와 일치하지 않습니다. 수학적 표기법은 괄호나 괄호가 아닌 다른 방식으로 그룹화를 나타내며, 수학적 표현은 선형적으로 "순서된" 구조가 아닌 나무와 같은 계층 구조입니다. 또한, 수학적 표현을 단순화하거나 평가해야 하는 단일한 순서는 없으며 특정한 표현에 대한 보편적인 표준 단순화도 없으며, 전문가들은 편리한 순서에 상관없이 유효한 변환과 대체를 유창하게 적용합니다. 그래서 엄격한 절차를 배우는 것은 학생들이 수학적 표기법을 오해하고 제한적으로 이해하도록 이끌 수 있습니다.[30]

계산기

본문: 계산기 입력 방법

서로 다른 계산기는 서로 다른 연산 순서를 따릅니다.[2] 스택이 없는 많은 단순 계산기는 체인 입력을 구현하며, 다른 연산자에게 우선 순위를 부여하지 않고 버튼을 누르는 순서로 작동하며, 더 정교한 계산기가 제공하는 것과는 다른 결과를 제공합니다. 예를 들어, 단순 계산기에서 입력하기 1 + 2 × 3 = 9를 산출하지만, 더 정교한 계산기는 더 표준적인 우선순위를 사용하므로 입력합니다. 1 + 2 × 3 = 수확량 7.

계산기는 왼쪽 또는 오른쪽에 지수를 연결할 수 있습니다. 예를 들어, 이 표현은 a^b^c "수학식 모드"에서 TI-92 및 TI-30XS 멀티뷰에 대한(bc) a로 해석되는 반면, TI-30X에 대한 ca로b 해석됩니다.II 및 TI-30XS 멀티뷰 "클래식 모드"

이런 표현. 1/2x TI-82는 [3](fx-9750GIII와 같은 일부에서 구성 가능한) 많은 현대 카시오 계산기뿐만[31] 아니라 TI-83 및 1996년 이후 출시된 모든 다른 TI 계산기뿐만 아니라 [32][3]대수적 표기를 사용하는 모든 휴렛 팩커드 계산기에서도 (1/2)x로 해석됩니다. 암시적 곱셈의 특성상 첫 번째 해석은 일부 사용자가 예상할 수 있지만,[33] 후자는 곱셈과 나눗셈이 동등한 우선순위라는 규칙에 더 부합합니다.[3]

사용자가 계산기가 식을 어떻게 해석할지 확신할 수 없는 경우 괄호를 사용하여 모호성을 제거할 수 있습니다.[3]

연산 순서가 필요 없는 포스트픽스 표기법이나 접두사 표기법과 달리, 이러한 규약이 없으면 표기법이 모호할 수 있는 표준 수학 표기법의 infix 표기법의 적응으로 인해 연산 순서가 발생했습니다.[34][35] 따라서 스택을 사용하여 RPN(Reverse Polish notation)을 사용하여 올바른 우선 순위로 식을 입력하는 계산기에는 괄호 또는 모델별 실행 순서가 필요하지 않습니다.[23][22]

프로그래밍 언어

대부분의 프로그래밍 언어는 수학에서 일반적으로 사용되는 순서를 따르는 우선 순위 수준을 사용하지만,[36] APL, Smalltalk, Occam 및 Mary와 같은 다른 언어에는 연산자 우선 순위 규칙이 없습니다(APL에서는 평가가 완전히 왼쪽으로, Smalltalk에서는 완전히 오른쪽으로).

또한 많은 연산자가 연관성이 없기 때문에 단일 레벨 내의 순서는 보통 좌에서 우로 그룹화하여 정의됩니다. 16/4/4 16/(4/4) = 16이 아닌 (16/4)/4 = 1로 해석되며, 이러한 연산자를 "좌우 연상"이라고 합니다. 예외가 존재합니다. 예를 들어, 목록의 연산자에 해당하는 연산자가 있는 언어는 일반적으로 하스켈에서 오른쪽에서 왼쪽으로 그룹화합니다("오른쪽 연관성"). 1:2:3:4:[] == 1:(2:(3:(4:[]))) == [1,2,3,4].

C 언어를 만든 데니스 리치(Dennis Ritchie)는 C의 우선순위(예를 들어 C++, Perl 및 PHP에서 이러한 규칙을 차용한 프로그래밍 언어에서 공유됨)에 대해 비트 단위 연산자를 비교 연산자 위로 이동하는 것이 더 좋았을 것이라고 말했습니다.[37] 많은 프로그래머들이 이 순서에 익숙해지긴 했지만, 파이썬이나[38] 루비[39] 같은 최근 인기 언어들은 이 순서를 반대로 바꿨습니다. 많은 C-스타일 언어에서 발견되는 연산자의 상대적 우선순위 수준은 다음과 같습니다.

1 () [] -> . :: 함수 호출, 범위, 배열/구성원 액세스
2 ! ~ - + * & 타입 캐스트의 크기 ++ -- (대부분) 단항 연산자, 캐스트 크기 및 유형(오른쪽에서 왼쪽)
3 * / % MOD 곱셈, 나눗셈, 모듈로
4 + - 가감산
5 << >> 비트 와이즈 시프트 좌우
6 < <= > >= 비교: 이하 및 초과
7 == != 비교: 같음 및 동일하지 않음
8 & 비트와이즈 AND
9 ^ 비트 단위 배타적 논리합(XOR)
10 비트 단위 포함(정규) OR
11 && 논리 AND
12 논리 OR
13 ? : 조건식(삼차)
14 = += -= *= /= %= &= = ^= <<= >>= 할당 연산자(오른쪽에서 왼쪽)
15 , 콤마 연산자
프로그래밍 언어에서 산술 표현식에 대한 단순화된 형식 문법(왼쪽) [40]및 예제 표현식의 유도 (a+b)^2/2 (오른쪽) 후자는 주어진 표현식에 고유한 계층 구조("syntax tree")에 해당합니다. 컴파일러는 가장 낮은 계층 수준에서 시작되는 연산이 먼저 실행되도록 트리에서 머신 코드를 생성합니다.

예:

  • !A + !B 로 해석됩니다. (!A) + (!B)
  • ++A + !B 로 해석됩니다. (++A) + (!B)
  • A + B * C 로 해석됩니다. A + (B * C)
  • A B && C 로 해석됩니다. A (B && C)
  • A && B == C 로 해석됩니다. A && (B == C)
  • A & B == C 로 해석됩니다. A & (B == C)

(Python, Ruby, PARI/GP 및 기타 인기 언어에서는 A & B == C 로 해석됩니다. (A & B) == C.)

여러 언어로 컴파일하는 소스-투-소스 컴파일러는 언어 간에 서로 다른 연산 순서의 문제를 명시적으로 다룰 필요가 있습니다. 예를 들어, Haxe는 순서를 표준화하고 적절한 곳에 괄호를 삽입하여 순서를 강제합니다.

이진 연산자 우선 순위에 대한 소프트웨어 개발자 지식의 정확도는 소스 코드에서 발생 빈도를 밀접하게 따르는 것으로 밝혀졌습니다.[41]

참고 항목

메모들

  1. ^ a b 일부 저자는 단일 수치 변수 또는 상수 인수(예: Atlas의 Oldham)의 경우에도 함수가 포함된 괄호가 누락되지 않도록 의도적으로 방지하는 반면, 다른 저자(예: NIST)는 특정 다중 문자 함수 이름(예: sin), 그러나 일반 함수 이름과 함께 사용하지 마십시오(예: f).
  2. ^ 모호함을 방지하기 위해 Oldham's Atlas of Functions 또는 NIST Handbook of Mathematical Functions와 같은 작업에서는 모노말에 대한 이러한 표기 단순화를 의도적으로 방지합니다.
  3. ^ 예를 들어, 란다우와 리프쉬츠의 역학 제3판에는 hP/2 π(p. 22)와 같은 표현이 포함되어 있고, 파인만 강의 제1권에는 1/2 √ N(p. 6-7)과 같은 표현이 포함되어 있습니다. 두 책 모두에서 이 표현들은 솔리더스를 마지막으로 평가한다는 관례를 가지고 쓰여 있습니다.
  4. ^ 수학적 연산을 의미할 때 "Of"는 곱셈을 의미합니다. 예를 들어 "50의 절반"은 25를 뜻하는 "50의 1/2"을 의미하는 것으로 이해됩니다.

참고문헌

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    Chrystal의 책은 20세기 전환기의 중등학교 대수에 대한 영어의 표준 소스였으며, 아마도 연산 순서에 대한 많은 나중의 설명의 소스였을 것입니다. 그러나 크리스털의 책은 처음에는 '÷' 기호와 '×' 기호를 포함하는 표현을 평가하는 엄격한 규칙을 설정했지만, 나중에는 공식적인 규칙과 일반적인 관행 사이의 불일치에 대해 명시적으로 논의하지 않고 인라인 분수를 작성할 때 분할보다 더 높은 암묵적인 곱셈을 일관되게 제공합니다.

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