금융의 준몬테 카를로 방법

수백 또는 수천 개의 변수에 있는 고차원적 통합은 일반적으로 금융에서 발생한다. 이러한 통합은 숫자적으로 계산하여 임계값$ϵ{\displaystyle }$ {\$displaystyle$ \$epsilon }$을(를) 충족해야 한다$.$ 통합이 차원 $d{\displaystyle }$ ${\displaystyle$ d$}$이면 최악의$$ 경우, 계산 복잡성은 일반적으로 $order{\displaystyle {}^{}}$ - ${\$ $\epsilon }$의 순서다$.$$yle \epsilon ^{-d$ 즉, 문제는 차원성의 저주를 겪는 것이다. 1977년 P. 보일 워털루 대학은 몬테카를로(MC)를 활용해 옵션을 평가하자고 제안했다.^[1] 1992년 초 J. F. 트라우브, 컬럼비아 대학교와 당시 대학원생이었던 S. 파스코프는 골드만삭스가 지정한 매개변수로 담보대출 의무의 가격을 책정하기 위해 준몽테 카를로(QMC)를 사용했다. 세계 유수의 전문가들이 QMC를 고차원적 통합에 이용해서는 안 된다고 믿었는데도 파스코프와 트라우브는 QMC가 MC를 1~3배 정도 따돌리고 다른 바람직한 속성을 누렸다는 사실을 알게 됐다. 그들의 결과는 1995년에 처음 발표되었다^[2]. 오늘날 QMC는 금융 파생상품을 가치 있게 평가하기 위해 널리 사용되고 있다. 아래의 책 목록을 참조하라.

QMC는 모든 고차원적 통합을 위한 만병통치약은 아니다. QMC가 금융파생상품에 왜 좋은지 여러 설명이 제시됐다. 이것은 계속해서 매우 유익한 연구 분야가 되고 있다.

몬테카를로 및 준몬테카를로 방법

수백 또는 수천 개의 변수의 통합은 계산 금융에서 흔히 볼 수 있다. 이는 오류 $임계값{\displaystyle }$threshold {\$displaystyle \epsilon }$에 근사치해야 한다$.$ 최대 $ϵ{\displaystyle }$ ${\displaystyle \epsilon }$에서 최악의 오류 보증이 필요한$$ 경우 통합의 계산 복잡성은 $d{\displaystyle }$ ${\displaystyle d}$에서 기하급수적일 수 있다는 것은 잘 알려져 있다$.$자세한 내용은 3장을 참조하십시오. 이 차원성의 저주를 깨기 위해서는 다음에 의해 정의된 몬테카를로(MC) 방법을 사용할 수 있다.

${\displaystyle \varphi ^{\mathop {\rm {MC}}={\frac {1}{n}\sum _{i=1}^{n1}f(x_{i}),}$

여기서 평가점 $x{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle i_{}}$ ${\$를 랜덤하게 선택한다$$. 몬테카를로의 예상 오차가 ${\displaystyle {\mathrm{n}}^{}}$- 1${\displaystyle {}^{}}$/ ${\displaystyle {2\mathrm{}}^{}}$ ${\$ n$^{-1/2}}$인 것으로 잘 알려져 있다$.$ 따라서 오류 ${\$$displaystyle \epsilon }}}$이 있는 알고리즘의 원가는${\displaystyle {}^{}}$ality - 2 {\$displaystyle \epsilon ^{-2}}$정도의 저주를 깨뜨리는$$ 것이다$$.

물론 계산 실습에서는 의사 난수 포인트를 사용한다. 그림 1은 단위 제곱에 있는 500개의 의사 난수 점의 분포를 보여준다.

참고: 점이 없는 지역과 점 군집이 있는 다른 지역이 있다. 균일하게 분포된 지점에서 통합의 표본을 추출하는 것이 바람직하다. 직사각형 그리드는 균일하지만 각 카트리지 방향에서 격자점이 2개만 $있더라도{\displaystyle {\mathrm{}}^{}}$ 2 ${\displaystyle d^{}}$ ${\$ 2$^{d}$가 될 것이다. 따라서 데시데라툼은 가능한 한 균일하게 선택하는 포인트가 적어야 한다.

이 데시데라툼을 정확히 다루는 숫자 이론의 잘 발달된 부분이 있다는 것이 밝혀졌다. 불일치는 균일성에 대한 편차의 척도로서 원하는 것은 낮은 불일치 시퀀스(LDS)이다.^[4] 예를 들어, 수많은 LDS가 발명가의 이름을 따서 만들어졌다.

• 핼턴
• 해머슬리
• 소볼
• 푸레
• 니더레이터

그림 2. 500 LDS 포인트의 분포

준몬테 카를로(QMC) 방법은 다음과 같이 정의된다.

${\displaystyle \varphi ^{\mathop {\rm {QMC}}}}}}{\frac {1}{n}\sum _{i=1}^{n1}f(x_{i}),}$

$여기$서 x ${\displaystyle i_{}}$ ${\$는 LDS에 속한다$$. 표준 용어 준몬테 카를로는 MC가 무작위화된 방법인 반면 QMC는 순수하게 결정론적이기 때문에 다소 아쉽다.

LDS의 균일한 분포가 바람직하다. 하지만 QMC의 최악의 오류는 순서가 정해졌다.

${\displaystyle {\frac {(\log n)^{d}}{n},}$

여기서 $n{\displaystyle }$ ${\displaystyle n}$은(는) 샘플 포인트 수입니다. LDS 이론과 문헌에 대한 참조를 참조하십시오. LDS의 수렴 속도는 MC의 예상 수렴율인 n${\displaystyle {}^{}}$- ${\displaystyle 1^{}}$/ ${\displaystyle {2\mathrm{}}^{}}$ ${\$ n$^{-1/2}}$과 $대조$될 수 있다$.$ d ${\displaystyle d}$의 경우 QMC 수렴 속도는 MC보다 빠르지만 d ${\displaystyle d}$의 경우 인자$({\displaystyle \log }$ $⁡$ ${\displaystyle {}^{}}$ ${\$는 크다$$. 파괴적인 예를 들어, $d{\displaystyle }$= ${\displaystyle 360}$ ${\displaystyle d=360$인 경우, ${\displaystyle \mathrm{로그}}$ ${\displaystyle \mathrm{n}}$= 2 ${\displaystyle \log$ n$=2$}이$($가) 있더라도 QMC 오류는 2 ${\displaystyle {360}^{}}$ ${\$에 비례한다$.$ 따라서 QMC를 고차원적 통합에 이용해서는 안 된다는 것이 세계 유수의 전문가들로부터 널리 믿어졌다. 예를 들어 1992년 브래틀리, 폭스와 니더레이터는^[5] 특정 수학 문제에 대한 광범위한 테스트를 수행했다. 그들은 "고차원 문제(예: > $(\displaystyle$ d$>12}),$ QMC가 MC보다 실질적인 이점을 제공하지 못하는 것 같다"고 결론짓는다. 1993년, 렌스부르크와 토리는^[6] 하드-sphere 유체의 에너지 계수를 계산할 때 발생하는 고차원 적분 수치 추정에 대해 QMC를 MC와 비교했다. 그들은 D< $[\displaystyle d<10}]$이 경우에만 QMC가 MC보다 더 효과적이라고 결론짓는다 우리가 볼 수 있듯이, 담보대출의무(CMO)에서 발생하는 360차원 통합에 대한 테스트는 매우 다른 결론으로 이어진다.

통합의 평균 사례 복잡성과 QMC의 연관성을 보여주는 Wo woniakowski의 1991년 논문은^[7] QMC에 대한 새로운 관심으로 이어졌다. Woniniakowski의 결과는 과학 언론에서^[8] 상당한 취재를 받았다.^[9] 1992년 초, 뉴욕대학 I. T. 반데르후프는 워니아코프스키의 결과를 알게 되어 워니아코프스키의 동료 J.F.를 주었다. 트라우브, 컬럼비아 대학, 골드만 삭스가 설정한 매개 변수를 가진 CMO. 이 CMO는 360차원 적분 연산이 필요한 각각 10개의 트랜지스를 가지고 있었다. 트라우브는 박사과정 학생인 스파시미르 파스코프에게 CMO를 위해 QMC와 MC를 비교해 달라고 부탁했다. 1992년 파스코프는 핀더라는 소프트웨어 시스템을 구축하고 광범위한 테스트를 실시했다. 컬럼비아 연구그룹의 놀라움과 초기 불신감에 대해 파스코프는 QMC가 여러 면에서 항상 MC보다 우월하다고 보고했다. 자세한 내용은 다음과 같다. 파스코프와 트라우브는 1993년 가을과 1994년 봄에 여러 월 스트리트 회사에 예비 결과를 발표했다. 기업들은 처음에 QMC가 금융파생상품의 가격결정에서 MC보다 우월하다는 주장에 회의적이었다. 트라우브와 워니아코프스키가^[9] 1994년 1월 사이언티픽 아메리칸 기사에서 이론적 이슈를 논의한 결과 "특정 재정 문제를 시험해 얻은 예비 결과는 실제 결정론적 방법의 우월성을 시사한다"고 보도했다. 1994년 가을에 파스코프는 1997년에 약간 수정된 형태로 나타난 컬럼비아 대학 컴퓨터 과학 보고서를 썼다.^[10]

1995년 가을 파스코프와 트라우브는 "포트폴리오 관리 저널"에 논문을 발표했다.^[2] 그들은 MC와 두 가지 QMC 방법을 비교했다. 두 가지 결정론적 방법은 소볼과 할튼 점을 사용했다. 나중에 더 나은 LDS가 만들어졌기 때문에, Sobol과 Halton 시퀀스는 비교되지 않을 것이다. 실험은 10 tranche CMO에서 MC와 QMC의 성능에 관한 다음과 같은 결론을 도출했다.

• QMC 방법이 MC보다 훨씬 빠르게 수렴됨
• MC는 초기 시드에 민감하다.
• MC의 융합보다 QMC의 융합이 더 부드럽다. 이것은 QMC의 자동 종료를 더 쉽게 만든다.

요약하자면, QMC는 정확도, 신뢰도, 속도에서 CMO를 위해 MC를 능가한다.

본 논문은 다수의 연구자들의 실험에 대한 보고가 이어졌고, 이는 또한 QMC가 다양한 고차원적 재정 문제에 있어서 MC보다 우월하다는 결론을 이끌어냈다. 여기에는 카플리쉬와 모로코프(1996년),^[11] 조이, 보일, 탄(1996년),^[12] 니노미야와 테즈카(1996년),^[13] 파파게오르기우와 트라우브(1996년),^[14] 아크워스, 브로드디와 글래서만(1997년),^[15] 쿠체렌코와 공동저자의 논문 등이 포함된다.

CMO에^[14] 대한 추가 테스트는 FinDer 소프트웨어 시스템의 개선된 버전을 개발한 Anargyros Papageorgiou에 의해 수행되었다. 새로운 결과는 다음과 같다.

• 소수의 샘플 포인트: S로 인해 일반화된 Faure LDS를 사용하여 가장 어려운 CMO tranche QMC를 위해. 테즈카는^[18] 단 170점으로 ${\displaystyle {10}^{}}$ - ${\$점의 정확도를 달성한다. MC는 같은 정확도를 위해 2700점이 필요하다. 그 의의는 향후 금리와 중도상환금리가 알려지지 않아 금융회사들은 ${\displaystyle {10}^{}}$- 2 ${\$ 스타일 $10^{-2}$의 정확성에 만족하고 있다는 것이다$.$
• 많은 수의 샘플 포인트: QMC가 MC에 비해 갖는 이점은 샘플 크기와 정확성 요구가 커질수록 더욱 증폭된다. 특히 QMC는 적당한 샘플 크기로 MC보다 20~50배 빠르며, 높은 정확도를 원하는 QMC 때 MC보다^[14] 최대 1000배 빠를 수 있다.

현재 QMC가 MC를 능가하는 최고 차원은 65536이다.^[19] 소프트웨어는 Sobol' Sequence generator SobolSeq65536으로, 모든 차원에 대해 속성 A를 만족하는 Sobol' Sequence를 생성하며, 인접한 차원에 대해서는 Property A'를 만족한다. SobolSeq 발전기는 속도와 정확성 모두에서 알려진 다른 모든 발전기보다 우수하다.

이론적 설명

이 글에서 지금까지 보고된 결과는 실증적이다. 가능한 많은 이론적 설명이 진전되었다. 이것은 강력한 새로운 개념으로 이어지는 매우 연구력이 풍부한 분야였지만 확실한 해답을 얻지 못했다.

QMC가 금융에 좋은 이유에 대한 가능한 설명은 다음과 같다. 앞서 언급한 CMO의 트랑슈를 생각해 보십시오. 이 통합은 360개월 간격으로 30년 만기 주택담보대출의 바구니에서 예상되는 미래현금흐름을 제공한다. 미래시대를 대표하는 화폐변수의 할인된 가치 때문에 점점 중요성이 낮아지고 있다. 정론지 I에. 슬론과 H. Woowskiniakowski는^[21] 가중된 공간에 대한 아이디어를 소개했다. 이러한 공간에서는 연속 변수에 대한 의존도를 가중치로 줄일 수 있다. 체중이 충분히 빠르게 감소하면 최악의 경우 보증을 받더라도 치수의 저주가 깨진다. 이 논문은 통합과 다른 문제들에 대한 다루기 쉽도록 이끌었다.^[22] 문제는 복잡성이 순서 $ϵ{\displaystyle {}^{}}$ -${\displaystyle p^{}}$ ${\$이고 $p{\displaystyle }${\$displaystyle p}$이(가) 차원과 무관할 때 다루기 쉽다.

한편, 효과적인 차원은 카플리쉬, 모로코프, 오웬이^[23] 고차원적 통합의 난이도를 나타내는 지표로 제시하였다. 준몬테카를로(QMC)가 금융의 초고차원적 집적화에 근접한 괄목할 만한 성공을 설명하는 것이 목적이었다. 이들은 통합업체들이 유효성이 낮은 차원이며, 그래서 QMC가 몬테카를로(MC)보다 훨씬 빠르다고 주장했다. 카플리슈 외 논거의 영향은 컸다.^[23] 많은 논문들이 QMC의 오류와 효과적인 차원^[24] 사이의 관계를 다루고 있다.^[16]

유효차원이 높은 특정 기능에 대해서는 QMC가 실패하는 것으로 알려져 있다.^[5] 그러나 QMC가 MC를 이기고 고차원적 통합이 추적가능하기 위해서는 낮은 유효차원이 필수조건은 아니다. 2005년, Tezuka[26]. 이러한 기능은 QMC은 아주 빠른 이후의 융합률 미에 속한다 nd{\displaystyle d}변수의 기능, 모든 최대 효과적인 차원을 삭제할 동등한{\displaystyle d}의 등급은 전시되어 1{\displaystyle n^{)}}, 기능 ev의 n{n\displaystyle}은 번호 −.알유스

등방성 적분

또한 QMC는 MC 및 등방성 문제, 즉 모든 변수가 동등하게 중요한 문제에 대해 다른 방법보다 우수할 수 있다. 예를 들어 파파게오르지우와 트라우브는^[27] 물리학자 B가 제시한 모델 통합 문제에 대한 시험 결과를 보고했다. D. 키스터^[28]

${\displaystyle \left({\frac {1}{2\pi }}}\{d/2}\int_{\mathb {R} ^{d}\cos(\ x\ )e^{-\ ^{dx,}$

여기서 ${\displaystyle \Vert }$ $⋅{\displaystyle \cdot$\cdot $\}}$는 유클리드 규범과 d${\displaystyle }$= ${\displaystyle 25}$ ${\displaystyle d=25}$를 나타낸다$.$ Keister는 표준 수치법을 사용하여 ${\displaystyle {10}^{}}$- ${\displaystyle 2^{}}$ ${\$ 일반화된 Faure 저차이를 사용한 QMC 계산이 필요하다고 보고한다. 시퀀스^[18](QMC-GF)는 500점만 사용하여 동일한 상대적 오류를 얻었다. $d$ = $(\displaystyle d}$ ~ d = $100)$ 범위의 값에 대해 동일한 적분을 테스트했다$.$ 그 잘못은.

${\displaystyle c\cdot n^{1},}$

< ${\displaystyle c<110$ 여기서 $n{\displaystyle }$ ${\displaystyle n}$은 $f{\displaystyle }$ ${\displaystyle f}$의 평가 수입니다$.$ 이는 오류가 ${\displaystyle {\mathrm{n}}^{}}$- 1${\displaystyle {}^{}}$/ ${\displaystyle {2\mathrm{}}^{}}$ ${\$ n$^{-1/2}}$에 비례한 MC 방법과 비교할 수 있다$.$

이것들은 경험적인 결과들이다. 이론적 조사를 통해 Papageorgiou는^[29] 위에서 정의한 적분을 포함하는 $d{\displaystyle }$ ${\displaystyle d}$차원$$ 등방성 적분 종류에 대한 QMC의 수렴율이 순서에 있음을 입증했다.

${\displaystyle {\sqrt {\log n}/n.}$

이는 몬테카를로의 $예상$ 수렴율 ${\displaystyle {n\mathrm{}}^{}}$ -${\displaystyle {}^{}}$1${\displaystyle {}^{}}$/ 2${\$과 비교했을 때 최악의 경우 보증이 적용되며, 이러한 유형의 적분에 대한 QMC의 우위성을 보여준다.

또 다른 이론조사에서 Papageorgiou는^[30] 빠른 QMC 수렴을 위한 충분한 조건을 제시했다. 이 조건은 등방성 및 비등방성 문제, 특히 계산 금융의 여러 문제에 적용된다. 그는 최악의 경우라도 QMC의 융합률이 순서가 되는 기능들을 제시했다.

${\displaystyle n^{-1+p(\log n)^{-1/2}},}$

여기서 $p{\displaystyle }$ ${\displaystyle \ge }$ ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle p\geq$ 0$}$은(는) 함수 클래스에 따라 달라지는 상수다.

그러나 이것은 단지 충분한 조건일 뿐이고 우리가 다음 섹션에서 제기하는 주요 질문을 열어둔다.

질문 열기

1. QMC가 MC보다 뛰어난 고차원적 통합 문제를 특성화한다.
2. QMC가 MC보다 우수한 금융상품의 유형을 특성화한다.

참고 항목

• 몬테카를로 금융법
• 과거 시뮬레이션(금융)

자원.

책들

• Bruno Dupire (1998). Monte Carlo: methodologies and applications for pricing and risk management. Risk. ISBN 1-899332-91-X.
• Paul Glasserman (2003). Monte Carlo methods in financial engineering. Springer-Verlag. ISBN 0-387-00451-3.
• Peter Jaeckel (2002). Monte Carlo methods in finance. John Wiley and Sons. ISBN 0-471-49741-X.
• Don L. McLeish (2005). Monte Carlo Simulation & Finance. ISBN 0-471-67778-7.
• Christian P. Robert, George Casella (2004). Monte Carlo Statistical Methods. ISBN 0-387-21239-6.

모델

• 다운로드 가능한 스프레드시트, 교수. 마르코 디아스, PUC-리오

참조