하이포시클로이드

빨간색 경로는 더 작은 검은 원이 더 큰 검은 원 안에서 굴러다닐 때 추적되는 하이포시클로이드(모수들은 R=4.0, r=1.0, k=4)로 아스트로이드를 준다.

기하학에서, 하이포시클로이드는 더 큰 원 안에서 굴러다니는 작은 원 위에 고정된 점의 자취에 의해 생성된 특별한 평면 곡선이다. 더 큰 원의 반지름이 늘어나면서, 저포시클로이드는 선 위에서 원을 굴려 만든 사이클로이드와 더 닮아간다.

특성.

더 작은 원의 반지름이 r이고, 더 큰 원의 반지름 R = kr이면, 곡선에 대한 모수 방정식은 다음 중 하나에 의해 주어질 수 있다.

x(\theta )=(R-r)\cos \theta +r\cos \left({\frac {R-r}{r}}}\theta \right)

y(\theta )=(R-r)\sin \theta -r\sin \left({\frac {R-r}{r}}}\theta \right),

또는:

\displaystyle x(\theta )=r(k-1)\cos \theta +r\cos \left((k-1)\theta \right)\,}

\displaystyle y(\theta )=r(k-1)\sin \theta -r\sin \left(k-1)\theta \right.\,}

k가 정수일 경우 곡선은 닫히고 kusps(즉, 곡선이 다를 수 없는 날카로운 모서리)가 있다. 특히 k=2의 경우 곡선은 직선이며 원은 카르다노 원이라고 한다. Girolamo Cardano는 이러한 저밀도세포와 고속 인쇄에 대한 응용을 최초로 기술했다.^[1]^[2]

k가 합리적인 숫자라면, 예를 들어 k = p/q로 가장 단순한 용어로 표현하면 곡선에 pusps가 있다.

k가 비합리적인 숫자라면 곡선은 결코 닫히지 않고 더 큰 원과 반지름 R - 2r 사이의 공간을 채운다.

각 하이포시클로이드(r의 모든 값에 대해)는 반경 R의 균일한 구내 중력 전위용 브라키스토크론이다.^[3]

하이포시클로이드로 둘러싸인 영역은 다음과 같이 주어진다.

A={\frac {(k-1)(k-2)}{k^{2}}\pi R^{2}=(k-1)\pi r^{2}

하이포시클로이드의 호 길이는 다음을 통해 주어진다.

s={\frac {8(k-1)}{k}R=8(k-1)r

예

하이포시클로이드 예제
k=3 — 델토이드
k=4 — 아스트로이드
k=5
k=6
k=2.1 = 21/10
k=3.8 = 19/5
k=5.5 = 11/2
k=7.2 = 36/5

하이포시클로이드는 특별한 종류의 하이포트로코이드인데, 이것은 특정한 종류의 룰렛이다.

세 개의 쿠스가 있는 하이포시클로이드는 델토이드로 알려져 있다.

네 개의 쿠스가 있는 저포시클로이드 곡선은 아스트로이드라고 알려져 있다.

두 개의 쿠스가 있는 하이포시클로이드는 퇴행적이지만 여전히 매우 흥미로운 케이스로, 투시 부부라고 알려져 있다.

집단 이론과의 관계

저포시클로이드는 서로 안에서 "굴고 있다"고 한다. 각각의 작은 곡선의 쿠스프는 차선형 하이포시클로이드와 연속적인 접촉을 유지한다.

k, 즉 kusps의 적분 값을 갖는 모든 하이포시클로이드는 k+1 쿠스프를 가진 또 다른 하이포시클로이드 안에서 아늑하게 움직일 수 있으며, 그래서 더 작은 하이포시클로이드의 지점이 항상 더 큰 것과 접촉하게 된다. 이 동작은 미끄러지는 것을 수반하기 때문에 기술적으로 고전 역학적으로 굴러가는 것은 아니지만 '롤링'처럼 보인다.

하이포시클로이드 모양은 특별한 단일 군집과 관련될 수 있으며, 결정 인자가 1인 k × 단일 군집합으로 구성된 SU(k)로 표시된다. 예를 들어, SU(3)의 행렬에 대한 대각선 항목 합계의 허용 값은 정확히 3 쿠스프(델토이드)의 하이포시클로이드 안에 놓여 있는 복잡한 평면의 점들이다. 마찬가지로, SU(4) 행렬의 대각선 입력을 합하면 아스트로이드 내부에 포인트가 주어진다.

이 결과 SU(k)가 SU(k+1) 안에 들어맞는다는 사실을 하나의 서브그룹으로 삼아 kusps가 있는 에피시클로이드가 k+1 쿠스프로 스누프 안에서 아늑하게 움직인다는 것을 증명할 수 있다.^[6]^[7]

파생 곡선

저포시클로이드의 퇴치는 저포시클로이드 자체의 확대된 버전인 반면, 저포시클로이드의 비자발성은 그 자체의 축소된 복사본이다.^[8]

저포시클로이드의 중앙에 극이 있는 저포시클로이드의 페달은 장미 곡선이다.

저포시클로이드의 이솝티틱은 저포시클로이드다.

대중문화의 저포시클로이드

저포시클로이드와 유사한 곡선은 스피로그래프 장난감으로 그릴 수 있다. 구체적으로 스피로그래프는 하이포트로코이드와 상피로코이드 등을 그릴 수 있다.

스틸마크를 원작으로 한 피츠버그 스틸러스의 로고는 아스트로이드 3종(쿠스 4종류의 하이퍼포시클로이드)을 포함하고 있다. 그레그 이스터브룩은 주간지 NFL.com 칼럼에서 스틸러스를 종종 하이포시클로이드라고 부른다. 칠레 축구팀 CD 화치파토는 스틸러스의 로고를 바탕으로 한 곡으로 하이포시클로이드가 특징이다.

더 프라이스 이즈 라이트 세트의 첫 번째 드루 캐리 시즌은 세 개의 메인 도어와 거대한 가격표, 턴테이블 구역에 아스트로이드를 배치한 것이 특징이다. 2008년부터 시작된 프로그램이 고화질 방송으로 전환되면서 문과 턴테이블에 있는 아스트로이드는 제거되었고, 오늘날에도 여전히 거대한 가격표 받침대만이 그것들을 특징으로 하고 있다. ^[9]

참고 항목

참조

^ White, G. (1988), "Epicyclic gears applied to early steam engines", Mechanism and Machine Theory, 23 (1): 25–37, doi:10.1016/0094-114X(88)90006-7, Early experience demonstrated that the hypocycloidal mechanism was structurally unsuited to transmitting the large forces developed by the piston of a steam engine. But the mechanism had shown its ability to convert linear motion to rotary motion and so found alternative low-load applications such as the drive for printing machines and sewing machines.
^ Šír, Zbyněk; Bastl, Bohumír; Lávička, Miroslav (2010), "Hermite interpolation by hypocycloids and epicycloids with rational offsets", Computer Aided Geometric Design, 27 (5): 405–417, doi:10.1016/j.cagd.2010.02.001, G. Cardano was the first to describe applications of hypocycloids in the technology of high-speed printing press (1570).
^ Rana, Narayan Chandra; Joag, Pramod Sharadchandra (2001), "7.5 Barchistochrones and tautochrones inside a gravitating homogeneous sphere", Classical Mechanics, Tata McGraw-Hill, pp. 230–2, ISBN 0-07-460315-9
^ "Area Enclosed by a General Hypocycloid" (PDF). Geometry Expressions. Retrieved Jan 12, 2019.
^ ^a ^b "Hypocycloid". Wolfram Mathworld. Retrieved Jan 16, 2019.
^ Baez, John. "Deltoid Rolling Inside Astroid". AMS Blogs. American Mathematical Society. Retrieved 22 December 2013.
^ Baez, John. "Rolling hypocycloids". Azimuth blog. Retrieved 22 December 2013.
^ Weisstein, Eric W. "Hypocycloid Evolute". MathWorld. Wolfram Research.
^ http://www.tvsquad.com/2007/08/21/a-glimpse-at-drew-careys-price-is-right/
^ Trombold, John; Donahue, Peter, eds. (2006), Reading Portland: The City in Prose, Oregon Historical Society Press, p. xvi, ISBN 9780295986777, At the center of the flag lies a star — technically, a hypocycloid — which represents the city at the confluence of the two rivers.

J. Dennis Lawrence (1972). A catalog of special plane curves. Dover Publications. pp. 168, 171–173. ISBN 0-486-60288-5.

외부 링크

Weisstein, Eric W. "Hypocycloid". MathWorld.
"Hypocycloid", Encyclopedia of Mathematics, EMS Press, 2001 [1994]
O'Connor, John J.; Robertson, Edmund F., "Hypocycloid", MacTutor History of Mathematics archive, University of St Andrews
저밀도 곡선 생성을 위한 무료 Javascript 도구
에피시클로이드, 페리시클로이드, 하이포시클로이드의 애니메이션
하이 사이클로이드 플롯 - GeoFun
Snyder, John. "Sphere with Tunnel Brachistochrone". Wolfram Demonstrations Project. 하이포시클로이드의 브라키스토크론 특성을 보여주는 반복 시연

[1] White, G. (1988), "Epicyclic gears applied to early steam engines", Mechanism and Machine Theory, 23 (1): 25–37, doi:10.1016/0094-114X(88)90006-7, Early experience demonstrated that the hypocycloidal mechanism was structurally unsuited to transmitting the large forces developed by the piston of a steam engine. But the mechanism had shown its ability to convert linear motion to rotary motion and so found alternative low-load applications such as the drive for printing machines and sewing machines.

[2] Šír, Zbyněk; Bastl, Bohumír; Lávička, Miroslav (2010), "Hermite interpolation by hypocycloids and epicycloids with rational offsets", Computer Aided Geometric Design, 27 (5): 405–417, doi:10.1016/j.cagd.2010.02.001, G. Cardano was the first to describe applications of hypocycloids in the technology of high-speed printing press (1570).

[3] Rana, Narayan Chandra; Joag, Pramod Sharadchandra (2001), "7.5 Barchistochrones and tautochrones inside a gravitating homogeneous sphere", Classical Mechanics, Tata McGraw-Hill, pp. 230–2, ISBN 0-07-460315-9

[4] "Area Enclosed by a General Hypocycloid" (PDF). Geometry Expressions. Retrieved Jan 12, 2019.

[Wolfram-5] "Hypocycloid". Wolfram Mathworld. Retrieved Jan 16, 2019.

[6] Baez, John. "Deltoid Rolling Inside Astroid". AMS Blogs. American Mathematical Society. Retrieved 22 December 2013.

[7] Baez, John. "Rolling hypocycloids". Azimuth blog. Retrieved 22 December 2013.

[8] Weisstein, Eric W. "Hypocycloid Evolute". MathWorld. Wolfram Research.

[9] ttp://www.tvsquad.com/2007/08/21/a-glimpse-at-drew-careys-price-is-right/

[10] Trombold, John; Donahue, Peter, eds. (2006), Reading Portland: The City in Prose, Oregon Historical Society Press, p. xvi, ISBN 9780295986777, At the center of the flag lies a star — technically, a hypocycloid — which represents the city at the confluence of the two rivers.

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