인덱스 패밀리

수학에서 패밀리 또는 인덱스 패밀리는 비공식적으로 객체의 집합이며, 각각은 일부 인덱스 집합의 인덱스와 연관된다. 예를 들어, 정수 집합에 의해 색인화된 실수의 집합은 실수의 집합이며, 여기서 주어진 함수는 각 정수에 대해 하나의 실수를 선택한다(아마도 동일하다).

좀 더 형식적으로, 지수화된 패밀리는 그것의 $도메인$ I과 $이미지$ X와 함께 수학적인 함수다. 종종 집합 $X$ 의 요소들을 가족 구성이라고 부른다. 이 보기에서 색인화된 패밀리는 함수 대신 색인화된 요소의 집합으로 해석된다. $1세트$ 를 패밀리의 인덱스(set)라고 하고, $X$ 는 인덱싱된 세트다. 시퀀스는 특정 도메인을 가진 패밀리의 한 유형이다.

수식문

정의. $I$ 와 $X$ 는 다음과 같은 함수를 설정하고 $f하도록$ 한다.

{\begin}f\colon I&\to X\\\f\colon I&\mapsto x_{i}=f(i),\end{aligned}}}}}

여기서 $i$ $i$ 은(는 $f(i)$ $함수$ $f$ 에 따라 $i$ $i$ $i$ 의 이미지가 $x_{i}$ $x_{i}$ ${\$ $f(3)$ : $f(3)$ ( 3 $f(3)$ ) ${\displaystyle$ f $(3)$ 는 $f(3)$ x $x_{3}$ ${\$ 3 $}$ 로 표시되므로 $f(i)$ i 및 $f(i)$ f $(i)$ 의 요소를 나타낸다 $i$ . 기호 $x$ $x$ 은(는) $x_{i}$ i {\ $displaystyle$ $x_{i})$ 를 $x_{i}$ 위해 사용되며 $x$ , $이$ 는 ( $(x_{i})_{i\in I}$ x $(x_{i})_{i\in I}$ ) $(x_{i})_{i\in I}$ I {\displaystyle $(x_{i}_{i}_in I}$ 또는 단순히 $(x_{i})_{i\in I}$ $(x i)$ 로 표시된 X의 요소들의 인덱스 패밀리를 설정한다. 괄호대신 각괄호나 가새 등을 사용하는 경우도 있는데, 후자는 패밀리와 세트를 혼용할 위험이 있다. 간단히 말해, 인덱스 표기법을 사용할 때마다 인덱스된 객체는 그 집합으로서 (인덱스된) 패밀리를 형성한다. 동일한 각 요소가 다르게 색인화되는 한 패밀리는 동일한 요소를 여러 번 가질 수 있기 때문에(한 집합은 순서가 정하지 않은 다른 객체의 집합이다) 집합이라는 용어는 집합 대신 사용된다.

기능 및 패밀리는 $공식적$ 으로 동등하며, 내가 패밀리를 유도하는 도메인을 가진 함수 $f$ $(f (i)) i \in I$ 와 같다. 가족의 구성원이 되는 것은 해당 기능의 범위에 있는 것과 동등하다. 그러나 실제로는 가족을 하나의 기능이라기보다는 하나의 집합체로 본다. 패밀리는 해당 기능이 주입식인 경우에만 정확하게 한 번 요소를 포함한다.

인덱스 패밀리는 ${\mathcal {X}}=\{x_{i}:i\in I\}$ 된 X ${\mathcal {X}}=\{x_{i}:i\in I\}$ = ${\mathcal {X}}=\{x_{i}:i\in I\}$ { ${\mathcal {X}}=\{x_{i}:i\in I\}$ ${\mathcal {X}}=\{x_{i}:i\in I\}$ : ${\mathcal {X}}=\{x_{i}:i\in I\}$ ${\mathcal {X}}=\{x_{i}:i\in I\}$ ${\mathcal {X}}=\{x_{i}:i\in I\}$ ${\displaystyle {\mathcal{X}=\{x_{i$ }}=\{i $}=\in I\},$ 즉 f $이하$ $I$ 의 이미지를 고려하여 세트로 변환할 수 있다. 매핑 $f$ 는 주입할 필요가 없으므로, $x i$ = $x$ 와_j 같은 $i,$ $i,j\in I$ , j $i,j\in I$ $i,j\in I$ ${\displaystyle i,j\in$ I $}$ 이 $i,j\in I$ (가) 있을 수 있다. 따라서 $|{\mathcal {X}}|\leq |I|$ $|{\mathcal {X}}|\leq |I|$ $|{\mathcal {X}}|\leq |I|$ $displaystyle {\mathcal {X} \leq$ I $|{\mathcal {X}}|\leq |I|$ 여기서 $A$ 는 집합 $A$ 의 카디널리티를 나타낸다. 이것들이 다르게 색인화 되어 있는 한, 한 패밀리는 동일한 요소를 여러 번 가질 수 있다는 뜻이며, 이것은 인덱스 패밀리와 세트 사이의 차이점이다. For example, $\{(-1)^{i}:i\in \mathbb {N} \}=\{-1,1\}$ , where the index set $\mathbb {N} =\{1,2,3,\dots \}$ is the set of natural numbers.

임의의 $집합$ X는 $X$ 가 저절로 지수화되면서 패밀리 $(x x) x \in X$ 를 낳는다. 따라서 어떤 집단이든 자연스럽게 가족이 된다. 모든 패밀리 $(A i) i \in I$ 에 대해 모든 요소 집합 ${A i IiI}$ 이(가) 있지만, 이는 동일한 요소의 다중 격납(다르게 색인화됨)이나 $I$ 가 제공한 구조에 대한 어떠한 정보도 담고 있지 않다. 따라서 가족 대신 세트를 사용함으로써 일부 정보가 손실될 수 있다.

인덱스 세트 $I$ 은 카운트할 수 있도록 제한되지 않으며, 전원 세트의 하위 집합이 인덱싱되어 인덱스된 세트 패밀리가 생성될 수 있다. 시퀀스는 특정 도메인(정수의 간격, 자연수의 집합 또는 어떤 시퀀스를 정의하고 어떤 정의를 사용하는가에 따라 첫 번째 n개의 자연수의 집합)과 함수로 정의되기 때문에 패밀리의 한 유형이다.

예

인덱싱 벡터

예를 들어 다음 문장을 생각해 보십시오.

벡터 v₁, ..., v는_n 선형적으로 독립적이다.

여기서 $(v i) i \in {1, ..., n}$ 는 벡터 가족을 나타낸다. i번째 벡터 $v$ 는_i 이 패밀리에 관해서만 의미가 있는데, 집합은 순서가 정해져 있지 않기 때문에 집합의 i번째 벡터가 없기 때문이다. 또한 선형 독립성은 집합의 속성으로 정의된다. 따라서 그러한 벡터가 집합 또는 가족으로서 선형적으로 독립적이면 중요하다. 예를 들어, 만약 우리가 n=2, v1)v)(1,0)과 동일한 벡터들 중 집합을 하나의 요소만(순서가 없는 고유 요소를 기준으로 한 세트는 컬렉션)과 일차 독립. 하지만 가족과 선형적으로 의지하고 있는 같은 요소 두번(이후 다르게 색인되)이 포함되어 있는 구성으로( 같은 벡터 일차 종속이다)라고 생각한다..

행렬

텍스트에 다음과 같은 내용이 있다고 가정합시다.

정사각형 행렬 A는 A의 행이 선형적으로 독립된 경우에만 변환할 수 있다.

앞의 예와 같이 A의 행은 집합이 아닌 가족으로서 선형적으로 독립되어 있는 것이 중요하다. 예를 들어, 행렬을 고려하십시오.

A={\begin{bmatrix}1&1\\1&1\end{bmatrix}.

행 집합은 $고유$ 한 원소로 이루어져 있어 선형적으로 독립적이지만 $행렬$ 결정요소가 0이므로 행렬이 반전될 수 없다 $.$ 반면 행의 패밀리는 첫 번째 행 $(1,$ 1)과 두 번째 행 $(1,1$ )과 같이 서로 다르게 지수화된 두 요소를 포함하고 있어 선형 종속적이다. 따라서 이 문장은 행의 패밀리를 가리킬 경우 정확하지만 행의 집합을 가리킬 경우 부정확하다. ("행"이 요소도 구별되지만 인덱싱된 패밀리의 구조가 일부 결여된 멀티셋을 가리키는 것으로 해석되는 경우에도 이 문장은 정확하다.)

기타 예

$n$ 을 유한 집합 ${1,$ 2, $...,$ $n}$ 이(가) 되도록 두십시오. 여기서 $n$ 은 양의 정수입니다.

순서 쌍(2-투플)은 $2 =$ ${$ 1 $, 2}$ 의 두 요소 집합에 의해 색인화된 패밀리로서, 순서 쌍의 각 요소는 세트 $2$ 의 각 요소에 의해 색인화된다.
n투플은 집합 $n$ 에 의해 색인된 패밀리다.
무한순서는 자연수에 의해 색인된 가족이다.
목록은 지정되지 않은 $n$ 에 대한 n투플 또는 무한 시퀀스입니다.
$n \times m$ 매트릭스는 두 번째 행과 다섯 $번째$ 열에 있는 매트릭스 요소를 색인화하는 $등,$ 요소들이 쌍으로 정렬되는 데카르트 제품 $n \times m$ 에 의해 색인화된 패밀리다.
그물은 지시된 세트에 의해 색인된 가족이다.