증분 변형

고체역학에서 탄성용액의 선형 안정성 분석은 ^[1]유한변형에 중첩된 증분변형 방법을 사용하여 연구된다.증분 변형 방법은 정적,^[2]^[4] 준정적 및 시간 의존적 문제를 해결하기 위해 사용할 수 있습니다.운동의 지배 방정식은 ^[5]물질의 평형 구성을 제공하는 질량의 보존과 선형 및 각운동량의 균형과 같은 고전 역학의 하나입니다.주요 대응 수학적 프레임워크는 레이먼드 오그든의 저서 비선형 탄성^[1] 변형과 그의 주요 논문 모음인 비오트의 저서 증분 변형 ^[6]역학에 설명되어 있다.

비선형 탄성

운동학 및 기계학

증분 변형 체계

E ${\mathcal {E}}\in \mathbb {R} ^{3}$ ${\mathcal {E}}\in \mathbb {R} ^{3}$ 3 ${\mathcal {E}}\in \mathbb {R} ^{3}$ (\style $\mathcal {E}\in\mathbb {R}^{$ 3 ${\mathcal {E}}\in \mathbb {R} ^{3}$ })을 ${\mathcal {E}}\in \mathbb {R} ^{3}$ 3차원 유클리드 공간이라고 ${\mathcal {E}}\in \mathbb {R} ^{3}$ . $\mathcal {E}$ 에서 ${\mathcal {B}}_{0},{\mathcal {B}}_{a}\in {\mathcal {E}}$ ${\mathcal {B}}_{0},{\mathcal {B}}_{a}\in {\mathcal {E}}$ 0 ${\mathcal {B}}_{0},{\mathcal {B}}_{a}\in {\mathcal {E}}$ ${\mathcal {B}}_{0},{\mathcal {B}}_{a}\in {\mathcal {E}}$ a ${\mathcal {B}}_{0},{\mathcal {B}}_{a}\in {\mathcal {E}}$ E { $displaystyle$ {\ $mathcal {B}}_{$ 0}, ${\$ mathcal ${B}}_{a$ }}\로 하자. $§$ ({displaystyle ${$ $bf$ ${chi$ }})을 ${\bf {\chi }}$ ${\mathcal {B}}_{0}$ 0({ $style$ {b $}$ $_{$ 0 ${\mathcal {B}}_{0}$ 에서 ${\mathcal {B}}_{a}$ 된 ${\mathcal {B}}_{a}$ B $({displaystyle$ {B}_{a $})$ 로 조직을 변환하는 변형입니다.B 0{\displaystyle{{B\mathcal}}_{0}에서 χ{\displaystyle \chi} C1{\displaystyle C^{1}}-diffeomorphism[7]}는{\displaystyle{{B\mathcal}}_{를}B에}과 x)χ(X){\displaystyle{\bf{)}}={\bf{\chi}}({\bf{X}})}이 현재 위치 벡터, a로 주어져 보자 마리화나소재 ${\bf {X}}$ X(\style $\display\bf {X$ 의 표시.변형^[5] 구배는 다음과 같습니다.

{F}=rm {Grad}, {\bf {x}=rc {bf {chi}}({\bf {X}})}{\partial {\bf {X}}}}.

탄성 변형률 $W({\bf {F}})$ 밀도 W $)$ { $displaystyle W({\bf {$ F $W({\bf {F}})$ 의 초탄성 재료를 고려했을 때, 피올라-키르호프 응력 ${\bf {S}}$ S $(\$ 는 ${\bf {S}}$ S ${\bf {S}}={\frac {\partial W}{\partial \,{\bf {F}}}}$ ${\bf {S}}={\frac {\partial W}{\partial \,{\bf {F}}}}$ ${\bf {S}}={\frac {\partial W}{\partial \,{\bf {F}}}}$ S ${\bf {S}}={\frac {\partial W}{\partial \,{\bf {F}}}}$ $displaystyle$ W {b { $S}$ = $fratrixal$ {partial} f $}$ {f} f} {f} f} { $f$ $}$ { $f}$ {f} {f} frac} {f} {f} {f} {f} {f} {f} {f} {f}

준정적 문제의 경우, 체력이 없다면, 평형 방정식은 다음과 같다.

\displaystyle {\rm {Div}, {\bf {S}}&=0&\qquad {text {Eqilibrium},\\[3pt]\end {aligned}}

${\rm {Div}}$ 서 ${\rm {Div}}$ v $\$ 는 ${\rm {Div}}$ 재료 좌표에 대한 편차입니다^[1].

재료가 압축할 ^[8]수 없는 경우, 즉 변형 중에 모든 하위 도메인의 부피가 변하지 않는 경우, 라그랑지안 승수는^[9] 일반적으로 내부 등화성 $\det {\bf {F}}=1$ 조건 $\det {\bf {F}}=1$ F $=$ $(\displaystyle \det {F}}=1$ )을 $\det {\bf {F}}=1$ 적용하기 위해 도입된다. 따라서 피올라 응력 텐서의 표현은 다음과 같이 된다.

{{displaystyle}{\bf {S}}&=frac {\partial W}}-p{\bF {F}}{-1}&\qquad {스트레스의 정의}}.\\\end {aligned}}

경계 조건

$\partial {\mathcal {B}}_{0}$ $\partial {\mathcal {B}}_{a}$ 인 ${\mathcal {B}}_{0}$ 0 $({displaystyle$ $\partial$ \ $mathcal{$ $B$ } $_{0$ 과 $\partial {\mathcal {B}}_{0}$ $\partial {\mathcal {B}}_{a}$ B ${\mathcal {B}}_{a}$ a $({displaystyle\partial\mathcal{B}_{$ a ${\mathcal {B}}_{a}$ 의 경계인 $\partial {\mathcal {B}}_{a}$ 0 $({$ displaystyle $\$ $mathcal{B}_$ })의 ${\mathcal {B}}_{a}$ 로 $합니다.$ 하나는 디리클레 조건이 적용되는 $\partial {\mathcal {B}}_{0}$ 의 서브셋 $\Gamma _{D}$ D $(\displaystyle$ $\partial {\mathcal {B}}_{0}$ \ $Gamma$ $_{D$ 를 정의하고, Neumann 조건은 $\Gamma _{N}$ N(\ $displaystyle \Gamma$ _ ${$ $N$ 을 유지하며 $\partial {\mathcal {B}}_{0}=\Gamma _{D}\cup \Gamma _{N}$ $\partial {\mathcal {B}}_{0}=\Gamma _{D}\cup \Gamma _{N}$ $\partial {\mathcal {B}}_{0}=\Gamma _{D}\cup \Gamma _{N}$ $\partial {\mathcal {B}}_{0}=\Gamma _{D}\cup \Gamma _{N}$ $\partial {\mathcal {B}}_{0}=\Gamma _{D}\cup \Gamma _{N}$ 는 $\partial {\mathcal {B}}_{0}=\Gamma _{D}\cup \Gamma _{N}$ 과 같다. $=\Gamma _{D}\Gamma _$ {N ${\bf {u}}_{0}^{*}$ $\partial {\mathcal {B}}_{0}=\Gamma _{D}\cup \Gamma _{N}$ ${\bf {u}}_{0}^{*}$ $\Gamma _{D}$ 0 $∗$ { display $style \$ $Gamma$ $_$ { D $\Gamma _{D}$ } 、 t 0 $∗$ { $display$ $style$ \ $Gamma$ _ { D $\Gamma _{D}$ $}$ ${\bf {t}}_{0}^{*}$ 0 ${\bf {t}}_{0}^{*}$ ∗ { display $style$ \ gamma _ { t _ $0$ $}^{$ 0 } } } vector ${\bf {u}}_{0}^{*}$ $\Gamma _{D}$ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ $\Gamma _{N}$ 경계조건은 다음과 같은 혼합형식으로 작성할 수 있습니다 $.$

{\bf {u}(\bf {u} {0}^{*}}&\qquad {{D},\[3pt] {\bf {S}^{\rm {T}}\cdot {\bf {U}}}{{{0}}}}&\qquad {{D}

${\bf {u}}={\bf {x}}-{\bf {X}}=\chi ({\bf {X}})-{\bf {X}}$ 서 ${\bf {u}}={\bf {x}}-{\bf {X}}=\chi ({\bf {X}})-{\bf {X}}$ ${\bf {u}}={\bf {x}}-{\bf {X}}=\chi ({\bf {X}})-{\bf {X}}$ x - ${\bf {u}}={\bf {x}}-{\bf {X}}=\chi ({\bf {X}})-{\bf {X}}$ ${\bf {u}}={\bf {x}}-{\bf {X}}=\chi ({\bf {X}})-{\bf {X}}$ ${\bf {u}}={\bf {x}}-{\bf {X}}=\chi ({\bf {X}})-{\bf {X}}$ ( ${\bf {u}}={\bf {x}}-{\bf {X}}=\chi ({\bf {X}})-{\bf {X}}$ ) - ${\bf {u}}={\bf {x}}-{\bf {X}}=\chi ({\bf {X}})-{\bf {X}}$ ( \ $displaystyle$ \ $bf$ { u } = ${\bf {u}}={\bf {x}}-{\bf {X}}=\chi ({\bf {X}})-{\bf {X}}$ b bf { $x$ } - { \ $bf {$ X } = \ $chi$ ( \ $bf$ { $X }$ )는 ${\bf {u}}={\bf {x}}-{\bf {X}}=\chi ({\bf {X}})-{\bf {X}}$ 변위이고 ${\bf {N}}$ N ( \ $displaystyle$ \ $bf$ { $N$ })는 ${\bf {N}}$ \ $displaystyle$ $\partial {\mathcal {B}}_{0}$ 。

기본 솔루션

정의되어 있는 문제는 Boundary Value Problem(Boundary Value Problem). ${\bf {x}}^{0}=\chi ^{0}({\bf {X}})$ x 0 $=$ ${\bf {x}}^{0}=\chi ^{0}({\bf {X}})$ 0 ( ${\bf {x}}^{0}=\chi ^{0}({\bf {X}})$ $){$ $displaystyle {bf {x}^0$ }=\ $chi$ ^{ $0}({\bf$ {X $}})$ 을 ${\bf {x}}^{0}=\chi ^{0}({\bf {X}})$ BVP의 용액으로 ${\bf {x}}^{0}=\chi ^{0}({\bf {X}})$ .W $\displaystyle$ W는 $W$ 변형 구배에 따라 비선형적으로 달라지기^[10] 때문에 이 $W$ 은 일반적으로 고유하지 않으며 문제의 기하학적 및 재료적 파라미터에 따라 달라집니다.따라서 불안정성의 시작을 "^[11]제어 $"$ 하는 제어 파라미터 $\gamma$ (\ $displaystyle$ \ $gamma)$ 라고 $\gamma$ 하는 무차원 파라미터의 임계치에 인접해 있는 용액의 존재를 강조하기 위해서는 증분변형법을 사용해야 한다.즉, 이 파라미터의 값을 늘리면 특정 시점에서 새로운 솔루션이 나타납니다.따라서 선택된 기본 용액은 더 이상 안정 용액이 아니라 불안정해진다.물리적인 면에서는 특정 시점에는 기본 솔루션의 모든 영역에서 밀도 $(\displaystyle$ W $)$ 의 $W$ 적분 등 저장된 에너지가 새로운 솔루션보다 큽니다.평형을 회복하기 위해 재료의 구성은 에너지가 ^[12]낮은 다른 구성으로 이동합니다.

유한 변형에 중첩된 증분 변형 방법

이 방법을 개선하려면 유한변형 ${\bf {x}}^{0}$ ${\bf {x}}^{0}$ 0 $위$ 에 소량 치환 $\delta {\bf {x}}$ x x $displaystyle$ ${\bf {x}}^{0}$ \ $delta {$ $x$ 를 겹쳐야 $\delta {\bf {x}}$ 합니다. $다음$ 과 같습니다.

x

{\bar {\bf {x}}}={\bf {x}}^{0}+\delta {\bf {x}}={\bf {x}}^{0}+\chi ^{1}({\bf {x}}^{0})

{\bar {\bf {x}}}={\bf {x}}^{0}+\delta {\bf {x}}={\bf {x}}^{0}+\chi ^{1}({\bf {x}}^{0})

x 0 +

{\bar {\bf {x}}}={\bf {x}}^{0}+\delta {\bf {x}}={\bf {x}}^{0}+\chi ^{1}({\bf {x}}^{0})

{\bar {\bf {x}}}={\bf {x}}^{0}+\delta {\bf {x}}={\bf {x}}^{0}+\chi ^{1}({\bf {x}}^{0})

+

{\bar {\bf {x}}}={\bf {x}}^{0}+\delta {\bf {x}}={\bf {x}}^{0}+\chi ^{1}({\bf {x}}^{0})

{\bar {\bf {x}}}={\bf {x}}^{0}+\delta {\bf {x}}={\bf {x}}^{0}+\chi ^{1}({\bf {x}}^{0})

(

{\bar {\bf {x}}}={\bf {x}}^{0}+\delta {\bf {x}}={\bf {x}}^{0}+\chi ^{1}({\bf {x}}^{0})

0

{\bar {\bf {x}}}={\bf {x}}^{0}+\delta {\bf {x}}={\bf {x}}^{0}+\chi ^{1}({\bf {x}}^{0})

){

displaystyle {\bar

{\bf {x}} =

b

bf

{x}

} {

0}

+ \ chi

^{1

}

({\

bf {

x}

}

{\bar {\bf {x}}}={\bf {x}}^{0}+\delta {\bf {x}}={\bf {x}}^{0}+\chi ^{1}({\bf {x}}^{0})

) ,

${\bar {\bf {x}}}$ 서 x ${\bar {\bf {x}}}$ {\({ $displaystyle {bf {x}})$ 는 ${\bar {\bf {x}}}$ 섭동된 위치이며, $\chi ^{1}({\bf {x}}^{0})$ 1 $\chi ^{1}({\bf {x}}^{0})$ ( $\chi ^{1}({\bf {x}}^{0})$ 0 $\chi ^{1}({\bf {x}}^{0})$ ){ $displaystyle \chi$ ^{ $1}({\bf$ ${x$ $}^0})}$ 은 $\chi ^{1}({\bf {x}}^{0})$ 섭동된 구성 $\delta {\mathcal {B}}_{a}$ 의 기본 위치 ${\bf {x}}^{0}$ x ${\bf {x}}^{0}$ ({ $displaystyle$ $\delta {\mathcal {B}}_{a}$ { $x}$ { $x$ $}$ { $0$ 를 ${\bf {x}}^{0}$ 매핑합니다.

In the following, the incremental variables are indicated by $\delta (\bullet )$ , while the perturbed ones are indicated by ${\bar {\bullet }}$ .^[1]

변형 구배

교란 변형 구배는 다음과 같이 구합니다.

{\bar {\bf {F}}}={\bf {F}}^{0}+\delta {\bf {F}}=(\mathbf {I} +\mathbf {\Gamma } ){\bf {F}}^{0}

{\bar {\bf {F}}}={\bf {F}}^{0}+\delta {\bf {F}}=(\mathbf {I} +\mathbf {\Gamma } ){\bf {F}}^{0}

{\bar {\bf {F}}}={\bf {F}}^{0}+\delta {\bf {F}}=(\mathbf {I} +\mathbf {\Gamma } ){\bf {F}}^{0}

{\bar {\bf {F}}}={\bf {F}}^{0}+\delta {\bf {F}}=(\mathbf {I} +\mathbf {\Gamma } ){\bf {F}}^{0}

+

{\bar {\bf {F}}}={\bf {F}}^{0}+\delta {\bf {F}}=(\mathbf {I} +\mathbf {\Gamma } ){\bf {F}}^{0}

F

{\bar {\bf {F}}}={\bf {F}}^{0}+\delta {\bf {F}}=(\mathbf {I} +\mathbf {\Gamma } ){\bf {F}}^{0}

(

{\bar {\bf {F}}}={\bf {F}}^{0}+\delta {\bf {F}}=(\mathbf {I} +\mathbf {\Gamma } ){\bf {F}}^{0}

+

{\bar {\bf {F}}}={\bf {F}}^{0}+\delta {\bf {F}}=(\mathbf {I} +\mathbf {\Gamma } ){\bf {F}}^{0}

)

{\bar {\bf {F}}}={\bf {F}}^{0}+\delta {\bf {F}}=(\mathbf {I} +\mathbf {\Gamma } ){\bf {F}}^{0}

{

style

{

bar

{

F

} =

snambf

{

{\bar {\bf {F}}}={\bf {F}}^{0}+\delta {\bf {F}}=(\mathbf {I} +\mathbf {\Gamma } ){\bf {F}}^{0}

F } } {

0

} + \

delta

{ F } = ( \

mathbf

{ I } + \

Gamma }

{

F }

} ^{

0

}

여기서 $\mathbf {\Gamma } ={\rm {grad}}\,\chi ^{1}({\bf {x}}^{0})$ $\mathbf {\Gamma } ={\rm {grad}}\,\chi ^{1}({\bf {x}}^{0})$ $\mathbf {\Gamma } ={\rm {grad}}\,\chi ^{1}({\bf {x}}^{0})$ r $\mathbf {\Gamma } ={\rm {grad}}\,\chi ^{1}({\bf {x}}^{0})$ d $\mathbf {\Gamma } ={\rm {grad}}\,\chi ^{1}({\bf {x}}^{0})$ 1 ( $\mathbf {\Gamma } ={\rm {grad}}\,\chi ^{1}({\bf {x}}^{0})$ 0 $){$ $displaystyle \mathbf {Gamma$ } $= gamma$ { ${\rm {grad}}$ $}},\chi$ ${\rm {grad}}$ ^{ $1}({\$ $bf$ $\mathbf {\Gamma } ={\rm {grad}}\,\chi ^{1}({\bf {x}}^{0})$ { $x$ $}^0$ $})$ 은 현재 ${\rm {grad}}$ 구성에 대한 그라데이션 연산자입니다 $.$

스트레스

교란된 Piola 스트레스는 다음과 같이 구합니다.

{{displaystyle {bf {S}}={0}+\delta {bf {S}}={0}+{frac {\frac {\bf {S}{0}}{\partial {bf}}}{\bigg}}}{{0}}}{{\delta}{0}}}:{{\f}

여기서 $:$ {\ $displaystyle:}$ 은 $:$ 4차 텐서 ${\frac {\partial {\bf {S}}^{0}}{\partial {\bf {F}}}}{\bigg |}_{{\bf {F}}^{0}}={\mathcal {A}}^{1}$ S ${\frac {\partial {\bf {S}}^{0}}{\partial {\bf {F}}}}{\bigg |}_{{\bf {F}}^{0}}={\mathcal {A}}^{1}$ F ${\frac {\partial {\bf {S}}^{0}}{\partial {\bf {F}}}}{\bigg |}_{{\bf {F}}^{0}}={\mathcal {A}}^{1}$ $=$ ${\frac {\partial {\bf {S}}^{0}}{\partial {\bf {F}}}}{\bigg |}_{{\bf {F}}^{0}}={\mathcal {A}}^{1}$ {\ $displaystyle {bf {S}$ {{ $0}}$ {\ $partial {bf {F}}}$ {\ $bigg }_$ {0} {{0}}} {\cal} {\cal} {\cal $}$ {\cal} {\cal} {\ $cal}$ {\cal} {\cal} {\cal} {\cal} {\cal} {\cal} {\c\ $bf$ ${\bf {S}}$ { $F$ S $(\displaystyle$ { $S})$ 는 ${\bf {S}}$ F $(\$ ~ W(\ $displaystyle$ W $W$ 에 ${\bf {F}}$ ${\bf {S}}$ 하므로 이 의존성을 강조하여 식을 다시 작성할 수 있습니다 $.$

${\bf {S}=partial frac {\bf {F}}_{\bf {F}}{{0}}+{\frac {\frac {F}}\partial {\bf}}}{\partial {BF}}}}{\partial {\bf}}{BF}}}}{BF}}}}}}{\partial frac {\partial F}}}}}}{\partial F}{\f}}}}}}}{\part$

소재가 압축할 수 없다면

${{displaystyle}{bf {S}={frac}{{0}}{\partial {bf {F}}}={a}{A}{1}\delta {F}+p({\bf {F}}^{0}}}{delf}{{f}}}{deltaF}{{f}}}{f}}{f}}}{f}}}{{f}}}}}{delf}}}}}$

여기서 $\delta p$ p { $displaystyle$ \ $delta$ p $\delta p$ $}$ 는 $\delta p$ p { $displaystyle$ p $}$ 의 $p$ ${\mathcal {A}}^{1}$ 이며, ${\mathcal {A}}^{1}$ 1 ${\mathcal {A}}^{1}$ { $displaystyle$ { $A}{$ $displaystyle$ }{\ $bf$ {\ $bf {F}}}}$ 은 $({\bf {S}},{\bf {F}})$ 과 관련된 탄성 모듈리입니다 $({\bf {S}},{\bf {F}})$

교란된 피올라 응력의 푸시 포워드를 도출하는 것은 다음과 같이 정의되는 데 유용하다.

{\displaystyle\displaystyle\bf {S}_{0}={bf {S}^0},\del {A}^{1}\Gamma +p\Gamma -\gamp,{\rm {I}},

${\mathcal {A}}_{0}^{1}$ 서 A 0 ${\mathcal {A}}_{0}^{1}$ ({ $displaystyle {A}}_{0}^1})$ 은 ${\mathcal {A}}_{0}^{1}$ 순간 모듈리의 텐서라고도 하며, 성분은 다음과 같습니다.

({\mathcal {A}}_{0}^{1})_{ijhk}={\bf {F}}_{i\gamma }^{0}\,{\bf {F}}_{h\beta }^{0}\,{\mathcal {A}}_{\gamma j\beta k}^{1}

0

({\mathcal {A}}_{0}^{1})_{ijhk}={\bf {F}}_{i\gamma }^{0}\,{\bf {F}}_{h\beta }^{0}\,{\mathcal {A}}_{\gamma j\beta k}^{1}

)

({\mathcal {A}}_{0}^{1})_{ijhk}={\bf {F}}_{i\gamma }^{0}\,{\bf {F}}_{h\beta }^{0}\,{\mathcal {A}}_{\gamma j\beta k}^{1}

({\mathcal {A}}_{0}^{1})_{ijhk}={\bf {F}}_{i\gamma }^{0}\,{\bf {F}}_{h\beta }^{0}\,{\mathcal {A}}_{\gamma j\beta k}^{1}

({\mathcal {A}}_{0}^{1})_{ijhk}={\bf {F}}_{i\gamma }^{0}\,{\bf {F}}_{h\beta }^{0}\,{\mathcal {A}}_{\gamma j\beta k}^{1}

({\mathcal {A}}_{0}^{1})_{ijhk}={\bf {F}}_{i\gamma }^{0}\,{\bf {F}}_{h\beta }^{0}\,{\mathcal {A}}_{\gamma j\beta k}^{1}

=

({\mathcal {A}}_{0}^{1})_{ijhk}={\bf {F}}_{i\gamma }^{0}\,{\bf {F}}_{h\beta }^{0}\,{\mathcal {A}}_{\gamma j\beta k}^{1}

({\mathcal {A}}_{0}^{1})_{ijhk}={\bf {F}}_{i\gamma }^{0}\,{\bf {F}}_{h\beta }^{0}\,{\mathcal {A}}_{\gamma j\beta k}^{1}

0 F

({\mathcal {A}}_{0}^{1})_{ijhk}={\bf {F}}_{i\gamma }^{0}\,{\bf {F}}_{h\beta }^{0}\,{\mathcal {A}}_{\gamma j\beta k}^{1}

({\mathcal {A}}_{0}^{1})_{ijhk}={\bf {F}}_{i\gamma }^{0}\,{\bf {F}}_{h\beta }^{0}\,{\mathcal {A}}_{\gamma j\beta k}^{1}

0 A

({\mathcal {A}}_{0}^{1})_{ijhk}={\bf {F}}_{i\gamma }^{0}\,{\bf {F}}_{h\beta }^{0}\,{\mathcal {A}}_{\gamma j\beta k}^{1}

j

({\mathcal {A}}_{0}^{1})_{ijhk}={\bf {F}}_{i\gamma }^{0}\,{\bf {F}}_{h\beta }^{0}\,{\mathcal {A}}_{\gamma j\beta k}^{1}

k

({\mathcal {A}}_{0}^{1})_{ijhk}={\bf {F}}_{i\gamma }^{0}\,{\bf {F}}_{h\beta }^{0}\,{\mathcal {A}}_{\gamma j\beta k}^{1}

1

({\mathcal {A}}_{0}^{1}_ijhk

}=

parbf {F}^0}, {\beta}^{0})

증분 지배 방정식

기본 해를 중심으로 평형 방정식을 확장하면,

{Div}({\bar {Bf {S}})=marrm {Div}({\bf {S}}+\delta {Div})=marrm {Div}({\bf {S}}})=m{Div}({\rm {Div})=0}).

${\bf {S}}^{0}$ 0 $(\$ 은 $0차$ 방정식의 해이므로 ${\bf {S}}^{0}$ 방정식은 다음과 같이 다시 쓸 수 있습니다.

({displaystyle {div}}({bf {S}}_{0})=0,}

${\rm {div}}$ 서 d i ${\rm {div}}$ \ $displaystyle \rm {div}$ 는 ${\rm {div}}$ 실제 구성에 대한 발산 연산자입니다.

증분 비압축성 제약 조건 읽기

{\displaystyle\detf {F}}^{0}+\delta(\bf {F})=1.}

이 방정식을 기존과 같이 기본 솔루션 중심으로 확장하면

(\displaystyle\rm {tr}\mathbf\Gamma})= 0.}

증분 경계 조건

${\bf {u}}_{0}^{*}$ $u$ u $u$ ∗ ∗ $let$ ∗ ${\overline {\delta {\bf {t}}}}$ 、 t $let$ let ${\overline {\delta {\bf {t}}}}$ let $let$ {\ ${\overline {\delta {\bf {t}}}}$ {\ {\ 0 ∗ ${\$ {\ ${\$ $let$ 0 ${\$ {\ $of$ 0 ${\bf {u}}_{0}^{*}$ {\ $of$ 0 ${\bf {t}}_{0}^{*}$ ${\bf {t}}_{0}^{*}$ $of$ 0 ${\$ {\ of $of$ 0 {\ of of 0 of of of $of$ of of of of of of of of of of of of of of of of of of of of of of of of of of of of ${\overline {\delta {\bf {u}}}}$ $of$ 따라서 섭동된 경계 조건은 다음과 같습니다.

({displaystyle}\displaystyle {bf {u}}({bf {x})=\qquad {D}\[3pt]\del {bf {S}_{0}{t}\cdotn})

여기서 $\delta {\bf {u}}=\chi ^{1}({\bf {x}}^{0})-{\bf {x}}$ u $=$ $\delta {\bf {u}}=\chi ^{1}({\bf {x}}^{0})-{\bf {x}}$ 1 ( $\delta {\bf {u}}=\chi ^{1}({\bf {x}}^{0})-{\bf {x}}$ 0 $\delta {\bf {u}}=\chi ^{1}({\bf {x}}^{0})-{\bf {x}}$ ) - $\delta {\bf {u}}=\chi ^{1}({\bf {x}}^{0})-{\bf {x}}$ {\ $displaystyle$ \display $style$ { $u}=\chi$ ^{ $1}({\bf {x})- {\bf {x}}-$ 는 $\delta {\bf {u}}=\chi ^{1}({\bf {x}}^{0})-{\bf {x}}$ 증분 변위량이고 ${\Gamma _{D}}\cup {\Gamma _{N}}={\partial \Omega }$ D ${\Gamma _{D}}\cup {\Gamma _{N}}={\partial \Omega }$ ${\Gamma _{D}}\cup {\Gamma _{N}}={\partial \Omega }$ ${\Gamma _{D}}\cup {\Gamma _{N}}={\partial \Omega }$ display ∂ ∂ ${\Gamma _{D}}\cup {\Gamma _{N}}={\partial \Omega }$ $display$ display display （ \ $display Gamma$ ） _ { { { { { { { { { （ \ display { ） { { { { { { ({{{{

증분 문제 해결

증분 방정식

${{displaystyle {div}({bf {S}}_{0})=0\qquad {hbox{압축재}})$

${{displaystyle}{\rm {div}({bf {S}_{0})&=0\rm {tr}(\mathbf {Gamma})&=0\end{case}&qquad {비압축성 재료}\end}}{hbox}}\end {aligned})$

는 Incremental Boundary Value Problem(BVP; 증분 경계값 문제)를 나타내고 Partial Differential Equilation(PDE;^[13] 부분 미분 방정식) 시스템을 정의합니다.문제의 미지는 고려된 사례에 따라 달라집니다.첫 번째 예에서는 compressible case와 같이 증분변형의 컴포넌트 deform $\delta {u}_{1}({\bf {x}}),\delta {u}_{2}({\bf {x}}),\delta {u}_{3}({\bf {x}})$ 1 ( $\delta {u}_{1}({\bf {x}}),\delta {u}_{2}({\bf {x}}),\delta {u}_{3}({\bf {x}})$ ) 、 $\delta {u}_{1}({\bf {x}}),\delta {u}_{2}({\bf {x}}),\delta {u}_{3}({\bf {x}})$ $\delta {u}_{1}({\bf {x}}),\delta {u}_{2}({\bf {x}}),\delta {u}_{3}({\bf {x}})$ 2 ( x $\delta {u}_{1}({\bf {x}}),\delta {u}_{2}({\bf {x}}),\delta {u}_{3}({\bf {x}})$ 、 $\delta {u}_{1}({\bf {x}}),\delta {u}_{2}({\bf {x}}),\delta {u}_{3}({\bf {x}})$ u $\delta {u}_{1}({\bf {x}}),\delta {u}_{2}({\bf {x}}),\delta {u}_{3}({\bf {x}})$ 3 ( $x$ ) { $displaystyle$ \delta ${u} ($ { \ $bf {x}$ ) 、 \ $delta$ { $}$ _ { delta { $2$ } ( \ $delta$ { delta { delta $}$ ) } ) ）。elation $\chi ^{1}({\bf {x}})=\delta {u}_{1}({\bf {x}}){\bf {e}}_{1}+\delta {u}_{2}({\bf {x}}){\bf {e}}_{2}+\delta {u}_{3}({\bf {x}}){\bf {e}}_{3}$ ( $\chi ^{1}({\bf {x}})=\delta {u}_{1}({\bf {x}}){\bf {e}}_{1}+\delta {u}_{2}({\bf {x}}){\bf {e}}_{2}+\delta {u}_{3}({\bf {x}}){\bf {e}}_{3}$ x ) $\chi ^{1}({\bf {x}})=\delta {u}_{1}({\bf {x}}){\bf {e}}_{1}+\delta {u}_{2}({\bf {x}}){\bf {e}}_{2}+\delta {u}_{3}({\bf {x}}){\bf {e}}_{3}$ $\chi ^{1}({\bf {x}})=\delta {u}_{1}({\bf {x}}){\bf {e}}_{1}+\delta {u}_{2}({\bf {x}}){\bf {e}}_{2}+\delta {u}_{3}({\bf {x}}){\bf {e}}_{3}$ $\chi ^{1}({\bf {x}})=\delta {u}_{1}({\bf {x}}){\bf {e}}_{1}+\delta {u}_{2}({\bf {x}}){\bf {e}}_{2}+\delta {u}_{3}({\bf {x}}){\bf {e}}_{3}$ ( $\chi ^{1}({\bf {x}})=\delta {u}_{1}({\bf {x}}){\bf {e}}_{1}+\delta {u}_{2}({\bf {x}}){\bf {e}}_{2}+\delta {u}_{3}({\bf {x}}){\bf {e}}_{3}$ ) $\chi ^{1}({\bf {x}})=\delta {u}_{1}({\bf {x}}){\bf {e}}_{1}+\delta {u}_{2}({\bf {x}}){\bf {e}}_{2}+\delta {u}_{3}({\bf {x}}){\bf {e}}_{3}$ $\chi ^{1}({\bf {x}})=\delta {u}_{1}({\bf {x}}){\bf {e}}_{1}+\delta {u}_{2}({\bf {x}}){\bf {e}}_{2}+\delta {u}_{3}({\bf {x}}){\bf {e}}_{3}$ + $\chi ^{1}({\bf {x}})=\delta {u}_{1}({\bf {x}}){\bf {e}}_{1}+\delta {u}_{2}({\bf {x}}){\bf {e}}_{2}+\delta {u}_{3}({\bf {x}}){\bf {e}}_{3}$ 2 ( $\chi ^{1}({\bf {x}})=\delta {u}_{1}({\bf {x}}){\bf {e}}_{1}+\delta {u}_{2}({\bf {x}}){\bf {e}}_{2}+\delta {u}_{3}({\bf {x}}){\bf {e}}_{3}$ ) $\chi ^{1}({\bf {x}})=\delta {u}_{1}({\bf {x}}){\bf {e}}_{1}+\delta {u}_{2}({\bf {x}}){\bf {e}}_{2}+\delta {u}_{3}({\bf {x}}){\bf {e}}_{3}$ 2 + $\chi ^{1}({\bf {x}})=\delta {u}_{1}({\bf {x}}){\bf {e}}_{1}+\delta {u}_{2}({\bf {x}}){\bf {e}}_{2}+\delta {u}_{3}({\bf {x}}){\bf {e}}_{3}$ 3 ( $\chi ^{1}({\bf {x}})=\delta {u}_{1}({\bf {x}}){\bf {e}}_{1}+\delta {u}_{2}({\bf {x}}){\bf {e}}_{2}+\delta {u}_{3}({\bf {x}}){\bf {e}}_{3}$ ) $\chi ^{1}({\bf {x}})=\delta {u}_{1}({\bf {x}}){\bf {e}}_{1}+\delta {u}_{2}({\bf {x}}){\bf {e}}_{2}+\delta {u}_{3}({\bf {x}}){\bf {e}}_{3}$ $\chi ^{1}({\bf {x}})=\delta {u}_{1}({\bf {x}}){\bf {e}}_{1}+\delta {u}_{2}({\bf {x}}){\bf {e}}_{2}+\delta {u}_{3}({\bf {x}}){\bf {e}}_{3}$ \ $displaystyle \chi$ ^ { $1}$ ( { \ $bf$ { $x$ } ) = \ $display$ { $u } _$ { { \ $bf$ { x} ) { \ $bf$ { $e$ } } = { \ { \ $bf$ { e } { e } } { { { { { { $1$ + \ $bf$ { $e$ }ccount는 또한 등화학적 제약을 가하기 위해 도입된 Lagrange $승수$ p $\displaystyle$ p $p$ $delta$ p의 증분 $\delta p$ p { $displaystyle$ \ delta p }입니다 $\delta p$ .

이 문제를 해결하기 위한 주요 어려움은 효율적이고 강력한 수치적 솔루션 ^[14]절차를 구현하기 위해 보다 적절한 형태로 문제를 변환하는 것이다.이 지역에서 사용되는 것은 스트로 형식주의입니다.원래 Stroh가 정상 상태 탄성 문제를 해결하기 위해 개발한 것으로, 관련된 경계 조건을 가진 4개의 PDE 세트를 초기 조건을 가진 1차 ODE 세트로 변환할 수 있습니다.방정식의 수는 문제가 설정된 공간의 차원에 따라 달라집니다.이를 위해서는 변수 분리를 적용하고 고려된 ^[16]상황에 따라 주어진 방향으로 주기성을 가정해야 한다.특히 Stroh 형식주의를 ^[15]사용하여 시스템을 콤팩트하게 다시 작성할 수 있습니다.실제로, 시스템의 모양은 다음과 같습니다.

${d}{\rm {x}}}{\eta}=\mathbf {G},\eta,$

$\eta$ 서 ${\({displaystyle$ \eta $})$ 는 $\eta$ 문제의 모든 미지를 포함하는 벡터 $,$ $x({$ displaystyle $\rm$ {x $})$ 는 ${\rm {x}}$ 고쳐 쓴 문제가 의존하는 유일한 변수, ${\bf {G}}$ G({ $display$ $\$ style $\bf {G})$ 는 ${\bf {G}}$ 소위 Stroh 매트릭스이며 다음과 같은 형태를 가집니다.

{bf {G} = begin {bmatrix} {\bf {G} } {2} \ {\bf {G} } _ {3} & {\bf {G} _ {4} \end {bmatrix}} }

여기서 각 블록은 매트릭스이며 그 치수는 문제의 차원에 따라 달라집니다. ${\bf {G}}_{4}=({\bf {G}}_{1})^{*}$ 이 접근법의 중요한 ${\bf {G}}_{4}=({\bf {G}}_{1})^{*}$ 은 G4 ${\bf {G}}_{4}=({\bf {G}}_{1})^{*}$ ( ${\bf {G}}_{4}=({\bf {G}}_{1})^{*}$ ${\$ {{ $displaystyle {g} _$ {4} = { $bf {G} }$ {{ $1}}$ , 、 즉 ${\bf {G}}_{4}$ { $displaystyle {G} _$ { $4}$ 는 ${\bf {G}}_{4}$ ${\bf {G}}_{1}$ {{ $displaystyle {g$ ^[17]의 은둔자 ${\bf {G}}_{4}=({\bf {G}}_{1})^{*}$ 이다.

결론과 비고

선형 안정성 분석의 결과입니다.

Stroh 형식주의는 다양한 탄력성 문제를 해결하기 위한 최적의 형태를 제공한다.최적이란 증분 문제를 해결하기 위해 효율적인 수치 절차를 구성할 수 있다는 것을 의미합니다.증분 경계값 문제를 해결함으로써 문제의 재료 및 기하학적 파라미터와 재료에서 파동이 전파되는 섭동 모드, 즉 불안정성을 나타내는 것 사이의 관계를^[18] 찾을 수 있다.모든 것은 컨트롤 파라미터로 표시되는 선택 $\gamma$ 인 ${\(\displaystyle \gamma$ 에 의존합니다.

이 분석에 따르면 그래프 섭동 모드 vs 제어 파라미터에서 섭동 모드의 최소값은 불안정성의 시작을 볼 수 있는 첫 번째 모드를 나타낸다.예를 들어, 그림에서 불안정성이 $kz$ 하는 $모드$ k $z$ 의 $kz$ 첫 번째 값은 약 $0$ .3 $({displaystyle$ \displaystyle $=$ 0 $0.3$ $}$ $kz=0$ k $kz=0$ $kz=0$ ({ $displaystyle kz=0})$ 이므로 $kz=0$ 고려할 필요가 없다.

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레퍼런스

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