마스파형

이 글은 일반적인 참고문헌 목록을 포함하고 있지만, 그에 상응하는 인라인 인용구가 충분하지 않다. 좀 더 정밀한 인용구를 도입하여 이 기사를 개선할 수 있도록 도와주십시오.(2017년 9월) (이 템플릿 메시지를 제거하는 방법과 시기 알아보기)

수학에서는 마아스 형태 또는 마아스 파형의 형태가 자동형식의 이론에서 연구된다.Maass 형식은 모듈형 형태로$$ ${\displaystyle {\mathrm{S}}_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$2 ( ${\displaystyle R\mathbb{}}$)$${\$displaystyle \Gammatrm {SL} _${2$}(\mathb {R})$의 이산형 부분군 ${\displaystyle \Gamma }}$의 조작에 따라 유사한 방식으로 변환되는 상부 하프 평면의 복합 값 매끄러운 함수다.이들은 $H{\displaystyle \mathbb{}}$ ${\$에 정의된 쌍곡선 라플라스 연산자 ${\displaystyle \Delta$}의 고유형식으로, $and$ ${\displaystyle \Gamma }$의 기본 영역의 cusps에서 특정 성장 조건을 만족시킨다$.$ 모듈형 형태와는 대조적으로 Mass 형식은 홀로 볼 필요가 없다.그들은 1949년에 한스 마스(Hans Maass)에 의해 처음 연구되었다.

일반적 발언

그룹

${\displaystyle G:=\mathb {R} _{2}(\mathb {R} )=\좌측\{\\\\\\begin{pmatrix}a&b\c&d\\\end{pmatrix}}}\in M_{2}(\mathb {R}):ad-bc=1\right\}}$

상부 하프 평면에서 작동함

${\displaystyle \mathb {H} =\{z\in \mathb {C} :\operatorname {Im}(z)>0\}$

부분 선형 변환:

${\displaystyle {\pmatrix}a&b\c&d\\end{pmatrix}\cdot z:={\frac {az+b}{cz+d}}.}$

다음을 정의하여$$ $H{\displaystyle \mathbb{}}$ ${\displaystyle \cup }$ {${\displaystyle \mathrm{\infty }}$ }${\displaystyle \cup }$ ${\displaystyle r\mathbb{}}$R {\$displaystyle \mathb {H} \cupty$\}\cupty \cup $\mathb {\\mathb$ {$R}}} \cuptyple$ \mathb {}}}에 대한 작업으로 확장할 수 있다.

${\displaystyle {\pmatrix}a&b\c&d\\end{pmatrix}\cdot z:={\cdot z:={\pas}{\frac {az+b}{cz+d}}&{\text}{{{cz+d}}}}}}}{cz+d,ftext}}}}}}}}}}}}\cz+d=0,d}}$

${\displaystyle {\begin{pmatrix}a&b\\c&d\\\end{pmatrix}}\cdot \infty :=\lim _{\operatorname {Im} (z)\to \infty }{\begin{pmatrix}a&b\\c&d\\\end{pmatrix}}\cdot z={\begin{cases}{\frac {a}{c}}&{\text{if }}c\neq 0\\\infty &{\text{if }}c=0\end{cases}}}$

라돈 대책

$d\mu(zy d\mu(z):={\frac {dxdy}{y^{2}}:$

$H{\displaystyle \mathbb{}}$ ${\$에 정의된 \mathb {H}은$($는) $S{\displaystyle {\mathrm{}}_{}}$ ${\displaystyle {\mathrm{L}}_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$( R${\displaystyle }$) ${\displaystyle \mathrm$ {$SL} _{2}(\mathb {R}$ )의 작업에서$$불변함$.$

Let ${\displaystyle \Gamma }$ be a discrete subgroup of ${\displaystyle G}$. A fundamental domain for ${\displaystyle \Gamma }$ is an open set ${\displaystyle F\subset \mathbb {H} }$, so that there exists a system of representatives ${\displaystyle R}$ of ${\displaystyle \Gamma \backslash \$$다음$이 포함된 mathbb {$H} }$

${\displaystyle F\subset R\subset {\overline {F}{\text{ 및 }}\mu({\overline {F}\setminus F)=0.}$

모듈형 그룹 $\gamma {\displaystyle \mathrm{}}$( ${\displaystyle 1}$) ${\displaystyle :=}$ ${\displaystyle {\mathrm{}}_{}}$ ${\displaystyle {\mathrm{L}}_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$( ${\displaystyle Z\mathbb{}}$) ${\displaystyle \Gamma($1)의 기본 도메인$:$$=\mathrm {SL} _{2}(\mathb {Z} )$에 의해 제공됨

${\displaystyle F:=\좌측\{z\in \mathb {H} \mid \좌측 \operatorname {Re}(z)\우측 <{\frac {1}{1}:{1}, z <1\우측\}}}}$

(모듈식 참조).

A function ${\displaystyle f:\mathbb {H} \to \mathbb {C} }$ is called ${\displaystyle \Gamma }$-invariant, if ${\displaystyle f(\gamma z)=f(z)}$ holds for all ${\displaystyle \gamma \in \Gamma }$ and all ${\displaystyle z\in \mathbb {H} }$.

$meas{\displaystyle \mathrm{}}$ ${\displaystyle \Gamma }$ -invariant$$ $함수{\displaystyle }$f :${\displaystyle H\mathbb{}}$ → ${\displaystyle C\mathbb{}}${\$displaystyle f:\mathb {H} \to \mathb {C}}$ 등식$$

${\displaystyle \int _{F}f(z)\,d\mu(z)=\int _{\Gamma \backslash \mathb {H}{{F(z)\d\mu(z),}$

holds. 여기에서 방정식의 오른쪽에 있는$$ 측정치 $d{\displaystyle }$ $\mu {\displaystyle \mathrm{}}$ ${\displaystyle$ d$\mu$}은(는) ${\displaystyle \mathrm{\setminus }}$ ${\displaystyle H\mathbb{}.}$ ${\displaystyle \Gamma \백슬래시 \mathb$ {$H}}$에 대한 유도 측정값이다.

클래식 마스 양식

쌍곡선 라플라스 연산자 정의

$H{\displaystyle \mathbb{}}$ ${\$의 쌍곡선 라플라스 연산자는 다음과 같이 정의된다$$.

${\displaystyle \Delta :C^{\infit }(\mathb {H})\to C^{\infit }(\mathb {H}),}$

${\displaystyle \Delta =-y^{2}\왼쪽({\frac {\partial x^{2}}}+{\partial ^{2}}}+{\partial y^{2}}}{\partial y^{2}}}\오른쪽)}}$

Maass 양식의 정의

그룹 $\gamma {\displaystyle \mathrm{}}$( ${\displaystyle 1}$) ${\displaystyle :=}$ ${\displaystyle {\mathrm{}}_{}}$ ${\displaystyle {\mathrm{}}_{}}$ 2${\displaystyle {}_{}}$( ${\displaystyle Z\mathbb{}}$) ${\displaystyle \Gamma($1)의 Maass 양식$:$$=\mathrm {SL} _{2}(\mathb {Z}$ )은$($는) H {\$displaystyle \mathb$ {$H}$을(를) 만족하는$$ 복잡한$$ 값의 평활 함수 $f{\displaystyle }$ ${\displaystyle f}$이다.

1. ${\displaystyle f(\gamma z)=f(z){\text{{}}}}\}\감마 \in \감마 \1),\qquad z\in \in \mathb {H}$
2. ${\displaystyle {\text{{}}\mathb {C} {\text{ with }\Delta(f)=\lambda f}이(가) 있음$
3. ${\displaystyle {\text{}}}\mathb {N} {\text{ with }f(x+iy)=}}}\datab {\text{ with }}}}}\datasty}={\mathcal{O}(y^{N}){\text{{{{} for }y\geq 1}$

만약

${\displaystyle \int _{0}^{1}f(z+t)dt=0{\text{{}모든 }z\in \mathb {H}}}$

$우리는$f를 Maass$$ cusp form이라고 부른다$.$

Maass 양식과 Dirichlet 계열의 관계

$f{\displaystyle }$ ${\displaystyle f}$을(를) Maass 형식으로 두십시오.이후

${\displaystyle \gamma :={\begin{pmatrix}1&1\\0&1\\\end{pmatrix}\in \Gamma(1)}$

다음이 있음:

${\displaystyle \forall z\in \mathb {H} :\qquad f(z)=f(\gamma z)=f(z+1)}$

따라서 $f{\displaystyle }$ ${\displaystyle f}$은(는) 양식의 푸리에 확장을 가진다$$.

${\displaystyle f(x+iy)=\sum _{n=-\infit }^{\n_{n}(y)e^{2\pi inx}}}}$

계수 함수 ${\displaystyle n_{}}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle \in }$ ${\displaystyle Z\mathbb{}.}$ ${\displaystyle a_{n},n\in \mathb {Z}.}$

)= 0 y> ${\displaystyle a_{0}(y)=0\forall y>0}$인 경우에만 $f{\displaystyle }$ ${\displaystyle f}$이(가) Maass cusple임을 쉽게 알 수 있다

우리는 계수 함수를 정밀하게 계산할 수 있다.이를 위해 우리는 베셀 $함수{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle K_{}}$ v ${\$이 필요하다$.$

정의:Besel $함수{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle K_{}}$ v$${\$displaystyle K_{v}$는 다음과 같이 정의된다$$.

${\displaystyle K_{s}(y):={\frac{1}{2}}\int _{0}^{0}^{\\flac{y(t+t^{-1}}}{2}}:t^{{}}{{\frac {dt}{t}}}}}{\qquad s\in \mathb {C},y>0.}$

$통합$은 $\$C {\$displaystyle$ s$\in$ \$mathb${의 y> 0 {\$displaystyle y$>0$$}과(와) 불평등에 대해 국소적으로 절대적으로 수렴된다.

${\displaystyle K_{s}(y)\leq e^{-{\frac {y}{2}}K_{\operatorname {Re}(s)}(2)}$

> 4 ${\displaystyle y>4$에 대해 보류.

Therefore, ${\displaystyle K_{s} }$ decreases exponentially for ${\displaystyle y\to \infty }$. Furthermore, we have ${\displaystyle K_{-s}(y)=K_{s}(y)}$ for all ${\displaystyle s\in \mathbb {C} ,y>0}$.

증명: 우리는 가지고 있다.

${\displaystyle \Delta (f)=\왼쪽({\frac {1}{4}-\nu ^{2}\오른쪽)f.}$

푸리에 계수의 정의에 의해 우리는 얻는다.

${\displaystyle a_{n}=\int _{0}^{1}f(x+iy)e^{-2\pi inx}dx}$

$n{\displaystyle }$ ${\displaystyle \in }$ ${\displaystyle Z\mathbb{}}$. ${\displaystyle n\in \mathb {Z}에$대해

함께 그것은 그 뒤를 잇는다.

${\displaystyle {\nu{2}-\frac {1}{4}-\nu ^{2}\오른쪽)a_{n}&=\int_{0}^{1}{1}{4}-\nu ^{2}\오른쪽)f(x+iy)e.^{-2\pi inx}dx\\[4pt]&=\int _{0}^{1}(\Delta f)(x+iy)e^{-2\pi inx}dx\\\[4pt]-y^{2}\좌측(\int_{0}^{1}{\frac {\f}{{2}f}{\not x^{2}}(x+iy)e^{-2\pi inx}dx+\int _{0}^{1}{\frac {\f}{\f}{\f}{\message y^{2}}(x+iy)e^{-2\pi inx}dx\right)\\[4pt]&{\overset {(1)}{=}}-y^{2}(2\pi in)^{2}a_{n}(y)-y^{2}{\frac {\partial ^{2}}{\partial y^{2}}}\int _{0}^{1}f(x+iy)e^{-2\pi inx}dx\\[4pt]&=-y^{2}(2\pi in)^{2}a_{n}(y)-y^{2}{\frac {\partial ^{2}}{\partial y^{2}}}a_{n}(y)\\[4pt]&=4\pi ^{2}n^{2}y^{2}a_{n}(y)-y^{2}{\frac {\partial ^{2}}{\partial y^{2}}}a_{n}(y)\end{aligned}}}$

$n{\displaystyle }$ ${\displaystyle \in }$ ${\displaystyle Z\mathbb{}}$. ${\displaystyle n\in \mathb {Z}에$대해

(1)에서는 첫 번째 합계 기간 동안$$$\frac{{\mathrm{}}^{}}{}$for 2 $\frac{{}^{}}{}$ $\frac{\mathrm{}}{}$ $\frac{{}^{}}{}$ $\frac{{2\mathrm{}}^{}}{}$ 2 ${\${\$frac {\partial ^{2}f}{\pi^{2}}$의 n Fourier 계수를${\displaystyle }$(${\displaystyle 2}$ ${\displaystyle \pi }$ ${\displaystyle i{}^{}}$) ${\displaystyle 2}$ a ${\displaystyle n_{}}$( y$){\displaystystyle (2\pi$ in$)^{$2}$a_{n}($y)}y)}}}y)}}}}y}}}}y$)$를 사용했다.두 번째 학기에 우리는 통합과 분화의 순서를 바꾸었는데, 이는 f가 y에서 매끄러우므로 허용된다. 우리는 2도 선미분 방정식을 얻는다.

${\displaystyle y^{2}{\frac {\frac }{{2}}:{\n}(y)+\leftflac\frac {1}{1}{4}-\nu ^{2}-4}-\pi n^{2}y^{2}}{n(y)=0}$

For ${\displaystyle n=0}$ one can show, that for every solution ${\displaystyle f}$ there exist unique coefficients ${\displaystyle c_{0},d_{0}\in \mathbb {C} }$ with the property ${\displaystyle a_{0}(y)=c_{0}y^{{\frac {1}$${2}}-\nu }+d_{0}y^{\frac {1}{1}:{2}}+\nu }}$

$n{\displaystyle }$ ${\displaystyle \ne }$ ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle n\neq 0}$의 경우$$ 모든 솔루션 $f{\displaystyle }$ ${\displaystyle$ f$}$은(는) 형식이다$$.

${\displaystyle f(y)=c_{n}{\sqrt {y}K_{v}(2\pi n)+d_{n}{\sqrt {y}}I_{v}(2\pi n)}$

고유한 $c{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle n_{}}$, ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle C_{}}$ ${\${${\displaystyle C}$$\}\}.$ $여기$서 ${\displaystyle K_{}}$v ( s${\displaystyle }$)$${\$displaystyle K_{v},$ $I$ ${\displaystyle v_{}}$( ${\displaystyle s)}${\$displaystytle I_{v}s}$는 베셀 함수다$$.

베셀 함수 $I{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle v_{}}$ ${\$는 기하급수적으로 증가하고$$, 베셀 함수 $K{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle v_{}}$ ${\$는 기하급수적으로 감소한다$$.Together with the polynomial growth condition 3) we get ${\displaystyle f:a_{n}(y)=c_{n}{\sqrt {y}}K_{v}(2\pi n y)}$ (also ${\displaystyle d_{n}=0}$) for a unique ${\displaystyle c_{n}\in \mathbb {C} }$. Q.E.D.

Even and odd Maass forms: Let ${\displaystyle i(z):=-{\overline {z}}}$. Then i operates on all functions ${\displaystyle f:\mathbb {H} \to \mathbb {C} }$ by ${\displaystyle i(f):=f(i(z))}$ and commutes with the hyperbolic Laplacian.A Maass form ${\displaystyle f}$ is called even, if ${\displaystyle i(f)=f}$ and odd if ${\displaystyle i(f)=-f}$. If f is a Maass form, then ${\displaystyle {\tfrac {1}{2}}(f+i(f))}$ is an even Maass form and ${\displaystyle {\tfrac {1}{2}$$}}(f-i($${\displaystyle f}$$)}$ 이상한$$ Maass 형식이며 $f{\displaystyle }$= ${\displaystyle \frac{1}{}}$ ${\displaystyle 2}$( f${\displaystyle }$+ ${\displaystyle i}$ (${\displaystyle }$)${\displaystyle }$+ ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle \frac{2}{}}$( ${\displaystyle f}$- ${\displaystyle i}$)${\displaystyle f={\tfrac {1}{1$}:{1$}(f+i(f))$를 보관한다.$+{\tfrac{1}{2}}(f-i(f)}}$.

정리:Maass 폼의 L-기능

내버려두다

${\displaystyle f(x+iy)=\sum _{n\neq 0}c_{n}{\sqrt {y}K_{\nu }(2\pi n)e^{2\pi inx}}$

마스 캅스 형식이다$f{\displaystyle }$ ${\displaystyle f}$의 L-기능을 다음과$$ 같이 정의한다.

${\displaystyle L(s,f)=\sum _{n=1}^{\infully }c_{n^{n^{-s}.}$

그러면 시리즈 $L{\displaystyle (s}$ ${\displaystyle ,}$ f${\displaystyle }$) ${\displaystyle L(s,f)}$이() () 2 ${\$에 수렴되고$$, $C{\displaystyle \mathbb{}}${\$displaysty \mathb {C}}}$의 전체 기능으로 계속할 수 있다$.$

$f{\displaystyle }$ ${\displaystyle f}$이(가) 짝수 또는 홀수인 경우

$[\displaystyle \Lambda(s,f):=\pi ^{-s}\감마 \왼쪽({\frac {s+\varepsilon +\nu }{2}}\오른쪽)\감마 \왼쪽({\frac {s+\varepsilon -\nu }{2}}\오른쪽)L(s,f)}$

$여기$서 ${\displaystyle \mathrm{\epsilon }}$= 0 ${\displaystyle f}$이(가) 짝수인 경우 \$displaystyle \varepsilon =0}$이고 f$${\$displaystyle f$}이$$(가) ${\displaystyle \mathrm{홀수}}$인 경우$$${\displaystyle }\epsilon {\displaystyle }$ = -$$1 {\$displaystyle \varepsilon =-1}$이다.$그{\displaystyle \mathrm{}}$ 후 { ${\displaystyle \Lambda$}이(가) 기능 방정식을$$ 만족한다.

$\displaystyle \lambda(s,f)=(-1)^{\varecsilon }\lambda(1-s,f)}$

예:비고형성 아이젠슈타인 시리즈 E

비혼형성 아이젠슈타인 $시리즈$는 z${\displaystyle }$= ${\displaystyle x}$+ ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle \in }$ ${\displaystyle H}$ ${\$및 ${\displaystyle s}$ ${\displaystyle \in }$ C ${\$ {$C}$에 대해$$ 정의된다.

$[\displaystyle E(z,s):=\pi ^{-s}\감마(s){\frac {1}{1}:{2}}:\sum _{(m,n)\neq(0,0)}{\frac {y^{s}}{mz+n ^{2s}}}}}}}}}}}}$

여기서 $\gamma {\displaystyle \mathrm{}(s}$) ${\displaystyle \Gamma(s)}$은 감마 함수다.

The series converges absolutely in ${\displaystyle z\in \mathbb {H} }$ for ${\displaystyle \Re (s)>1}$ and locally uniformly in ${\displaystyle \mathbb {H} \times \{\Re (s)>1\}}$, since one can show, that the series

$[\displaystyle S(z,s):=\sum _{(m,n)\neq(0,0)}{\frac {1}{mz+n ^{s}}}}}}}}$

z∈ H{\displaystylez\in \mathbb{H}정말}에 Converges, 만약ℜ(s)>2{\displaystyle \Re(s)>2}, 보다 정확히 하자면 한결같이 모든 집합 K×({\displaystyle K\times){\Re(s)\geq \alpha)}}, 모든 소형 K⊂ H{\displaystyle K\subset \mathbb{H}세트}과 모든 α에 전진.>2$displaystyle \cHB$ >$2}.$

E는 Maass 형식이다.

$S{\displaystyle {\mathrm{}}_{}}$ ${\displaystyle {\mathrm{L}}_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$( ${\displaystyle Z\mathbb{}}$) ${\displaystyle \mathrm$ {$SL} _{2}(\mathb {Z})}$ - invariance$$ 및 미분 방정식만 보여준다.부드러움의 증거는 디트마르나 범프에서 찾을 수 있다.성장 조건은 아이젠슈타인 시리즈의 푸리에 확장에 따른 것이다.

먼저 $S{\displaystyle {\mathrm{}}_{}}$ ${\displaystyle {\mathrm{L}}_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$( ${\displaystyle Z\mathbb{}}$) ${\displaystyle \mathrm {SL} _{2}(\mathb {Z} )}$ - invariance를$$ 보여 주겠다.내버려두다

${\displaystyle \Gamma _{\infit }=\pm {\begin{pmatrix}1&\mathb {Z}\\0&1\\end{pmatrix}}}}$

$H{\displaystyle \mathbb{}}$ ${\displaystyle \cup }${${\displaystyle \mathrm{\infty }}$ $}$ {\displaystyle \$inflt }$에서 $S{\displaystyle {\mathrm{}}_{}}$ ${\displaystyle {\mathrm{}}_{}}$ ${\displaystyle {\mathrm{2}}_{}}$( Z${\displaystyle }$) ${\displaystyle$ $\$$mathrmatrm {SL} _{2}(\mathb$ {$Z}$$$)의$$작동에 해당하는$$ 스태빌라이저 그룹 be${\$$displaysty$ \$cupte{\cup$}이 된다$.$

제안.E는 $\gamma {\displaystyle \mathrm{}}$( ${\displaystyle 1}$) ${\displaystyle \Gamma(1)$- invariant이다$$.

증명. 정의:

${\displaystyle {\tilde{E}(z,s):=\sum _{\gamma \in \Gamma _{\infit }\backslash \Gamma }\Im(\gamma z)^{s}}}}$

(a) ${\displaystyle {\tilde {E}}}$ converges absolutely in ${\displaystyle z\in \mathbb {H} }$ for ${\displaystyle \Re (s)>1}$ and ${\displaystyle E(z,s)=\pi ^{-s}\Gamma (s)\zeta (2s){\tilde {E}}(z,s).$$}$

이후

${\displaystyle \gamma ={\begin{pmatrix}a&b\c&d\\end{pmatrix}\in \Gamma(1)\Longrigharrow \Im(\gamma z)={\frac {\Im(z)}{cz+d ^{2}}},},},},},},},$

우리는 얻는다.

${\displaystyle {\tilde {E}}(z,s)=\sum _{\gamma \in \Gamma _{\infty }\backslash \Gamma }\Im (\gamma z)^{s}=\sum _{(c,d)=1{\bmod {\pm }}1}{\frac {y^{s}}{ cz+d ^{2s}}}.}$

은 ()> 1.${\displaystyle \$$j\$in $\mathb$ {$H}}$에 대한$$ $z{\displaystyle }$ ${\displaystyle \in }$ ${\displaystyle H\mathbb{}}$ ${\$displaystyle \$operatorname {Re}>1$의 절대 수렴을 증명한다$.$$}$

게다가, 그것은 그 뒤를 따른다.

${\displaystyle \zeta (2s){\tilde {E}}(z,s)=\sum _{n=1}^{\infty }n^{-s}\sum _{(c,d)=1{\bmod {\pm }}1}{\frac {y^{s}}{ cz+d ^{2s}}}=\sum _{n=1}^{\infty }\sum _{(c,d)=1{\bmod {\pm }}1}{\frac {y^{s}}{ ncz+nd ^{2s}}}=\sum _{(m,n)\neq (0,0)}{\frac {y^{s}}{ mz+n ^{2s}}},}$

지도부터

${\displaystyle {\begin{cases}\mathbb {N} \times \{(x,y)\in \mathbb {Z} ^{2}-\{(0,0)\}:(x,y)=1\}\to \mathbb {Z} ^{2}-\{(0,0)\}\\(n,(x,y))\mapsto (nx,ny)\end{cases}}}$

다음과 같은 바이어스(a)이다.

(${\displaystyle b}$) $모든{\displaystyle }$${\displaystyle \mathrm{\gamma }}$ ∈${\displaystyle \backslash }$ ${\displaystyle z}$, ${\displaystyle s}$)${\displaystyle }$= ${\displaystyle E}$( ${\displaystyle z}$, ${\displaystyle s}$) ${\displaystyle E(\gamma z,s)=E(z,s)}$을(를) 가지고 ${\displaystyle \mathrm{있다}}$.$$$\displaystyle \gamma \in$ (1$).$

$\gamma {\displaystyle \stackrel{}{}}$ ~${\displaystyle }$∈ ${\displaystyle (}$ (${\displaystyle 1}$ ) ${\displaystyle {\tilde {\gamma }}\in \Gamma$(1)의$$ 경우

${\displaystyle {\tilde {E}}({\tilde {\gamma }}z,s)=\sum _{\gamma \in \Gamma _{\infty }\backslash \Gamma }\Im ({\tilde {\gamma }}\gamma z)^{s}=\sum _{\gamma \in \Gamma _{\infty }\backslash \Gamma }\Im (\gamma z)^{s}={\tilde {E}}(\gamma z,s).}$

(a)와 함께 $E{\displaystyle }$ ${\displaystyle E}$도 $\gamma {\displaystyle \mathrm{}}$( ${\displaystyle 1}$) ${\displaystyle \Gamma(1$$$Q.E.D.에 따라 불변한다$$.

제안.E는 쌍곡선 라플라스 연산자의 고유형이다.

우리는 다음과 같은 보조정리기가 필요하다.

Lemma: ${\displaystyle \Delta }$ commutes with the operation of ${\displaystyle G}$ on ${\displaystyle C^{\infty }(\mathbb {H} )}$. More precisely for all ${\displaystyle g\in G}$ we have: ${\displaystyle L_{g}\Delta =\Delta L_{g}.$$}$

증명: S ${\displaystyle {\mathrm{}}_{}}$ 2${\displaystyle {}_{}}$( ${\displaystyle R\mathbb{}}$) ${\displaystyle \mathrmat {SL} _{2}(\mathb {R} )$ 그룹이 폼의 요소에 의해 생성됨$$

${\displaystyle {\begin{pmatrix}a&0\\0&{\frac {1}{a}}\\\end{pmatrix}},a\in \mathbb {R} ^{\times };\quad {\begin{pmatrix}1&x\\0&1\\\end{pmatrix}},x\in \mathbb {R} ;\quad S={\begin{pmatrix}0&-1\\1&0\\\end{pmatrix}}.}$

이러한 발전기에 대한 클레임을 계산하고 모든 g${\displaystyle }g{\displaystyle }$ S ${\displaystyle L\mathbb{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$( R )${\displaystyle g\in \mathrm$ {$SL} _{2}(\mathb$ {$R} )}$ Q$.$E.D.

Since ${\displaystyle E(z,s)=\pi ^{-s}\Gamma (s)\zeta (2s){\tilde {E}}(z,s)}$ it is sufficient to show the differential equation for ${\displaystyle {\tilde {E}}}$. We have:

${\displaystyle \Delta {\tilde {E}}(z,s):=\Delta \sum _{\gamma \in \Gamma _{\infty }\backslash \Gamma }\Im (\gamma z)^{s}=\sum _{\gamma \in \Gamma _{\infty }\backslash \Gamma }\Delta \left(\Im (\gamma z)^{s}\right)}$

게다가, 사람은 가지고 있다.

${\displaystyle \Delta \left(\Im (z)^{s}\right)=\Delta (y^{s}=-y^{2}\왼쪽({\frac {\partial ^{2}y^{2}y^{2}}}+{\partial x^{2}}}}+{\partial ^{2}y^{s}}}}}{\partial y^{2}}}\오른쪽)=s(1-s)y^{s}}$

라플라스 오퍼레이터가 $\gamma {\displaystyle \mathrm{}}$ (${\displaystyle 1}$) ${\displaystyle \Gamma(1)}$의 오퍼레이션으로 통근하기 때문에$,$ 우리는 다음과 같은 결과를 얻는다.

$\displaystyle \for \gamma \in \Gamma(1)):\quad \Delta \left(\Im(\gamma z)^{s}\s)=s(1-s)\Im(\gamma z)^{s}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}$

등등

${\displaystyle \Delta{\tilde{E}}(z,s)=s(1-s){\tilde{E}s.}$

위해서 모든 s∈ C{\displaystyles\in \mathbb{C}에 대한 클레임을 얻기 위해 따라서, 미분 방정식 E의 ℜ(s)>;.}, 그 기능 Δ E(z, s)s−(1− s)E(z, s){\displaystyle \Delta E(z,s)-s(1-s)E(z,s)}을 고려해 보세요. 명시적으로 푸리에 expan 계산함으로써 3{\displaystyle \Re(s)> 3}을 보유하고 있다.발음하는 osion이 기능에서, 우리는 그것이 공상동형이라는 것을 얻는다.( )> ${\displaystyle \Re (s)>3}$에 대해서는 사라지기 때문에 ID 정리에 의한 영함수여야 한다.

E의 푸리에 팽창

비홀모픽 아이젠슈타인 시리즈는 푸리에의 확장을 가지고 있다.

${\displaystyle E(z,s)=\sum _{n=-\ft }^{\n^{n}(y,s)^{2\pi inx}}$

어디에

${\displaystyle {\begin{aligned}a_{0}(y,s)&=\pi ^{-s}\Gamma (s)\zeta (2s)y^{s}+\pi ^{s-1}\Gamma (1-s)\zeta (2(1-s))y^{1-s}\\a_{n}(y,s)&=2 n ^{2-{\frac {1}{2}}}\sigma _{1-2s}( n ){\sqrt {y}}K_{s-{\frac {1}{2}}}(2\pi n y)&&n\neq 0\end{aligned}}}$

$z{\displaystyle }$ ${\displaystyle \in }$ H ${\$ $z$$\in \mathb {H$ $E{\displaystyle (z}$ ${\displaystyle ,s)}$ ${\displaystyle E(z,s)}$이(가) $C{\displaystyle \mathbb{}}$ ${\\$mattb {}에 meromphic 연속성을 갖는 경우$$ s$$= ${\displaystyle 0,}$1.${\displaystyle \mathrm{}}${\$displaystysty=0,$ {\$displaystysty$=1.

아이젠슈타인 시리즈는 함수 방정식을 만족시킨다.

${\displaystyle E(z,s)=E(z,1-s)}$

모든 $z{\displaystyle }$ ${\displaystyle \in }$ ${\displaystyle H\mathbb{}}$ ${\$대해 $.$

$로컬$로 균일하게 x ${\displaystyle \in }$ ${\displaystyle R\mathbb{}}$ ${\$성장$$ 조건

${\displaystyle E(x+iy,s)={\mathcal {0}(y^{\sigma })}$

holds${\displaystyle ,}$ 여기서 $\sigma {\displaystyle }$ = ${\displaystyle max}$ (${\displaystyle \mathrm{Re}}$⁡${\displaystyle }$( s${\displaystyle }$)${\displaystyle }$, ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle -}$ ${\displaystyle \mathrm{Re}}$ ${\displaystyle }$(${\displaystyle s}$)${\displaystyle }$. ${\displaystyle \sigma =\max(\operatorname {Re})(s), 1-\operatorname {Re}($s), 1-\operatorname {Re$}(s)$$}$

E의 용적연속은 쌍곡선 라플라스 연산자의 스펙트럼 이론에서 매우 중요하다.

마아스 형태의 중량 k

응집 부분군

$N{\displaystyle }$ ${\displaystyle \in }$ ${\displaystyle N\mathbb{}}$ ${\$의 경우$$$\gamma {\displaystyle \mathrm{}(N}$) ${\displaystyle \Gamma(N)}$을(를) 표준 투영의 커널이 되도록$$ 한다$$.

${\displaystyle \mathrm {SL} _{2}(\mathb {Z}) \mathrm {SL} _{2}(\mathb {Z} /N\mathb {Z}) \mathb {Z}에 연결.}$

We call ${\displaystyle \Gamma (N)}$ principal congruence subgroup of level ${\displaystyle N}$. A subgroup ${\displaystyle \Gamma \subseteq \mathrm {SL} _{2}(\mathbb {Z} )}$ is called congruence subgroup, if there exists ${\displaystyle N\in \mathbb {N} }$, so that ${\displaystyle \mathrm{\Gamma }(N)\subseteq \mathrm{\Gamma }}$$\displaystyle \Gamma (N)\subseteq \Gamma$ $\}.$ 모든 조합 하위 그룹은 별개다.

내버려두다

${\displaystyle {\overline {\Gamma(1)}:=\Gamma(1)/\{\pm 1\}}$

For a congruence subgroup ${\displaystyle \Gamma ,}$ let ${\displaystyle {\overline {\Gamma }}}$ be the image of ${\displaystyle \Gamma }$ in ${\displaystyle {\overline {\Gamma (1)}}}$. If S is a system of representatives of ${\displaystyle {\overline {\Gamma }}\ba$그러면 $ckslash${\$overline${\$Gamma$(1$)\},$

${\displaystyle SD=\bigcup _{\gamma\in S}\gamma D}$

$\gamma {\displaystyle \mathrm{}}$ ${\displaystyle \Gamma}$의 기본 도메인$.$ 집합 $S{\displaystyle }$ ${\displaystyle S}$은(는) 기본 도메인 S ${\displaystyle D}$ ${\displaystyle SD}$에 의해 고유하게 결정되며$,$ 나아가 $S{\displaystyle }$ ${\displaystyle S}$은(는) 유한하다.

$\gamma {\displaystyle \{\backslash \mathrm{displaystyle}}$ $\gamma \in$ s}의 포인트 }$$$∞{\$$displaystyle \gamma$\infit $}$는 기본 ${\displaystyle \mathrm{도메인}}$ S D ${\displaystyle SD$}의 쿠스프라고 하며$$$,$ $Q{\displaystyle \mathbb{}}$ $∪${$$∞}{\$displaystylevelope{Q} \cup$\cup \cup}의 하위 집합이다$.$

모든 cusple $c{\displaystyle }$ ${\displaystyle c}$에 대해 $\sigma {\displaystyle }$ ${\displaystyle \in }$ ∈ ∈${\displaystyle }$∈ ( ${\displaystyle 1}$)$$${\displaystyle \backslash }$$displaystyle \sigma \sigma$\infit $=c}$이(가$)$ 있는 $\$$displaysty$ style $\sigma$\c}이(가)가$$ 있다$.$

마아스 형태의 중량 k

$\gamma {\displaystyle \mathrm{}}$ ${\displaystyle \Gamma}$을(를) 조합 ${\displaystyle 하위\mathbb{}}$ 그룹과 $k{\displaystyle }$ ${\displaystyle \in }$ Z${\displaystyle }$. ${\displaystyle k\in \mathb {Z} .}$이(가) 되도록$$ 한다.

중량 $k{\displaystyle }$ ${\displaystyle k}$의 쌍곡선 Laplace 연산자 $\Delta {\displaystyle {\mathrm{}}_{}}$ k ${\$를 다음과$$ 같이 정의한다.

${\displaystyle \Delta _{k}:C^{\nothy }(\mathb {H} )\to C^{\nothy }(\mathb {H}),}$

${\displaystyle \Delta _{k}=-y^{2}\왼쪽({\frac {\partial x^{2}}}+{\partial y^{2}}}{\partial y^{2}}}\오른쪽)+{\partial y^{2}}}+{\partial y^{\partial }}}}}.}$

쌍곡선 라플라스 연산자 $\Delta {\displaystyle {\mathrm{}}_{}}$ ${\displaystyle {0\mathrm{}}_{}}$= ${\displaystyle \mathrm{\Delta }}$ ${\displaystyle \Delta _{0}=\Delta }$의 일반화다$.$

$C{\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {\infty \mathrm{}}^{}}$ (${\displaystyle {}^{}}$H${\displaystyle }$) ${\$$displaystyle \mathrm$ {$SL} _{2}(\mathb {R}$)의$$ C define$$ (${\displaystyle H\mathbb{}}$ ){\$displaystyle C^{\infit }(\mathb {H}$ )에 대한 작업을 정의한다.

${\displaystyle f_{k}g(z):=\좌측값\frac {cz+d}{cz+d}}}}{cz+d }}}}}}^{-k}f(gz)}$

어디에

${\displaystyle z\in \mathb {H},g={\begin{pmatrix}\ast &\c&d\\\end{pmatrix}\in \mathrm {SL}_{2}(\mathb {R}),f\inc^{\in(\mathb {H}).}$

라는 것을 알 수 있다.

${\displaystyle(\Delta _{k}f)_{k}g=\Delta _{k}(f_{k}g)}$

holds for all ${\displaystyle f\in C^{\infty }(\mathbb {H} ),k\in \mathbb {Z} }$ and every ${\displaystyle g\in \mathrm {SL} _{2}(\mathbb {R} )}$.

따라서 $\Delta {\displaystyle {\mathrm{}}_{}}$ ${\displaystyle k_{}}$ ${\$는 벡터 공간에서 동작한다.

$:=$$}$$=\\{f\in C^{\in$}(\$mathb {H}$):$f_{k}\gamma =f\all \gamma \in$ \$감마$

정의.A Maass form of weight ${\displaystyle k\in \mathbb {Z} }$ for ${\displaystyle \Gamma }$ is a function ${\displaystyle f\in C^{\infty }(\Gamma \backslash \mathbb {H} ,k)}$ that is an eigenfunction of ${\displaystyle \Delta _{k}}$ and is of moderate growth at the cusps.

cusps에서의 적당한 성장이라는 용어는 명확성을 필요로 한다.Infinity is a cusp for ${\displaystyle \Gamma ,}$ a function ${\displaystyle f\in C^{\infty }(\Gamma \backslash \mathbb {H} ,k)}$ is of moderate growth at ${\displaystyle \infty }$ if ${\displaystyle f(x+iy)}$ is bounded by a polynomial in y as ${\displaystyle y\to$$\inflt$ $c{\displaystyle q\mathbb{}}$ Q ${\$를) 또 다른 cusple로$$ 두자.Then there exists ${\displaystyle \theta \in \mathrm {SL} _{2}(\mathbb {Z} )}$ with ${\displaystyle \theta (\infty )=c}$. Let ${\displaystyle f':=f_{ k}\theta }$. Then ${\displaystyle f'\in C^{\infty }(\Gamma '\backslash \math$$bb {H} ,k)}$, where ${\displaystyle \Gamma '}$ is the congruence subgroup ${\displaystyle \theta ^{-1}\Gamma \theta }$. We say ${\displaystyle f}$ is of moderate growth at the cusp ${\displaystyle c}$, if ${\displaystyle f'}$ is of moderate growth at ${\displaystyle \infty }$.

정의.$\gamma {\displaystyle \mathrm{}}$ ${\displaystyle \Gamma}$에 수준 N {\$displaystyle N}$의 주요 일치 하위 그룹이 포함되어$$ 있는 경우$,$ $우리$는 f$${\$displaystyle f$}이(가) 무한대에서 중단 상태라고$$ 말한다.

${\displaystyle \forall z\in \mathb {H} :\quad \int _{0}^{N}f(z+u)du=0.}$

$우리$는 $f{\displaystyle }$ ${\displaystyle {\prime }^{}}$ ${\$ f$'}$이(가) 무한대에서 cuspidate인 경우$$ $f{\displaystyle }$ ${\displaystyle$ $c$$}$에서 cuspidate라고$$ 말한다.$f{\displaystyle }$ ${\displaystyle$ f$}$이(가) 모든 정지에서 정지가 되는 경우$$, $우리$는 f ${\displaystyle f}$을(를) 정지의 양식이라고 부른다.

모듈 그룹에 대한 중량 > 1 ${\displaystyle k>1}$의 Maass 형식의 간단한 예를 제시한다.

예.$let{\displaystyle }$ g${\displaystyle }$: ${\displaystyle H\mathbb{}}$→ ${\displaystyle C\mathbb{}}$ ${\$ g$:\mathb {H} \to \mathb {C}$\to \mathb {C} \}은(는) $\gamma {\displaystyle \mathrm{}}$( ${\displaystyle 1}$)${\displaystyle }$. ${\displaystyle \Gamma($1)의 짝수 $중량{\displaystyle }$ k${\\displaysty$ k} 모듈형이다$.$$}$ 그러면$$ $f{\displaystyle }$ (${\displaystyle z}$) ${\displaystyle :=}$ ${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {k\frac{}{}}^{}}$ ${\displaystyle {\frac{2}{}}^{}}$ ${\displaystyle g^{}}$( ${\displaystyle z}$) ${\displaystyle f(z):$$=y^{\frac {k}{2}}g(z)}$은(는) 그룹 $\gamma {\displaystyle \mathrm{}(1}$) ${\displaystyle \Gamma($1)에$$대한 중량$$ $k{\displaystyle }$ ${\displaystyle$ k$}$의 Maass 형식이다$.$

스펙트럼 문제

Let ${\displaystyle \Gamma }$ be a congruence subgroup of ${\displaystyle \mathrm {SL} _{2}(\mathbb {R} )}$ and let ${\displaystyle L^{2}(\Gamma \backslash \mathbb {H} ,k)}$ be the vector space of all measurable functions ${\displaystyle f:\mathbb {H} \to \mathbb {C}$$}($$display$ = f {\$displaystyle f_${ k$}\$gamma $=$f})를$$$$ 만족하는 모든 ${\displaystyle \mathrm{satisfying<img\; alt="\{\backslash displaystyle\; f\_\{||k\}\backslash gamma\; =f\}"\; aria-hidden="true"\; class="mwe-math-fallback-image-inline"\; src="https://wikimedia.org/api/rest\_v1/media/math/render/svg/1f6fd40973d4c7bd4ed8403c497ccb36aa036c85"\; style="vertical-align:\; -1.171ex;\; width:8.782ex;\; height:3.009ex;"\; papago-attr-id="461">}}$ ${\displaystyle \in }$ \$${\$displaystyle \gamma \in \Gamma$}

${\displaystyle \ \f\ ^{2}:\int_{\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\matsb \mathb {H}}f(z) ^{2}d\mu(z)\infty }$

$\Vert {\displaystyle }$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle \Vert }$= ${\displaystyle 0.}$ ${\displaystyle$\$f\ =0.}$ 함수 ${\displaystyle f}$(${\displaystyle }$) ${\displaystyle {}^{\mathrm{}}}$ ${\$는 $\gamma {\displaystyle \mathrm{}}$ ${\displaystyle \Gamma}$ -invariant이므로$$ 적분은$$ 잘 정의되어 있다.이 공간은 내부 제품이 있는 힐버트 공간이다.

${\displaystyle \langle f,g\langle =\int _{\Gamma \백슬래시 \mathb {H}{}f(z){\overline {g(z)}d\mu(z).}$

The operator ${\displaystyle \Delta _{k}}$ can be defined in a vector space ${\displaystyle B\subset L^{2}(\Gamma \backslash \mathbb {H} ,k)\cap C^{\infty }(\Gamma \backslash \mathbb {H} ,k)}$ which is dense in ${\displaystyle L^{2}(\Gamma \backsl$$ash \mathbb {H},k$ 거기 $\Delta {\displaystyle {\mathrm{}}_{}}$ ${\displaystyle k_{}}$ ${\$는 양의$$ 반미완성 대칭 연산자다.$L{\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle \mathrm{2}}$ (${\displaystyle {}^{}}$∖ ${\displaystyle \mathrm{\setminus }}$ ${\displaystyle H\mathbb{}}$, k${\displaystyle }$)${\displaystyle }$. ${\displaystyle L^{2}(\Gamma \backslash \mathb {H},k$)에 고유한 자기 성찰 연속성이 존재함을 나타낼 수 있다$.$$}$

Define ${\displaystyle C(\Gamma \backslash \mathbb {H} ,k)}$ as the space of all cusp forms ${\displaystyle L^{2}(\Gamma \backslash \mathbb {H} ,k)\cap C^{\infty }(\Gamma \backslash \mathbb {H} ,k).$$}}$ 그러면$$ $\Delta {\displaystyle {\mathrm{}}_{}}$ ${\displaystyle k_{}}$ ${\$\${\displaystyle Delta\mathbb{}}$ $_{k}}$은(는) C${\displaystyle }$( ∖ ${\displaystyle \mathrm{\setminus }}$ ${\displaystyle ,}$ ${\displaystyle H}$, k )$${\$displaysty$ C$(\Gamma \백슬래시 \mathb$ {$H},k)$에서 작동하며$$$$ 별도의 스펙트럼을 갖는다.직교 보어에 속하는 스펙트럼은 연속적인 부분을 가지며 (수정된) 비홀모픽 아이젠슈타인 시리즈, 이들의 용적 연속성 및 잔류물의 도움을 받아 설명할 수 있다.(범프 또는 Iwaniec 참조).

If ${\displaystyle \Gamma }$ is a discrete (torsion free) subgroup of ${\displaystyle \mathrm {SL} _{2}(\mathbb {R} )}$, so that the quotient ${\displaystyle \Gamma \backslash \mathbb {H} }$ is compact, the spectral problem simplifies.이것은 별개의 코콤팩트 부분군에는 쿠스가 없기 때문이다.여기서 L ${\displaystyle \mathrm{2}{}^{}}$ ∖ ${\displaystyle \mathrm{\setminus }}$ ${\displaystyle H}$, k${\displaystyle }$) ${\displaystyle$ L$^{2}(\Gamma \백슬래시 \mathb \H},k)}$ 공간은 모두$$ 아이겐스페이스의 합이다.

공간² L(γ \ G)에 내장

${\displaystyle G}$= ${\displaystyle {\mathrm{}}_{}}$ ${\displaystyle L\mathbb{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$( R${\displaystyle }$) ${\displaystyle$ G$=\mathrm {SL} _{2}(\mathb$ {$R}$ )은 ${\displaystyle {}^{}}$4의 토폴로지를 가진 로컬 컴팩트 유니모듈러 그룹이다$$.$${\$displaysty$$\mathb$${R} ^4}.}$$Ⅱ$를$$결합 $하위그룹$으로 한다.$\gamma {\displaystyle \mathrm{}}$ ${\displaystyle \Gamma}$은(는) $G{\displaystyle }$ ${\displaystyle G}$에서 분리되므로$$$G{\displaystyle }$ ${\displaystyle G}$에서도 닫힌다.$그룹{\displaystyle \mathrm{}}$ $G{\displaystyle }$ ${\displaystyle G}$은(는) 비정형이며$$, 계수 측정은 이산 그룹 $\gamma {\displaystyle \mathrm{}}$ ${\displaystyle \Gamma$},$${ ${\displaystyle \Gamma }$에 대한 Har-measure도 비정형이다$$.By the Quotient Integral Formula there exists a ${\displaystyle G}$-right-invariant Radon measure ${\displaystyle dx}$ on the locally compact space ${\displaystyle \Gamma \backslash G}$. Let ${\displaystyle L^{2}(\Gamma \backslash G)}$ be the corresponding ${\displaystyle L^{2}}$-이 공간은 힐버트 공간의 직접적인 합으로 분해된다.

${\displaystyle L^{2}(\Gamma \백슬래시 G)=\bigoplus _{k\in \mathb {Z}{}L^{2}(\Gamma \백슬래시 G,k)}$

어디에

${\displaystyle L^{2}(\Gamma \백슬래시 G,k):=\\reft\{\phi \in L^{2}(\Gamma \백슬래시 G)\mid \pi(xk_{\theta }})=e^{ik\f(x)\forall x\in \in \theta \in \mathb}\righright\}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}$

그리고

${\displaystyle k_{\theta }={\begin{pmatrix}\cos(\theta )\\\sin(\theta )\\\cos(\theta )\\\cos(\pmatrix)\in SO(2),\ta \mathb {R}}}}}$

The Hilbert-space ${\displaystyle L^{2}(\Gamma \backslash \mathbb {H} ,k)}$ can be embedded isometrically into the Hilbert space ${\displaystyle L^{2}(\Gamma \backslash G,k)}$. The isometry is given by the map

${\displaystyle {\displaysty}\case _{k:L^{2}(\Gamma \백슬래시 \mathb {H},k)\to L^{2}(\Gamma \백슬래시 G,k)\\\\psi _{k}(f)(g):=f_{k}\cHB(i)\end{case}}}$

따라서 조합 그룹 ${\displaystyle \$${\displaystyle \mathrm{Gamma}}$ $}$의 모든 Maass cusple 양식은 $L{\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {2\mathrm{}}^{}}$ (${\displaystyle {}^{}}$∖ ${\displaystyle \mathrm{\setminus }}$ $){\displaysty L^{2}(\Gamma \backslash G)}$의 요소로 생각할 수 있다$$$.$

${\displaystyle L^{}}$ ${\displaystyle \mathrm{2}}$ (${\displaystyle {}^{}}$∖ ${\displaystyle \mathrm{\setminus }}$ ${\displaystyle G}$) ${\displaystyle L^{2}(\Gamma \backslash G)}$는 그룹$$ $G{\displaystyle }$ ${\displaystyle G}$의 연산을 포함하는 힐버트 공간$,$ 이른바 오른쪽 정규 표현:

${\displaystyle R_{g}\phi :=\phi(xg),{\x\in{}x\in \Gamma \backslash G{\text{} 및 }}\phi \in L^{2}(\Gamma \backslash G)}$

$R{\displaystyle }$ ${\displaystyle R}$이(${\displaystyle 가}$) 힐버트 공간 ${\displaystyle {L\mathrm{}}^{}}$ 2 (${\displaystyle {}^{}}$( ${\displaystyle \mathrm{\setminus }}$ G${\displaystyle }$) ${\displaystyle$ L$^{2}(\Gamma \backslash$ G$)}$에 있는 $G{\displaystyle }$ ${\displaysty$ G$}$의 단일 표현이라는 것을 쉽게 알 수 있다$.$ 어떤 이는 불가해성 하위 표현으로 분해하는 데 관심이 있다.이것은 $\gamma {\displaystyle \mathrm{}}$ ${\displaystyle \Gamma }$이(가) cocompact일 경우에만 가능하다.그렇지 않다면 힐베르트-통합적인 부분도 연속적으로 존재한다.흥미로운 부분은 이 문제의 해결이 마아스 형태의 스펙트럼 문제도 해결한다는 점이다.(범프, C. 2.3 참조)

Maass cusple 양식

Maass 형태의 부분집합인 Maass cusp 폼은 모듈형 형태처럼 변형되지만 홀로모르픽이 될 필요는 없는 상부 하프 평면의 함수다.그들은 마스 (1949년)에서 한스 마스 (Hans Maass)에 의해 처음 연구되었다.

정의

k를 정수로 하고, s를 복합수로 하고, γ을 SL₂(R)의 이산형 부분군으로 한다.Laplace 고유값 s가 있는 γ에 대한 중량 k의 Maass 형식은 상단 하프 평면에서 다음 조건을 만족하는 복잡한 숫자에 이르는 부드러운 함수다.

• 모든 γ 위해)(abcd)∈ Γ{\displaystyle \gamma =\left({\begin{}smallmatrix a&, b\\c&, d\end{smallmatrix}}\right)\in \Gamma}과 모든 z∈ H{\displaystylez\in \mathbb{H}},){\displaystyle f\left({\frac{f(a가 z+bcz+d)(cz+dcz+d)kf(z)을 가지고 있다.az+b}{cz$+d}}\오른쪽)=\왼쪽 \frac {cz+d}{cz+d }}}\오른쪽)$$^{k}f(z).$$}$
• $\Delta {\displaystyle {\mathrm{}}_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$= ${\displaystyle s}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle \Delta _{k}f=sf$}이$($가) 있는데 여기서 $\Delta {\displaystyle {\mathrm{}}_{}}$ k$${\$displaystyle \Delta _{$k}은$$(는) 다음과 같이 정의된 중량 k 쌍곡선 라플라시안이다.
  $${\displaystyle \Delta _{k}=-y^{2}\왼쪽({\frac {\partial x^{2}}}+{\partial y^{2}}}{\partial y^{2}}}\오른쪽)+{\partial y^{2}}}+{\partial y^{\partial }}}}}.}$$

  
• $함수{\displaystyle }$ f$${\$displaystyle f$}은(는) 최대 다항식 성장(cusps)이다$$.

약한 Maass 폼은 유사하게 정의되지만 세 번째 조건인 "$함수{\displaystyle }$ f$${\$displaystyle f}$은(는) cusps에서 선형 지수 성장을 가진다"로 대체된다.더구나 $f{\displaystyle }$ ${\displaystyle f}$는 라플라크 연산자에 의해 전멸되면 조화라고 한다$$.

주요결과

$f{\displaystyle }$ ${\displaystyle f}$을(를) 중량 0 Maass cusp form으로 한다$$.prime p에서 그것의 정규화된 푸리에 계수는 p + p로^7/64−7/64 제한된다.이 정리는 헨리 킴과 피터 사르낙 때문이다.라마누잔-피터슨 추측에 대한 근사치다.

상위 치수

Maass cusple 형태는 GL(2)에서 자동형 형태로 간주될 수 있다.GL(n)의 Maass cuspus 폼을 합리적인 숫자 필드 위에 GL(n)의 구형 자동형 형태로 정의하는 것은 당연하다.그들의 존재는 밀러, 뮬러 등에 의해 증명된다.

아델 그룹의 자동 표현

그룹 GL₂(A)

Let ${\displaystyle R}$ be a commutative ring with unit and let ${\displaystyle G_{R}:=\mathrm {GL} _{2}(R)}$ be the group of ${\displaystyle 2\times 2}$ matrices with entries in ${\displaystyle R}$ and invertible determinant.Let ${\displaystyle \mathbb {A} =\mathbb {A} _{\mathbb {Q} }}$ be the ring of rational adeles, ${\displaystyle \mathbb {A} _{\text{fin}}}$ the ring of the finite (rational) adeles and for a prime number ${\displaystyle p\in \mathbb {N} }$ let ${\displaystyle \mathbb {Q} _{p}}$p-adic 숫자의 장이다나아가 $Z{\displaystyle {\mathbb{}}_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\$을 p-adic 정수의 링이 되게$$ 한다(아델레 반지 참조).$G{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle p_{}}$ ${\displaystyle :=}$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {{}_{}}_{}}$ p ${\$ 정의:$=G_{\mathbb {Q} _{p}}}$. Both ${\displaystyle G_{p}}$ and ${\displaystyle G_{\mathbb {R} }}$ are locally compact unimodular groups if one equips them with the subspace topologies of ${\displaystyle \mathbb {Q} _{p}^{4}}$ respectively ${\displaystyle \mathbb {R} ^{4}}$. Then:

${\displaystyle G_{\text{fin}}:=G_{\mathbb {A} _{\text{fin}}}\cong {\widehat {\prod _{p<\infty }^{K_{p}}}}G_{p}.}$

The right side is the restricted product, concerning the compact, open subgroups ${\displaystyle K_{p}:=G_{\mathbb {Z} _{p}}}$ of ${\displaystyle G_{p}}$. Then ${\displaystyle G_{\text{fin}}}$ locally compact group, if we equip it with the restricted product topology.

The group ${\displaystyle G_{\mathbb {A} }}$ is isomorphic to

${\displaystyle G_{\text{fin}}\times G_{\mathbb {R} }}$

and is a locally compact group with the product topology, since ${\displaystyle G_{\text{fin}}}$ and ${\displaystyle G_{\mathbb {R} }}$ are both locally compact.

Let

${\displaystyle {\widehat {\mathbb {Z} }}=\prod _{p<\infty }\mathbb {Z} _{p}.}$

The subgroup

${\displaystyle G_{\widehat {\mathbb {Z} }}:=\prod _{p<\infty }K_{p}}$

is a maximal compact, open subgroup of ${\displaystyle G_{\text{fin}}}$ and can be thought of as a subgroup of ${\displaystyle G_{\mathbb {A} }}$, when we consider the embedding ${\displaystyle x_{\text{fin}}\mapsto (x_{\text{fin}},1_{\infty })}$.

We define ${\displaystyle Z_{\mathbb {R} }}$ as the center of ${\displaystyle G_{\infty }}$, that means ${\displaystyle Z_{\mathbb {R} }}$ is the group of all diagonal matrices of the form ${\displaystyle {\begin{pmatrix}\lambda &\\&\lambda \\\end{pmatrix}}}$, where ${\displaystyle \lambda \in \mathbb {R} ^{\times }}$. We think of ${\displaystyle Z_{\mathbb {R} }}$ as a subgroup of ${\displaystyle G_{\mathbb {A} }}$ since we can embed the group by ${\displaystyle z\mapsto (1_{G_{\text{fin}}},z)}$.

The group ${\displaystyle G_{\mathbb {Q} }}$ is embedded diagonally in ${\displaystyle G_{\mathbb {A} }}$, which is possible, since all four entries of a ${\displaystyle x\in G_{\mathbb {Q} }}$ can only have finite amount of prime divisors and therefore ${\displaystyle x\in K_{p}}$ for all but finitely many prime numbers ${\displaystyle p\in \mathbb {N} }$.

Let ${\displaystyle G_{\mathbb {A} }^{1}}$ be the group of all ${\displaystyle x\in G_{\mathbb {A} }}$ with ${\displaystyle \det(x) =1}$. (see Adele Ring for a definition of the absolute value of an Idele). One can easily calculate, that ${\displaystyle G_{\mathbb {Q} }}$ is a subgroup of ${\displaystyle G_{\mathbb {A} }^{1}}$.

With the one-to-one map ${\displaystyle G_{\mathbb {A} }^{1}\hookrightarrow G_{\mathbb {A} }}$ we can identify the groups ${\displaystyle G_{\mathbb {Q} }\backslash G_{\mathbb {A} }^{1}}$ and ${\displaystyle G_{\mathbb {Q} }Z_{\mathbb {R} }\backslash G_{\mathbb {A} }}$ with each other.

The group ${\displaystyle G_{\mathbb {Q} }}$ is dense in ${\displaystyle G_{\text{fin}}}$ and discrete in ${\displaystyle G_{\mathbb {A} }}$. The quotient ${\displaystyle G_{\mathbb {Q} }Z_{\mathbb {R} }\backslash G_{\mathbb {A} }=G_{\mathbb {Q} }\backslash G_{\mathbb {A} }^{1}}$ is not compact but has finite Haar-measure.

Therefore, ${\displaystyle G_{\mathbb {Q} }}$ is a lattice of ${\displaystyle G_{\mathbb {A} }^{1},}$ similar to the classical case of the modular group and ${\displaystyle \mathrm {SL} _{2}(\mathbb {R} )}$. By harmonic analysis one also gets that ${\displaystyle G_{\mathbb {A} }^{1}}$ is unimodular.

Adelisation of cuspforms

We now want to embed the classical Maass cusp forms of weight 0 for the modular group into ${\displaystyle Z_{\mathbb {R} }G_{\mathbb {Q} }\backslash G_{\mathbb {A} }}$. This can be achieved with the "strong approximation theorem", which states that the map

${\displaystyle \psi :G_{\mathbb {Z} }x_{\infty }\mapsto G_{\mathbb {Q} }(1,x_{\infty })G_{\widehat {\mathbb {Z} }}}$

is a ${\displaystyle G_{\mathbb {R} }}$-equivariant homeomorphism. So we get

${\displaystyle G_{\mathbb {Z} }\backslash G_{\mathbb {R} }{\overset {\sim }{\to }}G_{\mathbb {Q} }\backslash G_{\mathbb {A} }/G_{\widehat {\mathbb {Z} }}}$

and furthermore

${\displaystyle G_{\mathbb {Z} }Z_{\mathbb {R} }\backslash G_{\mathbb {R} }{\overset {\sim }{\to }}G_{\mathbb {Q} }Z_{\mathbb {R} }\backslash G_{\mathbb {A} }/G_{\widehat {\mathbb {Z} }}.}$

Maass cuspforms of weight 0 for modular group can be embedded into

${\displaystyle L^{2}(\mathrm {SL} _{2}(\mathbb {Z} )\backslash \mathrm {SL} _{2}(\mathbb {R} ))\cong L^{2}(\mathrm {GL} _{2}(\mathbb {Z} )Z_{\mathbb {R} }\backslash \mathrm {GL} _{2}(\mathbb {R} )).}$

By the strong approximation theorem this space is unitary isomorphic to

${\displaystyle L^{2}(G_{\mathbb {Q} }Z_{\mathbb {R} }\backslash G_{\mathbb {A} }/G_{\widehat {\mathbb {Z} }})\cong L^{2}(G_{\mathbb {Q} }Z_{\mathbb {R} }\backslash G_{\mathbb {A} })^{G_{\widehat {\mathbb {Z} }}}}$

which is a subspace of ${\displaystyle L^{2}(G_{\mathbb {Q} }Z_{\mathbb {R} }\backslash G_{\mathbb {A} }).}$

In the same way one can embed the classical holomorphic cusp forms. With a small generalization of the approximation theorem, one can embed all Maass cusp forms (as well as the holomorphic cuspforms) of any weight for any congruence subgroup ${\displaystyle \Gamma }$ in ${\displaystyle L^{2}(G_{\mathbb {Q} }Z_{\mathbb {R} }\backslash G_{\mathbb {A} })}$.

We call ${\displaystyle L^{2}(G_{\mathbb {Q} }Z_{\mathbb {R} }\backslash G_{\mathbb {A} })}$ the space of automorphic forms of the adele group.

Cusp forms of the adele group

Let ${\displaystyle R}$ be a Ring and let ${\displaystyle N_{R}}$ be the group of all ${\displaystyle {\begin{pmatrix}1&r\\&1\\\end{pmatrix}},}$ where ${\displaystyle r\in R}$. This group is isomorphic to the additive group of R.

We call a function ${\displaystyle f\in L^{2}(G_{\mathbb {Q} }\backslash G_{\mathbb {A} }^{1})}$ cusp form, if

${\displaystyle \int _{N_{\mathbb {Q} }\backslash N_{\mathbb {A} }}f(nx)dn=0}$

holds for almost all${\displaystyle x\in G_{\mathbb {Q} }\backslash G_{\mathbb {A} }^{1}}$. Let ${\displaystyle L_{\text{cusp}}^{2}(G_{\mathbb {Q} }\backslash G_{\mathbb {A} }^{1})}$ (or just ${\displaystyle L_{\text{cusp}}^{2}}$) be the vector space of these cusp forms. ${\displaystyle L_{\text{cusp}}^{2}}$ is a closed subspace of ${\displaystyle L^{2}(G_{\mathbb {Q} }Z_{\mathbb {R} }\backslash G_{\mathbb {A} })}$ and it is invariant under the right regular representation of ${\displaystyle G_{\mathbb {A} }^{1}.}$

One is again interested in a decomposition of ${\displaystyle L_{\text{cusp}}^{2}}$ into irreducible closed subspaces.

We have the following theorem:

The space ${\displaystyle L_{\text{cusp}}^{2}}$ decomposes in a direct sum of irreducible Hilbert-spaces with finite multiplicities ${\displaystyle N_{\text{cusp}}(\pi )\in \mathbb {N} _{0}}$:

${\displaystyle L_{\text{cusp}}^{2}={\widehat {\bigoplus _{\pi \in {\widehat {G}}_{\mathbb {A} }}}}N_{\text{cusp}}(\pi )\pi }$

The calculation of these multiplicities ${\displaystyle N_{\text{cusp}}(\pi )}$ is one of the most important and most difficult problems in the theory of automorphic forms.

Cuspidal representations of the adele group

An irreducible representation ${\displaystyle \pi }$ of the group ${\displaystyle G_{\mathbb {A} }}$ is called cuspidal, if it is isomorphic to a subrepresentation of ${\displaystyle L_{\text{cusp}}^{2}}$.

An irreducible representation ${\displaystyle \pi }$ of the group ${\displaystyle G_{\mathbb {A} }}$ is called admissible if there exists a compact subgroup ${\displaystyle K}$ of ${\displaystyle K\subset G_{\mathbb {A} }}$, so that ${\displaystyle \dim _{K}(V_{\pi },V_{\tau })<\infty }$ for all ${\displaystyle \tau \in {\widehat {G}}_{\mathbb {A} }}$.

One can show, that every cuspidal representation is admissible.

The admissibility is needed to proof the so-called Tensorprodukt-Theorem anzuwenden, which says, that every irreducible, unitary and admissible representation of the group ${\displaystyle G_{\mathbb {A} }}$ is isomorphic to an infinite tensor product

${\displaystyle \bigotimes _{p\leq \infty }\pi _{p}.}$

The ${\displaystyle \pi _{p}}$ are irreducible representations of the group ${\displaystyle G_{p}}$. Almost all of them need to be umramified.

(A representation ${\displaystyle \pi _{p}}$ of the group ${\displaystyle G_{p}}$ ${\displaystyle (p<\infty )}$ is called unramified, if the vector space

${\displaystyle V_{\pi _{p}}^{K_{p}}=\left\{v\in V_{\pi _{p}}\mid \pi _{p}(k)v=v\forall k\in K_{p}\right\}}$

is not the zero space.)

A construction of an infinite tensor product can be found in Deitmar,C.7.

Automorphic L-functions

Let ${\displaystyle \pi }$ be an irreducible, admissible unitary representation of ${\displaystyle G_{\mathbb {A} }}$. By the tensor product theorem, ${\displaystyle \pi }$ is of the form ${\textstyle \pi =\bigotimes _{p\leq \infty }\pi _{p}}$ (see cuspidal representations of the adele group)

Let ${\displaystyle S}$ be a finite set of places containing ${\displaystyle \infty }$ and all ramified places . One defines the global Hecke - function of ${\displaystyle \pi }$ as

${\displaystyle L^{S}(s,\pi ):=\prod _{p\notin S}L(s,\pi _{p})}$

where ${\displaystyle L(s,\pi _{p})}$ is a so-called local L-function of the local representation ${\displaystyle \pi _{p}}$. A construction of local L-functions can be found in Deitmar C. 8.2.

If ${\displaystyle \pi }$ is a cuspidal representation, the L-function ${\displaystyle L^{S}(s,\pi )}$ has a meromorphic continuation on ${\displaystyle \mathbb {C} }$. This is possible, since ${\displaystyle L^{S}(s,\pi )}$, satisfies certain functional equations.

See also

• Harmonic Maass form
• Mock modular form
• Real analytic Eisenstein series
• Automorphic form
• Modular form
• Voronoi formula

References