완료되지 않음

수학에서 미완성 또는 미구축은 주어진 범주 C에 여과된 콜리밋을 자유롭게 추가하는 과정이다.Ind(C)로 표시된 이 완료되지 않은 범주의 객체는 직접 시스템이라고 알려져 있으며, 작은 필터링 범주 I에서 C까지의 functors이다.

이중의 개념은 완성형, 프로(C)이다.

정의들

필터링된 범주

직접 시스템은 필터링된 범주의 개념에 의존한다.예를 들어, $n{\displaystyle }$category m ${\displaystyle n\leq m}$이$($가) 있을 때마다 객체가 자연수인 N 범주는 필터링된 범주다.

다이렉트 시스템

범주 C의 직접 시스템 또는 ind-object는 functor로 정의된다.

$(\displaystyle F:I\to C}$

작은 필터링 범주 I에서 C까지.예를 들어 내가 위에서 언급한 범주 N인 경우 이 기준점은 시퀀스와 동일하다.

${\displaystyle X_{0}\to X_{1}\to \cdots }$

표시된 형태와 함께 C에 있는 물체의 형태.

완성.

C의 ind-objects는 범주 ind-C를 형성하고, pro-objects는 범주 pro-C를 형성한다.프로-C의 정의는 그로텐디크(1960년) 때문이다.^[1]

두 개의 Ind-objects

$(\displaystyle F:I\to C}$

그리고

${\textstyle G:$$J\to C}$이(가) functor를 결정한다$$.

I^op x J${\displaystyle }$→ ${\displaystyle \to }$세트$$,

즉, functor

${\displaystyle \operatorname {Hom} _{C}(F(i),G(j)}$

Ind(C)에서 F와 G 사이의 형태 집합은 두 번째 변수에서 이 functor의 콜리미트(collimit)로 정의되며, 첫 번째 변수에서는 한계가 뒤따른다.

${\displaystyle \operatorname {Hom} _{\operatorname {Ind} {\text{-}C}(F,G)=\lim _{i}\operatorname {colim} _{j}\opername {Hom}(F),G(j)}$

좀더 구어적으로 말하면, 이것은 형태론이 각각의 i에 대해$$ 지도 $F{\displaystyle }$( i${\displaystyle }$)${\displaystyle }$→ ${\displaystyle G}$(${\displaystyle j_{}}$ i${\displaystyle {}_{}}$) ${\displaystyle F(i)\to G(j_{i})$의 모음으로 구성됨을 의미하며, $여기$서 j ${\displaystyle i_{}}$ ${\$는 충분히 (i에 따라) 크다$$.

C와 Ind(C)의 관계

마지막 범주 I = {*}은(는) 단일 개체 *로 구성되며 그 ID 형태론만 필터링된 범주의 예다.특히 C에 있는 어떤 물체 X는 펑터를 일으킨다.

$C로,*\mapsto X}$

그러므로 농담자에게.

${\displaystyle C\to \operatorname {Ind}(C),X\mapsto(*\mapsto X)}$

이 functor는 정의의 직접적인 결과로서 완전히 충실하다.따라서 Ind(C)는 C보다 큰 범주로 간주될 수 있다.

반대로, 일반적으로 자연적인 functor가 있을 필요는 없다.

${\displaystyle \operatorname {Ind}(C)\to C.}$

단, C가 모든 필터링된 콜리미트(직접 한계라고도 함)를 소유하고 있는 경우, ind-object $F{\displaystyle }$: ${\displaystyle I}$→ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle F:$$콜리밋에 대한 I\$to C}(일부 필터링 범주 I)

${\displaystyle \operatorname {colim} _{I}F(i)}$

그러나 일반적으로 동등하지는 않다.따라서 C가 이미 모든 필터링된 콜리미트를 가지고 있더라도 Ind(C)는 C보다 엄격히 큰 범주다.

Ind(C)의 객체는 형식적인 직접 한계로 생각할 수 있으므로, 일부 저자는 다음과 같은 방법으로 그러한 객체를 나타내기도 한다.

${\displaystyle {\text{"}\varinjlim _{i\in I}{\text{"}}}}}F(i).}$

이 표기법은 피에르 들랭에 기인한다.^[2]

완료의 범용 속성

범주 C에서 Ind(C)까지의 구절은 필터링된 콜리밋을 범주에 자유롭게 추가하는 것이다.이 때문에 공사를 C의 완성이라고도 한다.이것은 다음과 같은 주장에 의해 정밀하게 된다: 모든 functor${\displaystyle }F{\displaystyle }$ :${\displaystyle C}$ → ${\displaystyle D}$ ${\displaystyle$ F$:$$모든$ 필터링된 콜리미트가 있는 범주 D에서 값을 취하는 C\$to D}$은(는) functor ${\displaystyle \mathrm{In}}$ ${\displaystyle d(C}$ ${\displaystyle )}$→ ${\displaystyle D}$ ${\displaystyle Ind(C)\to D}$까지 확장되며, 이는$$ C에 대한 값이 원래 필터링된 콜리미트를 보존하는 요구 사항에 의해 고유하게 결정된다.

들여쓰기 범주의 기본 속성

콤팩트 오브젝트

본질적으로 Ind(C)에 있는 형태론의 설계에 의해, C의 어떤 물체 X는 Ind(C)의 물체로 간주될 때, 즉 핵심적으로 제시 가능한 functor로 간주될 때 압축된다.

${\displaystyle \operatorname {Hom} _{\operatorname {Ind}(C)}(X,-)}$

여과된 콜리미트를 보존하다이것은 X가 C에서 콤팩트할 필요가 없다는 사실과 대조적으로 C나 물체 X가 무엇이든 간에 사실이다.반대로 Ind(C)에 있는 모든 소형 물체는 X에 있는 물체의 이미지로 발생한다.

일부 소분류 ${\displaystyle {C\mathrm{}}_{}}$ 0 ${\$에 대해$$ ${\displaystyle \mathrm{Ind}}$for ( C${\displaystyle }$0${\displaystyle {}_{}}$) ${\displaystyle \operatorname {Ind}(C_{0})$과 같으면 범주 C는 압축적으로 생성된다$.$유한 집합의 범주 FinSet의 완료는 모든 집합의 범주다.마찬가지로 C가 정확히 생성된 그룹의 범주라면, ind-C는 모든 그룹의 범주와 동일하다.

완료 인식

이러한 식별은 위에서 언급한 바와 같이 $functor{\displaystyle }$ F${\displaystyle }$: ${\displaystyle C}$→ D ${\displaystyle F:$$모든$ 필터링된 콜리미트가 있는 범주$$ D의 값을 사용하는 C\$to D}$은(는) 확장명을 가지고 있음

${\displaystyle {\tilde {F}:\operatorname {Ind}(C)\to D,}$

여과된 콜리미트를 보존하는 것.이 확장은 동등성까지 독특하다.첫째, 이 functor $F{\displaystyle \stackrel{}{}}$~ ${\${\$tilde{F}}}$은(는) D의 어떤 물체가 C의 적절한 물체에 대해$$ $F{\displaystyle }$(${\displaystyle c}$ ${\displaystyle )}$ ${\displaystyfric F(c)}$ 형식의 물체의 여과된 콜리미트로 표현될 수 있다면 본질적으로 절망적이다$$.둘째, $F{\displaystyle \stackrel{}{}}$~ ${\$는 원래의 functor F가 완전히 충실한 경우에만, 그리고 F가 C의 임의의 객체를 D의 콤팩트한 객체에 보내는 경우에만 완전히 충실한 것이다$$.

예를 들어, 이러한 사실을 포함 펑터)에 적용

${\displaystyle F:\operatorname {FinSet} \subset \operatorname {Set},}$

등가성

${\displaystyle \operatorname {Ind}(\operatorname {FinSet} )\cong \operatorname {Set} }$

어떤 집합이든 유한 집합의 여과된 콜리미트(예를 들어, 어떤 집합은 유한 하위 집합의 결합이며, 그것은 여과된 시스템이다)라는 사실과 더욱이 유한 집합은 집합의 대상으로 간주될 때 압축된다는 사실을 표현한다.

완성.

다른 범주형 개념과 구성과 마찬가지로, 완성도도도 프로-완성이라고 알려진 이중성을 인정한다: 범주 Pro(C)는 indr-object의 관점에서 정의된다.

${\displaystyle \operatorname {Pro}(C):=\opername {Ind}(C^{op})^{op}}}$

따라서 프로(C)의 개체는 C의 역계 또는 프로 오브젝트다.정의에 따르면, 이는 반대 $범주{\displaystyle {}^{}}$ C ${\displaystyle o^{}}$ p$${\$displaystyle C^{op}}$에 있는 직접 시스템 또는$$ 동등하게 펑커스에 해당된다.

$(\displaystyle F:I\to C}$

필터가 있는 범주 I에서.

프로카테고리

어떤 범주 C에 대해서도 Pro(C)가 존재하지만, 다른 수학적 개념과의 연관성 때문에 몇 가지 특별한 경우가 주목할 만하다.

• C가 유한집단의 범주라면 pro-C는 프로파이나 집단의 범주, 그들 사이의 연속적인 동형성의 범주에 해당한다.
• 알렉산드로프 토폴로지와 함께 사전 정렬된 세트를 제공하는 프로세스는 유한 사전 정렬된 집합인 ${\displaystyle \mathrm{Pro}}$ ${\displaystyle }$(${\displaystyle {\mathrm{PoSet}}^{}}$ $){\displaystyle \operatorname {Pro}(\operatorname {PoSet}^{\text{fin})$의$$프로 범주와 스펙트럼 위상학적 공간 및 준콤팩트 형태론의 범주를 동등하게 한다.
• 스톤 이중성은 유한 집합 범주의 ${\displaystyle \mathrm{프로}}$ ${\displaystyle }$(${\displaystyle \mathrm{FinSet}}$) ${\displaystyle \operatorname {Pro} (\operatorname {FinSet} )}$이(가) 스톤 공간 범주와 동일하다고 주장한다.^[3]

이러한 친 범주에서 위상학적 개념의 외관은 등가성 그 자체로 스톤 이중성의 특별한 경우로 추적될 수 있다.

${\displaystyle \operatorname {FinSet} ^{op}=\operatorname {FinBool} }$

유한 집합을 동력 집합으로 보낸다(유한 부울 대수학으로 간주됨).친-인-개체 간의 이중성과 인-완성에 대한 알려진 설명도 특정한 반대 범주에 대한 설명을 야기한다.예를 들어, 그러한 고려사항은 벡터 공간의 범주(고정된 필드 위에)의 반대 범주가 선형적으로 컴팩트한 벡터 공간과 그 사이의 연속적인 선형 지도의 범주와 동일하다는 것을 보여주는 데 사용될 수 있다.^[4]

적용들

완성도는 완성도보다 덜 두드러지지만 응용 분야에는 형상 이론이 포함된다.프로 오브젝트는 또한 예를 들어 그로텐디크의 갈루아 이론과 슈레신저의 변형 이론 기준에서와 같은 친표현 가능한 펑커와의 연결을 통해 발생한다.

관련 개념

테이트 오브젝트는 인드와 프로 오브젝트의 혼합물이다.

무한 범주의 변종

완성도(그리고, 몇달에 걸쳐, 완성도 찬성)는 루리에 의해 ∞-카테고리까지 확장되었다.

참고 항목

• 직접 한계 – 범주 이론에서 콜리밋의 특별한 경우
• 직접 한계#직접 시스템 – 카테고리 이론에서 콜리밋의 특별한 경우
• 역한계 - 범주 이론에서의 구성

메모들

참조

• Bergman; Hausknecht (1996), Cogroups and Co-rings in Categories of Associative Rings, Mathematical Surveys and Monographs, vol. 45, doi:10.1090/surv/045, ISBN 9780821804957
• Bourbaki, Nicolas (1968), Elements of mathematics. Theory of sets, Translated from the French, Paris: Hermann, MR 0237342.
• Grothendieck, Alexander (1960), "Technique de descente et théoèmes d'existence en géométrie algébriques. II. Le théorème d'existence en théorie formelle des modules", Séminaire Bourbaki : années 1958/59 - 1959/60, exposés 169-204 (in French), Sociétée mathématique de France, pp. 369–390, MR 1603480, Zbl 0234.14007
• "System (in a category)", Encyclopedia of Mathematics, EMS Press, 2001 [1994]
• Johnstone, Peter T. (1982), Stone Spaces, ISBN 0521337798
• Lurie, Jacob (2009), Higher topos theory, Annals of Mathematics Studies, vol. 170, Princeton University Press, arXiv:math.CT/0608040, ISBN 978-0-691-14049-0, MR 2522659
• Segal, Jack; Mardešić, Sibe (1982), Shape theory, North-Holland Mathematical Library, vol. 26, Amsterdam: North-Holland, ISBN 978-0-444-86286-0