멀티레벨 몬테카를로법

수치해석에서의 다단계 몬테카를로(MLMC) 방법은 확률적 시뮬레이션에서 발생하는 기대치를 계산하기 위한 알고리즘이다.몬테카를로 방법과 마찬가지로 반복적인 무작위 표본 추출에 의존하지만, 이 표본들은 다른 수준의 정확도로 채취된다.MLMC 방법은 대부분의 표본을 낮은 정확도와 그에 상응하는 낮은 비용으로 채취함으로써 표준 몬테카를로 방법의 계산 비용을 크게 줄일 수 있으며, 매우 적은 표본을 높은 정확도와 그에 상응하는 높은 비용으로 채취할 수 있다.

목표

다층 몬테카를로 방법의 목적은 확률적 시뮬레이션의 출력인$$ 임의 변수 $G{\displaystyle }$ ${\displaystyle G}$의 기대값 $E{\displaystyle \mathrm{}}$ ${\displaystyle }$[ G ${\displaystyle ]}$ ${\displaystyle \operatorname {E}[G]}$에 근사하는 것이다.Suppose this random variable cannot be simulated exactly, but there is a sequence of approximations ${\displaystyle G_{0},G_{1},\ldots ,G_{L}}$ with increasing accuracy, but also increasing cost, that converges to ${\displaystyle G}$ as ${\displaystyle L\rightarrow \infty }$. The basis of t다단계 방법은 ^[1]텔레스코핑 합 정체성이고

기대 연산자의 선형성 때문에 사소한 것으로 만족하는 것.그런 다음 $각{\displaystyle \mathrm{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$ E${\displaystyle [[}$ ${\displaystyle G_{}}$- - ${\displaystyle {G1}_{}}$ -${\displaystyle {}_{}}$1$]$ {\$displaystyle \operatorname${E$}[G_{\$ell }-$G_{\ell$ -1$}]$은 몬테카를로 방법으로 근사하게 계산되어$$ 다층 몬테카를로법이 된다.$note{\displaystyle {}_{}}${\$displaystyle$ $G_$${\ell$ $\1$}에서 차이 G \ -${\displaystyle {\mathrm{G}}_{}}$$$${\displaystyle {\ell }_{}{}_{}}$-$$ {\$displaystyle G_${\$ell$ \1$}-G_${\$ell -1$}의 표본을 추출하려면 $G{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {\ell }_{}}$ ${\$ G_${\$$ell$ $}$ $및{\displaystyle {}_{}}$ G$$ ${\displaystyle {-}_{}}$ - ${\displaystyle 1_{}}${\$displaystystystylean G_{\$laystylease G_{{\laystylaystyleaneon -1}의 시뮬레이션이 필요하다$.$

The MLMC method works if the variances ${\displaystyle \operatorname {V} [G_{\ell }-G_{\ell -1}]\rightarrow 0}$ as ${\displaystyle \ell \rightarrow \infty }$, which will be the case if both ${\displaystyle G_{\ell }}$ and ${\displaystyle G_{\ell -1}}$ approximate the same random variable ${\displaystyle G}$. By the Central Limit Theorem, this implies that one needs fewer and fewer samples to accurately approximate the expectation of the difference ${\displaystyle G_{\ell }-G_{\ell -1}}$ as ${\displaystyle \ell \rightarrow \infty }$. Hence, most samples will be t레벨 $0{\displaystyle \mathrm{}}$ ${\displaystyle 0}$에 대한 aken$.$ 여기서 샘플은 가격이 저렴하고 가장 우수한 $레벨{\displaystyle }$ L ${\displaystyle L}$에서는 극히 적은 샘플만 필요할 것이다$.$ 이러한 의미에서 MLMC는 재귀적 제어 변수 전략으로 간주될 수 있다.

적용들

MLMC의 첫 적용은 옵션가격결정 확률적 미분방정식(^[2]SSE)의 맥락에서 Mike Giles에 기인하지만, 초기 추적은 파라메트릭 통합의 맥락에서 하인리히의 연구에서 발견된다.^[3]Here, the random variable ${\displaystyle G=f(X(T))}$ is known as the payoff function, and the sequence of approximations ${\displaystyle G_{\ell }}$, ${\displaystyle \ell =0,\ldots ,L}$ use an approximation to the sample path ${\displaystyle X(t)}$ with time step ${\displaystyle h_{\ell }}$${\displaystyle =}$ ${\displaystyle {\mathrm{}}^{}}$ -${\displaystyle {\ell }^{}}$ ${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle h_{\ell }=2^{-\ell }T}$.

불확실성 정량화(UQ) 문제들에 대한 MLMC의 적용은 연구의 활성 영역이다.^[4][5]이러한 문제의 중요한 프로토타입적 예로는 무작위 계수를 갖는 부분 미분방정식(PDE)이 있다.이 맥락에서 임의 $변수{\displaystyle }$ G ${\displaystyle G}$은 관심의 양으로 알려져$$ 있으며, 근사 순서는 서로 다른 메쉬 크기를 가진 PDE의 분석에 해당한다.

MLMC 시뮬레이션 알고리즘

MLMC 시뮬레이션을 위한 간단한 레벨 적응 알고리즘은 다음과 같은 유사 코드에 제시되어 있다.

${\displaystyle L\gets 0}$ repeat     Take warm-up samples at level ${\displaystyle L}$     Compute the sample variance on all levels ${\displaystyle \ell =0,\ldots ,L}$     Define the optimal number of samples ${\displaystyle N_{\ell }}$ on all levels ${\displaystyle \ell =0,$$\ldots,L}$ $L{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle \ge }$$$${\displaystyle 2}$ ${\$$displaystyle$ L_${\$$ell}}$에 따라$$ 각 $레벨{\displaystyle }$samples {\$displaystyle$$N_${\$ell}$에 따라 추가$$ 샘플을 채취한 다음$$, $L{\displaystyle }$ ${\displaystyle \leftarrow }$ ${\displaystyle 2}$ ${\displaystyle L\gets L+1$}이$($가)가 융합되지 않으면 융합 종료됨

MLMC 확장

최근 다층 몬테카를로 방식의 확장에는 ^[6]한 방향 이상의 미세화가 고려되는 다중지수 몬테카를로, 준몬테카를로 방식과 MLMC의 결합이 포함된다.^[7][8]

참고 항목

• 몬테카를로법
• 몬테카를로 금융법
• 금융의 준몬테 카를로 방법
• 불확도정량화
• 랜덤 계수가 있는 부분 미분 방정식

참조