브라키스토크론 곡선

물리학, 수학, 최속 강하선 곡선에서(고대 그리스어 βράχιστος χρόνος(brákhistos khrónos에서)'shortest 시간의),[1]나 곡선의 빠른 혈통 있는 거짓말로 그 비행기 사이의 한 지점 A와 아래 부분 B, 이 곳에서는 B가 아니다 바로 아래 A,에 있는 구슬을 미끄러지듯 마찰 없이. 밑에 영향이 일정한 중력 저거.노년 가장 짧은 시간에 주어진 끝점까지. 이 문제는 1696년 요한 베르누이에 의해 제기되었다.

브라키스토크론 곡선은 tautochrone 곡선과 같은 형상으로 둘 다 사이클로이드다. 그러나 두 개 각각에 사용되는 사이클로이드의 부분은 다르다. 구체적으로는 브라키스토크론(Brachistochrone)은 사이클로이드(A와 B가 같은 레벨일 때 한계치)의 완전한 회전을 사용할 수 있지만, 항상 정점에서 출발한다. 이와는 대조적으로, tautochrone 문제는 첫 번째 반 회전까지만 사용할 수 있으며, 항상 수평으로 끝난다.^[2] 이 문제는 변주율과 최적 조절의 미적분학에서 나온 도구를 사용하여 해결할 수 있다.^[3]

곡선은 시험체의 질량과 국부적인 중력 강도 모두에 대해 독립적이다. 곡선이 시작점 A와 끝점 B에 맞도록 파라미터만 선택된다.^[4] 신체가 A에서 초기 속도를 부여받거나 마찰이 고려되면 시간을 최소화하는 곡선이 tautochrone 곡선과 다르다.

역사

요한 베르누이는 1696년 6월 액타 에루디토룸 독자들에게 브라키스토크론 문제를 제기했다.^[5][6] 그는 이렇게 말했다.

나 요한 베르누이는 세계에서 가장 뛰어난 수학자들을 연설한다. 정직하고 도전적인 문제만큼 지적인 사람들에게 더 매력적인 것은 없다. 그들의 가능한 해결책이 명성을 얻고 영원한 기념물로 남을 것이다. 파스칼, 페르마 등이 설정한 예를 따라, 나는 우리 시대의 가장 훌륭한 수학자들 앞에 그들의 방법과 지성의 힘을 시험해 볼 문제를 놓아 전체 과학계의 감사를 얻기를 바란다. 만약 누군가가 제안된 문제의 해결책을 나에게 알려준다면, 나는 그를 칭찬할 가치가 있다고 공개적으로 선언할 것이다.

베르누이는 문제성명을 다음과 같이 썼다.

수직면에서 A와 B의 두 점을 볼 때, 중력에 의해서만 작용하는 점에 의해 추적된 곡선은 무엇이며, 이것은 A에서 시작하여 가장 짧은 시간에 B에 도달한다.

요한과 그의 형 야콥 베르누이는 같은 해답을 도출했지만 요한의 파생은 부정확했고, 야콥의 해답을 자신의 해법으로 전하려 했다.^[7] 요한은 이듬해 5월 이 해답을 학술지에 발표하면서 이 해법이 후이겐스의 토토크론 곡선과 같은 곡선이라고 언급했다. 아래 주어진 방법으로 곡선의 미분 방정식을 도출한 후, 그는 계속해서 그것이 사이클로이드를 산출한다는 것을 보여주었다.^[8][9] 그러나 그의 증명서는 아래의 세 개의 상수인_m v, 2g, D 대신 하나의 상수를 사용함으로써 망가지게 된다.

베르누이는 6개월 동안 해결책을 제시했지만 이 기간 동안 받은 것은 하나도 없었다. 라이프니츠의 요청으로 1년 6개월의 시간이 공개 연장되었다.^[10] 1697년 1월 29일 오후 4시, 왕립 조폐국에서 집으로 돌아온 아이작 뉴턴은 요한 베르누이로부터 온 편지에서 그 도전을 발견했다.^[11] 뉴턴은 밤을 새워 해결했고 익명으로 다음 우편으로 해결안을 부쳤다. 그 해답을 읽자마자, 베르누이는 즉시 그 작가를 인정했고, "발톱 자국으로부터 사자를 인식한다"고 외쳤다. 이 이야기는 요한 베르누이가 그것을 푸는 데 2주가 걸렸기 때문에 뉴턴의 힘을 어느 정도 짐작하게 한다.^[4][12] 뉴턴은 또 "나는 외국인들에게 수학적 사물에 대해 [속담]당하고 놀림을 당하는 것을 좋아하지 않는다"고 썼고, 뉴턴은 변주 미적분학에서 최초의 것으로 여겨지는 뉴턴의 최소 저항 문제를 이미 해결했다.

결국 5명의 수학자는 다음과 같은 해법으로 응답했다. 뉴턴, 야콥 베르누이, 고트프리트 라이프니즈, 에렌프리트 발터 폰 츠치른하우스, 기욤 드 라흐피탈. 그 해결책들 중 4가지(l'Hppital's 제외)는 요한 베르누이(Johann Bernouli)와 같은 저널에 게재되었다. Jakob Bernouli는 그의 논문에서 그 해결책이 사이클로이드라는 것을 보여주기 전에 최소한 아래의 것과 비슷한 시간 동안 그 상태에 대한 증거를 제시했다.^[8] 뉴턴의 학자 톰 화이트사이드에 따르면, 그의 동생을 능가하기 위한 시도로, Jakob Bernouli는 브라키스토크론 문제의 더 어려운 버전을 만들어냈다. 그것을 해결하면서 그는 레온하르트 오일러에 의해 정제된 새로운 방법들을 후자가 (1766년) 변동의 미적분이라고 부르는 것으로 발전시켰다. Joseph-Louis Lagrange는 현대 미적분학을 초래한 추가 작업을 했다.

앞서 1638년 갈릴레오는 자신의 두 개의 새로운 과학에서 한 지점에서 벽으로 가장 빠르게 하강하는 경로에 대해 비슷한 문제를 해결하려고 노력했었다. 그는 원의 호가 그 화음의 어떤 수보다 빠르다는 결론을 이끌어 내셨다.^[13]

앞에서부터 모든 [렌템 옴니움 벨로시탐]의 가장 빠른 길은 한 지점에서 다른 지점으로 가는 가장 짧은 길, 즉 직선이 아니라 원의 호라고 추론할 수 있다.

...

따라서 새겨진 다각형이 원에 가까워질수록 A에서 C까지 하강하는 데 필요한 시간이 짧아진다. 사분면에 대해 입증된 것은 더 작은 호에도 적용된다. 추론은 동일하다.

두 개의 새로운 과학의 정리 6 직후, 갈릴레오는 가능한 오류와 "더 높은 과학"의 필요성에 대해 경고한다. 이 대화에서 갈릴레오는 자신의 작품을 검토한다. 갈릴레오는 사이클로이드를 연구하여 그 이름을 붙였지만, 그것과 그의 문제 사이의 연결고리는 수학의 발전을 기다려야 했다.

갈릴레오의 추측으로는 "모든 [동체용] 중에서 가장 짧은 시간은 [4분의 1 원의 원호] 호 ADB를 따라 떨어지는 시간일 것이며, 유사한 성질은 가장 낮은 한계 B에서 위로 가져간 모든 작은 호를 지탱하는 것으로 이해될 것이다."라고 한다. 결과적으로, 그림 1에서 "두 개의 세계 최고 시스템에 관한 대화"에서 갈릴레오는 A에서 B로 가는 다른 길을 택했을 때보다 짧은 시간에 사분의 일원의 원형 호를 따라 미끄러지는 신체가 B에 도달할 것이라고 주장한다. 이와 유사하게, 그림 2에서, 호 AB의 어떤 지점으로부터, 그는 작은 호 EB를 따라가는 시간이 E에서 B까지의 다른 경로보다 적을 것이라고 주장한다. 실제로 A에서 B로 또는 E에서 B로 가는 가장 빠른 경로는 사이클로이드 호로, B에서 B로 가는 경로는 그림 3에 나와 있다. 두 곡선은 그림 4.에 중첩되어 있다. 참고로 갈릴레오의 추측에는 끝 지점인 B에서 수평으로 곡선의 접선이 있는 반면 브라키스토크론은 시작 지점인 E에서 접선 수직이 된다. 그 결과 그림 4의 원형 호와 사이클로이드 호는 E와 B 사이의 어느 지점에서 교차해야 한다. ^[14]

요한 베르누이의 해결책

소개

베르누이는 L'Hôpital, (21/12/1696)에게 보낸 편지에서 가장 빠른 강하 곡선의 문제를 고려할 때 불과 이틀 후에 호기심 어린 친화력이나 다른 문제와의 연관성이 발견되어 해결책의 '간접적 방법'으로 이어진다고 말했다. 그리고 얼마 지나지 않아 그는 '직접적인 방법'을 발견했다. ^[15]

직접법

요한 베르누이는 1697년 3월 30일자 바젤 공공도서관에서 열린 앙리 바스네지에게 보낸 편지에서 브라키스토크론이 '룰렛'이라고도 불리는 '공통 사이클로이드'라는 것을 보여주기 위해 두 가지 방법(항상 '직접'과 '간접'으로 지칭)을 발견했다고 진술했다. 라이프니츠의 조언에 따라 1697년 5월 액타 에루디토룸 립스대에 간접법만 포함시켰다. 그는 이것이 결론을 의심하는 누구에게나 설득하기에 충분하다고 믿었기 때문이기도 하다고 썼는데, 부분적으로는 "고 후이겐스 씨"가 자신의 논문에서 제기한 광학계의 두 가지 유명한 문제를 조명 위에서 해결했기 때문이라고 한다. 같은 편지에서 그는 뉴턴이 자신의 방법을 은폐했다고 비난했다.

그는 간접적인 방법 외에도 그가 받은 문제에 대한 다섯 개의 다른 답변도 발표했다.

요한 베르누이의 직접적인 방법은 브라키스토크론이 사이클로이드라는 증거로서 역사적으로 중요하다. 방법은 각 지점에서 곡선의 곡률을 결정하는 것이다. 뉴턴의 (당시 드러나지 않은)을 포함한 다른 모든 증거들은 각 지점에서 구배를 찾아내는 것에 기초하고 있다.

1718년 베르누이는 브라키스토크론 문제를 자신의 직접적 방법으로 해결하는 방법을 설명했다.^[16][17]

그는 1718년에 더 이상 적용되지 않는 이유로 1697년에 출판하지 않았다고 설명했다. 이 논문은 이 방법의 깊이가 콘스탄틴 캐러테오도리에 의해 처음으로 인정받았을 때인 1904년까지 크게 무시되었는데, 그는 사이클로이드만이 가장 빠른 하강 곡선이 될 수 있다는 것을 보여준다고 말했다. 그에 따르면, 다른 해결책들은 단순히 사이클로이드가 하강하는 시간이 정지되어 있지만, 반드시 가능한 최소한의 시간은 아니라는 것을 암시했다.

분석용액

신체는 중심 K가 고정된 상태에서 반지름 KC와 Ke 사이에 있는 작은 원형 호 Ce를 따라 미끄러지는 것으로 간주된다. 증거의 첫 번째 단계는 몸이 최소 시간 내에 가로지르는 특정한 원형 호인 Mmm를 찾는 것이다.

KNC 선은 N에서 AL을 교차하고, Kne 선은 N에서 교차하며, K에서 작은 각 CKe를 만든다. NK = a로 하고, KN 확장 시 변수 점 C를 정의한다. 가능한 모든 원형 호 Ce 중에서 2 radi, KM, Km 사이에서 미끄러지는 데 최소 시간이 필요한 호 Mm을 찾아야 한다. Mmm 베르누이를 찾기 위해 다음과 같이 주장한다.

Let MN = x. 그는 MD = mx, n을 정의하여 Mm = nx + na를 만들고 x는 유일한 변수이며 m은 유한하고 n은 무한히 작다는 것을 언급한다. The small time to travel along arc Mm is ${\displaystyle {\frac {Mm}{MD^{\frac {1}{2}}}}={\frac {n(x+a)}{(mx)^{\frac {1}{2}}}}}$, which has to be a minimum (‘un plus petit’). 그는 Mm이 너무 작기 때문에 그것을 따라가는 속도가 MD의 제곱근인 M에서의 속도, 수평선 AL 아래의 M의 수직 거리라고 가정할 수 있다고 설명하지 않는다.

그 다음에, 차별화되면, 이것은 반드시

${\displaystyle \frac{(}{}}$ ${\displaystyle \frac{x}{}}$- ${\displaystyle \frac{a)}{}}$ ${\displaystyle \frac{d}{}}$ ${\displaystyle \frac{x}{}}$ ${\displaystyle \frac{{2\frac{\mathrm{}}{}}^{}}{}}$ ${\displaystyle \frac{{\frac{\mathrm{x}}{}}^{}}{}}$ ${\displaystyle \frac{{}^{}}{}}$ 2${\displaystyle \frac{{}^{}}{}}$= ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle {\frac {(x-a)dx}{2x^{3}{2}}:=0}$을(를) x = a가 되도록 한다.

이 조건은 몸이 가능한 최단 시간에 미끄러지는 곡선을 정의한다. 곡선의 각 점, 곡선의 M, 곡률 반경, MK는 축 AL에 의해 2개의 동일한 부분으로 절단된다. 베르누이가 오래 전부터 알고 있었다고 말하는 이 속성은 사이클로이드 특유의 것이다.

마지막으로, 속도가 임의 함수 X(x)인 경우에 더 일반적인 경우를 고려하므로 최소화해야 할 시간은${\displaystyle \frac{}{}}$(${\displaystyle \frac{x}{}}$ + ${\displaystyle \frac{a)}{}}$ ${\displaystyle \frac{}{}}$ ${\${\$frac {\frac{(x+$a)}{$X}}}$이다$.$ 그런 다음 최소 조건은 X${\displaystyle }$=${\displaystyle \frac{}{}}$( ${\displaystyle \frac{x}{}}$+ ${\displaystyle \frac{a}{}}$) ${\displaystyle \frac{d}{}}$ d ${\displaystyle \frac{x}{}}$ ${\$ X$={\frac {(x+a)dX}{dx}}}$이(가) ${\displaystyle }$, X$$ =${\displaystyle }$( x + ${\displaystyle a)\mathrm{\Delta style}}$ $x {\displaystyle$ X$=(x+a)\$로 기록된다.$델타$ $x}$ 및 NK(= a)의 함수로 MN(=x)을 제공하는 델타 x} 이로부터 곡선의 방정식은 적분 미적분학에서 얻을 수 있지만, 그는 이것을 증명하지는 않는다.

합성솔루션

그런 다음 그는 자신의 Synthetic Solution이라고 부르는 것을 계속하는데, 그것은 고전적이고 기하학적인 증거였다. 그것은 신체가 최소 시간 안에 미끄러져 내려갈 수 있는 하나의 곡선만이 있을 뿐이며, 그 곡선은 사이클로이드라는 것이다.

이 합성 시위의 이유는, 옛사람들의 방식으로, 드 라 렌트 씨를 설득하기 위해서입니다. 그는 우리의 새로운 분석을 거짓이라고 묘사하면서, 우리의 새로운 분석을 할 시간이 거의 없다. (그는 그가 곡선이 입방 포물선이라는 것을 증명할 세 가지 방법을 찾았다고 주장한다) – 요한 베르누이로부터 1697년 7월 27일자 피에르 바리뇽까지의 편지. ^[18]

AMMB가 A와 B를 결합하는 사이클로이드의 부분이라고 가정하고, 이 부분은 신체가 최소 시간 내에 미끄러져 내려간다. ICcJ를 A에서 B로 결합하는 다른 곡선의 일부가 되게 하라. 이 곡선은 AMMB보다 AL에 더 가까울 수 있다. 호 Mmm가 곡률 중심 K에서 각 MKm을 소계하는 경우, 동일한 각도를 소계하는 IJ의 호를 Cc로 한다. 중심 K와 함께 C를 통과하는 원형 호는 Ce이다. AL의 점 D는 수직으로 M 위에 있다. K와 D를 결합하고, 점 H는 CG가 KD를 교차하는 곳이다.

$fall{\displaystyle }$ ${\displaystyle \tau }$과(와) 각각 Mmm와 Ce를 따라 몸이 떨어지는 시간이 되도록 한다.

${\displaystyle \tau }$ ${\displaystyle \propto }$ ${\displaystyle M\frac{}{}}$ ${\displaystyle \frac{}{}}$ ${\displaystyle \frac{{}^{}}{}}$ ${\displaystyle \frac{{\frac{1}{}}^{}}{}}$ 2 ${\$}2$\}\},$ $t{\displaystyle }$ ${\displaystyle \propto }$ ${\displaystyle \frac{C}{}}$ ${\displaystyle e\frac{}{}}$ ${\displaystyle \frac{}{}}$ ${\displaystyle \frac{{}^{}}{}}$ ${\displaystyle \frac{{1\frac{\mathrm{}}{}}^{}}{}}$ ${\displaystyle \frac{{\frac{2}{}}^{}}{}}$ ${\$t\$propto${\$frac${Ce$}{}{}{}}}}}}}{$$CG^{\frac{1}{2$

CG를 F 지점으로 확장한다. 여기서, $C{\displaystyle F}$ = ${\displaystyle \frac{{}^{}}{}}$ ${\displaystyle \frac{{H\mathrm{}}^{}}{}}$ ${\displaystyle \frac{{}^{}}{}}$ ${\displaystyle \frac{M}{}}$ D ${\$ CF$={\frac{CH^{2}}:{$$MD}}}$과(와) ${\displaystyle \frac{\mathrm{MM}}{}}$ ${\displaystyle \frac{}{}\frac{e}{}}$ = M ${\displaystyle \frac{D}{}}$ C ${\displaystyle \frac{H}{}}$ ${\$이(가) 있기 때문에 다음과 같다$.$

${\displaystyle {\frac {\tau }{t}={\frac {Mm}{Ce}}.\left({\frac {CG}{MD}\오른쪽)^{\frac {1}{1}:{2}}=\왼쪽({\frac {CG}{CF}}\오른쪽)^{\frac {1}{2}}:}$

MN = NK이므로 사이클로이드의 경우:

$.$${\$$HD}{DK}}={\frac {MD.$$CM}{MK}},$$C{\displaystyle }$ ${\displaystyle H}$= ${\displaystyle \frac{M}{}}$ ${\displaystyle D\frac{.}{}}$ C ${\displaystyle \frac{K}{}}$ ${\displaystyle \frac{M}{}}$ K = ${\displaystyle \frac{M}{}}$ ${\displaystyle D\frac{.}{}}$ (${\displaystyle \frac{M}{}}$ ${\displaystyle \frac{K}{}}$+ ${\displaystyle \frac{C}{}}$ ${\displaystyle \frac{M}{}}$) ${\displaystyle \frac{M}{}}$ K ${\$$CK}{MK}}={\frac {MD.(MK+CM)}{MK}}}$, and ${\displaystyle CG=CH+GH={\frac {MD.(MK+2CM)}{MK}}}$

Ce가 Mm보다 K에 가까우면

${\displaystyle CH={\frac {MD.(MK-CM)}{MK}}}$ and ${\displaystyle CG=CH-GH={\frac {MD.(MK-2CM)}{MK}}}$

둘 중 어느 경우에도

${\displaystyle CF={\frac {CH^{2}}$$MD}>$CG$}$, 그리고 그 < ${\displaystyle \tau <t}$을(를) 따른다.

IJ에서 각도 최소각 MKm으로 감속된 호 Cc가 원형이 아닌 경우, 각도 MKm이 0에 가까워지면 Cec가 한계에서 우측삼각형이 되기 때문에 Ce보다 커야 한다.

참고, 베르누이는 비슷하지만 다른 주장으로 CF > CG를 증명한다.

이로부터 그는 차체가 다른 곡선 ACB보다 짧은 시간에 사이클로이드 AMB를 가로지른다고 결론짓는다.

간접법

페르마의 원리에 따르면, 한 줄기 빛에 의해 취해진 두 지점 사이의 실제 경로는 가장 적은 시간이 걸리는 것이다. 1697년 요한 베르누이는 일정한 수직 가속도(중력 g의 그것)에 따라 빛의 속도가 증가하는 매질에서 빛의 빔의 궤적을 고려하여 브라키스토크론 곡선을 도출하기 위해 이 원리를 사용했다.^[19]

에너지의 보존에 의해 균일한 중력장에서 높이 y를 하강시킨 후 체 v의 순간 속도는 다음과 같이 주어진다.

${\displaystyle v}$= ${\displaystyle \sqrt{\mathrm{2g}}}$ ${\displaystyle \sqrt{y}}$ ${\$ v$={\sqrt{2gy$

임의 곡선을 따라 움직이는 신체의 속도는 수평 변위에 좌우되지 않는다.

베르누이는 굴절의 법칙이 가변 밀도의 매체에서 빛의 빔에 대한 운동의 상수를 제공한다고 언급했다.

${\displaystyle \frac{sin}{}}$ ${\displaystyle \frac{}{}}$ ${\displaystyle }$ ${\displaystyle v\frac{\mathrm{}}{}}$ = ${\displaystyle 1\frac{}{}}$ v ${\displaystyle \frac{d}{}}$ ${\displaystyle \frac{}{}\frac{d}{}}$ s = ${\displaystyle \frac{{}_{}}{}}$ ${\displaystyle \frac{v_{}}{}}$ m ${\$frac {\$sin$ {\\$theta }}}}={v}}={\frac {dx}{ds}}={\frac$ {$1}{v_{$m$\}\}\}\}\}\}\}\},$

여기서 v는_m 상수이고 $\theta {\displaystyle }$ ${\displaystyle \theta }$은 수직에 대한 궤적의 각도를 나타낸다.

위의 방정식은 다음과 같은 두 가지 결론을 이끌어낸다.

1. 시작 시 각도는 입자 속도가 0일 때 0이어야 한다. 따라서 브라키스토크론 곡선은 원점에서 수직에 접한다.
2. 속도는 궤적이 수평이 되고 각도 = = 90°가 되면 최대값에 도달한다.

좌표(x,y)가 있는 입자(또는 빔)가 점(0,0)에서 출발하여 수직 거리 D를 낙하한 후 최대 속도에 도달한다고 가정하면:

${\displaystyle v_{}}$ ${\displaystyle m_{}}$= ${\displaystyle \sqrt{\mathrm{2g}}}$ ${\displaystyle \sqrt{D}}$ ${\$

굴절과 제곱의 법칙에서 용어 재배열은 다음을 제공한다.

${\displaystyle v_{m}^{2}dx^{2}=v^{2}ds^{2}=v^{2}(dx^{2}+dy^{2})}$

dx에 대해 dx로 해결할 수 있는 사항:

${\displaystyle d}$ x${\displaystyle }$= v ${\displaystyle \frac{d}{}}$ ${\displaystyle \frac{\sqrt{{}_{}^{}}}{}}$ ${\displaystyle \frac{\sqrt{{\mathrm{}}_{}^{}}}{}}$ 2${\displaystyle \frac{\sqrt{{}_{}^{}}}{}}$- v ${\displaystyle \frac{\sqrt{{2\mathrm{}}^{}}}{}}$ ${\$$v^{2}}}$ .

위의 v 및 v_m 식에서 대체하면 다음과 같은 결과를 얻을 수 있다.

${\displaystyle dx={\sqrt {\frac {y}{D-y}}\,dy\...}$

즉, 지름 D=2r 원에 의해 생성된 역 사이클로이드의 미분 방정식이며, 모수 방정식은 다음과 같다.

${\displaystyle {\displaysty}x&=r(\varphi -\sin \varphi )\\y&=r(1-\cos \varphi).\end{정렬}}}$

여기서 φ은 실제 매개변수로, 롤링 원이 회전한 각도에 해당한다. 주어진 φ에 대해 원의 중심은 (x, y) = (rφ, r)이다.

브라키스토크론 문제에서 신체의 운동은 매개변수의 시간 진화에 의해 주어진다.

${\displaystyle \varphi(t)=\omega t\\hr\omega={\sqrt{\frac {g}}}}}}}$

여기서 t는 지점이 0,0에서 신체를 방출한 이후 시간이다.

야콥 베르누이의 해결책

요한의 형 야콥은 어떻게 2차 미분자를 사용하여 최소 시간 동안 그 상태를 얻을 수 있는지를 보여주었다. 그 증명서의 현대화된 버전은 다음과 같다. 만약 우리가 최소 시간의 경로에서 무시할 수 있는 편차를 만든다면, 그 경로를 따라 변위에 의해 형성된 미분 삼각형과 수평과 수직의 변위에 대해,

${\displaystyle d}$ ${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {2\mathrm{}}^{}}$= d ${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {2\mathrm{}}^{}}$+ ${\displaystyle d}$ y ${\displaystyle {2\mathrm{}}^{}}$ ${\$

고정된 DY와의 차별화에 대해 우리는,

${\displaystyle 2}$ ${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle s}$ ${\displaystyle \text{d}{}^{}}$ 2 ${\displaystyle {s\mathrm{}}^{}}$= ${\displaystyle 2}$ ${\displaystyle d}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {2\mathrm{}}^{}}$ x $(\displaystyle 2ds\ d^{2}s=2dx\$ d$^{2}x}$.

마침내 조건을 재정비하면

${\displaystyle {\frac {dx}{ds}d^{2}x=d^{2}s=v\d^{2}t}$

여기서 마지막 부분은 2차 디퍼렌셜의 주어진 시간 변화에 대한 변위다. 이제 아래 그림에서 중앙선을 따라 이동하는 경로 사이의 수평 분리가 dx인² 두 개의 인접 경로를 따른 변화를 고려하십시오(상위 차동 삼각형과 하부 차동 삼각형 모두 동일). 예전과 새로운 길을 따라, 다른 부분은,

${\displaystyle d^{2}t_{1}={\frac {1}{v_{1}}{\frac {dx_{1}:{1}{ds_{1}}d^{2}x}$

${\displaystyle d^{2}t_{2}={\frac {1}{v_{2}}:{\frac {dx_{2}}:{ds_{2}}:d^{2}x}$

적어도 이 시간의 길은 같기 때문에, 우리는 그들의 차이점을 얻는다.

${\displaystyle d^{2}t_{2}-d^{2}t_{1}=0={\bigg (}{\frac {1}{v_{2}}}{\frac {dx_{2}}{ds_{2}}}-{\frac {1}{v_{1}}}{\frac {dx_{1}}{ds_{1}}}{\bigg )}d^{2}x}$

그리고 최소한 시간동안의 조건은,

${\displaystyle {\frac{1}{v_{2}}:{\frac {dx_{2}}:}={\frac {1}{v_{1}:{1}:{\frac {dx_{1}:{1}:{1}:{1}:{1}}}:{\frac {ds_{1}:{1}:{1}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}$

그것은 굴절의 법칙에 근거한 요한의 가정에 동의한다.

뉴턴의 해법

소개

1696년 6월, 요한 베르누이는 액타 에루디토룸 립스과의 페이지를 이용하여 국제 수학계에 도전장을 던졌다: 두 개의 고정된 지점에 합류하는 곡선의 형태를 발견하여 중력의 영향만으로 질량이 그 위를 따라 최소 시간 내에 미끄러져 내려갈 것이다. 해결책은 원래 6개월 이내에 제출될 예정이었다. 라이프니츠의 제안으로 베르누이는 네덜란드의 그로닝언에서 출판된 "Programma"라는 인쇄된 텍스트를 이용하여 1697년 부활절까지 도전을 연장했다.

Programma는 그레고리력으로 1697년 1월 1일로 지정된다. 이것은 1696년 12월 22일 영국에서 사용되던 율리안 달력이다. 뉴턴의 조카 캐서린 코딧에 따르면, 뉴턴은 1월 29일 오후 4시에 도전을 알게 되었고, 다음날 새벽 4시까지 그 도전을 풀었다고 한다. 왕립 협회에 전달된 그의 해결책은 1월 30일로 되어 있다. 나중에 철학적 거래에 익명으로 출판된 이 해결책은 맞지만 뉴턴이 그의 결론에 도달한 방법을 나타내지는 않는다. 베르누이는 1697년 3월 앙리 바스네지에게 쓴 글에서 비록 "겸손을 너무 많이 해서" 자신의 이름을 밝히지 않았지만, 공급된 거의 없는 세부사항에서도 뉴턴의 작품인 "발톱으로 사자처럼"으로 인식될 수 있다고 지적했다.

D. T. 화이트사이드는 원래 그리스어에서 유래한 라틴어 표현의 기원을 상당히 상세하게 설명하고 있다. 프랑스어로 된 편지에는 프랑스어 'comme'이 앞에 'ex ungue Leonem'이 있다. 많이 인용된 버전 '탄콰m ex ungue Leonem'은 1855년 데이비드 브루스터의 뉴턴의 삶과 작품에 관한 책 때문이다. 베르누이의 의도는 단순히 그 익명의 해결책이 뉴턴의 것이라는 것을 알 수 있다는 것이었는데, 마치 발톱을 부여받은 동물이 사자라는 것을 알 수 있는 것처럼 말이다. 베르누이가 수학자들 사이에서 뉴턴을 사자로 생각한다고 제안하는 것은 그 이후 해석되듯이 의도된 것이 아니었다. ^[20]

당시 80세였던 존 월리스는 1696년 9월 요한 베르누이의 막내 동생 히에로니무스로부터 이 문제를 알게 되었고, 3개월 동안 해결책을 시도하다가 12월에 데이비드 그레고리에게 이 문제를 넘겨주기도 했는데, 이 역시 해결하지 못했다. 뉴턴이 해결책을 제출한 후, 그레고리는 그에게 자세한 사항을 물어보고 그들의 대화에서 메모를 했다. 이것들은 1697년 3월 7일자 A ${\displaystyle {78}^{}}$ ${\displaystyle {1\mathrm{}}^{}}$ ${\$디스플레이 $스타일 78^{1}$에든버러 대학 도서관에서 찾을 수 있다$.$ 그레고리는 뉴턴의 주장을 이해하지 못했거나, 아니면 뉴턴의 설명은 매우 간단했다. 그러나 최소한의 저항의 고체를 결정하는 방법(Princia, Book 2, Proposition 34, Scholium 2)과 유추하여 그레고리의 노트에서 뉴턴의 증거를 구성하는 것은 높은 신뢰도로 가능하다. 이 후자의 문제에 대한 그의 해결책에 대한 자세한 설명은 1694년 데이비드 그레고리에게 보낸 편지의 초안에도 포함되어 있다.^[21] 최소 시간 곡선 문제 외에도 뉴턴도 동시에 해결한 두 번째 문제가 있었다. 두 가지 해결책은 1697년 1월 왕립 협회의 철학적 거래에서 익명으로 나타났다.

브라키스토크론 문제

그림 1은 그레고리의 도표를 보여준다(추가 선 IF가 없는 것을 제외하고, Z는 출발점이 추가되었다). 커브 ZVA는 사이클로이드고 CHV는 생성원이다. 몸이 e에서 E로 위쪽으로 움직이는 것처럼 보이기 때문에 중력의 작용으로 작은 몸체가 Z에서 방출되어 마찰 없이 커브를 따라 A로 미끄러지는 것을 가정해야 한다.

몸체가 상승하는 작은 호 eE를 고려한다. 직선 eL을 지나 L 지점까지, E에서 약간 떨어진 거리(o, o, 호 eE 대신 수평으로 이동한다고 가정한다. 유의할 점은 eL이 e에서 접선이 아니며, L이 B와 E 사이에 있을 때 o는 음이 된다는 것이다. E를 통해 CH에 평행하게 선을 긋고, n에서 eL을 절단한다. 사이클로이드의 속성에서, En은 E에서 접선까지의 정상이며, 마찬가지로 E에서 접선도 VH와 평행하다.

변위 EL은 작기 때문에 E의 탄젠트와는 방향 차이가 거의 없으므로 각도 ENL이 직각에 가깝다. 호 eE가 0에 가까워질 때 한계에서 eL은 VH와 평행하게 된다. 단, o는 eE가 삼각형 EnL과 CHV를 유사하게 만드는 것에 비해 작다.

$또한{\displaystyle }$ e L - e E = n L${\displaystyle }$=${\displaystyle o\frac{}{}}$. ${\displaystyle \frac{C}{}}$ ${\displaystyle \frac{H}{}}$ ${\displaystyle \frac{}{}}$ ${\displaystyle \frac{V}{}}$ ${\$$CH{\displaystyle {}^{}}$$}{$CV$}},$ ${\displaystyle {eL}^{}}$과 VH가 평행하다는 $근사치$로 인한 오류를 나타내는$$o $2${\displaystyle o^{2}} 이상의$$ 항을 무시한다$.$

eE 또는 eL을 따라가는 속도는 $CH$와 같은 C$$B {\$displaystyle {\sqrt{$CB$}$에 비례하는 E에서 그 속도로 취할 수 있다$.$ C ${\displaystyle H}$= ${\displaystyle \sqrt{C}}$. ${\displaystyle \sqrt{C.}}$ ${\displaystyle \sqrt{V}}$ ${\${CB$}.$$CV}}$

이것이 그레고리의 노트에 포함된 것으로 보인다.

L에 도달하기 위한 추가 시간이 될 수 있다.

${\displaystyle t\propto {\frac {nL}{\sqrt{CB}}={\frac {o.CH}{CV.{\sqrt{CB}}}={\frac {o}{\sqrt{CV}}}}}}}}}$

따라서 한 엔드포인트에서 변위된 작은 호를 횡단하는 시간의 증가는 엔드포인트에서의 변위에만 의존하며 호 위치와 독립적이다. 그러나 뉴턴의 방법에 따르면, 이것은 곡선이 가능한 최소 시간 내에 횡단되는 데 필요한 조건일 뿐이다. 따라서 그는 최소 곡선이 사이클로이드여야 한다고 결론짓는다.

그는 다음과 같이 주장한다.

이제 그림 1이 수직 축 CV와 원 CHV가 제거된 상태에서 아직 결정되지 않은 최소 곡선이라고 가정하고, 그림 2는 최소 호 eE와 추가 최소 호 Ff 사이의 곡선의 일부를 곡선을 따라 유한한 거리로 나타낸다. ${\displaystyle \sqrt{\mathrm{eE}}}$가 아닌 eL을 통과하기 위한 여분의 시간 t는 ($C{\displaystyle \sqrt{}}$ B ${\$CB$}}$에 비례하여) E에서의 속도로 nL을 나눈 다음 $$${\displaystyle {o\mathrm{}}^{}}$ 2 ${\$ 이상의$$ 항을 무시한다.

${\$$DE}{E.{\sqrt{$CB$\}\}\},$

L에서 입자는 원래 EF에 평행한 경로 LM을 따라 임의 지점 M으로 계속된다. L에서 E와 같은 속도를 내기 때문에 LM을 가로지르는 시간은 원래 커브 EF를 따라갔을 때와 같다. M에서 그것은 f 지점의 원래 경로로 돌아온다. 같은 추론에 의해 F에서 F에 도달하기보다는 M에서 f에 도달하기 위한 시간 단축 T는 다음과 같다.

$T\propto {\frac {o.FG}{{{\sqrt{CI}}}}$

차이(t – T)는 원래 eEF에 비해 eLMF 경로를 따라 걸리는 시간이다.

${\displaystyle (t-T)\propto \left({\frac {DE}{eE{\sqrt {CB}}}}-{\frac {FG}{Ff{\sqrt {CI}}}}\right).$$o}$과(와$)$ ${\displaystyle {o\mathrm{}}^{}}$ 2 {\$displaystyle o^{2$}} 이상의$$ 항(1)

eEF는 최소 곡선이기 때문에 (t – T)는 o가 양성이든 음성이든 0보다 커야 한다. 따라서 o in (1)의 계수는 0이어야 한다.

${\displaystyle \frac{D}{}}$ ${\displaystyle \frac{E}{}}$ ${\displaystyle \frac{}{}}$ ${\displaystyle \frac{E}{}}$ ${\displaystyle \frac{C\sqrt{}}{}}$ ${\displaystyle \frac{\sqrt{B}}{}}$= F ${\displaystyle G\frac{}{}}$ ${\displaystyle \frac{F}{}}$ ${\displaystyle \frac{F}{}}$ ${\displaystyle \frac{\sqrt{C}}{}}$ ${\displaystyle \frac{I\sqrt{}}{}}$ ${\$CB$}}}={\frac {FG}{Fff{\sqrt{CI}}}}}}($2)가 0에 근접하여 한계에 도달한다. 참고 eEF는 최소 곡선이기 때문에 $o{\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {2\mathrm{}}^{}}$ ${\$의 계수가 0보다 크다고$$ 가정해야 한다.

분명히 2개의 동일하고 반대되는 변위가 있어야 한다. 그렇지 않으면 신체가 곡선의 끝점인 A로 되돌아가지 않을 것이다.

If e is fixed, and if f is considered a variable point higher up the curve, then for all such points, f, ${\displaystyle {\frac {FG}{Ff{\sqrt {CI}}}}}$ is constant (equal to ${\displaystyle {\frac {DE}{eE{\sqrt {CB}}}}}$). f를 고정시키고 e 변수를 만들면 $D{\displaystyle \frac{}{}}$ ${\displaystyle \frac{E}{}}$ ${\displaystyle \frac{}{}}$ ${\displaystyle \frac{E}{}}$ ${\displaystyle \frac{\sqrt{C}}{}}$ ${\displaystyle \frac{B\sqrt{}}{}}$ ${\$CB$}}}}$도 일정하다는$$ 것을 알 수 있다.

그러나 점, e, f는 임의적이기 때문에 ($2{\displaystyle \frac{}{}}$) 방정식은 D ${\displaystyle \frac{}{}}$ ${\displaystyle \frac{E}{}}$ E ${\displaystyle \frac{\sqrt{C}}{}}$B = ${\$CB$}}}={\text{constant$가 도처에 있을 경우에만 참이 될 수 있으며, 이 조건은 추구하는 곡선을 특징짓는다. 이것은 그가 최소 저항의 고체 형태를 찾기 위해 사용하는 것과 같은 기술이다.

사이클로이드의 경우 $D{\displaystyle \frac{}{}}$ E ${\displaystyle \frac{E}{}}$ ${\displaystyle \frac{E}{}}$ E${\displaystyle \frac{}{}}$= ${\displaystyle B\frac{}{}}$ H ${\displaystyle \frac{V}{}}$ ${\displaystyle \frac{H}{}}$= C ${\displaystyle \frac{H}{}}$ ${\displaystyle \frac{C}{}}$ V ${\$}{{\frac}{BH$}}{$$VH}}={\frac {CH}{$CV$}}:$ $D{\displaystyle \frac{}{}}$ E ${\displaystyle \frac{}{}}$ ${\displaystyle \frac{E\sqrt{}}{}}$ ${\displaystyle \frac{C}{}\frac{\sqrt{B}}{}}$ = ${\displaystyle C\frac{}{}}$ ${\displaystyle \frac{}{}}$ C ${\displaystyle \frac{V.}{}}$ ${\displaystyle \frac{C\sqrt{}}{}}$ ${\$ $스타일 {\displaystyle {\DE}{E{\sqrt{$CB$}}}}={\frac {CH}{$CV$}.$위에 나타난 ${\sqrt{$CB$\}\}\},$ 브라키스토크론(Brachistochrone)은 사이클로이드다.

뉴턴은 사이클로이드가 이 마지막 관계를 만족시켰다는 것을 그가 어떻게 발견했는지에 대해 아무런 표시도 하지 않는다. 시행착오에 의한 것일 수도 있고, 또는 그는 그것이 곡선이 사이클로이드라는 것을 암시한다는 것을 즉시 인식했을 수도 있다.

참고 항목

• 아리스토텔레스의 바퀴 역설
• 벨트라미 아이덴티티
• 변이 미적분학
• 카트리니얼
• 사이클로이드
• 뉴턴의 최소 저항 문제
• 투토크론 곡선
• 트로코이드
• 균일 가속 운동

참조

외부 링크

위키미디어 커먼스는 브라키스토크론 관련 매체를 보유하고 있다.

• "Brachistochrone", Encyclopedia of Mathematics, EMS Press, 2001 [1994]
• Weisstein, Eric W. "Brachistochrone Problem". MathWorld.
• 브라키스토크론(MathCurve, 훌륭한 애니메이션 예시 포함)
• 브라키스토크론 휘슬러 골목 수학
• 1697년 베르누이 기사의 표 4
• 마이클 트롯의 브라키스토크로니츠와 오케이 아릭의 브라키스토크론 문제, 울프램 데모프로젝트.
• 맥튜터의 브라키스토크론 문제
• 지오데틱스 재방문 — 브라키스토크론(Bracchistochrone)을 지오데틱의 특별한 경우로서 지오데틱 방정식의 두 가지 파생 방법을 포함하는 지오데틱스의 소개.
• Python의 Brachistochrone 문제에 대한 최적의 제어 솔루션.
• 직선, 카트리네일, 브라키스토크론, 원, 페르마트 통합 접근법 등이 일부 지오데오디컬에 접근한다.