탄성 불안정

탄성 불안정성은 큰 압축하중을 받는 보와 판의 좌굴과 같은 탄성계통에서 발생하는 불안정성의 한 형태다.

이런 불안정을 연구할 수 있는 방법은 많다. 그 중 하나는 평형용액에 작은 동요를 덧씌우는 것에 기초한 증분 변형법을 사용하는 것이다.

단일 자유도 시스템

간단한 예로 한쪽 끝에는 경첩이 있고 다른 쪽 끝에는 자유롭고 경첩 끝에 각 스프링이 부착된 길이 L의 견고한 빔을 들 수 있다. 빔은 빔의 압축 축 방향에서 작용하는 F 힘에 의해 자유단에 적재된다. 오른쪽의 그림을 참조한다.

모멘트 평형 조건

시계방향 각도 편향 $\theta {\displaystyle }$ ${\displaystyle \theta}$을$($를) 가정하면, 힘에 의해 발휘되는 시계방향 모멘트는 $M{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle F_{}}$= ${\displaystyle F}$ l ${\displaystyle \sin }$ ${\displaystyle \sin }$ ${\displaystyle \{}$ ${\displaystyle M_{F}=$가 된다.$FL\sin \theta$ 모멘트 평형 방정식은 다음과 같다.

$\displaystyle FL\sin \theta =k_{\theta }\theta }$

여기서 ${\$는 각 스프링의 스프링 상수(Nm/라디안)이다$$. ▼ ${\displaystyle \theta}$이(가) 충분히 작다고 가정하여 사인 함수의 테일러 확장을 구현하고 첫 번째 두 항 수율을 유지함

${\displaystyle FL{\bigg (}\theta -{\frac {1}{6}}\theta ^{3}{\Bigg )}\cH00\cH00\cH00\cH00\cH00\cH00}\cH00\ta }$

세 가지 해결책, 즉 ${\displaystyle \mathrm{사소한}}$ $\theta {\displaystyle }$= 0 ${\displaystyle \theta =0}$및

${\displaystyle \theta \약 \pm {\sqrt {6{\Bigg (}1-{\frac {k_{\theta }}}}}}{{\theta }}}}}}{}}}}FL}}{\Bigg )}}}}}}}$

F < ${\$에 대한 상상적(즉, 물리적인 것이 아님)이며, 그렇지 않으면 진짜다. 이는 작은 압축력의 경우, 유일한 평형 상태는 $\theta {\displaystyle }$= ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle \theta =0}$이(가) 주어지는 반면$,$ ${\displaystyle {힘}_{}}$이 k l${\displaystyle {}_{}}$/ L ${\displaystyle k_{\theta$}/$L}$ 값을 초과하면 갑자기$$ 또 다른 변형 모드가 가능하다는 것을 의미한다.

에너지법

에너지 관계를 고려해도 같은 결과를 얻을 수 있다. 각 스프링에 저장된 에너지는

${\displaystyle E_{\mathrm {spring}}=\int k_{\theta }\theta \d}\theta ={1}{1}{2}}k_{\theta ^{2}}:$

그리고 힘에 의해 수행되는 작업은 단순히 빔 엔드의 수직 변위에 곱한 힘이다. 이 힘은 $L{\displaystyle }$(${\displaystyle 1}$- cos )${\displaystyle )}$ $){\displaystyle L$ ($1-$\cos$\theta )}$이다$.$ 그러므로

${\displaystyle E_{\mathrm {force} }=\int {F\mathrm {d} x=FL(1-\cos \theta )}}}}}}$

The energy equilibrium condition ${\displaystyle E_{\mathrm {spring} }=E_{\mathrm {force} }}$ now yields ${\displaystyle F=k_{\theta }/L}$ as before (besides from the trivial ${\displaystyle \theta =0}$).

솔루션의 안정성

변형각 $\Delta {\displaystyle \mathrm{}}$ Δ ${\displaystyle$ $\theta$$}$의 작은 변화로 인해$$ 원래의 변형 각도를 복원하려고 시도하는 반응 모멘트가 발생하는 경우 모든 솔루션$$is$$ {\displaystyle $\Delta \theta$}은 안정적이다. 빔에 작용하는 시계방향 순간은

$M(\displaystyle M(\theta )=FL\sin \theta -k_{\theta }\theta }$

변형 각도 $\theta {\displaystyle }$ ${\displaystyle \theta}$을(를) 시계 방향으로 약간만 변경하면 순간적으로 발생함$$

${\displaystyle M(\theta +\Delta \theta )=M+\Delta M=FL(\sin \theta +\Delta \theta \cos \theta )-k_{\theta }(\ta +\Delta \ta )}$

라고 다시 쓸 수 있는.

${\displaystyle \Delta M=\Delta \theta(FL\cos \theta -k_{\theta })}$

F ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle \sin }$ ${\displaystyle }$= ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {\theta }_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$ { { { ${\displaystyle FL\sin \theta =k_{\theta }}$ 모멘트 평형 조건 때문에$$ \$theta }$ 이제, 시계방향 변경 Δ >0 ${\displaystyle \delta \theta$ >$0}$이(가) 순간 < 0 ${\displaystyle \Delta$M <$0})$이(가) 음의 변화를 가져온다면 솔루션 $a{\displaystyle }$ ${\displaystystyle$\Delta M$<$0}은 안정적이다$$. 따라서 안정의 조건이 된다.

${\displaystyle {\frac {\Delta M}{\Delta \theta }}={\frac {d}M}{\mathrm {d} \theta}}}}}=FL\cos \theta -k_{\theta }<0}$

솔루션${\displaystyle \mathrm{\theta }}$ = 0 ${\displaystyle \theta =0}$은(는) 예상되는 F < ${\$ 에 대해서만 안정적이다$$. 방정식에서 코사인 항을 확장하여 대략적인 안정성 조건을 구한다.

${\displaystyle \theta >{\sqrt {2}\Bigg (}1-{\frac {k_{\theta }}}}{{\theta }}}}{{}}}}}{{{FL}}{\Bigg )}}}}}}}$

두 이 하는 F L> k$display {\displaystyle FL>k_${\theta 에 대해. 그러므로, 이 해결책들은 안정적이다.

다중 자유도 시스템

각도 스프링을 사용하여 원래 시스템에 또 다른 강체 빔을 부착함으로써 2도의 자유도를 얻는다. 단순성을 위해 빔 길이와 각 스프링이 동일하다고 가정하십시오. 평형 상태가 되다.

${\displaystyle FL(\sin \theta _{1}+\sin \theta _{2}=k_{\theta _}\theta _{1}:{1}}$

${\displaystyle FL\sin \theta _{2}=k_{\theta }(\theta _{2}-\theta _{1})$

여기서 $\theta {\displaystyle {}_{}}$ ${\$} 및$$ $\theta {\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {2\mathrm{}}_{}}$ ${\$}}는 두 보의 각도다$$. 이러한 각도가 작은 수율이라고 가정하여 선형화

${\displaystyle {\begin{pmatrix}FL-k_{\theta }&FL\\k_{\theta }&FL-k_{\theta }\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}\theta _{1}\\\theta _{2}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}0\\0\end{pmatrix}}}$

시스템에 대한 비종교적 해결책은 시스템 매트릭스의 결정요인의 근원을 찾아낸다.

${\displaystyle {\frac {FL}{k_{\theta}}={\frac {3}{2}}\mp{\frac{5}}}}}{\begin{matrix}0.382\\2.209\end{prod}\right.}$

따라서 두 자유도 시스템의 경우 적용된 힘 F에 대해 두 가지 임계값이 있다. 이는 시스템 매트릭스의 nullspace에서 계산할 수 있는 두 가지 변형 모드에 해당한다. 방정식을 $\theta {\displaystyle {}_{}}$ ${\$} 산출량으로$$ 나눈다.

${\displaystyle {\frac {\theta _{2}}{\theta _{1}}}{\Big }_{\theta _{1}\neq 0}={\frac {k_{\theta }}{FL}}-1\approx \left\{{\begin{matrix}1.618&{\text{for }}FL/k_{\theta }\approx 0.382\\-0.618&{\text{for }}FL/k_{\theta }\approx 2.618\end{matrix}}\right.}$

낮은 임계력의 경우 비율이 양이고 두 빔이 같은 방향으로 꺾이는 반면, 높은 힘의 경우 "바나나" 모양을 형성한다. 이 두 가지 변형 상태는 시스템의 좌굴 모드 형태를 나타낸다.

참고 항목

• 버클링
• 캐비테이션(엘라스토머)
• 드루커 안정성

추가 읽기

• 탄성 안정성 이론, S. 티모셴코와 J. 게레