산술함수의 평균 순서

숫자 이론에서, 산술 함수의 평균 순서는 같은 값을 "평균"으로 취하는 더 단순하거나 더 잘 이해된 함수다.

$f{\displaystyle }$ ${\displaystyle f}$을(를) 산술 함수로 한다$$.우리는 다음과 같은 경우$$ $f{\displaystyle }$ ${\displaystyle f}$의 평균 순서는 $g{\displaystyle }$ ${\displaystyle g}$이라고 말한다.

${\displaystyle \sum _{n\leq x}f(n)\sim \sum _{n\leq x}g(n)}$

$x{\displaystyle }$ ${\displaystyle x}$이(가) 무한대의 경향이 있기$$ 때문에.

연속적이고 단조로운 근사 함수 $g{\displaystyle }$ ${\displaystyle g}$를 선택하는 것이 관례다.그러나 그렇다 하더라도 평균적인 질서는 물론 독특하지 않다.

한도가 있는 경우

${\displaystyle \lim _{N\오른쪽 화살표 \inflt }{\frac {1}{N}\sum _{n\leq N}f(n)=c}$

$f{\displaystyle }$ ${\displaystyle f}$이(가) 평균 값(평균 값) $c{\displaystyle }$ ${\displaystyle c}$을(를) 가지고$$ 있다고 한다$.$

예

• d(n)의 평균 순서는 n의 구분자 수로서 log n이다.
• 평균 σ(n)의 순서는 n의 구분자 합계로 nπ² / 6이다.
• 오일러의 총함수인 φ(n)의 평균 순서는 6n / π이다².
• n을 두 제곱의 합으로 표현하는 방법의 개수인 r(n)의 평균 순서는 π이다.
• 3제곱의 합으로 자연수를 나타내는 평균 순서는 4제곱 / 3이다.
• 자연수를 하나 이상의 연속된 소수 합으로 분해하는 평균 횟수는 n log2이다.
• n의 구별되는 주요 인자의 수인 Ω(n)의 평균 순서는 loglog n이다.
• n의 주요 인자 수인 Ω(n)의 평균 순서는 loglog n이다.
• 소수 정리는 폰 망골트 함수 λ(n)이 평균 순서 1을 가지고 있다는 문구와 동등하다.
• 뫼비우스 함수인 μ(n)의 평균값은 0이며, 이는 다시 소수 정리(prime number organization)와 동등하다.

Diriclet 시리즈를 사용하여 평균 값 계산

$F{\displaystyle }$ ${\displaystyle F}$이(가) 형식인$$ 경우

${\displaystyle F(n)=\sum _{d\mid n}f(d),}$

일부 산술 함수 $f{\displaystyle }$(${\displaystyle n}$) ${\displaystyle f(n)}$에 대해$,$ 한 가지는,

${\displaystyle \sum _{n\leq x}F(n)=\sum _{d\leq x}f(d)\sum _{n\leq x,d\mid n}1=\sum _{d\leq x}f(d)[x/d]=x\sum _{d\leq x}{\frac {f(d)}{d}}{\text{ }}+O(\sum _{d\leq x} f(d) ).\qquad \qquad (1)}$

이전 ID의 일반화는 여기에서 찾을 수 있다.이 정체성은 종종 리만 제타 함수의 관점에서 평균값을 계산하는 실용적인 방법을 제공한다.이것은 다음 예에 설명되어 있다.

N에서 k번째 자유 정수의 밀도

정수 $k{\displaystyle }$ ${\displaystyle \ge }$ ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle k\geq 1}$의 경우 k-th 출력이 없는 정수의$$ $Q{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle k_{}}$ ${\$는 다음과 같다.

${\displaystyle Q_{k}:=\\{n\in \mathb {Z} \mid n{\text{{}{}}는 정수 }d\geq 2\}에 대해 }d^{k}{\text{}로 나눌 수 없다.}$

이러한 숫자의 자연 밀도, 즉 1Q ${\displaystyle {k_{}}_{}}$ ${\$의 평균값을 계산하는데$,$ 이 값은 $\Delta {\displaystyle }$(${\displaystyle n}$ $){\displaystyle \delta (n$로 표시된다.

함수 $\Delta {\displaystyle }$ ${\displaystyle \delta }$은 승법이며$$, 1에 의해 경계가 되므로 Dirichlet 시리즈는 반평면 e( ) ${\displaystyle \mathrm {Re}(s)$1}에 절대적으로 수렴되며 오일러 제품이 있다.

${\displaystyle \sum _{Q_{k}}n^{-s}=\sum _{n}\delta (n)n^{-s}=\prod _{p}(1+p^{-s}+\cdots +p^{-s(k-1)})=\prod _{p}\left({\frac {1-p^{-sk}}{1-p^{-s}}}\right)={\frac {\zeta (s)}{\zeta (sk)}}.}$

뫼비우스의 반전 공식에 의해, 우리는

${\displaystyle {\frac {1}{\zeta(ks)}}}=\sum _{n}\mu(n)^{-ks}}}$

여기서 $[\displaystyle \mu }$는 뫼비우스 함수를 의미한다$$.동등하게,

${\displaystyle {\frac {1}{\\zeta(ks)}}=\sum _{n}f(n)^{-s}}}$

여기서 = )= d 그 의 경우 {\$displaystyle f(n)={\case}\\\\,\mu(d)&n=d^{k}\\;\;\,0&{\text},\case{$case$}}}}}}}}}$

그래서,

${\displaystyle {\frac {\zeta(sk)}}}}}=\sum _{n}(\sum _{d\mid n}f(d)n^{-s}.}$

계수를 비교함으로써 우리는

${\displaystyle \cHB=\sum _{d\mid n}f(d)n^{-s}.}$

(1)을 사용하면

${\dplaystyle \sum \sum _{d\leq x}\delta (d)=x\sum _{d\leq x}(f(d)/d)+O(x^{1/k}).}$

우리는 결론적으로 말한다.

${\displaystyle \sum _{n\in Q_{k}n\leq x}1={\frac {x}{\xeta(k)}}}+O(x^{1/k}),}$

이를 위해 우리는 그 관계를 사용했다.

${\displaystyle \sum \sum _{n}(f(n)/n)=\sum_{n^{k}=\sum_{n}\mu(n){n^{-k}={\frac {1}{\zeta(k)},},},}$

뫼비우스의 반전 공식에서 따온 것이다.

특히 사각형 없는 정수의 밀도는$$$\zeta {\displaystyle }$( ${\displaystyle 2{}^{}}$)${\displaystyle {}^{}}$- 1${\displaystyle {}^{}}$= ${\displaystyle 6\frac{\mathrm{}}{}}$ ${\displaystyle \frac{{}^{}}{}}$ ${\displaystyle \frac{{2\mathrm{}}^{}}{}}$ ${\$ {$6}{\pi ^{2}}.$

격자점 가시성

우리는 두 격자 지점이 서로 결합하는 오픈 라인 세그먼트에 격자 지점이 없을 경우 서로 볼 수 있다고 말한다.

이제 gcd(a, b) = d > 1이면 a = da², b = db² 1을 쓰면 점(a², b²)이 (0,0)에서 (a, b)로 결합하는 선 세그먼트에 있다는 것을 관찰한다.따라서 (a, b) 원점에서 볼 수 있는 것은 (a, b) = 1.를 의미한다는 것을 의미한다. 반대로 gcd(a, b) = 1은 (0,0)에서 (a,b)로 결합하는 세그먼트에 다른 정수 격자점이 없음을 의미한다는 것을 쉽게 알 수 있다.따라서 gcd(a, b)가 1인 경우에만 (0,0)에서 (a, b)를 볼 수 있다.

$\phi {\displaystyle \frac{}{}}$(${\displaystyle \frac{n}{}}$)${\displaystyle \frac{}{}}$ ${\$}}}{n$}}$은(는) ${\displaystyle 제곱\mathbb{}}{\displaystyle }${${\displaystyle }$( ${\displaystyle r}$, s ) ${\displaystyle \in }$ N${\displaystyle }$: ${\displaystyle max}$( ${\displaystyle r}$, s${\displaystyle }$)${\displaystyle }$= ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle \}}$ ${\displaystyle$\{($r,s)\in$$\mathb {N}$ :\$max(r$, s ) = r$=n$\max(r = s )n\n$\n$\max(으)}}}.

따라서, 원점에서 볼 수 있는 점의 자연 밀도는 평균에 의해 주어진다는 것을 보여줄 수 있다.

${\displaystyle \lim_{N\rightarrow \inflit }{{1}{{N}\sum _{n\leq N}{n}}}{n}={\frac {6}{\pi ^}}={\frac {1}\zeta (2)}}.}$

${\displaystyle \frac{1\zeta }{}}$($2$ 또한 N에서 제곱이 없는 숫자의 자연 밀도 입니다$$.사실 이것은 우연이 아니다.k-차원 격자, $Z{\displaystyle {\mathbb{}}^{}}$ ${\displaystyle {}^{}}$ ${\$을(를) 고려하십시오$.$${\displaystyle \frac{\mathrm{원점}}{}}$에서 볼 수 있는 점의 자연 ${\displaystyle \frac{밀도}{}}$는 $1{\displaystyle \frac{\mathrm{}}{㎛(}}$k$$){\$displaystyle {\frac${1}{\$zeta(k)}}}$이며$,$ N에서 k번째 자유 정수의 자연 밀도이기도 하다.

구분 함수

$d{\displaystyle }$( ${\displaystyle n}$) ${\displaystyle d(n)}$의 일반화를 고려하십시오$.$

${\displaystyle \chostma _{\n(n)=\sum _{d\mid n}d^{\data.}}$

다음은 사실이다.

${\displaystyle \sum_{n\leq)}\sigma _ᆲ(n)={\begin{경우}\.\;\sum _{n\leq)}\sigma _ᆵ(n)={\frac{\zeta)}{\alpha +1}}x^ᆸ+O(x^{\beta})&,{\text{만약}}\alpha>0,\\\.\;\sum _{n\leq)}\sigma _ᆻ(n)=\zeta(2)x+O(\log))&,{\text{만약}}\alpha =-1,\\\.\;\sum _{n\leq)}\sigma _ᆾ(n)=\zeta(-\alpha +1)x+O(x.^{\max(0,1+\cHB )}&{\text{data.}}}\end{case}}$

여기서 $\beta {\displaystyle }$= ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle a}$( ${\displaystyle 1}$,${\displaystyle \alpha }$) ${\displaystyle \chost =max(1,\chost$ $)\}.$

더 나은 평균 순서

이 개념은 예를 통해 가장 잘 논의된다.보낸 사람

${\displaystyle \sum _{n\leq x}d(n)=x\log x+(2\reason -1)x+o(x)}$

$([\displaystyle \gamma}$은(는) 오일러-마스케로니 상수) 및

${\displaystyle \sum _{n\leq x}\log n=x\log x-x+O(\log x),}$

우리는 증상이 없는 관계를 가지고 있다.

${\displaystyle \sum _{n\leq x}(d)(-(\log n+2\prow )=o(x)\prow(x\오른쪽 화살표 \infty )),}$

함수 로그${\displaystyle \mathrm{logn}}$+ 2$$ {\$displaystyle \log$ n$+2\properties }$이${\displaystyle (}$가) ${\displaystyle \mathrm{단순히}}$ 로그 n ${\displaystyle$$d($$n)}$에 대한 평균 순서를 선택하는$$ 것이 더 낫다는 것을 시사한다$.$

F_q[x]를 초과하는 평균 값

정의

h(x)를 F에_q 대한 단항 다항식 집합의 함수가 되도록 한다.$n{\displaystyle }$ ${\displaystyle \ge }$ ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle n\geq$ 1$}$에 대해 정의함$$

${\displaystyle {\text{Ave}_{n}(h)={\frac {1}{q^{n}}}\sum _{f{\text{monic}},\deg(f)=n}h(f).}$

이것은 도 n의 단항 다항식 집합에서 h의 평균값(평균값)이다.우리는 g(n)은 평균 h의 순서라고 말한다.

${\displaystyle {\text{Ave}_{n}(h)\심 g(n)}$

n이 무한대로 되는 경향이 있기 때문에.

한도가 있는 경우

${\displaystyle \lim _{n\to \inflit }{\text{Ave}_{n}(h)=c}$

존재하며, h는 평균값(평균값) c를 가지고 있다고 한다.

F_q[X]의 제타 함수 및 디리클레 시리즈

F_q[X]=A를 유한장 F_q 위에 있는 다항식의 고리가 되게 하라.

h를 다항식 산술 함수(즉, A를 초과하는 일항 다항식 집합에 대한 함수)로 한다.해당하는 Dirichlet 시리즈는 다음과 같이 정의된다.

${\displaystyle D_{h}=\sum _{f{\text{monic}}h(f) f ^{-s}}$

${\displaystyle \mathrm{여기}}$서 $g{\displaystyle }$ ${\displaystyle \in }$ A ${\displaystyle g\in A}$의 ${\displaystyle 경우}$$$g${\displaystyle }$= ${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle d^{}}$ ${\displaystyle e^{}}$ ${\displaystyle g^{}}$( g${\displaystyle {}^{}}$) ${\$ $g =q$$^{$$deg$$(g)}$을$($를) 설정하고, ${\displaystyle g}$=$$${\displaystyle 0}$ {\$displaystyle$g =$0}$을(를) 다르게 설정하십시오.

다항식 제타 함수는 다음과 같다.

${\displaystyle \zeta _{A}=\sum _{f{\text{monic}}f ^{-s}.}$

N의 상황과 유사하게, 모든 Dirichlet 시리즈는 곱셈함수 h의 제품 표현(Uler 제품)을 가지고 있다.

${\displaystyle D_{h}=\prod _{p}(\sum _{n\mathop {=}0}^{}}}\fty }h(P^{n}),}$

제품이 모든 단일 불분명한 다항식 P에 걸쳐 실행되는 경우.

예를 들어, 제타 함수의 제품 표현은 정수: ${\displaystyle {\zeta }_{}}$ ${\displaystyle \underset{}{A}{}_{}}$(${\displaystyle s}$) = ${\displaystyle \underset{}{}}$ ${\displaystyle \mathrm{P}\underset{}{}}$(${\displaystyle 1^{}}$ -${\displaystyle {}^{}P}$ -${\displaystyle {}^{}{}^{}{s}^{}}$ )${\displaystyle {}^{}}$- 1 ${\$P$^{-s})^{-1$

기존의 제타 함수와는 달리 $\zeta {\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle A_{}}$( ${\displaystyle s}$) ${\displaystyle \zeta _{A}s}$는 단순한$$ 이성 함수다.

유사한 방법으로 f와 g가 두 다항식 산술 함수인 경우, 하나는 f * g, dirichlet convolution of f와 g를 정의한다.

${\displaystyle {\d}(f*g)(m)&=\sum _{d\,\mid \,m}f(m)g(m)\leftg\frac {d}\오른쪽)\\&=\sum _{ab\,=\,m}f(a)g(b)\end{aigned}}}$

여기서 합계는 m의 모든 단수 d에 걸쳐 있거나, m의 곱이 m인 단수 다항식의 모든 쌍(a, b)에 걸쳐 동등하게 확장된다.ID $D{\displaystyle {}_{}}$ h ${\displaystyle {}_{}{}_{}}$ ${\displaystyle g_{}}$= ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle h_{}}$ ${\displaystyle {\ast }_{}}$ ${\displaystyle g_{}}$ ${\$는 여전히$$ 고정되어 있다.따라서 초등 이론에서와 마찬가지로 다항식 디리클레 시리즈와 제타 함수는 다항식의 맥락에서 평균값의 개념과 연관성이 있다.다음의 예들이 그것을 예증한다.

예

F_q[X] 단위의 k번째 자유형 다항식 밀도

${\displaystyle \Delta }$$$(f ) {\$displaystyle$${\displaystyle }$$\$delta$(f)}$을$($를) k번째 전원이 없는 경우$$ 1로 정의하고, 그렇지 않은 경우 0으로 정의하십시오$.$

$\Delta {\displaystyle }$ ${\displaystyle \delta }$의 평균값을 계산하는데_q, 이 값은 F[X]에서 k번째 자유 다항식의 밀도 입니다. 정수와 같은 방식으로 계산한다.

$\Delta {\displaystyle }$ ${\displaystyle \delta }$의 승수성 기준$:$

${\displaystyle \sum _{f}{\frac {\delta (f)}{f^{s}}}=\prod _{P}(\sum _{j\mathop {=} 0}^{k-1}(P ^{-js}))=\prod _{P}{\frac {1- P ^{-sk}}{1- P ^{-s}}}={\frac {\zeta _{A}(s)}{\zeta _{A}(sk)}}={\frac {1-q^{1-ks}}{1-q^{1-s}}}={\frac {\zeta _{A}(s)}{\zeta _{A}(ks)}}}$

${\displaystyle {k-th}_{}}$ power monic power monic polynormals n$$ 도수를 denote $b{\displaystyle {}_{}}$ ${\$를 나타냄.

${\displaystyle \sum \{f}{\frac {\\f){s}}=\sum _{n}\sum _{n}f=n}\sum f ^{s}=\sum _{n}b_{n}q^{-sn}.}$

대체 $u{\displaystyle }$ =${\displaystyle {}^{}}$ -${\displaystyle s^{}}$ ${\$을(를) 만드는 방법:

${\displaystyle {\frac {1-qu^{k}}{1-qu}=\sum _{n\mathop {=}{n}^{{n}b_{n}u^{n}.}$

마지막으로 왼쪽을 기하학적 시계열로 확장하고 양쪽의$$ ${\displaystyle u^{}}$ n ${\$에 대한 계수를 비교하여 다음과 같이 결론을 내린다.

그러므로,

$그리고$ n에 의존하지 않기 때문에 이것은 또한 $\Delta {\displaystyle }$( f${\displaystyle }$)의 평균값이다$.$

다항 분할 함수

F_q[X]에서 정의한다.

${\displaystyle \chma _{k}(m)=\sum _{f m,{\text{monic}}f ^{k}.}$

${\displaystyle {\text{Ave}}_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$ (${\displaystyle {}_{}{\sigma }_{}}$ k${\displaystyle {}_{}}$) ${\displaystyle {\text{$$Ave}_{n}(\sigma _{k})$ for$$ $k{\displaystyle }$≥ ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle k\geq 1$ .

첫째, 에 주목하라.

여기서 $h{\displaystyle (}$ ${\displaystyle f}$)${\displaystyle }$= ${\displaystyle {}^{}}$ k ${\$ 및$$ I${\displaystyle (f}$ ${\displaystyle )}$= ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle \forall \mathrm{}}$ ${\displaystyle f}$ ${\$

그러므로

${\displaystyle \sum _{m}\sigma _{k}(m) m ^{-s}=\zeta _{A}s(s)\sum _{m}h(m) m ^{-s}.}$

대체 $q{\displaystyle {}^{}}$- ${\displaystyle s^{}}$= ${\displaystyle u}$ ${\displaystyle q^{-s}=u}$이(가) 제공되며,

${\$$LHS}=\sum _{n}(\sum _{\deg(m)=n}\sigma _{k}(m)u^{n$ 그리고 Cauchy 제품에 의해 우리는,

${\displaystyle {\reasoned}{\text}RHS}}&=\sum _{n}q^{n(1-s)}\sum _{n}(\sum _{\deg(m)=n}h(m))u^{n}\\&=\sum _{n}q^{n}u^{n}\sum _{l}q^{l}q^{lk}u^{l}\\&=\sum _{n}(\sum _{j\mathop {=} 0}^{n}q^{n-j}q^{jk+j})\\&=\sum _{n}(q^{n})({\frac {1-q^{k(n+1)}}{1-q^{k}}}{n})u^{n}.\end{정렬}}}$

마침내 우리가 그걸 알아냈어

${\displaystyle {\text{Ave}_{n}\sigma _{k}={\frac{1-q^{k(n+1)}}{1-q^{k}}}}.}$

에 유의하십시오.

${\displaystyle q^{n}{\text}Ave}_{n}\sigma _{k}=q^{n(k+1)}({\frac {1-q^{-k(n+1)}{1-q^{-k}}}=q^{n(k+1)}({\frac {\zeta(k+1){n+1}\zeta(k+1)){{{k+1){k+1}}})}$

따라서 $x{\displaystyle }$= ${\displaystyle q^{}}$ n ${\$를 설정하면 위의$$ 결과가 읽힌다.

${\displaystyle \sum _{\sum(m)=n,m{\text{mic}}\ma_{k}=x^{k+1}({\frac {\zeta(k+1){\zeta(kn+k+1){\zeta(kn+1))}})}$

정수의 유사한 결과와 유사함:

구분자 수

$d{\displaystyle }$( ${\displaystyle f}$) ${\displaystyle d(f)}$을(를) f의 단수(monic$$ divisor) 수로 하고, $D{\displaystyle (n)}${\$displaystyle$D($n)}$을(를) 모든 단수 n의$$ $d{\displaystyle (f}$ ) ${\displaystyd(f)$의 합으로 한다$$.

여기서 $u{\displaystyle }$= ${\displaystyle {}^{\mathrm{-s}}}$ ${\$

오른쪽 측면을 파워 시리즈로 확장하면

${\displaystyle D(n)=(n+1)q^{n}.}$

대체 $x{\displaystyle }$= ${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle n^{}}$ ${\$ 위의$$ 방정식은 다음과 같이 된다.

${\displaystyle D(n)=x\log _{q}(x)+x}$ which resembles closely the analogous result for integers ${\displaystyle \sum _{k\mathop {=} 1}^{n}d(k)=x\log x+(2\gamma -1)x+O({\sqrt {x}})}$, where ${\displaystyle \gamma }$ is Euler c당장의

정수의 오차항은 잘 알려져 있지 않지만, 다항식의 경우에는 오차항이 없다!이는 제타 함수 ${\displaystyle {\zeta }_{}}$ A${\displaystyle {}_{}}$( ${\displaystyle s}$) ${\displaystyle \zeta _{A$의 매우 단순한 성격과 0이 없기 때문이다.

다항식 폰 망골트 함수

다항식 폰 망골트 함수는 다음과 같이 정의된다.

q에 기초하여 로그를 취하는 경우.

제안.$\lambda {\displaystyle {\mathrm{}}_{}}$ ${\displaystyle A_{}}$ ${\$의 평균값은 정확히 1이다.

증명. m을 단일 다항식(m)으로 ${\displaystyle \underset{}{\overset{}{하고}}}$, m ${\displaystyle =\underset{}{\overset{}{}}}$∏ i${\displaystyle \underset{}{\overset{}{}}}$= ${\displaystyle \underset{}{\overset{}{}}}$ ${\displaystyle \underset{}{\overset{}{1}}}$ ${\displaystyle \underset{}{\overset{}{}}{}_{}^{}}$ ${\displaystyle p_{}^{}}$ i ${\displaystyle {e_{}}_{}^{}}$ ${\$ m$=\prod _{i\mathop {=}{}^{l}P_{i}^{e_{i}}}}}}}}}}}$는 m의 주요 분해물이다.

우리는 가지고 있다.

그러므로,

${\displaystyle \mathb {I} \cdot \Lambda _{A}(m)=\log m }$

그리고 우린 그걸 알아냈어

${\displaystyle \zeta _{A}D_{\Lambda _{A}=\sum _{m}log m ^{-s}.}$

자, 이제.

${\displaystyle \sum \sum \m ^}=\sum }{n}{n}u^{n}=\sum _{n}q^{n}=\sum \n}q^{n}s.}$

그러므로,

${\displaystyle {\frac {d}{ds}}\sum _{m} m ^{s}=-\sum _{n}\log(q^{n})q^{n(1-s)}=-\sum _{n}\sum _{\deg(f)=n}\log(q^{n})q^{-ns}=-\sum _{f}\log f f ^{-s}.}$

알아냈어:

${\displaystyle D_{\lambda _{A}={\frac {-\zeta '_{A}}{\zeta _{A}}}}}}$

자, 이제.

${\displaystyle \sum _{m}\Lambda _{A}(m) m ^{-s}=\sum _{n}(\sum _{\deg(m)=n}\Lambda _{A}(m)q^{-sm})=\sum _{n}(\sum _{\deg(m)=n}\Lambda _{A}(m))u^{n}={\frac {-\zeta '_{A}(s)}{\zeta _{A}(s)}}={\frac {q^{1-s}log(q)}{1-q^{1-s}}}=\log(q)\sum _{n\mathop {=} 1}^{\infty }q^{n}u^{n}}$

그러므로,

${\displaystyle \sum _{\deg(m)=n}\Lambda _{A}(m)=q^{n}\log(q),}$

그리고 ${\displaystyle {qn}^{}}${\$displaystyle q^{n}$로 나누면, 우리는 그것을$$ 얻는다.

${\displaystyle {\text{Ave}_{n}\Lambda _{A}(m)=\log(q)=1.}$

다항식 오일러 토텐트 함수

Euler totential function polynormal alogue, ${\displaystyle \Phi$ $\}$을(를) 그룹 내 요소 수$({\displaystyle A/\mathrm{fA}{}^{}}$로 정의하십시오$.$ ${\$

${\displaystyle \sum _{\deg f=n,f{\text{monic}}\Phi(f)=q^{2n}(1-q^{-1})}$

참고 항목

• 부가함수
• 산술함수의 정규 순서
• 산술 함수의 극한 순서
• 구분 기호 합계 ID

참조

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• Gérald Tenenbaum (1995). Introduction to Analytic and Probabilistic Number Theory. Cambridge studies in advanced mathematics. Vol. 46. Cambridge University Press. pp. 36–55. ISBN 0-521-41261-7. Zbl 0831.11001.
• Tom M. Apostol (1976), Introduction to Analytic Number Theory, Springer Undergraduate Texts in Mathematics, ISBN 0-387-90163-9
• Michael Rosen (2000), Number Theory in Function Fields, Springer Graduate Texts In Mathematics, ISBN 0-387-95335-3
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