제어 변수

제어 변수 방법은 몬테카를로 방법에서 사용되는 분산 감소 기법이다.알려진 수량의 추정치의 오류에 대한 정보를 이용하여 알려지지 않은 수량의 추정치의 오류를 줄인다.^[1][2][3]

기본 원리

알 수 없는 관심 매개변수를 $\mu {\displaystyle }$ ${\displaystyle \$$mu$ $\}$으로 하고, m의 기대값이 $\mu {\displaystyle \mathbb{}}$: E${\displaystyle }$[ ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle ]}$= ${\displaystyle \mu }$ = μ,$$\$displaystyle \mathb {E} \left[m\right]=\mu$ $\},$ 즉 m은 μ에 대한 치우치지 않은 추정치라고 가정한다$.$$E{\displaystyle \mathbb{}}$[ ${\displaystyle t}$ ${\displaystyle ]}$= ${\displaystyle \tau }$ {\displaystyle$$\$mathb {E} \left[t\right]=\tau }$과 같은 다른 통계량 $t{\displaystyle }$ ${\displaystytle t}$을(를) 계산한다고 가정합시다.그러면

${\displaystyle m^{\star }=m+c\left(t-\tau \오른쪽)\,}$

계수 $c{\displaystyle }$ ${\displaystyle c}$을(를) 선택하기 위해$$ $\mu {\displaystyle }$ ${\displaystyle \mu }$에 대한 편향되지 않은 추정기도 입니다$.$결과 추정기 $⋆{\$ m$^{\star }}$의 분산은 다음과$$ 같다.

${\displaystyle {\textrm {Var}\왼쪽(m^{\star }\오른쪽)={\textrm {Var}\왼쪽(m\오른쪽){\textrm {Var}{Var}\왼쪽(t\오른쪽)+2c\{\textrm,t\right)={\ret.}$

$c{\displaystyle }$ ${\displaystyle c}$에 대해 위의 식을 구별함으로써 최적의 계수를 선택했음을 알 수 있다$.$

${\displaystyle c^{\star }=-{\frac {{\textrm {Cov}\왼쪽(m,t\오른쪽)}{{\textrm {Var}\왼쪽(t\오른쪽)}}}$

$⋆{\$ $\}\}$의 분산을 최소화하고 이 선택으로

${\displaystyle {\begin}{\textrm {Var}\왼쪽(m^{\star }\오른쪽)&={\textrm {Var}\left(m\right)-{\textrm {Cov}\left(오른쪽)^{{{\textrump}}}{{\rimrmrmrmp}}}{{{{{{v}}}}오른쪽)}}\\&=\좌측(1-\rho _{m,t}^{2}\우측){\textrm {Var}\좌측(m\우측)\종료{정렬}}}}$

어디에

${\displaystyle \rho_{m,t}={\textrm {Corr}\왼쪽(m,t\오른쪽)\,}$

$m{\displaystyle }$ ${\displaystyle m}$ 및$$ $t{\displaystyle }$ ${\displaystyle t}$의 상관 계수 입니다$.$${\displaystyle {\rho m}_{}}$, ${\displaystyle t_{}}$ $displaystyle \vert \rho _{m,t}\vert$}의 값이 클수록 분산 감소는 더 커진다$.$

In the case that ${\displaystyle {\textrm {Cov}}\left(m,t\right)}$, ${\displaystyle {\textrm {Var}}\left(t\right)}$, and/or ${\displaystyle \rho _{m,t}\;}$ are unknown, they can be estimated across the Monte Carlo replicates.이것은 특정 최소 제곱 시스템을 해결하는 것과 동등하다. 따라서 이 기법은 회귀 표본 추출이라고도 한다.

제어 변수 $E{\displaystyle \mathbb{}}$[ ${\displaystyle t}$ ${\displaystyle ]}$= ${\displaystyle \tau }$ ${\displaystyle \mathb {E} \left[t\right]=\tau$ $\}$에 대한 기대치가 분석적으로 알려져 있지 않더라도, $t{\displaystyle }$ ${\displa$}을(일정한 고정 시뮬레이션 예산에 대해$)$ 평가하는 두 가지 조건이 충족된다면 여전히 $[\displaysty$ \$mu}$ 추정 정밀도를 높일 수 있다.$$$ystyle t}$은(는) $계산{\displaystyle }$ m ${\displaystyle m}$보다 훨씬 저렴하다$$$;$ 2) ${\displaystyle {\mathrm{상관}}_{}}$ 계수 ${\displaystyle {\rho m,}_{}}$ t $displaystyle \rho _{m,t}}}}$의 크기가 단결에 가깝다$$.^[3]

예

우리는 견적을 내고 싶다.

${\displaystyle I=\int _{0}^{1}{1}{1+x}\\mathrm {d}x}$

몬테카를로 통합 사용.이 적분은 f${\displaystyle (U}$) ${\displaystyle f(U)}$의 예상 값이며$,$ 여기서

${\displaystyle f(U)={\frac {1}{1+U}}$

그리고 U는 균일한 분포[0, 1]를 따른다.n 크기의 샘플을 사용하면 샘플의 점을 ${\displaystyle {u\mathrm{}}_{}}$ 1,${\displaystyle }$⋯ ,${\displaystyle u_{}}$ n ${\$로 나타낼 수 있다$.$ 그러면 견적은 다음과 같다.

${\displaystyle I\ 약 {\frac {1}{n}\sum _{i}f(u_{i}).}$

Now we introduce ${\displaystyle g(U)=1+U}$ as a control variate with a known expected value ${\displaystyle \mathbb {E} \left[g\left(U\right)\right]=\int _{0}^{1}(1+x)\,\mathrm {d} x={\tfrac {3}{2}}}$ and combine the two into a new estimate

${\displaystyle I\약 {1}{n}\sum _{i_f(u_{i})+c\왼쪽({\frac {1}{n}}\sum _{i}-{i}-3/2\rig\right)}$

$n{\displaystyle }$= ${\displaystyle 1500}$ ${\displaystyle n=1500}$ 실현과$$ 추정 최적 계수 $c{\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle 0.4773}$ ${\displaystyle c^{\star }\$약 $0.4773$}을$($를) 사용하여 다음$$ 결과를 얻는다.

	견적	분산
고전적 추정치	0.69475	0.01947
제어 변수	0.69295	0.00060

제어 변수 기법을 사용한 후 분산이 크게 감소하였다.(정확한 결과는 I${\displaystyle }$= ${\displaystyle \ln }$ ${\displaystyle }$ ${\displaystyle 2}$ ${\displaystyle \approx }$ ${\displaystyle 0.69314718}$ ${\displaystyle I=\ln 2\$ 약 $0.69314718}).$

참고 항목

• 반독점 변이
• 중요도 샘플링

이 글은 검증을 위해 인용구가 추가로 필요하다. 신뢰할 수 있는 출처에 인용문을 추가하여 이 기사를 개선할 수 있도록 도와주십시오. 공급되지 않은 재료는 도전하여 제거할 수 있다. 출처 찾기: "제어 변수" – 뉴스 · 신문 · 책 · 학자 · JSTOR(2011년 8월) (이 템플릿 메시지를 제거하는 방법과 시기 학습)

메모들

참조

• 로스, 쉘든 M. (2002) 시뮬레이션 3판 ISBN 978-0-12-598053-1
• Averill M. Law & W. David Kelton(2000), 시뮬레이션 모델링 및 분석, 제3판.ISBN 0-07-116537-1
• S. P. Meyn(2007) Cambridge University Press, Complex Networks 제어 기법ISBN 978-0-521-88441-9다운로드 가능한 초안(섹션 11.4: 제어 변수와 섀도 기능)